知识要点
加法原理
【例1】 1~100的所有自然数中，是2或3的倍数的数有多少个？
计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理，以及分类分步计数法——加乘原理。 容斥原理基本公式：
A B A B A B
=+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理：
如果完成一件事情有k 类方法，第一类方法有1m 种不同做法，第二类方法有2m 种不同做法，…第k 类方法有k m 种不同做法，则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。
乘法原理：
如果完成一件事情有k 个步骤，第一步有1m 种不同做法，第二步有2m 种不同做法，…第k 步有k m 种不同做法，则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯
⨯种不同做法。
数学原理
【例2】（2009年中环杯决赛五年级）在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（）个。
【例3】有一根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成十五等分。如果沿着每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？
【例4】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．
【例5】甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？
【例6】七届中环杯初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止.那么，小李有（）种不同的方法把糖吃完.
【例7】（第七届中环杯初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个？【例8】（第八届中环杯复赛）三位数中各位数之和为10的数共有（）个。
【例9】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？
G
F
E D C B A
【例10】 如下图所示，要从A 点沿线段走到B 点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。问有多
少种不同的走法？
B
A
乘法原理
【例1】 一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同，问：从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？
【例2】
如图所示，地图上有,,,A B C D 四个区域，现在用红蓝黄绿四种颜色给地图染色，使相邻区域的颜色不同，问有多少种不同的染色方法。
D
C
B
A
【例3】
参加会议的人见面都要握手一次，如果每人都要和其他人握手一次，一共握手136次，那么参加会议的人数是多少？
【例4】 从7名候选人中，首先选出一名班长，再选出4名班干部，共有多少种不同的选法
【例5】 从8人的数学兴趣小组中选2人，①分别担任正副组长，有多少种不同的选法？②一起参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法？
【例6】
车间内亮着50盏灯，编号为1~50，有50名工人，第一个工人把编号为1的倍数的灯的开关拉一下，第二个工人把编号为2的倍数的灯的开关拉一下，第三个工人把编号为3的倍数的灯的开关拉一下……，以此类推，问，当50名工人都拉过一遍开关之后，哪些灯被关掉了？
【例7】7个人排成一排照相，其中甲乙丙3人必须排在一起，有多少种不同的排法？
【例8】有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有多少种？
一课一练
【练习1】分母是209的最简真分数有多少个？
【练习2】1~300这300个自然数中，既不是3的倍数又不是7的倍数的数一共有多少个？
【练习3】有一根长180厘米的绳子，从一端开始，每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段？
【练习4】 从5幅国画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有多少种不同的选
法？
【练习5】 如图所示，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有三条路
可走。那么从甲地到丙地共有多少种走法？
丙
乙
甲
【练习6】 下图共有16个方格，要把,,,A B C D 四个不同的棋子放在方格中，并使每行每列出现一个棋子，
问：共有多少种不同的放法？
