《数学进位制与位值原理课件》五年级奥数新版

今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。

【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。

【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。

【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。

【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原的两位数。

【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是 。

进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理 十进制 除n 取余法【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。

【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。

〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。

位值原理知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲知识点一：位值原理的认识【例 1】填空：365= ×100+ ×10+ ×1365=36×+5×=2×+3×＋a×+b×=203 +×【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。

“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。

【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。

五年级奥数.数论.位值原理（C级）「例jj把一个数的数字顺序颠倒迪來得到的数称为这个数时逆序数，比如的的逆序数为9氛姒果一个曲位数零丁-其逆序数与I的平均数+这个苗隹数恳________ .【丰点】衙準的住值原理折好［难度J 2壘【题型】填空【关憔词】2009年’学而思杯，5年级，第3題【解析】设为爲\即I 0« + b = 1 UZf + 1,整理晋1加=鼬+ 1, « = 3,^ = 7 ,两便數为3了2I答案】37I孔円】将一个数A的小数点向右移动两位，得到数乩那么B+A是B-A的_______________ 倍。

（结果写成分数应式）【考点】简单的悝值廂理拆余【难度】2星【題型J填空【关轉词］2006年，暗望協第四禺六年级，初亂第9题，5^【解祈】将A的小数点向右秒动两位则為变版】00舊’即吐】00儿那B+A=101A. B*A=99A. B + A 是B-A的竺倍.101【篆案】妁「例2）—个十位数字是0的三位数’等于它的各位数字之和的67倍，交换这个T位数的个位数字和百悅数字，得到的新三位数足它的各位数字之和的_________ 佻【考点】简单帕位值原理拆【难度】3星【題型】境空【提捷词】囚）09年，命璧杯，第七届，五年乩复赛，第斗題，$分【解析】辱这个三俚數aQb>刚由题意可^P h lOOu + fr = fi7（o+A）,可得a = 2/> T而调捉个位和百位之后变为：/?Ofj = 100b + a = 102b i a + b- 3 b t則得到的聊三位數是它的各位字之奔的 102^ ^3i = 34 書*【尊案】34【班囲】一个三位数，个位利百位数字交换后还是一个三也数，它与原三位数的差的个也数字是几试求它们的差.【考点】简单的住值原理拆分【难糜】2矍【趣型】填空【关惟词】2003年*帝望杯,第一届、四年羅一足寮、第II｛题'厲分【解析】赢-嬴个位是7,明显£1妃于口所a10+<r*u=7> 所以他们的養为297【答案】297「例MSI三也数abc比三也数c%小99, Via t h r e此不同*则口柴最大是______________【孝点】简单时往值原理祈分【难度】2星【题型】填空【关蝕词］2008年’需曜杯，第六揭、丑年殂初執第7^> 6^【.呼折】由題意，a be+ 49 ■ cba T有□ 堂$要亦r最丸，如杲口・孕*那盘与dxi为三住数矛盾;^^a=X ,那么『=垦，刺下启最丸取入所以乔蓋丸是$79*【答樂】E「.巩酊一个二位数血与它的反序数辰的和等J 8S8,这样的泡数有__________________ 卜【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型〕境空【关披词】20(血年，那玺杯，第六届’六年给二试，第小题，5分【解析】显然4*厂、h+血都没有发生赶位，所以□ + = ■!!・ b + 则h-4 3a、「的情况有L+7、 2+6、3+54+4、5+3. £+2. 7+1这7种*所以这样妁三位魏有了种”【答案】7个丨例4)a, b, c分别足讥9中不同的数码，用小执£共可组成六个三垃数*如风其中五个三位数之和是2234.那么另一个丄位数足几？【谱点］笈杂的住值原理拆令【难度】3S-【题型］解骞「解桐〕由“ t>t r 组扳的夫个皺的和是222x (a + ft + c) 囲为 2234 > 222 x 10 T a +f> + oiO ,若m-zll,则所求數为222M I I -2234= 20fi > 怛 2十0十；(二10*11* 不合题蕙+若口+ b + dS 則所永数为22S I 2 _ 2234 ■ 430 ,但斗+ 3 + 0-7八"不合題索.^a + h + c = 13 ,则所奉數222x 13-2234 = fi；2 » 6 + 5 + 2 = 13 ,苻合题意.若o + h + c = l4*則所求數为222 x I 4 - 2234 - 874 +但* + 7+斗=■ 19L 不舍题就<a + t +ci 15 >則聊卓数2: 222 x I—2勢4 * L肿" 但所菠数秀三住數，不合題囂. 所％只有—"匸=山时持合题賦所求的三位数为652.【答案】652丨巩【可】有3个不同的数字，用它们组成&个不同的X拉数，如呆这百个三位数的和1554,那么这3 个数字分别昆爭少？【哮点】复杂帕住值原理拆裁【难度】3虽【題型】解券【关键词】第五秋獰望洛塔训试題「解析］设速7T个不同的三住數％ahc ,fich,hac ,hca ,c(ib r fba i因为血『=10血+1帖毗b=】0血十1(k+1……，它如的和是：222 K(d + fr+<7)=1554 ?所 ^fl + fr + c-1554-222 - 7 ,由于遑三个數字互不拥同且均不为6所取逗三个數中较小的两个数至少为I’ 2’而7-0 +2) =4「師以最丸的数叢丸为4；也+ 2 +二=血C、所臥最犬的魏丸于/ 所以最大的巍为4’其他两敷裁别是］,2.〔答漿】1,2*4「例畀LL^lubiti + abc+ n占+ 甘=I 衍山求 uhrd “【申点】简单的位值原理拆分【难启J 3星【题型】孵答「娜折j 原式：llllfi+ 111^+ llc' +J- 1370,所 - b 別 IU/>+ lk + d- 1370- Hll-259, llli?+ lie + J-259推知占・2; fr]222 + ]lc. + d-259, 11c + rf-37进而抠知J = 4所以abed - 1234,l答案】1234「巩固亍abed , abL. t abt a依次表六四位数、二位数、柄位数及一也数，且满足aM—abc—nb—a= 17E7,则这四位数而・_ 或_ °【考点】简单的位值原理拆录【难魔】3星【题型］填空【粧憧词】2009年"第7届，疲玺拣+ 4年圾，初霉，16题【解析】廊式可表示咸：SKMa + K9A + 9c + J - J7S7 ,则知□只能取：】就玄書°」时丫去无決取’故此值舍去.当口・2时.C = 0^. L tf栩应的取9 Aa所泓这个回位数是：2009 A 20)0.［答集J 3004 2010［:例C □知1 + 2 + 2+……+H (n>2)的利的个位数为3, I、位数为山则冃的最小俏是【考点J巧用方程解伍值原理【难度】4星【題型】填空［关憧词】加的年，策14坊，华杯執决茹第客題，10令【解析】根据题盍、前昶项和等于｛1+n ) x/1^2,而现在的不位为乳十住上是0,刑5+1) Xu的木两位是06、易知末住是占的连续的两个自然議的扳积的末位只能为2x3 A者"3,弊试■臥谨小的起取3?时，37x38=14()6符合杂件，所以H的最小值为37.【答案】3了「巩酊已知1 + 2 + 3+ 7 (］00>fl>2)的和的个位数为岳十也数为2,则这样的/t令____________ 个。

位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答重难点知识框架位值原理【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10.【答案】10【巩固】 一个两位数，加上它的十位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分 【解析】 设为ab ，10a+b+9a=19a+b=100，a=5，b=5. 【答案】55【例 2】 学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年，学而思杯，4年级，第5题【解析】 解设张老师年龄为ab ，则李老师的年龄为ba ，根据题意列式子为：18ba ab -=，整理这个式子得到：()918b a -=，所以2b a -=，符合条件的最小的值是1,3a b ==，但是13和31不符合题意，所以，答案为2a =与4b =符合条件的为：244266+=岁.例题精讲【答案】66岁【巩固】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第3题【解析】设为ab，即101102b aa b+++=，整理得1981a b=+，3,7a b==，两位数为37【答案】37【例 3】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，10题【解析】肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年.【答案】1492【巩固】小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第11题【解析】设小明出生那年是，则1＋9＋a＋b＝95－10a－b从而11a＋2b＝85在a≥8时，11＋2b＞85；在a≤6时，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a ＝7，b＝4.小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).【答案】21岁【例 4】一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍.【考点】简单的位值原理拆【难度】3星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，复赛，第4题，5分【解析】令这个三位数为0a b，则由题意可知，10067()+=+，可得2a b a b=，而调换个位和百位之后a b变为：0100102=+=，而3b a b a ba b b+=，则得到的新三位数是它的各位数字之和的÷=倍.102334b b【答案】34【巩固】一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第18题，10分【解析】abc cba-个位是7，明显a大于c，所以10+c-a=7，a-c=3，所以他们的差为297【答案】297【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第7题，6分【解析】 由题意，99abc cba +=，有9a c =+，要abc 最大，如果9a =，那么0c =，与c b a 为三位数矛盾；如果8a =，那么9c =，剩下b 最大取7，所以abc 最大是879.【答案】879【巩固】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888，这样的三位数有_________个.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试，第4题，5分【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位，所以8a c +=、8b b +=，则4b =，a 、c 的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种.所以这样的三位数有7种.【答案】7个【例 6】 将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________.-□□□□□□□□【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，初赛，第5题，6分【解析】 千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取234，所以这两个四位数应该是5987和6234，差为247.【答案】247【巩固】用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第5题，5分【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以这两个四位数应该是4987和5123，差为136.【答案】136【例 7】xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w= .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第5题，4分【解析】和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22【答案】22【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答【关键词】美国，小学数学奥林匹克【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba a b b a a b-=+--=-=，5(10)(10)9()45-=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a bb=，原来的两位数中最大的是94．9a=，4【答案】94【例 8】一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是______.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，初赛，第13题，6分【解析】设这个两位数是ab，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的两位数是13.【答案】13【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a；第三个为100a+b；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【答案】11小时【例 9】abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd—abc—ab—a= 1787，则这四位数abcd= 或 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，16题【解析】 原式可表示成：8898991787a b c d +++=，则知a 只能取：1或2，当1a =时，b 无法取，故此值舍去.当2a =时，0b =，0c =或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.【答案】2009或2010【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，111b ＋11c ＋d ＝259 推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259，11c ＋d ＝37 进而推知c ＝3，d ＝4所以abcd ＝1234.【答案】1234【例 10】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】第五届，希望杯，培训试题【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【答案】1，2，4【巩固】有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛【解析】设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：+++++=++⨯+++⨯+++=⨯++2()1002()102()222() abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c所以288622213++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位a b c数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【答案】139【例 11】有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数.【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】方法三：设两位数为x，则有（10x＋1）－（100＋x）＝414，解得：x＝57.【答案】57【巩固】有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数.【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设三位数为x，则有（6000＋x）＋（10x＋6）＝9999，解得：x＝363.【答案】363【随练1】 在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd dcba -=□997，那么□中应填 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分【解析】 由题意知，a ≥d ,由差的个位为7可知，被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位，则10+d －a =7,即a －d =3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b =c ，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即()12a d --=,因此□内应填入2.【答案】2【随练2】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c .由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×（a ＋b ＋c ）＝3330，推知a ＋b ＋c ＝15.所以，当a 、b 、c 取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951.【答案】最小为159，最大为951【随练3】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A .课堂检测【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个数为x ，则10x +5-x ＝1111A ，化简得9x ＝1106A ，等号右边是9的倍数，试验可得A ＝1，x ＝1234.【答案】A ＝1，x ＝1234（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答【作业1】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”.例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99.可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧数.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个巧数为ab ，则有ab +a +b ＝10a +b ，a (b +1)＝10a ，所以b +1＝10，b ＝9.满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【作业2】 a ，b ，c 分别是09中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ⨯++．因为223422210>⨯，所以10a b c ++>． 家庭作业复习总结若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．【答案】652【作业3】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5.如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5.设原两位数是ab ，则b =5，变成的三位数为5ab ，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a ＋b ＝4.变成的三位数只能是405，315，225，135.【答案】三位数只能是405，315，225，135【作业4】 如果70ab a b ⨯=，那么ab 等于几？【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将70ab a b ⨯=，展开整理得：(10)71000a b a b ⨯+⨯=⨯++，707100a b a b +=+，306a b =，5a b =，由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出1a =，5b =.【答案】15【作业5】 如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A .【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个数码为x ，则有：（10x ＋3）－x ＝123450＋A ,解得，9x ＝123447＋A ，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A ＝6，故：x ＝13717.【答案】6教学反馈。

位值原理知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例1】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【巩固】将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的________倍。

(结果写成分数形式)【例2】一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。

- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：五年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。

也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。

我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。

就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。

写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。

用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。

例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。

根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：其中a 可以是1～9中的数码，但不能是0，b 和c 是0～9中的数码。

利用位值原理可以解决很多数论问题。

【例1】某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；【解析】本题属于基础型题型。

我们不妨设a ＞b ＞c 。

典型例题 知识梳理(abc -cba ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c ； 【小试牛刀】ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差；【解析】(ab -ba ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b ；【例2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【小试牛刀】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-． 根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+． 推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？ 【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【小试牛刀】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【例4】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。