下载文档原格式
相似形的判定定理一、相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
1. 证明思路- 例如在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
- 因为DE∥BC，所以∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB（两直线平行，同位角相等），∠A是公共角。
- 根据两角分别相等的两个三角形相似，就可以得出△ADE∽△ABC。
（二）两角分别相等的两个三角形相似。
1. 证明示例- 已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。
- 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B，在△A'B'C'中，∠C' = 180°-∠A' - ∠B'。
- 因为∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，所以∠C = ∠C'。
- 根据三角形内角和定理以及两角相等的条件，可知这两个三角形相似。
（三）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1. 举例说明- 若在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')，且∠A = ∠A'。
- 可以通过构造辅助线等方法来证明这两个三角形相似。
- 例如将△A'B'C'平移、旋转、缩放等操作后，使∠A与∠A'重合，然后根据已知的边的比例关系和夹角相等，证明对应边平行，从而得出相似的结论。
（四）三边成比例的两个三角形相似。
1. 证明要点- 设△ABC和△A'B'C'三边满足(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=(AC)/(A'C')。
- 可以通过在较大的三角形中截取与较小三角形对应边相等的线段，构造出全等三角形，再利用边的比例关系逐步证明其他角相等，最终得出相似的结论。
27.2.1 相似三角形的判定杭信一中何逸冬第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC，再结合条件明△FDC ∽△FAD ，可得AD CD ＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴错误!＝错误!未定义书签。
相似三角形证明口诀5《相似三角形证明口诀5》口诀一：一找两角对应等，相似判定就可行。
好比两个小伙伴，脸上表情都相同。
你看那三角形里，两个角儿要是像，就像照镜子模样，这种情况别发慌，直接判定相似强。
角角相等真奇妙，相似关系跑不了。
就像双胞胎一样，特征相同没商量。
不管是大是小呀，形状相同能明了。
口诀二：二看两边成比例，夹角相等要牢记。
就像两根小树枝，长短比例得合适。
三角形的两条边，按照比例来相见。
中间夹角还得等，就像大门要对正。
要是这俩都符合，相似三角形有着落。
这就好比搭积木，块块都得对角度，比例夹角都具备，相似就像那影随。
口诀三：一寻平行得相似，恰似铁轨平行线。
三角形里若平行，相似形状就诞生。
一条直线平行边，形成的角儿有关联。
同位内错角相等，相似性质就出现。
就像火车沿着轨，一路向前不偏位。
平行带来相似形，这个道理要心领。
看到平行想相似，证明轻松能开启。
口诀四：二查三边成比例，相似判定很干脆。
三角形的三条边，比例相同是关键。
就像三根小木棍，长短比例都对衬。
三边比例若相等，相似不用再疑问。
好比三个小伙伴，身高比例都一般。
不管怎么去排列，相似形状在眼前。
这种情况好判断，三边比例仔细算。
口诀五：一观母子相似形，就像母鸡带小鸡。
大三角形含小形，相似关系有实情。
公共角儿先看见，还有两边成比例。
这种情况常出现，相似证明不费难。
就像大圈包小圈，形状相似有渊源。
母子相似莫忘掉，证明里面很重要。
看到这种结构呀，相似立马就想到。
口诀六：二看斜边直角边，直角三角形里现。
如果斜边比斜边，直角边也成比例。
就像两个小旗竿，斜着竖着都相关。
直角三角形相似，这个方法很好使。
这就如同搭帐篷，支架长短有比例。
斜边直角边对好，相似就能来报道。
碰到直角三角形，这个口诀要记清。
口诀七：一找等角再等边，相似之路就通坦。
先把等角来发现，再看对应边相关。
就像寻宝有线索，角儿相等是开端。
然后顺着边儿找，比例关系要明了。
这就像拼图游戏，一块一块来对齐。
相似形的概念与判定相似形（similar figure）是几何学中的重要概念之一。
在平面几何中，当两个或多个图形具有相同的形状，但可能不同的大小时，我们称它们为相似形。
相似形是一种比例关系的体现，它们具有相同的形状，但是可以通过缩放（放大或缩小）来得到不同的大小。
在本文中，我们将探讨相似形的概念以及判定相似形的方法。
相似形的定义是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
我们可以通过以下两个条件来定义相似形：1. 对应边比例相等：当两个图形相似时，它们的对应边的比例是相等的。
比如，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
2. 对应角相等：相似形还要求对应角相等。
也就是说，两个相似形的对应角度是相等的。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
在判定相似形时，我们可以使用以下几种方法：1. SSS 相似判定法：SSS 相似判定法是指当两个三角形的三边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的所有边长比例都相等，那么它们就是相似的。
2. SAS 相似判定法：SAS 相似判定法是指当两个三角形的某两边成比例，且包含这两边的夹角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两条边比例相等，并且它们之间的夹角相等，那么它们是相似的。
3. AA 相似判定法：AA 相似判定法是指当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
通过上述三种相似判定法，我们可以方便地判断两个三角形是否相似。
除了三角形，其他几何图形如矩形、圆等也可以使用相似判定法进行判断。
相似形的概念在几何学和实际生活中都具有重要意义。
在几何学中，我们可以利用相似形的性质解决各种问题，比如计算长度、面积、体积等。
在实际生活中，相似形的概念也被广泛应用于建筑、城市规划、地图制作等领域。
通过相似形的变换，我们可以在不改变物体形状的基础上进行缩放和放大，从而满足实际需求。
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
