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第十四章一次函数本章小结小结1 本章概述本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．小结2 本章学习重难点【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．小结3 学法指导1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 函数自变量的取值X 围【专题解读】一般地，求自变量的取值X 围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论． 例1 函数21+=x y 中，自变量x 的取值X 围是 ( ) A ．x ≠0 B ．x ≠1C ．x ≠2D ．x ≠－2分析由x ＋2≠0，得x ≠－2．故选D ．例2 函数xx y -+=21中，自变量x 的取值X 围是 ( ) A ．x ≥－1 B ．－1＜x ＜2C ．－1≤x ＜2D ．x ＜2分析 由⎩⎨⎧≥+-,01,0＞2x x 得⎩⎨⎧-≥,1,2＜x x 即－1≤x ＜2．故选C ． 专题2 一次函数的定义【专题解读】一次函数一般形如y ＝kx ＋b ，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．例3 在一次函数y ＝(m －3)x m －1＋x ＋3中，符x ≠0，则m 的值为．分析由于x ≠0，所以当m －1＝0，即m ＝1时，函数关系式为y ＝x ＋1．当m －3＝0，即m ＝3时，函数关系式为y ＝x ＋3；当m －1＝1，即m ＝2时，函数关系式为y ＝(m －2)x ＋3，当m ＝2时，m －2＝0，此时函数不是一次函数．所以m ＝1或m ＝3．故填1或3．专题3 一次函数的图象及性质【专题解读】一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,k b ，(0，b )．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置． 例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式．分析已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．解：(1)图象如图14－104所示．(2)设函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧-=+-=+,1,52b k b k 解得⎩⎨⎧==,1,2b k 所以函数解析式为y ＝2x ＋1．二、规律方法专题专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．例5 如图14－105所示，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是．分析 由图象知当x ＞－2时，y ＝3x ＋b 对应的y 值大于y ＝ax －3对应的y 值，或者y ＝3x ＋b 的图象在x ＞－2时位于y ＝ax －3的图象上方．故填x ＞－2．专题5 一次函数的应用【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题．例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．(1)写出油箱中余油量Q (升)与工作时间t (小时)之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?分析 由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值X 围内)．解：(1)设函数关系式为Q ＝kt ＋b (k ≠0)．由题意可知⎩⎨⎧+=+=,322,228b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.40,6b k∴余没量Q 与时间t 之间的函数关系式是Q ＝－6t ＋40．∵40－6t ≥0，∴t ≤320． ∴自变量t 的取值X 围是0≤t ≤320． (2)当t ＝0时，Q ＝40；当t ＝320时，Q ＝0． 得到点(0，40)，(320，0)． 连接两点，得出函数Q ＝－6t ＋40(0≤t ≤320)的图象，如图14－106所示． (3)当Q ＝0时，t ＝320，那么320－3＝323 (小时)． ∴拖拉机还能耕地323小时，即3小时40分． 规律．方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的．三、思想方法专题专题6 函数思想【专题解读】函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题． 例7 利用图象解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-②.5①,22y x y x分析 方程组中的两个方程均为关于x ，y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数．由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解．解：由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5．在平面直角坐标系中画出一次函数y ＝2x －2，y ＝－x －5的图象，如图14－107所示．观察图象可知，直线y ＝2x －2与直线y ＝－x －5的交点坐标是(－1，－4)．∴原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.4,1y x规律·方法 解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．例8 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL ．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了y mL 水．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头几小时?分析已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL ，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．解：(1)y 与x 之间的函数关系式为y ＝360x (x ≥0)．(2)当y ＝1620时，有360x ＝1620，∴x ＝4．5．∴当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头4．5小时．专题7 数形结合思想【专题解读】数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．分析通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB＝OA ＝2，所以点B 的坐标为(0，－2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)．∵OA ＝OB ，点A 的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k∴一次函数的解析式为y ＝x －2．【解题策略】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用．专题8 分类讨论思想【专题解读】分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．例10 在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录?分析 根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t (s)与赛车速度v (m ／s)之间的关系，在10 s 内，赛车的速度从0增加到7．5 m ／s ，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．解：观察图象可知．当t 在0～1 s 内时，速度v 与时间t 是正比例函数关系，v ＝7．5t (0≤t ≤1)．当t 在1～8 s 内时，速度v 保持不变，v ＝7．5(1＜t ≤8)；当t 在8～10 s 内时，速度v 与时间t 是一次函数关系，设一次函数为v ＝kt ＋b (k ≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)，则⎩⎨⎧+=+=,100,85.7b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.5.37,75.3b k∴v ＝－3．75t ＋37．5(8＜t ≤10)．即7.5(01),7.5(18),3.7537.5(810).t t v t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩专题9 方程思想【专题解读】方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．例11 已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点A (－3，－2)及点B (1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，通过解方程组求出k ，b 的值，从而确定函数关系式．解：由题意可知⎩⎨⎧=+-=+-,6,23b k b k ∴⎩⎨⎧==.4,2b k ∴函数关系式为y ＝2x ＋4．图象如图14－110所示．2011中考真题精选一、选择题1.（2011某某乌鲁木齐，5，4）将直线y ＝2x 向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ）A 、y ＝2x －1B 、y ＝2x －2C 、y ＝2x ＋1D 、y ＝2x ＋2考点：一次函数图象与几何变换。
教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T 一次函数的概念与性质 C 一次函数与实际问题 T 一次函数综合运用授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理1. 函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与其对应，那 么我们就说x 是自变量，y 是因变量，y 是x 的函数。
注：构成函数的条件是： ①两个变量。
②对自变量x 在取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与其对应。
2. 函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法3. （1）一次函数的图像经过坐标轴上的（0，b ）和()-bk ，0点。
（2）正比例函数必经过（0，0）点。
（3）一次函数与正比例函数的图像都是一条直线。
4. 一次函数与正比例函数的联系与区别：①正比例函数是一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）中b ＝0的特殊情形； 因此正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。
②一次函数＝＋的图象是一条过，和，两点的直线；y kx b 0b ()()-bk 0正比例函数y＝kx的图象是一条过原点（0，0）和（1，k）的直线。
5. 一次函数的性质：y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0），①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小。
二、同步题型分析题型1：平面直角坐标系例1：（1）若点A（a，b）在第三象限，则点Q（－a＋1，3b－5）在第________象限。
（2）若点B（m＋4，m－1）在x轴上，则m＝_____________。
（3）若点C（x，y）满足x＋y＜0，xy＞0，则点C在第___________象限。
（4）若点D（6－5m，m2－2）在第二、四象限夹角平分线上，则m＝_________。
（5）已知点和点关于y轴对称，则a＝______，b＝________。
解：（1）点A（a，b）在第三象限∵a＜0，b＜0∴－a＋1＞0，3b－5 ＜0点Q（－a＋1，3b－5）在第四象限（2）点B（m＋4，m－1）在x轴上∴m－1＝0，解得m＝1（3）xy＞0，同号x＋y＜0，均为负点C在第三象限（4）点D（6－5m，m2－2）在第二、四象限夹角平分线上，（5）点和点关于y轴对称，总结：这组填空题是点的坐标特征的应用，要记住点在四个象限内的符号特征，点在坐标轴上，一、三与二、四象限夹角平分线上的特征；点关于x轴，y轴，原点对称点的特征。
第十二讲一次函数一．学习目标：1、理解正比率函数和一次函数的观点；娴熟掌握正比率函数和一次函数的图像及性质。
2、能依据所给信息确立函数关系式，利用关系式解决相关问题以及一些实质生活中的问题。
3、娴熟掌握数形联合的思想方法理解一次函数与一元一次不等式和二元一次方程的关系。
二．学习内容：导学预习：1.一次函数的一般形式：。
当时为正比率函数。
2.．一次函数y=kx〔k是常数，k≠0〕的图像是，必过点：〔0 ，〕、〔1，〕，走向：k>0时，图像经过象限；k<0时，图像经过象限；增减性：k>0，y随x的增大而；k<0，y随x增大而。
倾斜度：|k|越大，越靠近轴；|k|越小，越靠近轴。
3.一次函数y=kx+b的图像与y轴交点的坐标老是〔，)，与x轴老是交于〔，〕4.认识其特别的地点关系：特别地点关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数分析式中K值〔即一次项系数〕相等;当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数分析式中K值互为负倒数〔即两个K值的乘积为-1〕.5.走向：k0直线经过第象限0b00k0直线经过第象限0b00直线经过第象限直线经过第象限6.增减性：增减性：k>0，y随x的增大而；k<0，y随x增大而..7.图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；y 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.2．小组议论：O1.〔2021福建福州〕一次函数y(a1)x b的图象如图1所图1示，那么a的取值范围是〔〕A．a1B．a1Ca0 D．a02、〔2021上海市〕假如一次函数ykx b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴订交，那么〔〕A．k 0，b 0B．k0，b0C．k0，b0D．k0，b3.展现提高：点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，那么x1与x2的大小关系是〔〕A．x1x2B．x1x2C．x1x2D．没法确立怀疑拓展：某县在实行“村村通〞工程中，决定在A、B两村之间修建一条公路，甲乙两个工程队分别从A，B 两村同时相向开始修建，施工时期，乙队因还有任务提早走开，余下的任务四甲队独自达成，直到道路修通，以下图是甲乙两个工程队修道路的长度Y〔米〕与修建时间x〔天〕之间的函数图象，请依据图象所供给的信息，求该的公路的总长度。
一次函数复习复习目标：1．理解一次函数的意义，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．2．会画一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本性质．3．体会一次函数与方程及一元一次不等式的关系，能用一次函数解决简单实际问题.一、知识回顾（老师寄语：聪明在于勤奋，天才在于积累！） 1、①y=x-6；②y=x 2；③y=8x ；④y=7-x;⑤y=2(x-1)-2x ⑥652+=x y 上面函数中，y 是x 的一次函数的是2. 关于x 的函数(1)3m y m x =-+是一次函数则m=3、已知一次函数y=kx －k ，若y 随着x 的增大而减小，则该图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限4.一次函数332y x =-+的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ） A ． x ＜0 B ． x ＞0 C ． x ＜2 D ． x ＞25.如图，一次函数y=k 1x+b 1的图像l 1与y=k 2x+b 2的图像l 2相交于点P ，则方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是 .6. （2012•湘潭）已知一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为7. （2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行x 轴）．（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高（2）求AC 的解析式，并求该植物最高多少厘米第5第7第4二、综合运用（老师寄语：善于向别人学习是一种智慧！）1. 点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝－4x + 3 图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）（A）y1＞y2（B）y1＞y2＞0 （C）y1＜y2（D）y1＝y22. （2013大庆）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（﹣1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0D．y的值随x值的增大而增大3.（2012南通）甲．乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；（2）求线段DE对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．【反思交流】1．题目解决所使用的知识点及解决问题的策略和数学思想方法.2．从本组、其他组同学那里你学到了什么自己的表现如何三、矫正补偿（老师寄语：在总结中寻求发展！）1.在平面直角坐标系中，将直线y=2x向上平移2个单位长度后，所得直线的解析式为2. （2013咸宁）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集（）A．x≤1 B．x≤2 C．x≥1 D．x≥23.（2012•聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且△BOC的面积为2，求点C的坐标．四、完善整合（老师寄语：相信自己，你一定成功！）（完善本章所复习的知识、方法、规律）第2第31、知识点：2、在解决以上问题中，我们用到的主要的数学思想方法有．3.在本章中你还有哪些困惑。
