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直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。
如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
初中数学例题：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=【答案】D；提示：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=时，△ABC∽△AED．故选D．4、（2014秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【答案与解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴=代入①=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG是解题关键．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．。
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似教学目标1.掌握两边对应成比例而夹角相等的两个三角形相似。
2.理解相似三角形的性质，能够灵活运用相似三角形的判定方法。
3.能应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学重点掌握两边对应成比例而夹角相等的两个三角形相似的概念和相似三角形的性质。
教学难点能应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学内容1.两边对应成比例而夹角相等的两个三角形的定义和相似三角形的性质。
2.相似三角形的判定方法。
3.应用相似三角形的性质解决实际问题。
教学方法课堂讲授，巩固练习，探究式教学。
教学过程1. 两边对应成比例而夹角相等的两个三角形的定义和相似三角形的性质教师先介绍两边对应成比例而夹角相等的两个三角形相似的概念，通过板书，让学生了解相似三角形的性质。
要求学生在课前预习，了解相似三角形的基本概念和性质。
2. 相似三角形的判定方法教师讲解如何判断两个三角形是否相似，主要采用三角形的三条边之间成比例关系、两角相等和两边对应成比例等条件进行判断。
通过举例，在课堂上让学生掌握相似三角形的判定方法。
3. 应用相似三角形的性质解决实际问题掌握了相似三角形的基本概念和性质后，教师通过一些实际问题，让学生应用相似三角形的性质解决实际问题。
通过让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固相似三角形的知识。
教学效果检测教师布置相似三角形相关作业，鼓励学生通过课下复习，掌握相似三角形的基本概念和性质，同时自己解决实际问题，不断巩固和提高所学的知识。
总结相似三角形是初中阶段的重要知识点，学生掌握相似三角形的定义和性质，能够运用相应的方法判别是否相似，能够应用所学知识解决实际问题，具有重要意义。
在教学中，教师要注重理论教学和实践操作相结合，培养学生的数学思维，提高学生的数学能力。
