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相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程要证明相似三角形两边对应成比例且夹角相等的过程，我们需要从几何角度出发。
首先，我们先来理解相似三角形的定义。
两个三角形被称为相似三角形，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
也即，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则△ABC∽△DEF。
接下来，我们来证明两边对应成比例且夹角相等的条件下，两个三角形相似。
假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB/DE=AC/DF=BC/EF，且∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。
我们先来证明∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F这一条件。
首先，我们取点G在AB上，使得AG=DE。
由于AB/DE=AC/DF，我们有AG/DE=AC/DF，即AG/AC=DE/DF。
根据比例相等的性质，我们可以得到AG/AC = AB/DF。
又因为∠A =∠D，根据正弦定理，我们可以得到AG/AC = sin∠B/sin∠C。
综上所述，我们得到AB/DF = sin∠B/sin∠C。
同理，我们可以使用类似的方法得到AC/DF = sin∠C/sin∠B，BC/EF = sin∠C/sin∠A，将这些式子联立起来，得到AB/DF = AC/DF = BC/EF = sin∠B/sin∠C = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
因此，根据比例相等的性质，我们可以得到sin∠B/sin∠C =sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
进一步化简，我们得到sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B。
根据正弦定理，我们可以得到AB/AC = sin∠B/sin∠A，BC/AC = sin∠C/sin∠A。
从上述的推导步骤可以看出，我们得到了AB/DE = AC/DF = BC/EF = AB/AC = BC/AC = sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
三角形相似的判定定理及性质
判定定理
1、平行于三角形一-边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
性质
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
相似三角形的性质与判定相似三角形在几何学中是一个重要的概念，它们具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的性质有以下几个方面：1. 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
具体来说，如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。
2. 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定是相似的。
具体来说，如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。
3. 高度比例相等：如果两个相似三角形之间的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。
换句话说，如果两个三角形的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。
这是相似三角形的基本判定法。
2. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。
这是相似三角形的充要条件，也是最常用的判定法。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。
这是相似三角形的另一种判定法。
4. SAS判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角也相等，那么它们是相似的。
三、应用示例下面通过一个具体的示例来说明相似三角形的性质和判定方法。
假设有两个三角形ABC和XYZ，已知∠A = ∠X，∠B = ∠Y，且AB/XY = BC/YZ。
根据AA判定法可知，∠A = ∠X 和∠B = ∠Y，所以三角形ABC 与三角形XYZ相似。
根据对应边成比例可知，AB/XY = BC/YZ，所以三角形ABC与三角形XYZ相似。
因此，根据相似三角形的性质和判定方法，可以得出三角形ABC 与三角形XYZ是相似的。
结论：相似三角形具有相同形状但可能不同大小的特点。
判定两个三角形是否相似可以使用AA判定法、AAA判定法、SSS判定法和SAS判定法。
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式为：AA(角角)、SAS(边角边)、SSS(边边边)、HL等等。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(SSS)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)(HL)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)(简叙为：全等三角形相似)。
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。
如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
证三角形相似的判定定理
1、有两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例。
1、相似三角形的'对应角相等
2、相近三角形对应边的比、对应低的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等同于相近比；
3、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；
4、相近三角形具备传递性：如果两个三角形分别于同一个三角形相近，那么这两个三角形也相近。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6、全系列等三角形可以看作相近比为1的特定的相近三角形，凡是全等的三角形都相近。
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程首先，我们先给出一个定义和两个相似三角形的性质：定义：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，而且对应边成比例。
性质1：如果两个三角形相似，则它们的对应角相等。
性质2：如果两个三角形的对应角相等，则它们的对应边成比例。
现在，我们假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，我们要证明两个性质：1.证明两个三角形的对应边成比例。
2.证明两个三角形的对应角相等。
首先，我们来证明性质1假设在三角形ABC和A'B'C'中，有三条对应边AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，我们要证明它们成比例。
由于三角形ABC和A'B'C'相似，根据性质2可知，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
我们先来考虑对应边AB和A'B'：假设AB的长度为a，A'B'的长度为a'，我们要证明a/a'=AB/A'B'。
根据三角形的相似性条件，我们有∠B = ∠B'，所以根据正弦定理，我们可以得到以下关系式：a/sin∠B = a'/sin∠B'。
进一步整理可得：a/a' = sin∠B/sin∠B'。
由于∠B = ∠B'，所以sin∠B = sin∠B'，所以这个关系式可以变为：a/a' = sin∠B/sin∠B' = 1/1 = 1所以，我们证明了对应边AB和A'B'成比例。
类似地，我们可以分别证明对应边AC和A'C'、BC和B'C'也成比例。
接下来，我们来证明性质2假设∠B=∠B'，∠C=∠C'，我们要证明这意味着三角形ABC和A'B'C'相似。
相似三角形的五种判定方法
1.两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应
边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；方法四:三边
对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
判定五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相
似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
基础题
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( ) A.AB A′B′＝AC A′C′
B.AB A′B′＝AC A′C′且∠A＝∠A′
C.AB BC ＝A′B′A′C′且∠B＝∠C′
D.AB A′B′＝AC A′C′
且∠B＝∠B′
2．如图，△ABC 与下列哪一个三角形相似( )
3．已知图1、2中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图2中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )
A ．只有(1)相似
B ．只有(2)相似
C ．都相似
D ．都不相似
4．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A ．①②相似
B ．①③相似
C ．①④相似
D ．②④相似
5．如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M 应是F ，G ，H ，K 四点中的( )
A ．F
B ．G
C ．H
D ．K
6．如图，已知在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点P 是AC 的中点，过P 的直线交AB 于Q ，若想得到以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AQ 的长为( )
A ．3
B ．3或4
3
C ．3或3
4
D.43
7．在△ABC 和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB ＝6，BC ＝8，B ′C ′＝4，则当A ′B ′＝________时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.
8．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝9，AD ＝4，AC ＝7.2，AE ＝5，求证：△ABC∽△AED.
中档题
9．如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，要使△ABC∽△CAD，只要CD 等于( )
A.b 2
c
B.b 2a
C.ab c
D.a 2c
10．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且CF ＝3FD ，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？
11．如图，直线EF分别交△ABC的边AC、AB于点E、F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.求证：AE·EC ＝EF·ED.
综合题
12．(包头中考)如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB ＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
参考答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.C 6.B 7.3 8.证明：∵AB＝9，AD ＝4，AC ＝7.2，AE ＝5，∴AB AE ＝AC AD ＝9
5.∵∠A ＝∠A，
∴△ABC ∽△AED. 9.A 10.△ABE 与△DEF 相似．理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D＝90°，AB ＝AD ＝CD.设AB ＝AD ＝CD ＝4a ，∵E 为边AD 的中点，CF ＝3FD ，∴AE ＝DE ＝2a ，DF ＝a.∴AB DE ＝4a 2a ＝2，AE DF ＝2a a ＝2.∴
AB
DE ＝
AE DF .又∵∠A＝∠D ，∴△ABE ∽△DEF. 11.证明：∵AB·BF＝BC·BD，∴AB BD ＝BC
BF
.又∵∠B＝∠B，∴△ABC ∽△DBF.∴∠A ＝∠D.又∵∠AEF ＝∠DEC，∴△AEF ∽△DEC.∴AE ED ＝EF
EC ，即AE·EC＝EF·ED. 12.(1)∵t＝1，∴OE ＝1.5厘
米，OF ＝2厘米．∵AB＝3厘米，OB ＝4厘米，∴OE AB ＝1.53＝12，OF BO ＝24＝1
2.∵∠MON ＝∠ABE＝90°，∴△EOF ∽△ABO.(2)
在运动过程中，OE ＝1.5t ，OF ＝2t.∵AB＝3，OB ＝4，∴OE AB ＝OF
OB .又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，∴Rt △EOF ∽Rt △ABO.
∴∠EFO ＝∠AOB.∵∠AOB＋∠FOC＝90°，∴∠EFO ＋∠FOC＝90°，即∠FCO＝90°.∴EF ⊥OA.。
