§2.9函数模型及其应用
1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
知识拓展
1．解函数应用题的步骤
2．“对勾”函数
形如f (x )＝x ＋a
x
(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )
(3)不存在x 0，使0x
a <0n
x (4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ ) (5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编 2．[P102例3]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B ．结余最高的月份是7月 C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D ．前6个月的平均收入为40万元 答案 D 解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为1 6 ×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误． 3．[P104例5]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1 2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该 企业一个月应生产该商品数量为______万件． 答案 18 解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－1 2(x －18)2＋142， 当x ＝18时，L (x )有最大值． 4．[P107A 组T4]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3 解析 设隔墙的长度为x (0 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋ 18， ∴当x ＝3时，y 最大． 题组三 易错自纠 5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案 (p ＋1)(q ＋1)－1 解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝ (1＋p )(1＋q )－1. 6．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100 只，到第8年它们发展到________只． 答案200 解析由题意知100＝a log3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当x＝8时，y＝100log39＝200. 题型一用函数图象刻画变化过程 1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是() 答案 B 解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是() 答案 B 解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B. 3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是() A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 解析根据图象所给数据，逐个验证选项． 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对． 思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 题型二已知函数模型的实际问题 典例(1)(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 答案 3.75 解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪ ⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ， 0.5＝25a ＋5b ＋c ， 消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a ＋b ＝0.1， 9a ＋b ＝－0.3， 解得⎩⎪⎨⎪ ⎧ a ＝－0.2， b ＝1.5， c ＝－2. 所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝15 4＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． (2)(2017·湖南醴陵期中)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元 答案 D 解析 设毛利润为L (p )元，则由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000. 思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 跟踪训练(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24 解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. (2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又 知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1 20Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________ 万元． 答案 2 500 解析L(Q)＝40Q－1 20Q 2－10Q－2 000 ＝－1 20Q 2＋30Q－2 000＝－1 20(Q－300) 2＋2 500. 则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元． 题型三构建函数模型的实际问题 命题点1构造一次函数、二次函数模型 典例(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg. 答案 19 解析 由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元． 答案 95 解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]． ∴当x ＝95时，y 最大． 命题点2 构造指数函数、对数函数模型 典例 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已 知到今年为止，森林剩余面积为原来的22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为x (0 2 ， 解得x ＝1－110 1()2 . (2)设经过m 年剩余面积为原来的 22 ， 则a (1－x )m ＝2 2a ，即101()2m ＝1 21()2 ， 即m 10＝1 2 ，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年． 引申探究 本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为2 2 a (1－x )n . 令 22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24 ， 101()2n ≥321()2 ，即n 10≤3 2，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年． 命题点3 构造y ＝x ＋a x (a >0)型函数 典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 答案 5 解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润y x ＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25 x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立． ∴要使平均利润最大，客车营运年数为5. (2)(2017·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________. 答案 2 3 解析 由题意可得BC ＝18x －x 2， ∴y ＝18x ＋3x 2 ≥2 18x ×3x 2 ＝6 3. 当且仅当18x ＝3x 2(2≤x <6)， 即x ＝23时等号成立． 命题点4 构造分段函数模型 典例 (2017·山西孝义模考)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z . 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115. 令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6 ∴y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2 ＋68x －115(6 (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋811 3(6 思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制． 跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 8 解析 设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120 ， 所以n lg 2 3 ≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0≤x ≤400， 80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营 的天数是________． 答案 300 解析 由题意，总利润 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12 x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400， 当0≤x ≤400时，y ＝－1 2(x －300)2＋25 000， 所以当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000， 综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元． 函数应用问题 典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 400－6x ，0 (1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论． 规范解答 解 (1)当0 x －16x ＋7 360. 所以W ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ －6x 2 ＋384x －40，0 [4分] (2)①当0 ②当x >40时，W ＝－40 000 x －16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥2 40 000 x ×16x ＝1 600， 当且仅当40 000 x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以此时W 的最大值为5 760.[10分] 综合①②知， 当x＝32时，W取得最大值6 104万美元．[12分] 解函数应用题的一般步骤 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A.y ＝2x －2 B ．y ＝1 2(x 2－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝12 log x 答案 B 解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B. 2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( ) 答案 A 解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A. 3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元 答案 D 解析 设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有 280×p %＋(x －280)(p ＋2)% x ＝(p ＋0.25)%， 解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元． 4．(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年 D ．2020年 答案 D 解析 设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg 20 13lg 1.12≈0.30－0.110.05 ＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3 答案 A 解析 设该职工用水x m 3 时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ mx (0 10m ＋(x －10)·2m (x >10)， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13. 6．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元 答案 C 解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润 y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32 ＝－0.1() x －10.52＋0.1×(10.5)2＋32. 因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024 解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12 e k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝⎛⎭⎫ x 2＋8x (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大． 答案 4 解析 由题意得L ＝512－⎝⎛⎭⎫ x 2＋8x ≤51 2 －2x 2·8 x ＝21.5， 当且仅当x 2＝8 x ，即x ＝4时等号成立． 当x － 4 x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5. 故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大． 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 答案 20 解析 设内接矩形另一边长为y m ， 则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40， 解得y ＝40－x ， 所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0 10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭ ⎫v 202 km ，那么这批物资 全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)． 答案 12 解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 ⎝ ⎛⎭ ⎫36×⎝⎛⎭ ⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝200 3 时取“＝”． 故这些汽车以200 3 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h. 11．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭ ⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－ 6 W/m 2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－ 7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ 解 (1)当声强为10－6 W/m 2时， 由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ I 10－12 得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 10－610－12 ＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫ I 10－12 得10lg ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫I 10－12＝0. 所以I 10－12 ＝1，即I ＝10－12 W/m 2， 则常人能听到的最低声强为10－12 W/m 2. (3)当声强为5×10－7 W/m 2时， 声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 5×10－710－12 ＝10lg(5×105) ＝50＋10lg 5， 因为50＋10lg 5>50， 所以这两位同学会影响其他同学休息． 12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？ 解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋10 5 ＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩ ⎪⎨⎪⎧ 15－0.1x >0， x >0， 解得0 P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100 150－x －30， 所以P ＝－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋120. 因为0 ≥2 (150－x )·100 150－x ＝2×10＝20， 当且仅当150－x ＝100 150－x ， 即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100. 所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元． 13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小． 答案 40 解析 设每小时的总费用为y 元， 则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6， 解得k ＝0.06， 所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10 v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥2 0.6v ×960 v ＝48， 当且仅当0.6v ＝960 v ，即v ＝40时等号成立． 故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时． 14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0 5－1 2 解析 由题意得x ＝c －a b －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±5 2. ∵0 ＝5－1 2 . 15．(2018·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表： 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)． 答案 (1)120 (2)80 解析 根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝ 60＋180 2 ＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪ ⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84， 32 400a ＋180b ＋c ＝116， 解得⎩⎪⎨⎪ ⎧ b ＝－2.4， c ＝224， a ＝0.01. 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 函数模型及其应用 1.几类函数模型 2.三种函数模型的性质 概念方法微思考 请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示 解函数应用题的步骤 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0，使0x a 考点10函数模型及其应用 【命题趋势】 从近几年高考可以看出，越来越注重对应用问题的理解以及阅读能力的考查，而对函数模型的考查可以涉及此部分知识点，所以我们要引起重视，具体掌握以下几点： （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用. 【重要考向】 一、二次函数模型的应用 二、指数函数、对数函数模型的应用 三、分段函数模型的应用 四、函数模型的比较 二次函数模型的应用 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行： （1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中. 用框图表示如下： 建模 审题、转化、抽象 问题 解决 解模 运算 还原 结合实际意义 【巧学妙记】 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位. 根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值， 从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 【典例】 1.某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动 小汽车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x . （1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式； （2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？ 【答案】（1）26002002000y x x =-++（01x <<）；每辆车投入成本增加的比例为 1 6 时，本年度的年利润最大，且最大年利润是 6050 3 万元. 【解析】（1）由题意，得()()() 1.210.75111000010.6y x x x ⎡⎤=⨯+-⨯+⨯⨯+⎣⎦实际问题 数学问题 数学问题答案 实际问题结论 高考数学考点归纳之函数模型及其应用 一、基础知识 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x (a >0)． (1)形如f (x )＝x ＋a x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内 单调递增． 2．三种函数模型的性质 幂函数模型y ＝x n (n >0)可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小(n ≤1)时，增长较慢；当n 值较大(n >1)时，增长较快. 考点一 二次函数、分段函数模型 [典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票 高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用 第1篇：高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用 导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由小编为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！ 1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数) 2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答. 3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 4.解疑释惑 (1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系? 一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”? 在“数学建模”中要把握好下列几个问题： 1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题. 2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数. 函数模型及其应用 一、构建函数模型的基本步骤： 1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系； 2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关 辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即 所谓的数学模型； 3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果； 4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。 二、常见函数模型： 1、一次函数模型； 2、二次函数模型； 3、分段函数模型； 4、指数函数模型； 5、对数函数模型； 6、对勾函数模型； 7、分式函数模型。 题型1：一次函数模型 因一次函数y二kx b（k = 0）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当k 0时，函数值的增长特点是直线上升；当k ： 0时，函数值则是直线下降。 例1:某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。现销售给A 地10台，B地8台。已知从甲地到A地、B地的运费分别是400元和800元，从乙地到 A地、B地的运费分别是300元和500元， （1）设从乙地运x台至A地，求总运费y关于x的函数解析式； （2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的方案和最低运费 题型2:二次函数模型 二次函数y =ax2? bx ? c （a=0）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可 求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨 与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k.0）。 （1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值； （3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。 例3:某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 练习：某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成 F表: 普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座7）—函数模型及其应用 一．课标要求： 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二．命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 三．要点精讲 1．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间 的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模 型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择 函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： 1．几种常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化随x值增大，图象 与y轴接近平行 随x值增大，图象与x 轴接近平行 随n值变化而不同 常用结论 “对勾”函数的性质 形如f(x)＝x＋a x(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减． (2)当x>0时，x＝a时取最小值2a， 当x<0时，x＝－a时取最大值－2a. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．() (2)不存在x0，使a x0 y ＝x a (a >1)的增长速度．( ) (4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏 常见误区| (1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错； (3)分段函数模型的分并把握不准． 1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x ) D ．f (x )>h (x )>g (x ) 解析：选B ．由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B ． 2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表， 则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x 解析：选D ．根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意． 3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0 高中数学：函数模型及其应用 高中数学：函数模型及其应用 函数是高中数学的重要内容之一，它贯穿了整个高中数学的学习过程。函数模型的应用在解决实际问题中也发挥着重要的作用。本文将介绍函数模型的概念、类型和特点，并探讨函数模型在高中数学中的应用。 一、函数模型的概念和类型 函数模型是指根据实际问题的需求，将变量之间的关系用数学函数来描述，从而建立数学模型。函数模型可以描述变量之间的依存关系，揭示事物发展的规律。在高中数学中，常见的函数模型包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。 二、函数模型的特点 1、函数模型的图像特征：不同的函数模型有着不同的图像特征，如 幂函数的图像呈现为直线或曲线，指数函数的图像呈现为单调递增或递减等。掌握这些图像特征对于理解函数模型有很大的帮助。 2、函数模型的性质：不同的函数模型有着不同的性质，如奇偶性、 单调性、周期性等。了解这些性质有助于我们更好地理解和应用函数模型。 3、函数模型的应用：函数模型可以应用于解决实际问题中，如描述 经济增长、人口变化、电路电流变化等现象。通过建立适当的函数模型，我们可以对实际问题进行定量的分析和预测。 三、函数模型在高中数学中的应用 1、在方程和不等式中的应用：函数模型可以用于解决方程和不等式 问题。例如，通过构造函数模型，我们可以将方程或不等式问题转化为求函数零点或最值的问题。 2、在数列中的应用：数列是一种特殊的函数，通过构造函数模型， 我们可以将数列问题转化为求解函数的问题。例如，通过构造函数模型，我们可以研究等差数列和等比数列的通项公式和前n项和等性质。 3、在概率统计中的应用：函数模型在概率统计中也有广泛的应用。 例如，通过构造函数模型，我们可以描述正态分布、二项分布、泊松分布等概率分布的规律。 四、总结 函数模型是高中数学中的重要内容，它具有广泛的应用价值。通过对函数模型的学习，我们可以更好地理解变量之间的关系，掌握事物发展的规律。通过将实际问题转化为函数模型，我们可以对实际问题进行定量的分析和预测。因此，在高中数学的学习中，我们应该加强对函数模型的理解和应用，提高解决实际问题的能力。 §2.9 函数模型及其应用 考纲解读 分析解读 1.利用函数与不等式、数列、解析几何、导数等知识,将实际问题转化为数学模型来解决,考查综合分析问题、解决问题的能力.2.命题多以二次函数、指数函数、分段函数为模型,考查建模的能力.3.在高考中本节分值为5分或12分,难度中等. 五年高考 考点 函数模型及其应用 1.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案 B 2.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 3.(2014湖南,8,5 分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. - C. D. -1 答案 D 4.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 24 高一数学上册《函数模型及其应用》知识点归纳新人教版 高一数学上册《函数模型及其应用》知识点归纳新人教版 1.抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量; 2.建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式; 3.求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是： 例1.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b 解：设四边形EFGH的面积为S， 则S△AEH=S△CFG=x2, S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x)， ∴S=ab-22+(a-x)(b- =-2x2+(a+b)x=-2(x- 由图形知函数的定义域为{x|0 又0 则当x=时，S有最大值 若>b,即a>3b时， S(x)在(0,b]上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为 -2(b-)2+=ab- 综上可知，当a≤3b时，x=时， 四边形面积 当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab- 变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值. 解：设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10+x)(100-10x)元， 进货总额为8(100-10x)元， 显然100-10x>0,即x则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元 例2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴 的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时，求s的值 (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 高一数学必修1同步练习第三章 第二节函数模型及其应用 一. 教学内容： 函数模型及其应用 二. 重点、难点： 利用函数解决实际问题 1. 将实际问题抽象为具体函数 （1）确定x ，通常为自由变化的量 （2）确定y ，通常为所求的值 （3）建立函数关系)(x f y =，通常利用一些实际定义 例如：利润=销售额－成本销售额=单价×数量 面积公式：距离=速度×时间等 （4）确定函数的定义域 2. 利用函数相关内容，解决数学问题 【典型例题】 [例1] 某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。 （1）定价元时，日销售额最大为。 （2）定价元时，日利润最大为。 解：设定价x 元，日销售为y 元 ∴]10)50(500[⋅--⋅=x x y x x 1000102+-= ∴50=x 时，25000max =y 元 （2）设定价x 元，日利润y 元 ]10)50(500)[40(⋅---=x x y 400001400102-+-=x x ∴70=x 时，9000max =y 元 [例2] A 地产汽油，B 地需汽油，只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返A 、B 两地所需油耗，故无法直接由A 运到B ，在A 、B 之间建立一个中转汽油库P ，从A 将油运至P ，再由P 运至B ，为使运油率最大。（运油率 地运出的油地收到的油A B =）P 的位置应满足AP= AB 。 解：设AB=1，)1,0(∈=x AP ，设A 地有油M 吨 由A →P ，P 地为)1(x -M 由P →B ，B 地为M x x )1(-⋅ ∴运油率41)21()1(22+--=+-=-=x x x M M x x y 函数模型及其应用 重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义． 考纲要求：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义； ②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用． 当堂练习： 1．某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（） A．8 B．112C．58 D．18 2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件2 3.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（） A．多赚5.92元B．少赚5.92元C．多赚28.92元D．盈利相同 3．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是 （）件(即生产多少件以上自产合算) A．1000 B．1200 C．1400 D．1600 4．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据． x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （） A．y=a+bX B．y=a+bx C．y=a+logbx D．y=a+b/x 5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0 12函数模型及其应用 1.七类常见函数模型 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 5．解函数应用题的一般步骤 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 2．建模的基本原则 (1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解． (2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决． (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． 高一数学必修一教案《函数模型及其运用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地， 不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大 家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习 有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的 机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的 运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上 刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决进程中， 学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知 道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能 导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立 与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提 炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单 的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。由于建立函数模型离不开 函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会 用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实 际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。在这 个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可 操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有 条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程. (2)了解函数模型的广泛运用 高一数学必修1 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解解实际应用题的一般步骤； 2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 【精典范例】 例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x << 点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义． 例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式. 分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本). 【解】总成本与总产量的关系为 2000.3,C x x N *=+∈. 单位成本与总产量的关系为 200 0.3,P x N x *= +∈. 销售收入与总产量的关系为 0.5,R x x N *=∈. 利润与总产量的关系为 0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ． 例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意， 当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-⨯=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为 []226,0,1144,(11,) x x y x ⎧-∈⎪ =⎨ -∈+∞⎪⎩； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为 226 3.51y =-⨯=C ， 12x km =处的气温为44C -． 点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题． 追踪训练一 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企 函数模型及其应用 ‖知识梳理‖ 1．几种常见的函数模型 | 微点提醒| 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 2．充分理解题意，并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． 3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． ‖易错辨析‖ 判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．(×) (2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(√) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√) (4)不存在x0，使ax0 x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 C ．指数函数模型 D ．对数函数模型 解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型． 2．(教材改编题)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( ) 答案：B 3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1 2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个 月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件 D ．9万件 解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－1 2(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x ) 有最大值． 4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 0.5x ，0 数学教学中渗透法制教育教案 2.6 函数模型及其应用 Ⅰ.教学目标： 1.知识目标： (1)、掌握函数应用题的一般解题步骤 . (2)、了解函数模型的意义. 3. 法制教育目标： (1)、《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条. (2)、《中华人民共和国人口与计划生育法》第一条、第二条、第九条. Ⅱ.重难点： 把实际问题转化为函数模型. Ⅲ.教具：多媒体 Ⅳ.教学方法：学导式 Ⅴ.探究过程： （2011山东威海月考）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,例1、 在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25％的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_______小时才能开车。(精确到1小时） 解：设至少经过x小时才能开车。由题意得 0.3≈5 0.3（1-25％）x≤0.09所以0.75x≤0.3，x≥log 75 .0 答：至少5个小时后才能开车。 为了减少酒驾带来的安全隐患，我国制定了相关法律条文。 《中华人民共和国道路交通安全法》 第九十一条饮酒后驾驶机动车的，处暂扣一个月以上三个月以下机动车驾驶证，并处二百元以上五百元以下罚款；醉酒后驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下机动车驾驶证，并处五百元以上二千元以下罚款。 例2、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2％，试解答以下问题：（1）、写出该城市人口总数y(万人)与年份x（年）的函数关系式； （2）、计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人）； （3）、计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年）？ 解：（1）1年后该城市人口总数为y = 100 + 100 × 1.2％= 100 × (1+1.2％). 2年后该城市人口总数为y = 100 ×(1+1.2％)+100 ×(1+1.2％)×1.2％=100 ×(1+1.2％)2 3年后该城市人口总数为y =100 ×(1+1.2％)2+100 ×(1+1.2％)2×1.2％=100 ×(1+1.2％)3…… 所以该城市人口总数y(万人)与年份x（年）的函数关系式y = 100 × (1+1.2％)x （2）、10年后该城市人口总数 100 × (1+1.2％)10≈112.7（万） （3）、设x年后该城市人口将达到120万人，即 1.2≈15.3≈15(年） 100 × (1+1.2％)x≥120所以x≥log .1 012 答：略. 为控制人口数量，提高人口素质，我国制定了相关法律条文。 《中华人民共和国人口与计划生育法》 第一条为了实现人口与经济、社会、资源、环境的协调发展，推行计划生育，维护公民的合法权益，促进家庭幸福、民族繁荣与社会进步，根据宪法，制定本法。 第二条我国是人口众多的国家，实行计划生育是国家的基本国策。 国家采取综合措施，控制人口数量，提高人口素质。国家依靠宣传教育、科学技术进步、综合服务、建立健全奖励和社会保障制度，开展人口与计划生育工作。 第九条国务院编制人口发展规划，并将其纳入国民经济和社会发展计划。 县级以上地方各级人民政府根据全国人口发展规划以及上一级人民政府人口发展规划，结合当地实际情况编制本行政区域的人口发展规划，并将其纳入国民经济和社会发展计划。归纳总结： 一般的应用题的求解方法步骤：1）、合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）、用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.解答函数应用题的一般过程是： 解 实际解答 数学结果 Ⅵ.课后作业：35页针对训练。 第15讲函数模型及其应用 ➢考点1 利用函数图象刻画实际问题 [名师点睛] 判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． [典例] 1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是() 2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律() A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝ma x＋n(m>0,0函数模型及其应用
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