2020届高中数学：分段函数模型
1. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图①中的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图②中的抛物线段表示．
(1)写出图①表示的市场售价与上市时间的函数关系P ＝f (t )，写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/公斤，时间单位：天)
解：(1)由题图①可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩
⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300. 由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系为g (t )＝1200
(t －150)2＋100，0≤t ≤300. (2)设上市时间为t 的西红柿纯收益为h (t )，
则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，
即h (t )＝⎩
⎨⎧－t 2200＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－t 2200＋72t －1 0252
，200＜t ≤300， 当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；
当200 (t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间(200，300]上的最大值87.5. 由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大． 【点拨】(1)实际问题的情况是复杂的，许多实际问题要使用分段函数模型求解．(2)解分段函数模型要注意定义域区间的分界点．(3)含有参数的实际应用题要注意分类讨论． 2. (2017·河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：(1)设旅游团人数为x 人，由题得0＜x ≤75，飞机票价格为y 元， 则y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －30），30＜x ≤75， 即y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75. (2)设旅行社获利S 元， 则S ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x （1 200－10x ）－15 000，30＜x ≤75， 即S ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75. 因为S ＝900x －15 000在区间(0，30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30，75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000. 故每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润． 2020届高中数学：分段函数模型 1. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图①中的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图②中的抛物线段表示． (1)写出图①表示的市场售价与上市时间的函数关系P ＝f (t )，写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )； (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/公斤，时间单位：天) 解：(1)由题图①可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300. 由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系为g (t )＝1200 (t －150)2＋100，0≤t ≤300. (2)设上市时间为t 的西红柿纯收益为h (t )， 则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )， 即h (t )＝⎩ ⎨⎧－t 2200＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－t 2200＋72t －1 0252 ，200＜t ≤300， 当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200 专题2.1 函数的概念 【考试要求】 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 【知识梳理】 1.函数的概念 设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈ A. 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【微点提醒】 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ) 2020中考复习——分段函数专题训练（一） 班级：___________姓名：___________ 得分：___________ 一、选择题 1.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行， 按时赶到了学校.如图所示图象描述了他上学的情景，下列说法中错误的是()． A. 修车时间为13min B. 自行车发生故障时离家距离为1000m C. 学校离家的距离为2000m D. 到达学校时共用时间20min 2.5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川 灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是() A. B. C. D. 3.小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按 时赶到了学校.右图描述了他上学的情景，下列说法中正确的个数为() (1)学校离家的距离为2000米 (2)到达学校时共用时间20分钟 (3)修车时间为15分钟 (4)自行车发生故障时离家距离为1000米 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 .他估计步行不能准时到达，于是改4.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的1 4 乘出租车前往考场．这名考生的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1)，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了() A. 26分钟 B. 24分钟 C. 20分钟 D. 16分钟 5.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙 港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结 论错误的是() A. 轮船的速度为20千米/时 B. 快艇的速度为40千米/时 C. 轮船出发3.9小时后与快艇相遇 D. 快艇比轮船早到2小时 6.下图①是某一数值转换流程图，图②是反映图①中y与x函数关系的图象： 根据如上的流程图，若想输出y=9，则输入x的值为() 3．4 函数的应用(一) 课程标准 (1)了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(2)能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 新知初探·课前预习——突出基础性 要点常见的函数模型 助学批注 批注❶在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．可利用配方法、换元法、单调性法等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．批注❷建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( ) (2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( ) (3)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．( ) (4)在实际问题中，若变量间的对应关系不能用一个关系式给出，则需构建分段函数模型．( ) 2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A.200副B．400副 C.600副D．800副 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A.45.606万元B．45.6万元 C.45.56万元D．45.51万元 4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝ {4x，(1≤x＜10，x∈N∗) 2x+10,(10≤x＜100，x∈N∗) 1．5x,(x≥100，x∈N∗) 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________． 题型探究·课堂解透——强化创新性 题型 1 一次函数、二次函数模型 例1 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)． 第二节函数模型及其应用第一课时 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣． 重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同． 教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 作者：林大华 导入新课 思路1.(事例导入) 一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2.(直接导入) 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异． 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数. ②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数. ③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数. ④分别用表格、图象表示上述函数.,⑤指出它们属于哪种函数模型. ⑥讨论它们的单调性. ⑦比较它们的增长差异. ⑧另外还有哪种函数模型与对数函数相关. 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． ①总价等于单价与数量的积． ②面积等于边长的平方． 3.4函数的应用(一) 【素养目标】 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象) 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模) 【学法解读】 1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题． 必备知识·探新知 基础知识 知识点1一次函数模型 形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0. 知识点2二次函数模型 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x＋b 2a) 2＋ 4ac－b2 4a(a≠0)． (3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 知识点3幂函数型模型 (1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)． (2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 基础自测 1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(B) A．30元B．45元 C．54元D．越高越好 [解析]设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60， 将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450 ， 所以当x ＝ 45时，日销售利润最大． 2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地． (1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数； (2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值． [解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，x ∈[0，52]，150，x ∈(52，72]， 150－50(x －72)，x ∈(72，132 ]. (2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝92 时汽车距离A 地100千米． 关键能力·攻重难 题型探究 题型一 一次函数模型 例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50 元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？ [分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x 份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x ≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x ×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x －250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x －250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域． [解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x ≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得： y ＝0.5x ×20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35x ×30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]． 高一分段函数知识点总结 分段函数是高中数学中的重要内容，它在应用题中常常能够帮助我们建立正确的数学模型，解决实际问题。下面是对高一分段函数知识点的总结。 1. 分段函数的定义 分段函数由定义域的不同范围内的多个子函数组成，每个子函数的定义域是不重叠的，它们只在各自的定义域内有效。 2. 分段函数的表示方法 分段函数可以用解析式、表格和图像三种方式表示。 解析式表示：f(x) = {f1(x), a ≤ x ≤ b; f2(x), c ≤ x ≤ d; ...} 表格表示：在一张表格中列出各个子函数的定义域和函数值。 图像表示：在坐标系中绘制出各个子函数的图像。 3. 分段函数的性质 分段函数的性质包括奇偶性、单调性、最值等。要根据具体的子函数来分析其性质。 奇偶性：如果子函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该子函数是偶函数；如果子函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该子函数是奇函数；否则为非奇非偶函数。 单调性：对于定义域内部的某个子函数，如果$f'(x)>0$，则该子函数在该区间上是递增的；如果$f'(x)<0$，则该子函数在该区间上是递减的。 最值：要求分段函数取得最大值或最小值，需要分别分析各个子函数的最值，并比较它们之间的大小。 4. 分段函数的应用 分段函数在实际问题中的应用非常广泛。以下列举几个常见的应用： (1) 阶梯函数：描述单位价格不同的商品数量与费用之间的关系。在一定范围内的商品数量对应一个固定的价格，超过该范围则需要按照不同的价格计算。 (2) 温度转换：将摄氏温度转换为华氏温度或开尔文温度。 (3) 隶属度函数：用于模糊逻辑和模糊集合，描述某个元素对于某种属性或事物的隶属程度。 (4) 门函数：在数字电路中，描述逻辑电平之间的转换关系。 5. 分段函数的解析式的求法 当已知分段函数的表达式或图像时，可以根据具体情况，通过以下几种方法求出分段函数的解析式： 2020届高考数学命题猜想 函数与方程﹑函数模型及其应用1 【考向解读】 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保 证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此 时满足 ，即 ，故选C. 【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）( ) 0,1. （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知， () f x 至多有一个零点. （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， () f x 取得最小值，最小值为. ①当1a =时，由于 ，故 () f x 只有一个零点； ②当 () 1,a ∈+∞时，由于，即，故 () f x 没有零点； 高中数学例题：分段函数 例 1.设函数f(x)= x-3,x_10O, 求89). J[f (x+5)], xclOO, 【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换• 【答案】:98 【解析】 f(89) =f(f(94)) =f(f(f(99))) = f(f(f(f(104))))=f(f(f(101))) = f(f (98)^f (f (f (103)))= f (f(100)) = f(97) =f(f(102)) =f (99) = f(f (104)) =f(101)=98. 【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函 数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题, 分段解决. 例2 .如图所示，等腰梯形ABCD的两底分 另"为AD =2a, BC= g Z BAD=45，作直线MN _ AD交 AD于M，交折线ABCD于N .设AM二x,试将梯形 ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数. 【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式y=f(x)，这 样就需准确揭示x,y之间的变化关系.依题意，可知随着直线MN的移动，点N分别落在梯形ABCD的边AB、BC及CD边上，有三种情况，所以需要分类解答• >2(0兰X 今 2 2 2 【答案】yy^x —ia^^a) 2 8 2 2 1 2 丄c 5 2/3 —x +2ax —a (-a ex 兰2a) 2 4 2 【解析】 作BH _AD , H 为垂足，CG _ AD , G 为垂足，依题意，则有 a 3 AH , AG a, . A = . D =45° 2 2 ⑵当 M 位于点H 、G 之间时，由于AM =X ，AH =2，BN =V ， (3)当M 位于点G 的右侧时, 由于 AM =x,DM =MN =2a -x. 2 3a 1 2 2、 (4 a 4ax x ) 4 2 = -1 x 2 2ax -5a 2(3a :::x 乞2a) 2 4 2 ”(0兰x 兰号) 2 2 2 综上有 y = 1 ax (-：：x _ 3 a) 2 8 2 2 」x 2 +2ax-5a 2(3a 专题04 函数模型 【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+， 其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 C 将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解. ()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t K I t K e **--==+，则()0.235319t e *-=， 所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23 t *≈+≈. 故选：C. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用． 【命题规律】高考近几年对这部分的考查较少，根据知识点的难度，如果明年仍然考查这一考点，估计考查形式为选择题或填空题． 【答题模板】应用问题的解法 解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，其一般步骤为： (1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系； (2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型； (3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论； (4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答． 【方法总结】 1．解答数学应用题的关键有两点： 第2课时 分段函数及映射 1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、难点) 2．了解映射的概念．(易混点) [基础·初探] 教材整理1 分段函数 阅读教材P 21例5、例6～P 22第一段，完成下列问题． 如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x ＋3，x<－1， x2，－1≤x≤1， x ，x>1， 则f (f (f (－2)))＝________. 【解析】 因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，又－1≤－1≤1，所以f (f (－2))＝f (－1)＝(－1)2＝1，又因为－1≤1≤1，所以f (f (f (－2)))＝f (1)＝12＝1. 【答案】 1 教材整理2 映射 阅读教材P 22第二段～P 23“思考”，完成下列问题． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数都是映射，映射不一定都是函数．( ) (2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应．( ) (3)从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射．( ) 【解析】(1)√.当映射中的集合是数集时，该映射就是函数，否则不是函数． (2)×.映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”． (3)×.从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射． 【答案】(1)√(2)×(3)× [小组合作型] (1) ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x； ②A＝R，B＝R，f：x→1 x； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．其中是A到B的映射的是( ) A．①③B．②④ 2020届高中数学：分段函数 例题： (1)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1. 若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.12 (2)(2016·江南十校)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧3＋log 2（x －1），x ＞0，x 2－x －1，x ≤0， 若f (a )＝5，则a 的取值集合为( ) A ．{－2，3，5} B ．{－2，3} C ．{－2，5} D ．{3，5} (3)(2017·南京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0， 则不等式f (x )≥－1的解集是________． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32 时，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝3⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78，不合题意舍去．若52－b ≥1，即b ≤32，则2 52 -b ＝4，解得b ＝12 ，符合题意．故选D . (2)令3＋log 2(a －1)＝5，得a ＝5，令a 2－a －1＝5，得a ＝3(舍)或a ＝－2，故a ∈{－2，5}．或由f (－2)＝(－2)2－(－2)－1＝5，f (3)＝3＋log 22＝4，f (5)＝3＋log 24＝5，所以排除A ，B ，D.故选C . (3)当x ≤0时，由题意得x 2 ＋1≥－1，解得－4≤x ≤0. 当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解得0 【新教材】3.1.2 函数的表示法（人教A 版） 1、明确函数的三种表示方法； 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念. 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 1. 预习导入 阅读课本67-68页，填写。 1．函数的表示法 2.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是． [点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 1，－2≤x ≤0， x ，0＜x ≤3， 其“段”是不等 长的． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．( ) (2)函数f (x )＝2x ＋1不能用列表法表示．( ) (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( ) (4)分段函数由几个函数构成．( ) (5)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤1， －x ＋3，x >1 是分段函数．( ) 2.函数y ＝f (x )的图象如图，则f (x )的定义域是( ) A ．R B ．(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(－1,0) 3．已知反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，f (x )的解析式为________． 题型一 函数的定义 例1某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 跟踪训练一 1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． 课题：二次函数与分段函数 目标要求 1． 了解简单的分段函数，并能简单应用． 2． 利用二次函数图象及性质解决一元二次方程和一元二次不等式的问题． 知识原理 1． 二次函数的解析式通常有如下形式： （1） 一般式：y =ax 2 ＋bx ＋c ； （2） 顶点式：y =a (x －h )2 ＋k （3） 零点式：y =a (x －x 1)(x －x 2) 上述各式中均有a ≠0． 2． 二次函数的零点是对应的一元二次方程的根，也是对应的一元二次不等式的解的“界”． 3． 当二次函数的解析式为上述的一般式时， （1） 对称轴为x =－ a b 2 （2） 顶点为(－a b 2，a b a c 442 -) （3） 当a ＞0时，y min =a b ac 442-，当a ＜0时，y max =a b a c 442 -． 4． 一个分若干种运动变化状态的现象，或不连续变化事物的性质的描述，通常采用分段函数这个数学模 型． 例题分析 例1 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A ，B ，C ，D 四个维修点某种配件50件．在使用前发现需要将A ，B ，C ，D 四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，求最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）． 例2 在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，由点B （起点）向 点A （终点）移动，设点P 移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ． （1） 求△ABP 的面积与点P 移动的路程间的函数关系式y =f (x )； x P D B A 第2课时分段函数 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数. 2.给出分段函数，能研究有关性质. 知识点分段函数 0，1，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元思考集合A＝R，B＝{} 素1，这一对应是函数吗？ 答案是，因为符合函数定义． 梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(×) 2．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(×) 3．分段函数的图象一定是不连续的．(×) 类型一建立分段函数模型 例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为22，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 考点分段函数 题点求分段函数解析式 解过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2， 又BC ＝7，所以AD ＝GH ＝3. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝1 2x 2； (2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时， y ＝x ＋x －22 ×2＝2x －2； (3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－1 2(7－ x )2 ＝－1 2 ×(x －7)2＋10. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧ 12 x 2 ，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]， －12(x －7)2 ＋10，x ∈(5，7]. 图象如图所示： 第9讲函数模型及其应用 1．几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋b x＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝b a x＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝b log a x＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 y＝a x(a>1) 增函数 越来越快 y＝log a x(a>1) 增函数 越来越慢 y＝x n(n>0) 增函数 相对平稳图象的变化 随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x 轴接近平行轴接近平行 随n值变化而不同 导师提醒 1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 2．关注解决函数应用问题应注意的3个易误点 (1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错． (2)解应用题建模后一定要注意定义域． (3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．() (2)不存在x ，使ax 20１8版高考数学考点04 分段函数试题解读与变式 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２0１8版高考数学考点０4 分段函数试题解读与变式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为201８版高考数学考点04 分段函数试题解读与变式的全部内容。 考点4 分段函数以及应用 一、知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: (1)分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。 （２)分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. (３)分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实,而且横坐标相同之处不可有两个以上的点. (4）分段函数的求值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 (５)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇（偶）函数,再由-<０ ,分别代入各段函数式计算) x>0,x f＝) (x f- (x -,当x＝0有定 (x f与) (x f-的值，若有) 义时0 f-，则) (x (x f是偶函数. f,则) )0(= (x f是奇函数；若有f（x）=) (６)分段函数的单调性:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题。 (7)分段函数的周期性:对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决。 （8)分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止. (9)分段函数的最值:先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值,或利用图像求最值. (１０)求分段函数某条件下自变量的范围:先假设所求的解在分段函数定义域的各段上,然后相应求出在各段定义域上的范围,再求它们并集即可. （１１)分段函数的不等式问题:利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题,解出各个不等式组的解集,其并集就是所求不等式的解集。 (12）分段函数的解析式:利用待定系数法,求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围. 2。命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点,主要考查分段函数求值、分段函数值域 2020届上海市青浦区高三二模数学试题 一、单选题 1．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当0b ≥时，一定有20a b +≥，而20a b +≥时，不一定有0b ≥，从而可得结论 【详解】 解：因为20a ≥，0b ≥，所以20a b +≥， 当20a b +≥时，若2,3a b ==-满足条件，但0b ≥不成立， 所以“0b ≥”是“20a b +≥”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】 此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题 2．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B 【解析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数. 【详解】 依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项11a =，公比为2的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项112 b =，公比为1 2的等比数列.设n S 是前n 天两只老鼠打洞长度的 和. 第1天，111113 1,,1222 a b S == =+=； 第2天，222131152,,24244a b S == =++=； 第3天，333115163 4,,48488a b S ===++=； 第4天，441 8,16 a b ==，4S 显然大于8. 所以两鼠相逢需要的最少天数为4天. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题. 3．记椭圆22 1441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2)n n Ω=，当点(,)x y 分别在 12,, ΩΩ上时x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →∞ =（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．【答案】D 【解析】通过2 2 1441x ny n +=+ 的参数方程2cos x y θ θ=⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数）， 可得：()2cos x y θθθϕ+=+=+， 从而max ()x y +=， 求极限即可得解. 【详解】 椭圆22 1441 x ny n +=+的参数方程为： 2cos x y θθ=⎧⎪ ⎨=⎪⎩ （θ为参数） ， 所以：( )()2cos x y θθθϕθϕ+=++=+， 所以：max ()x y +=， 所以：lim lim n n n M →∞ ==故选：D. 高中数学-分段函数 1、设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作:A=(a1，a2，⋯，an).其中ai(i=1，2，⋯,n)称为数组A的“元”，S称为A的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=(a1，a2，⋯,an)为B=(b1，b2，⋯，bn)的子数组.定义两个组A(a1，a2，⋯，an)，B=(b1，b2，⋯，bn)的关系为C(A，B)=a1b1+a2b2+⋯+anbn. (Ⅰ)若A=(-12，12)，B=(-1，1，2，3)，设S是B的含有两个“元”的子数组，求C(A，S)的最大值； (Ⅱ)若A=(33，33，33)，B=(0，a，b，c)，且a2+b2+c2=1，S为B 的含有三个“元”的子数组，求C(A，S)的最大值. 2、定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1，2)∪[3，5)的长度d=2-1+5-3=3.用x表示不超过x的最大整数，记x=x-x，其中x∈R.设fx=x⋅x,gx=x-1，若用d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x)、方程fx=gx、不等式f(x)g(x)解集的长度，则当0≤x≤2021时，有（） A.d1=2，d2=0，d3=2021 B.d1=1，d2=1，d3=2021 C.d1=2，d2=1，d3=2009 D.d1=2，d2=2，d3=2008 3、已知函数fx=-x2+2ax,x≤1ax+1,x>1若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得fx1=fx2成立，则实数a的取值范围是___________. 4、某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部都有球台可供租用，使用球台的收费标准为：甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月收费，一个月中30小时以内（含30个小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时另收2元.张先生准备下月从这两家中的一家租一张球台进行乒乓球训练，其训练时间不少于15小时，但不超过40小时.请问张先生选择哪个俱乐部比较合算，为什么？2020届高中数学：分段函数模型
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