3.2函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
【知识提炼】
三种函数模型的性质
y=a x
(a>1)
y=log x(a>1)
y=x n
(n>0)
a
在(0,+∞)上
增函数
增函数 增函数
的增减性
_______
_______
图象的变化
随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近
随n 值而不同 趋势
与 y 轴 平行 似与 x 轴
平行
②存在一个x0,当x>x0时,有x n a
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x 提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x (2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义? 提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别 快,足以体现“爆炸”的效果. 2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是() A.y减少1个单位 B.y增加1个单位 C.y减少2个单位 D.y增加2个单位 【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位. 3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1 月份 利润的m倍,则m等于() A.(1.02)12 B.(1.02)11 C.(0.98)12 D.(0.98)11 【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故 m=(1.02)11. 4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快. 答案:y=3x 5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势. 【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度. 答案:幂函数或对数型 【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异 观察图形,回答下列问题: 问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的 变化趋势? 问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同? 【总结提升】 1.四类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型. 2.几类函数模型的选择 (1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y 是x的一次函数,一次函数的图象为直线. (2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次 函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域. (3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减 率、利息等现实生活联系紧密. 【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关 (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. 【题型探究】 类型一几类函数模型的增长差异 【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表: 关于x呈指数函数变化的变量是. 2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分 界点). 【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的 是哪一组? 提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快. 2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义 是什么? 提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲 人教版高中数学知识与巩固·几类不同增长的函数模型（基础） 【学习目标】 1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义． 3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓． 【要点梳理】 要点一：几类函数模型的增长差异 一般地，对于指数函数(1)x y a a =>和幂函数(0)y x α α=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比 a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α 的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α ．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样， 尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α 的增长，因此总存在一个0x ，当 0x x >时，就会有log a x x α<． 综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)x y a a =>、(0)y x α α=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它 们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x α α=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当 0x x >时，就有log .x a x x a α<< 三类函数模型增长规律的定性描述： 1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示： 要点诠释： 当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快． 要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型 若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模． 常用的函数模型有以下几类： （1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<． （2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2 (0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2 (0)y ax bx c a =++>． （3）指数函数模型 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 §3.2.1 几类不同增长的函数模型 【学习目标】 1.认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长。 2.应用函数模型解决简单问题。 【预习提纲】 1.请你在同一直角坐标系中做出三个函数x y 2=，2 x y =，x y 2log =的图象。 观察：在图中分别标出使不等式2 22log x x x <<，x x x 2log 2 2<<成立的自变量x 的取值范围。 我们知道，对数函数)1(log >=a x y a ，指数函数 与幂函数 在区间),0(+∞上都是增函数，这三类函数的增长有差异吗？结合上面的图像进行探究。 2.三个变量321,,y y y 随着变量x 的变化情况如下表： 则与x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ） A. 321,,y y y B. 312,,y y y C. 123,,y y y D. 213,,y y y 3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂 成 。 y O x 4.假设银行1年定期的年利率为%2。某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01万元） 。 【例题精讲】 例1. 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随x 的变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率%25.2，试计算5期后的本利和是多少？ 例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的%25.现有三个奖励模型：x y x y x y 002.1,1log ,25.07=+==，其中哪个模型能符合公司的要求？ 高中数学《几类不同增长的函数模型》说课稿 一、教材分析 《几类不同增长的函数模型》是高中数学课程中的重要内容之一。该内容主要介绍了指数函数、幂函数和对数函数三种不同增长方式的函数模型。 在教学过程中，本节内容主要涉及以下几个方面： 1.指数函数：介绍指数函数的基本概念，以及指数函数的图像、性质和应用。 2.幂函数：介绍幂函数的基本概念，以及幂函数的图像、性质和应用。 3.对数函数：介绍对数函数的基本概念，以及对数函数的图像、性质和应用。 4.三种函数模型的比较：通过对指数函数、幂函数和对数函数的增长方式的比较，使学生能够理解不同函数模型的特点和应用场景。 通过该节内容的学习，可以帮助学生深入理解函数与函数模型的概念，培养学生的数学思维和推理能力，为后续学习提供基础。 二、教学目标 1.知识与技能：了解指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用，能够运用所学知识分析和解决实际问题。 2.过程与方法：培养学生的观察能力和数学建模能力，引导学生发现问题、分析问题、解决问题的方法。 3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，培养学生合作意识和探究精神。 三、教学重难点 1.教学重点：指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用。 2.教学难点：如何引导学生理解不同函数模型的特点和应用场景。 四、教学过程 1. 导入引入（5分钟） 首先，引入本节课的主题，通过一个生活案例，让学生了解函数与函数模型的重要性。例如：假设有一个人的财富增长的速度可以用一个函数来表示，让学生思考财富增长速度与人们的人生选择有怎样的关系。 2. 知识讲解与示例分析（25分钟） 2.1 指数函数 首先，介绍指数函数的定义和图像，并通过一些具体的例子，让学生理解指数函数的性质和应用。例如：讲解指数函数的增长趋势和应用于科学计算领域的案例。 2.2 幂函数 然后，介绍幂函数的定义和图像，并通过一些实际问题的分析，让学生理解幂函数的性质和应用。例如：讲解幂函数在物理学、化学等领域中的应用。 2.3 对数函数 接着，介绍对数函数的定义和图像，并通过一些实际问题的分析，让学生理解对数函数的性质和应用。例如：讲解对数函数在生物学、经济学等领域中的应用。 3. 三种函数模型的比较（15分钟） 在掌握了指数函数、幂函数和对数函数的基本概念后，引导学生比较这三种函数模型的特点和应用场景。通过给出一些具体问题，让学生能够理解不同函数模型的增长方式。例如：比较指数函数的速度增长与幂函数的速度增长，以及对数函数的抑制和放大作用。 4. 拓展应用（20分钟） 在掌握了基本的函数模型后，引导学生探索更多的应用。例如：让学生寻找一些实际问题，并运用所学的函数模型进行分析和解决。 5. 总结与反思（5分钟） 对本节课的内容进行总结，并通过提问和讨论，让学生回顾所学知识，并进行思考和反思。 几类不同增长的函数模型（第一课时） 一、三维目标 （一）知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．(二)过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数等），了解函数模型的广泛应用． (三)情感、态度与价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识. 二、教学重点 将实际问题转化为函数模型，一次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 三、教学难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题． 四、教具准备 多媒体课件、与教材内容相关的资料 五、教学方法 启发式与探究式相结合 七、教学过程 （一）创设情境： （视屏片段一）：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于08年元旦开张，生意蒸蒸日上。第一个月营业额达到100万，第二个月达到了150万. 试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？ 设计意图：通过卡通视屏引出话题，增加学生的学习兴趣，活跃课堂的氛围. （二）组织探究： 问题1：你觉得第三个月的营业额是多少？ 设计意图：学会将实际问题转化为数学模型.分析其中的数量关系，得出所要寻找的是过点()()5.1111，、， 且在* ∈N x 上单调递增的函数模型 问题2：进入高中以来，我们所学的函数中，哪些是符合在* ∈N x 上单调递增？ 设计意图：比较自然地引导学生给出一次函数，指数函数，对数函数，幂函数. 问题3：上述函数模型是否满足过点()()5.1111，、， ？ 设计意图：引导学生思考，通过讨论。老师对所给出的函数进行结构上的优化，从而建立符合题意 的函数模型. 问题4：结合excel 表格，你能分析出个模型增长的差异吗？ 月份 y=a x+b y=ma x +b y=ax α+b y=mlog a x+b 1 1 1 1.000 1.000 2 1.5 1.5 1.500 1.500 3 2 2.5 2.857 1.792 4 2.5 4.5 5.500 2.000 5 3 8.5 9.857 2.161 6 3.5 16.5 16.357 2.292 7 4 32.5 25.429 2.404 几类不同增长的函数模型（2课时）引言 在数学中，函数是描述事物之间关系的一种工具。函数模型是数学中对实际问题进行建模的一种方法。对于不同的实际问题，可以使用不同类型的函数模型来描述其增长规律。本文将介绍一些常见的函数模型，并讨论它们的特点和应用。 1. 线性函数模型 线性函数模型是最简单的函数模型之一。线性函数的图像是一条直线，其特点是增长速度恒定且一致。线性函数模型可以用来描述一些简单的增长规律，如常速行驶的汽车行驶距离与时间的关系。 线性函数的一般形式为：y=mx+b，其中m表示斜率（即增长速度），b 表示截距（即初始状态）。斜率决定了线性函数的斜率方向和增长率，截距决定了线性函数与y轴的交点。 线性函数模型在实际应用中非常广泛，例如在经济学中可以用来描述收入和消费之间的关系，在物理学中可以用来描述物体运动的速度和时间之间的关系等。 2. 指数函数模型 指数函数模型是一种快速增长的函数模型。指数函数的图像呈现指数增长的特点，即增长速度随着自变量的增大而迅速加快。指数函数模型常用来描述人口增长、细菌繁殖等快速增长的现象。 指数函数的一般形式为：y=ab x，其中a表示初始状态，b（b>1）表示增 长因子。指数函数的增长率与自变量指数相关，指数越大增长速度越快。 指数函数模型在实际应用中有着广泛的应用，例如在金融学中可以用来描述复利计算，在生态学中可以用来描述物种数量的增长等。 3. 对数函数模型 对数函数模型是指数函数模型的逆运算。对数函数的图像呈现递减的特点，即增长速度随着自变量的增大而逐渐减慢。对数函数模型常用来描述资源消耗、人口减少等递减的现象。 对数函数的一般形式为：$y = a \\log_b x$，其中a和b（b>1）均为正常数。对数函数的增长率与自变量的对数成正比，对数越大增长速度越慢。 对数函数模型在实际应用中也有广泛的应用，例如在物理学中可以用来描述放射性物质的衰变，在经济学中可以用来描述边际效益递减的现象等。 4. 多项式函数模型 多项式函数模型是一类常见的函数模型，其图像呈现曲线的形状。多项式函数模型可以描述各种不同形状的函数，如二次函数、三次函数、四次函数等。 二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b和c均为常数。二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。 三次函数的一般形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c和d均为常数。三次函数的图像为一条渐近线（呈现 3.2。1 几类不同增长的函数模型（2） 图3—2-1-12 ③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方,y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16). ④不等式log2x<2x〈x2和log2x〈x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是（2，4)和(0， 2)∪(4,+∞）。 ⑤我们在更大的范围内列表作函数图象（图3—2-1—13)， x012345678 y= 1248163264128256 2x y=x 01491625364964 2 图3-2-1—13 容易看出:y=2x的图象与y=x2的图象有两个交 点（2，4）和（4，16），这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x 几类不同增长的函数模型〔第一课时〕 浙江省杭州第二中学詹爽姿一．内容和内容解析 本节是高中数学必修1〔人教A版〕第三章?函数的应用?的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长〔衰减〕差异的方法；感受数学建模的思想．对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点． 教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义． 在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及根本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种根本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步稳固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定根底，．因此本节内容，既是第二章根本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的根底，起着承前启后的作用. 本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想． 二．目标和目标解析 本节课的教学任务为： 〔1〕创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸； 〔2〕创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点； 〔3〕通过建立和运用函数根本模型，让学生初步体验数学建模的根本思想，开展学生的创新意识和数学应用意识. 根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为： 〔1〕通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义； 〔2〕通过恰当地运用函数的三种表示方法〔解析法、列表法、图象法〕，表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明； 〔3〕经历建立和运用函数根本模型的过程，初步体验数学建模的根本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力. 这局部内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数 模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法． 结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．三．教学问题诊断 几类不同增长的函数模型 【知识梳理】 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝x a(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝n x(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上． 随着x的增大，y＝x a(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝n x(n>0)的增长x(a>1)的增长速度则会越来越慢． 速度，而y＝log a 因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有log x 即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y ＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数y ＝n x (n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 【对点训练】 今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 ( ) A ．v ＝2log t B ．v ＝12 log t C ．v ＝t 2 －12 D ．v ＝2t －2 解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C. 题型二、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 【例2】 函数f(x)＝2x 和g(x)＝x 3 的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1 2021年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型当堂演练新人教版必修 1 1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( ) A．y＝50 B．y＝1000x C．y＝0.4·2x－1D．y＝ 1 1000 e x 答案：D 2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( ) A．300只B．400只 C．500只D．600只 解析：由已知第一年有100只，得a＝100. 将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300. 答案：A 3．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表： ) ①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1. A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．②④ 答案：B 4．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为______万件． 解析：由题意有⎩⎨⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ， 解得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2. ∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.75 5．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？ 解：设经过x 年后可以翻一番， 则有(1＋0.09)x ＝2，即1.09x ＝2. x ＝ lg2lg1.09≈0.30100.0374≈8.所以经过8年可以翻一番．37479 9267 鉧37757 937D 鍽22298 571A 圚30782 783E 砾34631 8747 蝇 27125 69F5 槵-Cu]U132399 7E8F 纏31228 79FC 秼 《几类不同增长的函数模型》教学设计 一．内容和内容解析 本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想． 对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义． 在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用. 本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．二．目标和目标解析 本节课的教学任务为： （1）创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸； （2）创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点； （3）通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识. 课时32 几类不同增长的函数模型(2) A ．y ＝10000x B ．y ＝log 2x C ．y ＝x 1000 D ．y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫e 2x 答案 D 解析 y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫e 2x 为指数函数，增长最快． 2．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12>lg x B ．2x >lg x >x 12 C ．x 12>2x >lg x D ．lg x >x 12 >2x 答案图答案 A 解析 如图所示，在同一坐标系中画出y ＝2x 和y ＝x 12及y ＝lg x 的图象观察当x ∈(0,1) 时，2x >x 12 >lg x ，故选A. 3．以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深h 与时间t 的函数关系是( ) 答案 B 解析水深h的增长速度越来越快． 4．有一组实验数据如下表所示： 下列所给函数模型较适合的是( ) A．y＝log a x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log a x＋b(a>1) 答案 C 解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C. 5．下列四种说法中，正确的是( ) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x＞0，x n＞log a x C．对任意的x＞0，a x＞log a x D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x n＞log a x 答案 D 解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a x＞x n＞log a x，但若去掉限制条件“a ＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D. 跟踪知识梳理 几类常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x )＝ax b +（a 、b 为常数，0a ≠） 反比例函数模型 f (x )＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型 f (x )＝2ax bx c ++（a 、b 、c 为常数，0a ≠） 指数型函数模型 f (x )＝x ba c +（a 、b 、c 为常数，0b ≠，0a >且1a ≠） 对数型函数模型 f (x )＝b lo g a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0， a ＞0且a ≠1) 幂函数型模型 f (x )＝n ax b +（a 、b 、n 为常数，0a ≠） 1.直线模型：即一次函数y kx b =+模型，0k >是增函数，增长特点是直线匀速上升。现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系、弹簧的伸长与拉力大小的关系等. 2.指数函数模型：指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数1>a ），形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力. 3.对数函数模型：对数增长的特点是随着自变量的增大（底数1>a ),函数值增大的速度越来越慢. 4.幂函数模型：幂函数在(0,)+∞上是增函数。指数越大，增长的越快。 核心能力必练 一、选择题 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 【答案】D 【解析】一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢． 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2 x x x >> 【答案】A 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =， ()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系 是( ) A ．()12f x x = B ．()2 2f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 【答案】D 【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是()42x f x =， 故选D. 4.西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ⎛⎫ =- ⎪⎝⎭ 3.2.1几类不同增长的函数模型（新人教版） 知识点一常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸． 3．对数函数模型 能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型 幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快． 知识点二指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较 1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．() (2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有log a x 3.2.1 几类不同增长的函数模型（1） ①y=x. ②y=x2. ③y=（1+5％)x, ④如下表 x123456 y=x123456 y=x2149162536 y= 1.05 1.01 1.16 1.22 1.281。34（1+5 ％)x 它们的图象分别为图3—2—1—1，图3-2-1—2，图3-2-1-3。 图3-2-1—1 图3—2—1-2 图 3—2—1-3 ⑤它们分别属于:y=kx+b（直线型),y=ax2+bx+c （a≠0,抛物线型），y=ka x+b（指数型)。 ⑥从表格和图象得出它们都为增函数. ⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=（1+5％）x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数。 ⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b，我们把它叫做对数型函数. 例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一：每天回报40元; 94009010102.451。2 1040010010204。8102。4 3040030010214748 364.8 107374 182.4 再作出三个函数的图象（3-2-1—4）。 图3—2—1—4 由表和图（3214）可知，方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二无法企及的。从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5～8天方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天,所得回报已超过2亿元。 下面再看累积的回报数。通过计算机或计算器列表如下: 1234567891011一48112024283364044 函数模型及其应用 3．2.1 几类不同增长的函数模型 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上． 随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢． 因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x [解析] 从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化． 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化． 从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．故填y 2. [答案] y 2 [活学活用] 1．有一组数据如下表： ( ) A ．v ＝log 2t B ．v ＝log 1 2 t 专题38 不同函数增长的差异 1.三种函数模型的性质 (1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． (2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． (3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快． (4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，a x会小于kx，但由于指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有a x>kx. (5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有log a x人教版高中数学知识与巩固·几类不同增长的函数模型(基础)
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