专题41 函数模型的应用1．常用函数模型
常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型y＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧ax＋b(x cx＋d(x≥m) 2．函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题． (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． 3．用函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)求模：求解函数模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 4．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． 题型一 函数模型的选择问题 1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B ．二次函数模型 C ．指数函数模型 D ．对数函数模型 [解析] 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A. 2．有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是( ) A ．u ＝log 2t B ．u ＝2t －2 C ．u ＝t 2－1 2 D ．u ＝2t －2 [解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示． 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C. 3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a >0且a ≠1)的模型的是( ) A ．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B ．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系 C ．如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系 D ．信件的邮资与其重量间的函数关系 [解析]A 中的函数模型是二次函数；B 中的函数模型是指数型函数；C 中的函数模型是反比例函数；D 中的函数模型是一次函数．故选B ． 4．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点．当点P 沿路线A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( ) [解析]由题意得，当0 2 x ； 当1 4； 当2 4 .结合各选项可知，A 选项符合题意． 5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？ [解析]借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图象(如图所示)，观察图象可知， 在区间[5,60]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x 的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在 y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求． 6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO 2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO 2浓度增加的单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)或函数g (x )＝a ·b x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，又知2018年大气中的CO 2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？ [解析]若以f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数， 则依题意，得⎩⎪⎨⎪ ⎧ p ＋q ＋r ＝1， 4p ＋2q ＋r ＝3， 9p ＋3q ＋r ＝6， 解得⎩⎨⎧ p ＝12 ，q ＝12， r ＝0. ∴f (x )＝12x 2＋1 2 x . 若以g (x )＝a ·b x ＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪ ⎧ ab ＋c ＝1， ab 2＋c ＝3， ab 3 ＋c ＝6. 解得⎩⎨⎧ a ＝83 ，b ＝32， c ＝－3. ∴g (x )＝83·⎝⎛⎭ ⎫32x －3. 利用f (x )，g (x )对2018年CO 2浓度作估算， 则其数值分别为f (4)＝10单位，g (4)＝10.5单位，∵|f (4)－16.5|>|g (4)－16.5|， 故g (x )＝83·⎝⎛⎭⎫32x －3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g (x )＝83·⎝⎛⎭⎫32x －3作模拟函数较好. 7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案的函数模型为f (x )，根据题目要求，写出f (x )满足的条件； (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①f (x )＝x 150 ＋2；②f (x )＝4lg x －2. 试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求． [解析] (1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是： 当x ∈[10,1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≥1恒成立；③f (x )≤x 5恒成立． (2)①对于函数模型f (x )＝x 150 ＋2： 当x ∈[10,1000]时，f (x )是增函数，且f (x )≥f (10)＝31 15≥1，即f (x )≥1恒成立， 而若使函数f (x )＝x 150＋2≤x 5在[10,1000]上恒成立，则29x ≥300在[10,1000]上恒成立． 又当x ＝10时，29x ＝29×10＝290<300，所以f (x )≤x 5在[10,1000]上不恒成立． 故该函数模型不符合公司的要求． ②对于函数模型f (x )＝4lg x －2：当x ∈[10,1000]时，f (x )是增函数，且f (x )≥f (10)＝4lg 10－2＝2≥1， 所以f (x )≥1在[10,1000]上恒成立． 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝4lg x －2和y ＝x 5 的图象，如图所示． 由图象可知当x ∈[10,1000]时，4lg x －2≤x 5 恒成立．故该函数模型符合公司的要求． 题型二 利用已知函数模型解决实际问题 1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( ) A ．300只 B ．400只 C ．600只 D ．700只 [解析]将x ＝1，y ＝100代入y ＝a l o g 2(x ＋1)得，100＝a l o g 2(1＋1)，解得a ＝100. 所以x ＝7时，y ＝100l o g 2(7＋1)＝300. 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A ．310元 B ．300元 C ．390元 D ．280元 [解析]由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300. 3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年． [解析]设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4,7)，所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11. 解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7， 所以有营运利润的时间不超过7年． 4．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y (km)与刹车时的速度x (km/h)的关系可以用y ＝ax 2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km ，则这辆车的行驶速度为________km/h. [解析]由题意得a ×602＝b ，解得a ＝b 3600，所以y ＝b 3600x 2.因为y ＝3b ，所以b 3600x 2 ＝3b ， 解得x ＝－603(舍去)或x ＝603，所以这辆车的行驶速度是60 3 km/h. 5．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． [解析]设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆， 所以总利润为S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋45.606(x ∈N *)． 所以当x ＝10时，总利润取得最大值，S max ＝45.6(万元)． 6．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10＜x ＜100，x ∈N ， 1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A ．15 B ．40 C ．25 D ．130 [解析]若4x ＝60，则x ＝15＞10，不符合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60， 则x ＝40＜100，不符合题意．故拟录用25人． 7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “可食用率”，在特定条件下，可食用率P 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系P ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟 [解析]依题意有⎩⎪⎨⎪ ⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ， 0.5＝25a ＋5b ＋c ， 解得a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2. 所以P ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542 ＋1316.所以当t ＝154 ＝3.75时，P 取得最大值． 即最佳加工时间为3.75分钟． 8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a e － kt ，新丸经过50天后，体积变为49A ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过________天． [解析]由题意，得49a ＝a e －50k ，解得e －25k ＝23.令a e －kt ＝8 27a ，即e －kt ＝⎝⎛⎭⎫233＝(e －25k )3＝e －75k ， 即需经过的天数为75. 9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e －0.25t 求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物 体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( ) A ．1.78 B ．2.77 C ．2.89 D ．4.40 [解析]由题意可知50＝10＋(90－10)e －0.25t ，整理得e －0.25t ＝1 2， 即－0.25t ＝ln 1 2 ＝－ln 2＝－0.693，解得t ≈2.77. 10．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋ b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．21小时 [解析]由题意，知⎩⎪⎨⎪ ⎧ 192＝e b ，48＝e 22k ＋b ，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ e b ＝192，e 11k ＝12.当x ＝33时， y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24(小时)． 11．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息． 哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元) [解析]按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元； 按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…， 5年后本息合计100×1.095≈153.86万元． 故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利. 12．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为 ( ) A ．125 B ．100 C ．75 D ．50 [解析]由已知，得49 a ＝a ·e －50k ，∴e － k ＝⎝⎛⎭⎫491 50 .设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则8 27 a ＝a ·e －kt 1， ∴ 827 ＝(e － k )t 1＝⎝⎛⎭⎫491 50t 1 ，∴t 150＝3 2 ，t 1＝75. 13．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)， 对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Ig I I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最 低声波强度)，设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( ) A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍 D ．ln 76 倍 [解析]依题意可知，η1＝10·lg I 1I 0，η2＝10·lg I 2I 0，所以η1－η2＝10·lg I 1I 0－10·lg I 2 I 0，则1＝lg I 1－lg I 2， 所以I 1 I 2 ＝10.故选B. 14．一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减． (1)求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) [解析] (1)最初的质量为500 g. 经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91； 经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t 年后，ω＝500×0.9t . (2)解方程500×0.9t ＝250，则0.9t ＝0.5，所以t ＝lg 0.5lg 0.9＝－lg 2 2lg 3－1≈6.6(年)， 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 15．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ －x 2＋4x ＋40(0 －3x ＋49(2 (1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？ (2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由． [解析] (1)当0 f (x )在(2,3]上单调递减，故当2 (2)当0 因此药物浓度在41.75以上的时间约为2.42－0.5＝1.92小时，∴撒放药物后，能够达到消毒要求． 16．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施． 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明； (2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？ [解析]设工厂每月生产x 件产品时，选择方案一的利润为y 1，选择方案二的利润为y 2，由题意知 y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30000＝24x －30000.y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x . (1)当x ＝3000时，y 1＝42000，y 2＝54000，∵y 1 17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的 温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝⎛⎭⎫ 12t h ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ [解析]先设定半衰期h ，由题意知40－24＝(88－24)×⎝⎛⎭ ⎫ 1220 h ，即14＝⎝⎛⎭⎫ 1220 h ， 解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝⎛⎭ ⎫ 12t 10 ， 当T ＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎫ 12t 10 ，即⎝⎛⎭ ⎫12t 10 ＝864＝18 ＝⎝⎛⎭⎫ 123 ，∴t ＝30. 因此，需要30 min ，可降温到32 ℃. 18．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋20(0 (t ∈N *) 设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0 [解析]设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ －t 2＋20t ＋800(0 t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *) ①当0 ②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 19．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－ t (t ≥0并且m ＞0)． (1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [解析] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝5 2 ， 令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝1 2 (舍去)， 此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m ·2t ＋2 2 t ≥2恒成立， 亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0 ≤14，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 题型三 自建确定性函数模型解决实际问题 1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( ) A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000) B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000) C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000) D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000) [解析]由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)． 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x － 1 C ．y ＝2x D ．y ＝2x ＋1 [解析]分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1 个． 3．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： A ．20元 B ．18元 C ．16元 D ．14元 [解析]每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)， 16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)． 4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. [解析] [设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 9，0 8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8， 由y ＝22.6，解得x ＝9. 5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3 4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是 ________(lg 2≈0.301 0)． [解析]设至少要洗x 次，则⎝⎛⎭⎫1－34x ≤1100，所以x ≥1lg 2≈3.322，所以需4次． 6．某种产品的年产量为a ，在今后m 年内，计划使产量平均每年比上年增加p %. (1)写出产量y 随年数x 变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p . [解析] (1)设年产量为y ，年数为x ，则y ＝a (1＋p %)x ，定义域为{x |0≤x ≤m ，且x ∈N *}． (2)y ＝a (1＋p %)2＝4a ，解得p ＝100. 7．渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)． (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值． [解析] (1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －x m ，0 (2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ·⎝⎛⎭⎫x －m 22＋mk 4，0 4. 所以，鱼群年增长量的最大值为mk 4 . 8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. (1)求出V 关于Q 的函数解析式； (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数． [解析] (1)设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900 100， ∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝12log 3Q 100 . (2)令V ＝1.5，则1.5＝12log 3Q 100，∴Q ＝2700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位． 9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) [解析]设至少应过滤x 次才能使产品达到市场要求，则第一次过滤后杂质剩余量为2%⎝⎛⎭ ⎫1－13， 第二次过滤后杂质剩余量为2%⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－13＝2%⎝⎛⎭⎫1－1 32，…… 第x 次过滤后杂质剩余量为2%⎝⎛⎭⎫1－13x ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23x ≤120 .① 对①式两边取对数，得x (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，∴x ≥1＋lg 2 lg 3－lg 2≈7.4.据实际情况知x ∈N ， ∴x ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求． 10．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1 4，已知到今年为止，森林剩余 面积为原来的 22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ [解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0 2，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫121 10. (2)设经过m 年后森林剩余面积为原来的 22，则a (1－x )m ＝2 2 a ， 即⎝⎛⎭⎫1210m ＝⎝⎛⎭⎫121 2，则m 10＝1 2，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为 2 2 a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，则⎝⎛⎭⎫1210n ≥⎝⎛⎭⎫123 2，则n 10≤3 2，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年． 11．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%. (1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域； (2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？[解析] (1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示． 作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x的值．因为8 即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米． 12．某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005) [解析] (1)2009年底人口总数为100万人， 经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3； ……所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N*. (2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)由题意得100×(1＋1.2%)x＞120，两边取常用对数，得lg [100×(1＋1.2%)x]＞lg 120， 整理得2＋x lg 1.012＞2＋lg 1.2，得x≥16，所以大约16年以后，该城市人口将超过120万人. 13．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)． (1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值． [解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ， 由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭ ⎫1－x m (0 4 . 14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是多少万元？ [解析] (1)由题意，得y ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 0.1x ，0＜x ≤15， 1.5＋2log 5(x －14)，x ＞15. (2)∵x ∈(0,15]时，0.1x ≤1.5，又y ＝5.5>1.5，∴x >15，∴1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39. ∴老张为该公司赚取的销售利润是39万元． 15．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a (a 为常数)，如图所示． (1)从药物释放开始，写出y 与t 的函数关系式； (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室． [解析] (1)由图象可知，当0≤t ≤0.1时，y ＝10t ；当t ＝0.1时，由1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ，得a ＝0.1， ∴当t >0.1时，y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭ ⎫116t －0.1，t >0.1. (2)由题意可知，⎝⎛⎭⎫116t －0.1 <0.25，解得t >0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室. 16．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f (1)，2007年记为f (2)，…，依次类推)． (1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式； (2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)． [解析] (1)由题意，知f (2)＝f (1)×(1＋6.24%)－1 2 f (1)×6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－1 2f (2)×6.24%＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)． (2)2015年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19800(1＋3.12%)9≈26136， 故2016年度诺贝尔奖各项奖金均为16×1 2f (10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元， 所以是假新闻． 17．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 k m /h 的速度返回A 地． (1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象； (2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解析] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)． 综上，s ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)， 325－50t (3.5＜t ≤6.5)， 它的图象如图(1)所示． (1) (2) (2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 60(0≤t ≤2.5)，0(2.5＜t ≤3.5)， －50(3.5＜t ≤6.5)， 它的图象如图(2)所示． 18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式； (2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) [解析] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨ ⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧ a ＝－1 3， b ＝200 3. 故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 60，0≤x ≤20，13 (200－x )，20 (2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200； 当20 3，当且仅当x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 000 3 . 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000 3 ≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 19．某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示： (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； (3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？ [解析] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1.5， b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5. 检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1. ∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化． (3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%， 即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件． 题型四 拟合数据构建函数模型解决实际问题 1．根据日常生活A 、B 、C 、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( ) [解析]B 2．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好． [解析]对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好． 3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．利用散点图(如图)可知a 的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算) [解析]由记录的部分数据可知x ＝1.6×1019时，y ＝5.0，x ＝3.2×1019时，y ＝5.2. 所以5.0＝a lg (1.6×1019)＋b ，① 5．2＝a lg (3.2×1019)＋b ，② ②－①得0.2＝a lg 3.2×10191.6×1019，0.2＝a lg 2.所以a ＝0.2lg 2＝0.20.3＝2 3. 4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表： 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 3 8.85 47.25 55.05 (1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式； (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？ [解析] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图． 根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型． 取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ 7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x . 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系． (2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖． 5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表： 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？ [解析]由数值对应表作散点图如图． 由图采用指数型函数作模型，设f (x )＝a ·b x ＋C ． 代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得⎩⎪⎨⎪ ⎧ ab ＋c ＝0.7， ①ab 2＋c ＝1.0，② ab 3＋c ＝1.6，③ ，(③－②)÷(②－①)得b ＝2，代入①②， 得⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝0.7， 4a ＋c ＝1.0，解得⎩⎨⎧ a ＝320 ，c ＝25， ∴f (x )＝320·2x ＋2 5 . ∵f (5)＝26 5 ＝5.2，f (6)＝10，∴符合对应表值，∴f (4)＝2.8，f (7)＝19.6， 所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位． 6．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系(见下表)： (1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )； (2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？ [解析] (1)根据题干中所给表作图， 如图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)在同一条直线上，设此直线为y ＝kx ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－3，b ＝150. ∴y ＝－3x ＋150(x ∈N ，x ≤50)， 经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N ，x ≤50)． (2)依题意有P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300， ∴当x ＝40时，P 有最大值300. 故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． 7．某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A ，B 两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． [解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示． 图(1) 图(2) 观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示， 取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15， 所以y ＝－0.15(x －4)2＋2. B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示． 设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.25＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝0.25，b ＝0， 所以y ＝0.25x . 即前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x . 设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)， 那么⎩⎪⎨⎪ ⎧ x A ＋x B ＝12，W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B . 专题41 函数模型的应用1．常用函数模型 常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数模型y＝ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ax＋b(x 4.5.3函数模型的应用 必备知识·探新知 基础知识 知识点1指数函数与对数函数模型 指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 知识点2解函数应用题的基本思路与步骤 1．建立函数模型解决实际问题的基本思路 2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解． 知识点3拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)． 1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据． (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图． (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型． (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步． (6)用所得函数模型解释实际问题． 2．建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程． 基础自测 1．某厂2008年的产值为a 万元，预计产值每年以n %的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B ) A ．a (1＋n %)13 B ．a (1＋n %)12 C ．a (1＋n %)11 D ．a (1－n %)12 [解析] 2008年的产值为a 万元，2009年的产值为a ＋a ·n %＝a (1＋n %)，2010年的产值为a (1＋n %)＋a (1＋n %)·n %＝a (1＋n %)2，…，2020年的产值为a (1＋n %)12. 2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝__2ln 2__，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为__1 024__. [解析] 由题意知，当t ＝1 2 时，y ＝2，即2＝e 1 2 k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2. 当t ＝2时，y ＝e 2 ×5×ln 2 ＝210＝1 024. 即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 3．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__300__只． 4.5.3函数模型的应用 学习目标核心素养 1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养. 1．常用函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数模型y＝ ⎩ ⎨ ⎧ax＋b(x (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是() x 45678910 y 15171921232527 C．指数函数模型D．对数函数模型 A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.] 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只 C．600只D．700只 A[将x＝1，y＝100代入y＝a l o g2(x＋1)得，100＝a l o g2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100l o g2(7＋1)＝300.] 3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．] 3.2.3 函数模型的应用实例（一） （一）教学目标 1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题. 2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力. 3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的 应用意识，提高学习数学的兴趣. （二）教学重点、难点 一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点. （三）教学方法 本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导 的方法进行教学. （四）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入回顾一次函数和二次函 数的有关知识. 教师提出问题，学生回答. 师：一次函数、二次函数的解析式及图 象与性质. 生：回答上述问题. 以旧引新，激 发兴趣. 应用举例 1．一次函数模型的 应用 例1 某列火车从北 京西站开往石家庄，全程 277km.火车出发10min 开出13km后，以120km/h 的速度匀速行驶.试写出 火车行驶的总路程S与 匀速行驶的时间t之间的 关系，并求火车离开北京 2h内行驶的路程. 教师提出问题，让学生读题，找关 键字句，联想学过的函数模型，求出函 数关系式.学生根据要求，完成例1的解 答. 例1 解：因为火车匀速运动的时间 为(200 – 13)÷120 = 11 5 (h)， 所以 11 5 t≤≤. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路 程为120t，所以，火车运行总路程S与 匀速行驶时间t之间的关系是 11 130120(0). 5 S t t =+≤≤ 2h内火车行驶的路程 11 13120 6 S=+⨯=233(km). 通过此问 题背景，让学 生恰当选择相 应一次函数模 型解决问题， 加深对函数概 念本质的认识 和理解.让学 生体验解决实 际问题的过程 和方法. 解题方法： 1．读题，找关键点； 2．抽象成数学模型； 3．求出数学模型的解； 4．做答. 学生总结，教师完善. 培养学生 分析归纳、概括 能力.从而初步 体验解应用题 的规律和方法. 2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题 函数模型的应用实例(第一课时) 【教学设计】 一、教学内容 本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函 数模型的应用实例的第一课时。通过对例3，例4的教学让学生学习体会利用已知的函数模型 解决问题和建立确定的函数模型解决实际问题，进而掌握建立数学模型解决实际问题的一般 步骤。 二、教学目标 知识与技能目标： 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，挖掘隐含条件，建立函数模型； 2.体会分段函数模型的实际应用，规范分段函数的标准形式； 3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型； 4.学会验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及应用数学模型进行预测。 5.会利用建立的函数模型解决实际问题，掌握求解函数应用题的一般步骤； 6.培养学生阅读理解、分析问题、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力. 过程与方法目标： 1.通过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养学生读图的能力； 2.通过实例使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的一般过程； 3.渗透数形结合、转化与化归等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标： 1.通过切身感受数学建模的过程，让学生体验数学在实际生活中的应用，体会数学来 源于生活又服务于生活，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学习数学 的兴趣与动力，增强学好数学的意识。 2.培养学生的应用意识、创新意识和勇于探索、勤于思考的精神，优化学生的理性思维和 求真务实的科学态度。 三、教材分析 本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决实际问题；例4 是利用已知的确定的函数模型解决实际问题，并验证求解出的数学模型与实际情况的吻合程度及用数学模型进行预测。分别在汽车和人口问题这两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 教学重点 1.根据图形信息建立函数模型解决实际问题. 2.用待定系数法求解函数模型并应用. 3.将实际问题转化为数学问题的过程。 教学难点 1.验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及用数学模型解决实际问题，并应用数 高一数学必修一教案《函数模型及其运用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地， 不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大 家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习 有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的 机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的 运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上 刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决进程中， 学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知 道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能 导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立 与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提 炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单 的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。由于建立函数模型离不开 函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会 用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实 际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。在这 个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可 操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有 条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程. (2)了解函数模型的广泛运用 课时作业37函数模型的应用 时间：45分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是(A) 解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明是高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A. 2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y＝2x－2 B．y＝2(x2－1) x C．y＝log2x D．y＝log1 2 解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(B) A ．a 12－1 B ．(1＋a )12－1 C ．a D ．a －1 解析：不妨设第一年1月份的产量为b ，则2月份的产值为b (1＋a )，3月份的产值为b (1＋a )2，依此类推，第二年1月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－b b ＝(1＋a )12－1. 4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( A ) A ．10元 B ．20元 C ．30元 D.403元 解析：依题意可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100)， ∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2， 于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，故选A. 5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( C ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元 4．5.3 函数模型的应用 考点学习目标核心素养 指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际 问题 数学建模 根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函 数模型求解问题 数学建模 问题导学 预习教材P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？ 几类常见的函数模型 名称解析式条件一次函 数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型y＝ k x ＋b k≠0 二次函数模型 一般式： y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ x＋ b 2a 2 ＋ 4ac－b2 4a a≠0 指数函数模型y＝b·a x＋c a>0且a≠1， b≠0 对数函数模型y＝m log a x＋n a>0且a≠1， m≠0 幂函数模型y＝ax n＋b a≠0 2 这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( ) A．300只B．400只 C．500只D．600只 解析：选A.由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品 的产量y 满足( ) A ．y ＝a (1＋5%x ) B ．y ＝a ＋5% C ．y ＝a (1＋5%) x －1 D ．y ＝a (1＋5%)x 解析：选D.经过1年，y ＝a (1＋5%)，经过2年，y ＝a (1＋5%)2 ，…，经过x 年，y ＝a (1＋5%)x . 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51 ＋b ，1.5＝a ·0.52 ＋b ， 得⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＝－2， b ＝2， 所以y ＝－2×0.5x ＋2， 所以3月份产量为 y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75万件 指数型函数模型的应用 一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等， 当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 【解】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0 课时作业 (三十六 ) 1．某林场计划第一年造林10 000 亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 () A．14400亩B．172 800亩 C．17 280亩D．20 736 亩 答案C 解析设第 x 年造林 y 亩，则 y＝10 000(1＋20%)x－1， ∴x＝4 时， y＝10 000×1.23＝17 280(亩)． 2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以 23.04 元售出．此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况 是() A．不亏不赚B．亏 5.92 元 C．赚 5.92 元D．赚 28.96 元 答案 B 解析设甲、乙两种产品原价分别为 a，b，则 a(1＋20%)2＝23.04，b(1－20%)2＝23.04.∴a＝16 元， b＝36 元． 若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利 23.04－16＝7.04 元，乙产品亏 36－23.04＝12.96 元， ∴共亏 12.96－ 7.04＝5.92 元． 3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是 () A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－ 0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－ 0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 答案D 4．乙从 A 地到 B 地，途中前一半时间的行驶速度是v1，后一半时间的行驶速度是v2(v1 2021-2022学年湘教版(2019) 高一数学必修第一册 第5章 第五节 三角函数模型的简单应用 一、单选题 1．音叉由钢质或铝合金材料所制成，由两个振动臂（叉臂）和一个叉柄组成（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P 离开平衡位置的位移y 与时间t 的函数关系为1 sin 1000 y t ω= ．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（ ） A ．200 B ．400 C ．200π D ．400π 【答案】D 【分析】直接利用周期公式求出ω. 【详解】由题可得，0>ω，114800200T =⨯=，即21200 πω=，则400ωπ=． 故选：D ． 2．如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m ，最高点距地面135m ，运行一周大约30min ，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min 时他距地面大约为（ ） A ．95m B ．100m C ．105m D ．110m 【答案】C 【分析】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为 ()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，根据已知条件求出 ()f t =60cos 7515 t π -+，再求(10)f 得解. 【详解】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈， 由题意可知60A =，1356075B =-=，230T π ω ==，所以15 π ω= ， 即()60sin 7515f t t πϕ⎛⎫ =++ ⎪⎝⎭ . 又因为(0)13512015f =-=， 解得sin 1ϕ=-，故32 π ϕ= ， 所以()f t =360sin 7560cos 7515215t t π ππ⎛⎫ + +=-+ ⎪⎝⎭ ， 所以2(10)60cos 751053 f π =-⨯+=. 故选：C 3．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线sin()y A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02ϕπ≤<）的振幅为1，周期为2π，初相为 2 π ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x = C ．sin y x =- D ．cos y x =- 【答案】D 【分析】设噪声的声波曲线sin()y A x ωϕ=+，由题意求出A ，ω，ϕ，即可得到降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【详解】由噪声的声波曲线sin()y A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02ϕπ≤<）的振幅为1，周期为2π，初相为 2 π，可得2212T ππ ωπ= ==，1A =，2ϕπ=，所以噪声的声波曲线的解析式为sin cos 2y x x π⎛ ⎫ =+= ⎪⎝ ⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 cos y x =-. 故选D ． 高一数学函数模型及其应用试题答案及解析 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西处,受影响的范围是半径长为km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北且不改变航线，假设台风中心不移动．如图所示，试问： （1）在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？ （2）当时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少？ 【答案】（1）（2）40km 【解析】首先建立以台风中心为原点建立直角坐标系， （1）由轮船在直线l：x+y-80=0上移动，则得到原点到l的距离．根据条件来判断是否受台风影响． （2）根据，得到会受到台风影响的结论，其航程由弦长一半的平方等于半径的平方减去圆心到直线的距离的平方求解． 试题解析：如图,以台风中心为原点建立直角坐标系. （1）轮船在直线上移动, 3分 原点到的距离．5分 时,轮船在途中不会受到台风影响． 7分 （2）会受到台风影响． 9分 航程为 11分 【考点】直线和圆的方程的应用． 2.如图，公园要把一块边长为的等边三角形的边角地修成草坪，把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上． （1）设，，试用表示函数； （2）如果是灌溉水管，希望它最短，的位置应该在哪里？ 【答案】（1）;（2） A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a 时，线段DE最短. 【解析】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 试题解析：（1）∵△ABC的边长为2，D在AB上， 且，. ∵ 第15讲 函数模型及其应用 【基础巩固】 1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y 与温度x （单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据()(),1,2,,7i i x y i L =得到下面的散点图： 由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．b y a x =+ C ．e x y a b =+ D ．ln y a b x =+ 【答案】C 【解析】由散点图可以看出红铃虫产卵数y 随着温度x 的增长速度越来越快， 所以e x y a b =+最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型. 故选：C 2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0ln M v v m =⋅计算火箭的最大速度(m /s)v ，其中0(m /s)v 是喷流相对速度，(kg)m 是火箭（除推进剂外）的质量，(kg)M 是推进剂与火箭质量的总和，M m 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge 0.434,lg 20.301≈≈） A ．5790m /s B ．6219m/s C ．6442m/s D ．6689m/s 【答案】C 【解析】0v v =4lg5 4(1lg 2) ln 1000ln 625100010006442m/s lge lge M m -=⨯=⨯=⨯≈. 故选：C ． 3．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA 的数量达到核酸探针能检测 2019-2020年高中数学函数模型及其应用教案(I)新课标人教版必修1(A) 三维目标 一、知识与技能 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格比较指数函数、对数函数，以及幂函数的增长差异. 2.从具体函数的增长的差异性，推广到了一般指数函数、对数函数，以及幂函数的增长的差异性. 二、过程与方法 1.自主学习，了解三类函数增长的差异性的比较方法. 2.探究与活动，在教师的指引下通过特殊函数的增长差异，推广到一般性的结论. 三、情感态度与价值观 培养学生数学应用意识以及从具体到一般，数形结合的数学思想，激发学生学习热情. 教学重点 指数函数、对数函数、幂函数的增长的差异性. 教学难点 指数函数、对数函数、幂函数的增长的差异性的比较. 教具准备 多媒体课件、投影仪、计数器. 教学过程 一、创设情景，引入新课 师：通过上一节课的学习，我们应对几类不同增长类型的函数的增长差异有了一个感性的认识，你们知道这些不同增长类型函数的增长的差异性具体体现在哪里吗? 生：指数函数、对数函数、幂函数等几类不同增长的函数的增长差异：一次函数是直线上升，指数函数是“指数爆炸”增长，对数函数增长是一个比较平缓的增长. 师：这节课我们在对这些不同增长类型的函数的增长差异具有一定感性认识的基础上，把这些函数作一个具体的比较，得出一般性的结论. 二、讲解新课 我们知道，指数函数y=a x（a＞1），对数函数y=log a x（a＞1），幂函数y=x n（n＞0）在区间（0，+∞）上都是增函数，那么这种差异的具体情况到底是怎样的呢？我们不妨先以函数y=2x，y=x2，y=log2x为例进行研究. （利用投影仪投影出表格一） 师：先请同学们利用计算器计算出以步长为0.4的自变量与函数值的对应表. 表一 据表在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（如下图），从图象可以看出：虽然他们都是增函数，但是他们的增长速度是不同的，显然指数函数的增长速度是急剧上升，而对数函数的增长速度非常平缓. 高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（二）高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（二） 教学目标： 1.能依据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简洁的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用； 2.在解决实际问题的过程中，培育同学数学地分析问题、探究问题、解决问题的力量，培育同学的应用意识，提高学习数学的爱好. 教学重点： 在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 教学难点： 对图、表的理解. 教学方法： 讲授法，尝试法. 教学过程： 一、情境创设 已知矩形的长为4，宽为3，假如长增加x，宽削减0.5x，所得新矩形的面积为S． （1）将S表示成x的函数； （2）求面积S的最大值，并求此时x的值． 二、同学活动 思索并完成上述问题． 三、例题解析 例1 有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的外形，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发觉每间客房每天的价格与住房率有如下关系： 每间客房定价 20 18 16 14 住房率 65% 75% 85% 95% 要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？ 例3 今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD表示(市场售价的单位为元／500g)． 请写出市场售价S(t)(元)与上市时间t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价． 练习：1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为( ) 2．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间t(s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H的水瓶中注水，注满为止．假如注水量V与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的外形可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则削减26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？ （2）若销售价必需为整数，要使利润最大，应如何定价？ 5．依据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t 满意： 四、小结 利用图、表建模；分段建模． 高一数学函数模型及其应用练习题〔含答案〕函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系. 小编准备了高一数学函数模型及其应用练习题,希望你喜欢. 1 .莫商场售由两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖由, 第二台降价20%以后按960元卖由,这两台取暖器卖由后, 该商场〔〕A.不赚不亏B.赚了80元 C.亏了80元 D.赚了160元 解析：960+960-9601+20%-9601-20%=-80. 答案：C 2 .用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架, 那么能折成的框架的最大面积是. 解析：设矩形长为x m,那么宽为12〔12-2x〕 m,用面积公式可得S 的最大值. 答案：9 m2 3 .在x g a%的盐水中,参加y g b%的盐水,浓度变为c%,那么x与y 的函数关系式为. 解析：溶液的浓度=溶质的质量溶液的质量=xa%+yb%x+y= c%,解得y=a-cc-bx=c-ab-cx. 答案：y=c-ab-cx 4 .莫服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打了七五折, 他打算对该服装定一新标价在价目卡上,并说明按该价的 20%销售.这样仍可获得25%的纯利,求此个体户给这批服装定的新标价y与原标价x之间的函数关系式为解析：由题意得20%y-0.75x=0.7x25%y=7516x. 答案：y=7516x 5 .如果本金为a,每期利率为r,按复利计算,本利和为y, 那么存x期后,y与x之间的函数关系是. 解析：1 期后y=a+ar=a(1+r); 2 期后y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;归纳可得x 期后y=a(1+r)x. 答案：y=a(1+r)x 6 .一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%, n年后这批设备的价值为万元. 解析：1年后价值为：a-ab%=a(1-b%), 2年后价值为：a(1-b%)- a(1-b%)b%=a(1-b%)2 , n年后价值为：a(1-b%)n. 答案：a(1-b%)n 7 .莫供电公司为了合理分配电力,采用分段计算电费政策, 月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示. ⑴填空：月用电量为100度时,应交电费元；⑵当x100时,y与x之间的函数关系式为; (3)月用电量为260度时,应交电费元. 解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系,用待定系数法可求解 课题： 函数模型的应用实例（Ⅱ） 课 型：新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题， 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、 学法与教学用具 1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2. 教学用具：多媒体 四、 教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1）写出速度v 关于时间t 的函数解析式； 2）写出汽车行驶路程y 关于时间t 的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； 4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0rt y y e = 其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年均增长率. 1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际 三角函数模型的简单应用 教学目标 知识与技能：利用图象解三角不等式；利用二分法求相应方程的近似解； 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题. 过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他领域中的重要性. 情感、态度、价值观：通过数学建模的体验，让学生了解数学建模的意义，促进学生发展数学应用意识；尝试用数学解决实际问题，增强解决问题的自信心；以数学的眼光观察生活、社会与自然，使学生更加热爱生活，使生活更加有情趣. 教学重难点 重点：根据数据信息、散点图，建立函数模型解决实际问题. 难点：对信息的分析与处理. 理由：信息的处理、画散点图是为选择函数模型提供了依据，从而可以由选择的模型进行问题的解决，体现了生活问题数学化的要求，故为重点；学生要从所掌握的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幕函数出发，进行判断选择，需要学生熟悉这些基础函数的概念、性质，对学生数形结合的能力提出了较高要求，故为难点. 学情分析及教学内容分析 本节课是本章的最后一节课，学生已经掌握了几种基本函数的有关知识，对函数的应用有了一定的认识，对数形结合的数学思想有了直观感知.这些为这节课的学习打下了很好的基础，但是本节课与过去学习最大的不同是前面均为在已知函数模型的前提下解决数学问题, 是在数学化的条件下解决问题,本节课并没有告诉函数模型，是在生活化的条件下解决问题，这是新课改中一个重要的变化，学生对此类问题的认识存在一定的困难，这需要在教学中放低教学起点，创设生活情景，为学生构建和选择恰当的函数模型. 教材分析：函数的重要性主要体现在：函数思想的价值和函数应用的价值上.这部分内容对学生的学习起着承上启下的作用. 本节课主要教会学生对信息、图表的分析、提取、加工和处理，是使学生认识到函数是高中数学的重要主线.本节课能让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣.有助于培养学生独立思考和勇于质疑的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力. 高一数学函数模型及其应用试题 1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研 究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x) ＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) 【答案】(1)由题意：当0≤x≤20时， 当20≤x≤200时，设， 再由已知得解得 故函数v(x)的表达式为 (2)依题意并由(1)可得 当时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当时，， 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立． 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时 【解析】本题是实际应用问题，首先根据当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设出v(x)＝ax＋b，再利用条件当桥上的车流密度达到200辆/千米时车流速度为0；当车流 密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时；求出a、b，列出函数表达式，注意x的范围。 (2)由题意列出函数表达式后，转化为分段函数的最值问题，应先求出每一段上的最值，再比较。【考点】本题考查了分段函数、基本不等式的综合应用。 点评：在解答应用题时，先读清题意转化成数学问题，然后灵活利用所学知识解答。 2.往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.80元，超过20克不超过40克付邮费1.60元，依 次类推，每增加20克，增加付费0.80元，如果某人寄出一封质量为72克的信，则他应付邮费（） A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元 【答案】A 【解析】将72表示为20×3+12，由已知可得应付邮费：0.8×3+0.8=3.2元． 故选A． 【考点】本题主要考查函数模型及其应用。 点评：以实际问题为载体，通过构建分段函数，考查学生分析解决问题的能力，基础题。专题41 高中数学函数模型的应用(解析版)
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