《函数模型的应用实例》
一、教学内容分析：
本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．
例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．
整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．
二、教学目标：
知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．
2．会利用选择或建立的函数模型．
3．会运用函数模型解决实际问题．
过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．
2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析
式，并应用模型解决实际问题．
情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服
务生活，体会数学的应用价值．
2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思
维和求真务实的科学态度．
3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：
1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．
2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．
3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．
四、教学重点、难点
重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．
难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．
五、教学策略分析：
基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．
在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．
2．分组讨论法．
在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．
3．多媒体辅助教学法：
在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学
生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。通过实物展台，增进交流，增加思维碰撞，优化学生思维，强化学生成就感和认同感，激发学生学习兴趣．
六、教学过程：
《函数模型的应用实例》 一、教学内容分析： 本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法． 例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点． 整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力． 二、教学目标： 知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图． 2．会利用选择或建立的函数模型． 3．会运用函数模型解决实际问题． 过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性． 2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析 式，并应用模型解决实际问题． 情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服
<<函数模型的应用举例>>教学设计 教学目标 （1）知识目标 1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； 2. 初步了解对统计数据表的分析与处理. （2)情感目标 1、引导学生从实际问题中发现问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。 2、让学生体会数学在实际问题中的应用价值。 教学重点 建立和拟合函数模型解决实际问题。 教学难点 选择拟合度高的函数模型。 教学方法 启发式引导，讨论式课堂模式。 教学过程 （一）导入新课 一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+ 2 1at 2 ,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 归纳：不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. （二）推进新课 新知探究、提出问题 例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x 元后,日均销售利润为y 元,而在此情况下的日均销售量就为 480－40(x －1)=520－40x(桶). 由于x ＞0,且520－40x ＞0,即0＜x ＜13, 于是可得 y=(520－40x)x －200=－40x 2 +520x －200,0＜x ＜13. 易知,当x=6.5时,y 有最大值. 所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型. 找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题。 变式训练 某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提
3.2.2 函数模型的应用实例 自主学习 1．掌握几种初等函数的应用． 2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤． 1．函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________． 对点讲练 已知函数模型的应用问题 【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R (x )＝????? 400x －12x 2 (0≤x ≤400) 80 000 (x >400) .其中x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f (x )； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116 )t － a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
湖南省永州市道县第一中学高中数学《3.2.2函数模型的应用实例—建立函数模型解决实际问题》教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能: 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法 : 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学法与教学用具 1、学法：尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学过程 1.知识回顾： （1）我们学过哪些基本函数模型? 一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，指数函数模型，对数函数模型 （2）解决实际应用问题的步骤 （a）审题：读题理解题意 （b）建模：挖掘数量关系，建立数学模型 （c）解模：求解数学问题 （d）作答: 回归实际，进行答题 2.教授新课 3 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.同学们想想办法. 提示:函数的三种表示方法可以互相转化使用,它们各有优劣,同学们根据这些数据画出散点图,在进行观察和思考,所作的散点图与已知的哪个函数图像最接近,从而选择函数模型. 解：1、以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中，描出各点，设 A（60，6.13）、B（70，7.90）、C（80，9.99）、D（90，12.15）、E（100，15.02）、F（110，17.50）、G（120，20.92）、H（130，26.86）、I（140，31.11）、J（150，38.85）、K（160，47.253）、L（170，55.05）
3.2.2函数模型的应用实例 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解函数模型的应用实例，会利用一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型解决实际问题，在直观想象、数学建模中感受函数模型在实际生活中的具体应用．（二）学习目标 1．通过实例，感受一次函数的广泛应用． 2．通过实例，感受二次函数的广泛应用． 3．通过实例，来感受幂函数和分段函数的广泛应用． （三）学习重点 1．一次函数模型，二次函数模型，幂函数和分段函数模型中在实际生活的应用． 2．学会建立一些函数模型解决生活实际问题． （四）学习难点 将实际问题转变为数学模型． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 读一读：阅读教材第101页至第106页，找出疑惑之处． 观察如图所示内容,回答下列问题: （1）问题1:解答应用题应按照怎样的步骤? （2）问题2：在解决实际问题时可建立哪些函数模型? 【答案】问题1：建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤：
(1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x,y 分别表示问题中的变量. (2)建立函数模型:将变量y 表示为x 的函数,在中学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域. (3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数解析式的结构特点,正确运用函数知识求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 2．预习自测 (1)长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少2 x 时的面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________． 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用． 【数学思想】 【解题过程】2(4)(3)1222x x S x x =+-=-++=21(224)2x x ---=2251 (1)22x --， 当1x =时，max 252 S = ． 【思路点拨】由题意建立面积关于变量x 的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x 的值即可得到答案． 【答案】1； 252 ． (2)某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现， 若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为( ) A ．45元 B ．55元 C ．65元 D ．70元 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用． 【解题过程】设每件商品定价为x ，利润为y ， 则有[](40)50010(50)y x x =--- 化简后2 10(70)900y x ??=--+??， 当70x =时，利润最大． 【思路点拨】由题意建立面积关于变量x 的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x 的值即可得到答案．
高一数学必修一教案《函数模型及其运用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地， 不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大 家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习 有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的 机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的 运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上 刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决进程中， 学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知 道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能 导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立 与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提 炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单 的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。由于建立函数模型离不开 函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会 用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实 际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。在这 个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可 操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有 条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程. (2)了解函数模型的广泛运用
用函数模型解决实际问题 【教学目标】 1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。 2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。【教学重难点】 1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点) 【教学过程】 一、基础铺垫 常用的函数模型：
二、新知探究 1．表格信息类建模问题 【例1】 (1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。 [解](1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B． 把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b ＝8.206 7． 所以它的一个函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7． (2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677 7x＋8.206 7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为 f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4， f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1． 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。 (3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元。 【教师小结】 (1)根据表格信息，画出图像； (2)根据图像特征，选定函数模型； (3)用待定系数法求出函数解析式； (4)检验模型。
3.2.2 函数模型的应用实例 【学习目标】 1、通过实例“汽车的行驶规律”理解一次函数，分段函数的应用，提高学生的读图能力. 2、通过马尔萨斯的人口增长模型使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 【学法指导】 1、分析函数与指数型函数的应用. 2、选择适当的函数模型分析和解决实际问题. 【自主预习问题】 1、正比例函数模型 2、反比例函数模型 3、一次函数模型 4、二次函数模型 5、指数函数模型 6、对数函数模型 7、幂函数模型 8、解决实际问题的基本步骤： ① 审题：弄清题意，分清 和 ，抓住关键词和量，理清数量关系. ② 建模：将文字语言转化成 ，利用数学知识建立相应的数学模型. ③ 求模：求解数学模型，得到数学结论. ④ 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论. 【拓展延伸问题】 1、如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点， 则当P 沿着A →B →C →M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，ΔAPM 的面 积为y ，则y 与x 的函数关系为 . 2、截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国的人口为y （亿） ①求y 与x 的函数关系式，y=f(x). 即使是不成熟的尝试，也胜于胎死腹中的策略 A B P C D M
②求函数y=f(x)的定义域. ③判断函数y=f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减性的实际意义. 【我的疑惑】 【自构思维导图】 【自测反馈】 1、为了保护水资源提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户用水量水价 不超过12m³的部分3元/m³ 超过12m³但不超过18m³的部分6元/m³ 超过18m³的部分9元/m³ 若某户居民本月缴纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为 m³. 2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式；如果存入本金2000元，每期利率1.2%，试计算6期后的本利和是多少？ 【课后作业】习题3.2，练习册
函数模型的应用实例教案 教案：函数模型的应用实例 一、课程背景 在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。 二、教学目标 1.知识与能力目标： -理解函数模型的基本概念； -掌握函数模型的建立方法； -运用函数模型解决实际问题。 2.过程与方法目标： -引导学生发现问题和解决问题的方法； -培养学生的创新思维和实际应用能力； -培养学生的合作学习和表达能力。 3.情感态度和价值观目标： -培养学生对数学的兴趣和热爱； -培养学生的团队协作和分享精神；
-培养学生的实际问题解决能力。 三、教学过程 1.引入（10分钟） -介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用； -分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。 2.探究（20分钟） - 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为 t小时，求行驶的距离d； -学生们自主讨论解决此问题的思路和方法； -指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以 用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。 3.拓展（30分钟） -提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等； -学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型； -学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。 4.总结（15分钟） -引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定 变量及其之间的关系，建立函数模型；
课题：§ 3.2.2 函数模型的应用实例 ( Ⅰ) 教学目标： 知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题． 过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性． 情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值． 教学重点难点： 重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题． 难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题． 教学程序与环节设计： 创设情境实际问题引入，激发学习兴趣． 组织探究以实际应用问题为载体，体会选择变量、建立模型， 解决实际问题的的思想与方法． 探索研究结合例题的探究方法，总结运用函数概念建立模型的 过程和方法，形成结论性报告． 巩固反思师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求 解方法步骤． 作业回馈强化基本方法，规范基本格式． 课外活动运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单 问题，了解函数模型的广泛应用．
教学过程与操作设计： 环节教学内容设计 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？” 这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子 创里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如 设何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？ 情 原来孙子提出了大胆的设想。 境由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手， 运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解 决实际问题呢？ 师生双边互动 师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一 半的脚，则每只鸡和兔 就变成了“独脚鸡”和 “双脚兔”。这样，“独 脚鸡”和“双脚兔”脚的 数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即： 47－ 35=12；鸡数就是： 35 －12=23。激发学生学 习兴趣，增强其求知欲望． 生：用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题． 材料一：一次函数、二次函数的应用举例师：引导学生独立思 例 1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程考，完成解答．引导学277km，火车出发 10min 开出 13km 后，以 120km/h生分析自变量 t 的取值 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶范围（即函数的定义 的时间 t 之间的关系式，并求火车离开北京 2h 内行域），注意 t 的实际意 驶的路程．义． 组探索： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围生：独立思考，完成解怎样；答，并进行讨论、交流、织2）所涉及的变量的关系如何？评析． 3）写出本例的解答过程． 探例 2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价师：本例从现实生产、 20 元，茶杯每只定价 5 元，该商店制定了两种优惠生活实际出发，要引导 办法：学生认识到数学与实 究1）买一只茶壶赠送一只茶杯；际的联系，体会数学的2）按总价的 92%付款．实用价值，享受数学的 某顾客需买茶壶 4 只，茶杯若干（不少于 4 只），应用美． 若购买茶杯 x （只）付款y（元），试分别建立两种 优惠办法中 y 与x之间的函数关系式，并讨论该顾生：正确理解题意，认客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？真思考、讨论，交流做 法，给出解答． 环节教学内容设计师生双边互动
《函数模型的应用实例》教学设计 一、教学内容 普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例. 二、教学目标 知识与技能目标： 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型； 2.会利用建立的函数模型解决实际问题； 3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 过程与方法目标： 1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程； 2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标： 1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心； 2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度； 3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 三、教材分析 本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题. 四、学情分析 学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 五、教学过程 （一）交流成果提出课题 学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题. 【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建 立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力， 也很自然地引入课题. （二）分析探究解决实例 【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如 图1所示. （1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
§3.2.2 函数模型的应用实例 在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤： ⑴能够根据原始数据、表格，绘出散点图． ⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 教科书中已经给出了三个典型的实例，读者可以通过这些例题的学习基本掌握函数模型应用的处理方法.下面再通过一个实例，进一步熟练过程，提高函数模型应用的操作能力. 例随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m2，单价是0.3万元／m2的一 套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表．表1(住房) 上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案． 分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况． 解：⑴方案一：先购房后买车． 为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元． 设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式 y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）×月数 ＝1+(0.5-0.15-2l×0.005728)x， 即y＝1+0.229712x，（x N）
《函数模型的应用实例》教学设计 ——数学建模 一、教学内容解析 数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容，《课程标准》中没有对数学建模的 内容做具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中，要求通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一，从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函数关系，解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例，借助图形计算器，综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点，为以后的数学建模打基础，但未能使学生全面认识数学建模的全过程，于是又在本题的基础上有所改编，从实际问题出发，通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题，从而深化数学建模思想.因此本节课是从函数出发，综合运用数学知识、思想和方法，尝试数学建模，让学生从不同的角度理解数学的魅力. 二、学习目标设置 《课程标准》中关于本节课的描述有： 1.通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系. 2.每个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识. 3.学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息；学生在数学建模 中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的好习惯，并获得良好的情感体验. 在本节课中，根据布鲁姆教育目标分类标准，从知识分类、认知水平、学科内涵三个维度对课标的分解为： 依据行为动词，我又从能力层次将课标进行了再分解，具体如下： 根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1.通过将实际问题提炼成理想的数学问题，借助图形计算器，能找出合适的数学模型，初步总结出数学建模的过程. 2.能根据实际情况检验数学模型，完善数学建模的过程，深化数学建模的思想. 3.经历数学建模解决实际问题全过程，从实际生活出发，思考数学建模的意义，体会数学来源于生活又服务于生活的魅力. 三、评价任务
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案 教学设计 一、教学目标 1. 知识目标： （1）认识到函数的概念及其分类。 （2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。（3）了解函数的基本性质。 （4）学会应用函数进行实际问题的解决。 2. 能力目标： （1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。 （2）能够利用函数求解实际问题。 3. 情感目标： （1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和 信心。 （2）培养学生分析问题和解决问题的能力。
（3）培养学生的创新思维和实践能力。 二、教学重点和难点 1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。 2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。 三、教学方法 1. 演示法。通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。 2. 实验法。通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。 3. 讲授法。注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。 四、教学步骤 1. 函数的概念及其分类 初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。 ①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。 ②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。
③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数： 1. 一元函数：y=f(x)。 2. 二元函数：z=f(x,y)。 3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。 4. 隐函数：F(x,y)=0。 2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法 ①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。 ②掌握函数的定义域与值域的求法。 ③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生 学会函数的应用。 3. 函数的基本性质 ①单调性和奇偶性的判定。 ②零点和极值的确定。 ③函数的连续性和可导性。
3.2.2 函数模型的应用实例（1） 从容说课 我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》主要通过一些实例来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题. 例1主要根据题意列出相应的表格，通过表中数据的实际意义解决问题. 例2涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，主要意图是让学生利用函数模型（分段函数）刻画实际问题. 例3中的数学模型y=y0e rt是指数函数模型，它由y0与r这两个参数决定，而y0与r的值不难得到.本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型，并用数学模型解释实际问题.在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力，提高其读图、画图的能力. 三维目标 一、知识与技能 1.能利用给定函数模型解决实际问题. 2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合. 3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力. 二、过程与方法 1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型. 2.根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式. 三、情感态度与价值观 应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务. 教学重点 根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式. 教学难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教具准备 多媒体课件、投影仪、计数器. 教学过程 一、创设情景，引入新课 师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.
§ 3.2.2函数模型的应用实例 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，利用图形计算器的拟合函数功能建立拟合 函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方 法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及 其重要价值，培养学生分析、探索、实践能力。。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查、阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：图形计算器、多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 为了检验 X 射线的杀菌作用，用 200 千伏的 X 射线来照射细菌，每次照射 6 分钟，照射次数记为 t，共照射8 次，各次照射后所剩细菌数为y，按负指数规律减少，统计如下：t12345678 y35519714210456362115试问：（ 1）如果照射10 次，那么细菌数是多少？（2）如果细菌数控制在 4 以下，那么至少照几次？ 操作： 输入数据：按 [STAT] 选中 1： EDIT ，在 L1栏中输入 t 值，在L2 栏中输入 y 值。 绘出散点图：按 [2nd][STA T PLOTS] 选中 1，选中 ON， TYPE 选中散点型， XLIST输入 L1， YLIST 输入 L2， MARK选中“□”，按 [ZOOM][9] 绘出散点图。 求拟合函数：观察散点的走向，组织学生讨论，同时根据题意，得到散点的分布近似服 从指数函数关系。按[STAT] 选中 CALC ，选中 ExpReg（指数函数回归）输入L1 ， L2， Y1 ，按 ENTER 键显示拟合函数的表达式，y a b^ x ， a 547.03119973 ， b 0.6355225809 画出函数图象：按 [GRAPH] ，屏幕出现拟合函数的图象，清楚的看到散点分布在曲线附近。 解答问题：（学生回答） 第一小题， y1(10)=5.879258994 ≈ 6 个。 第二小题，由 TABLE 功能键中发现y1(10)>4,y1(11)<4 ，所以至少照11 次。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度 比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例 1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 身高60708090100110120130140150160170
第三章第二节函数模型及其应用第一课时 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣． 重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同． 教学难点：应用函数模型解决简单问题．
课堂小结 活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价． 引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结． 答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业 课本习题3.2A组1、2.
第三章第二节函数模型及其应用第二课时 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣． 重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同． 教学难点：应用函数模型解决简单问题．
3.2.3 函数模型的应用实例（一） （一）教学目标 1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题. 2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力. 3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的 应用意识，提高学习数学的兴趣. （二）教学重点、难点 一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点. （三）教学方法 本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导 的方法进行教学. （四）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入回顾一次函数和二次函 数的有关知识. 教师提出问题，学生回答. 师：一次函数、二次函数的解析式及图 象与性质. 生：回答上述问题. 以旧引新，激 发兴趣. 应用举例 1．一次函数模型的 应用 例1 某列火车从北 京西站开往石家庄，全程 277km.火车出发10min 开出13km后，以120km/h 的速度匀速行驶.试写出 火车行驶的总路程S与 匀速行驶的时间t之间的 关系，并求火车离开北京 2h内行驶的路程. 教师提出问题，让学生读题，找关 键字句，联想学过的函数模型，求出函 数关系式.学生根据要求，完成例1的解 答. 例1 解：因为火车匀速运动的时间 为(200 – 13)÷120 = 11 5 (h)， 所以 11 5 t≤≤. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路 程为120t，所以，火车运行总路程S与 匀速行驶时间t之间的关系是 11 130120(0). 5 S t t =+≤≤ 2h内火车行驶的路程 11 13120 6 S=+⨯=233(km). 通过此问 题背景，让学 生恰当选择相 应一次函数模 型解决问题， 加深对函数概 念本质的认识 和理解.让学 生体验解决实 际问题的过程 和方法. 解题方法： 1．读题，找关键点； 2．抽象成数学模型； 3．求出数学模型的解； 4．做答. 学生总结，教师完善. 培养学生 分析归纳、概括 能力.从而初步 体验解应用题 的规律和方法. 2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题