高一数学三角函数摩天轮模型
高一数学三角函数摩天轮模型是一种利用三角函数来模拟摩天轮
转动的模型。它是一种有趣而有意义的数学模型，而且还可以帮助我
们理解数学的概念和应用，特别是三角函数的概念和应用。
整个模型是通过x轴、y轴和z轴来定义的。在x轴上，摩天轮转
动的半径是固定的，但在y轴上它转动的角度是不断变化的，而z轴
上则表示该摩天轮处于转动的某一角度时垂直立在x轴上的高度。
为了模拟摩天轮的转动，可以利用三角函数的性质。一般情况下，三角函数代表的是一个波形，其中每一个周期之间的重复性都是可以
观察到的。如果我们想要表示摩天轮的转动的话，可以用三角函数的
正弦函数和余弦函数来替代。
正弦函数可以模拟摩天轮转动的半径，而余弦函数则可以模拟摩
天轮转动的角度。根据它们之间的关系，可以得到摩天轮当前角度与
其在x轴上的高度的函数关系。同时，还可以得到摩天轮每一次转动
所消耗的时间及其对应的转速。
因此，使用高一数学三角函数摩天轮模型可以让我们更加深入地
了解摩天轮的原理，并能够更好地模拟它的转动，从而为更多发明者
们提供更完善的参考依据。
第10课时三角函数模型的简单应用 1.通过观察分析已知的数据,能建立三角函数模型来刻画实际问题并加以解决. 2.对已知某实际问题近似地满足于三角函数的模型,能用此模型探求相关的数据. 3.体验三角函数模型在现实世界中的广泛应用,初步领略三角函数模型是处理周期变化现象的重要方法之一. (显示水车转动的动画,再抽象出水车的静态平面图,最后抽象出数学平面图)如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现(图中点P )时开始计算时间: (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间? 问题1:三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,试举例说明:. 问题2:函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)在物理中的应用: A表示;周期T=,频率f==;ωx+φ表示,φ表 示. 问题3:函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的基本性质 定义域:;值域:;周期:; 奇偶性:当φ=时为偶函数;当φ=且时为奇函数,否则为函数. 问题4:应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为问题,通过分析它的变化趋势,确定它的,从而建立起适当的函数模型,解决问题的一般程序: (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解关系. (2)建模,分析题目周期性,选择适当的模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为问题的解答.
1.弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知,该振子的振动的(). A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s C.周期为6 s D.频率为6 Hz 2.如图,一个水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动4圈,如果水轮上的点P 到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+2,则有(). A.ω=,A=3 B.ω=,A=3 C.ω=,A=5 D.ω=,A=5 3.据市场调查,一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上,按月呈 y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,则该函数的解析式为. 4.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<π). (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
三角函数模型 三角函数模型是数学中的一种重要工具，它是用来描述三角形内角与边之间关系的函数模型。三角函数模型包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别描述了三角形内角的相对值与三角形边长之间的关系。 正弦函数是指三角形内角的正弦值与三角形斜边长之间的比值。正弦函数在三角形中的应用非常广泛，它可以用来计算三角形内角、边长以及高度等相关参数。正弦函数的图像是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期是360度或2π弧度。 余弦函数是指三角形内角的余弦值与三角形斜边长之间的比值。余弦函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形的面积、角度以及边长等参数。余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期与正弦函数相同，都是360度或2π弧度。 正切函数是指三角形内角的正切值与三角形斜边长之间的比值。正切函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形边长、高度以及角度等相关参数。正切函数的图像也是一个周期性的波形，它的周期是180度或π弧度，它的值域是从负无穷到正无穷。 除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，还有许多其他的三角函
数模型，如余切函数、正割函数和余割函数等。它们也都是用来描述三角形内角与边长之间的关系，但是它们的定义和图像与正弦函数、余弦函数和正切函数有所不同。 三角函数模型在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。在物理学中，三角函数模型被用来描述波动和振动的运动规律；在工程学中，三角函数模型被用来计算机械运动和结构强度等参数；在数学中，三角函数模型则被用来解决各种三角形问题和微积分问题等。 三角函数模型是数学中的一种重要工具，它们可以用来描述三角形内角与边长之间的关系，从而解决各种与三角形相关的问题。掌握好三角函数模型的定义和应用，对于学习数学和应用数学都是非常重要的。
1.6 三角函数模型的简单应用—潮汐问题 引言 三角函数是高中数学中的一个重要概念，其模型在实际问题中有广泛的应用。本文将以潮汐问题为例，介绍三角函数模型的简单应用。 1. 潮汐问题简介 潮汐是指海水在地球上周期性的升高和降低的现象。潮汐问题涉及到潮汐的周期性变化以及潮汐的高度等问题。 2. 三角函数模型的应用 在潮汐问题中，可以使用三角函数模型来描述潮汐的周期性变化。常用的三角函数模型有正弦函数和余弦函数。下面将分别介绍它们在潮汐问题中的应用。 2.1 正弦函数 正弦函数是三角函数中的一种常见函数，可用来描述周期性变化。在潮汐问题中，我们可以使用正弦函数来描述潮汐的高度变化。例如，可以使用如下的正弦函数来表示潮汐的高度变化： h(t) = A * sin(ωt + φ) 其中，h(t)表示时刻t的潮汐高度，A表示潮汐的振幅，ω表示潮汐的角频率，φ表示相位。 通过调整参数A、ω、φ，可以根据实际情况对潮汐进行建模。例如，可以通过 观测数据确定潮汐的振幅和周期，从而得到合适的参数值。 2.2 余弦函数 余弦函数是另一种常见的三角函数，也可用来描述周期性变化。在潮汐问题中，我们也可以使用余弦函数来描述潮汐的高度变化。例如，可以使用如下的余弦函数来表示潮汐的高度变化： h(t) = A * cos(ωt + φ) 同样地，通过调整参数A、ω、φ，可以对潮汐进行建模。
3. 实际应用案例 现实生活中，三角函数模型的应用不仅局限于潮汐问题，还涉及到其他领域。以下是一个实际应用案例： 在航海中，潮汐对船只的航行起着重要的影响。航海员需要根据潮汐的变化来调整航线，以确保船只的顺利行驶。三角函数模型可以用来预测未来一段时间内潮汐的变化，从而帮助航海员制定合理的航行计划。 4. 总结 三角函数模型是数学中一个重要的工具，广泛应用于实际问题中。在潮汐问题中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来描述潮汐的周期性变化。通过调整参数，可以根据实际情况对潮汐进行建模。三角函数模型的应用不仅局限于潮汐问题，还可在航海等领域中找到广泛的应用。 希望本文对读者了解三角函数模型在潮汐问题中的简单应用有所帮助。通过学习和应用三角函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
5.1 任意角和弧度制 5.1.1任意角 学习任务核心素养1．了解任意角的概念，能正确区分正角、 零角和负角．(重点) 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角 的意义与表示．(重点、难点) 通过正角和负角理解角的大小、旋转方 向，通过角的终边所在的象限的讨论，培 养数学抽象与逻辑推理核心素养. 如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时． (1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ (2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到 的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这 种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？ 知识点1任意角 (1)角的旋转定义 自然语言角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 符号语言O为顶点，射线OA为始边，OB为终边，α＝∠AOB 图形语言 (2)角的推广与分类——正角、负角和零角 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角 射线OA没有作任何旋转，终边OB与 OA重合 1.终边和始边重合的角一定是零角吗？ [提示]不一定，还有可能是±360°，±720°，… 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)大于90°的角都是钝角．()
(2)零角的终边与始边重合．() (3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°.() (4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)× 2.下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________. 图(1)图(2) [答案]390°－150°60° 知识点2角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 3.如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________. 图(1)图(2) [答案]110°－70° 知识点3象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？ [提示]锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角． 4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)－30°是第四象限角．() (2)第二象限角是钝角．() (3)225°是第三象限角．() [答案](1)√(2)×(3)√
三角函数摩天轮例题 这篇文章是关于如何使用三角函数对摩天轮进行计算的例题，通过这篇文章，我们将学习如何使用三角函数计算摩天轮的位置，以及它们可能会遇到的一些问题。 摩天轮（ Ferris wheel）是一种回旋机。它由一个中心塔架，两个大轮，以及一个滑动轮组成。中心塔架安装在一条轨道上，两个大轮放置在两端。与中心塔架平行的轨道上放置轮组，摩天轮的小轮组可以在中心架和两端的大轮之间滑动。 摩天轮的运动可以用三角函数来描述。当在轮子上加载乘客时，摩天轮会以恒定角速度运动。由于运动是看似定时变化的，因此任何时刻他们的位置都是可以通过三角函数来描述的。 其中，最重要的三角函数是余弦函数。它可以用来计算摩天轮的位置： 余弦函数的公式为： Cos = x/R 其中为摩天轮所处的位置；x 为摩天轮的距离中心的距离；R 摩天轮的半径。 举个例子来说，假设某摩天轮的半径为 50，当其运动到余弦函数的 3/2π。那么摩天轮到中心的距离就是： x= R Cos = 50 Cos(3/2π) = -25 上面这个例子中，摩天轮到距离中心 25，从而得到了余弦函数θ = 3/2π结果。
计算摩天轮位置后，我们需要解决一个问题。那就是每次摩天轮完成一圈时，要多长时间？ 这个问题可以使用另一个三角函数来解决，那就是正弦函数。其公式为： sin = H/R 其中 H 为摩天轮与中心的高度差，而 R 为摩天轮的半径。 以上面的例子来说，计算摩天轮在一圈的时间，我们可以用正弦函数的公式来计算： 时间 = H/V = H/ (R sin) = 25/ (50 sin(3/2π)) = 25/ (50 sin(3π)) = 25/ (50 * 0) = 也就是说，摩天轮在一圈的时间是无限长。 在计算摩天轮运动的位置与时间时，使用三角函数是最有效率的方法。而在这一过程中，我们会遇到一些问题，例如摩天轮的最大速度限制，以及运动的平衡等等。因此，我们也需要根据实际情况调整公式，以便正确计算摩天轮的位置与时间。 以上就是有关三角函数摩天轮例题的介绍，我们可以看到，通过运用三角函数来计算摩天轮的位置与时间，可以不仅为其正确计算提供保证，而且还能够节省时间与精力。
三角函数的模型及应用 三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。 首先，我们来讨论三角函数的模型。最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。它们的定义如下： 正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边 余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边 正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边 其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。 三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系： 正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)
这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。 接下来，我们来探讨三角函数的应用。三角函数在几何学中有广泛的应用。例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。 此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。 在工程学中，三角函数也被广泛应用。例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。 总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
高一数学讲义 第六章 三角函数 6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像 每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为 sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-， ． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质： 1．奇偶性 根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数． 2．周期性 对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？ 假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π 2 x =，得ππ1sin sin cos 22T T ⎛ ⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ， 则sin cos x v x u ==，． 当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ， 与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R 便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．
摩天轮三角函数范文 摩天轮是一种由巨大的框架支撑起来的旋转游乐设施，于19世纪末 开始在世界各地的城市中兴起。摩天轮通常由巨大的轮盘和连在轮盘上的 载客舱构成。随着轮盘的运转，载客舱会随之上升和下降，游客可以在舱 内观赏到美丽的城市景色。 想要深入了解摩天轮的运动规律，我们需要借助三角函数的概念和性质。三角函数是描述角度与边长之间关系的一类函数，包括正弦函数、余 弦函数和正切函数等。在摩天轮的运动中，我们要研究角度与高度之间的 关系，因此正弦函数和余弦函数是最为重要的工具。 根据三角函数的定义，正弦函数和余弦函数可以表示如下： sinθ = y cosθ = x 其中，θ为角度，y为纵坐标，x为横坐标。由于单位圆的半径为1，所以x²+y²=1，这是一个单位圆的方程。因此，将载客舱所在的角度与其 在圆周上的坐标关联起来，我们可以得到载客舱高度与角度之间的函数关系。 以摩天轮的最低点所在的角度θ=0作为起始点，我们可以确定正弦 函数和余弦函数的周期为2π。当载客舱在不同的角度上升和下降时，其 高度h可以通过正弦函数进行描述： h = A + B*sin(ωt + φ)
A为摩天轮的轴心高度，B为摩天轮半径，ω为角速度，t为时间，φ为初相位，决定了载客舱相对轴心的位置。这个式子说明了载客舱高度与时间之间的关系，可以用来计算任意角度下的载客舱高度。 除了高度，我们还可以研究速度和加速度与角度之间的关系。在物理学中，速度是位移的导数，加速度是速度的导数。位移可以通过载客舱高度与摩天轮半径的差值计算，速度和加速度则可以通过位移的导数和二阶导数来计算。因此，我们可以利用三角函数的导数公式来推导载客舱的速度和加速度。 通过研究载客舱高度、速度和加速度与角度之间的关系，我们可以更加深入地了解摩天轮的运动规律。这些规律可以帮助我们设计更加安全和舒适的摩天轮，提升游客的体验。此外，摩天轮也是数学和物理知识在工程实践中的应用之一，通过研究摩天轮的运动，我们可以拓展数学和物理的应用领域，深化对三角函数的理解和应用。 总结起来，摩天轮的运动可以利用三角函数来描述和计算。通过正弦函数和余弦函数，我们可以建立载客舱高度与角度之间的函数关系，推导载客舱的速度和加速度。深入研究摩天轮的运动规律不仅可以帮助我们更好地理解旋转机械的运动，还可以拓展数学和物理的应用领域，为工程实践提供理论依据。
三角函数实际运用摩天轮的例题 摩天轮，也被称作“救生船”，是一种游乐设施，常见于游乐园 和海滨地带。它以特定的半径和角度旋转，以生成令人激动的动画效果。它们也可以模仿天文现象，如极星和月亮，通过旋转来表现出来。由于摩天轮通常使用数学模型，因此它可以由三角函数进行计算和分析。 三角函数是许多数学/物理/工程等课程中学习的基本数学概念。它是一种圆周率模型，可以让人们用数学公式来解决复杂的解决方案。运用三角函数，可以根据摩天轮构型计算摩天轮的运动参数，包括半径、速度和动态角度等。例如，如果我们想要构建一款摩天轮，它的轴心距离应该至少为4米，它的旋转方向应该以每分钟2圈的速度旋转，而其动态角度则应当根据摩天轮的构型来决定。为此，我们可以使用下面的三角函数计算出来： ω=2πr/T 其中，ω是角速度，r是摩天轮的半径（以米为单位），而T则 是旋转一周所需要的时间（以秒为单位）。假设摩天轮的宽度为4米，则我们可以得出ω=4π/60的结果，这表明摩天轮的角速度为4π/60，也就是每秒旋转4π/60弧度。 此外，要确定摩天轮的旋转方向，我们还需要运用另一种三角函数：余弦函数。它可以帮助我们计算出摩天轮的动态角度。假设当摩天轮旋转时，它的转轴从原点开始，那么我们可以使用下面的公式来计算摩天轮的动态角度：
θ=cos(ωt) 其中，θ是摩天轮的动态角度，而ω是上面提到的角速度，而t 则是摩天轮已经旋转的时间（以秒为单位）。假设摩天轮已经旋转了30秒，那么我们可以使用τ=cos(4π/60×30)公式，得出τ=0.5的结果，这表明摩天轮已经旋转了π/3弧度，也就是60度。 以上，就是如何使用三角函数来计算摩天轮的半径、速度和动态角度的示例。它们可以帮助摩天轮工程师、游乐园设计师和管理人员的工作，以帮助他们确保摩天轮的安全运行和精准设计。
高一数学三角函数的概念、图像与性质 【重难点知识点网络】： 【重难点题型突破】： 一、扇形的周长与面积 例1 .(1)、（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆 心角为2 3 ，则此弧田的面积为__________． (2)、（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（）
A ．8π-B ．8π-C ．16π-D ．16π- 【变式训练1-1】、（2022·全国·高三专题练习）如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________. 【变式训练1-2】、（2022·广东·东涌中学高三期中）古代文人墨客都善于在纸扇上题字、题画，题字、题画的部分多为扇环.如图是扇环的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若 1 28S S =，则12 l l =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
三角函数实际运用摩天轮的例题 摩天轮是一种受到人们喜爱的游乐设施，其座舱固定在一个巨大的转轮上，可以随着转动而上升和下降。在这个过程中，可以利用三角函数的概念和公式来解决一些与摩天轮相关的实际问题。 首先，我们可以通过一个具体的例子来说明摩天轮的实际运用。假设一辆摩天轮的半径为30米，转动一周的时间为4分钟。我们有以下问题要解决： 1.摩天轮的角速度是多少？ 2.摩天轮的终点速度是多少？ 3.座舱离地面的高度在转动过程中如何变化？ 4.座舱在t秒时的高度是多少？ 要解决这些问题，首先我们需要定义一些符号： -角速度（ω）：摩天轮每秒转动的角度，单位为弧度/秒 -角度（θ）：摩天轮转动到一些位置时的角度，单位为弧度 -时间（t）：从摩天轮开始运动至其中一时刻的时间，单位为秒 -高度（h）：座舱离地面的垂直距离，单位为米 问题1：摩天轮的角速度是多少？ 角速度是指单位时间内物体转过的角度。在这个问题中，我们知道摩天轮每4分钟转一周，因此转动一周的时间为240秒。根据定义，角速度（ω）等于转动角度（2π）除以转动时间（240秒）：
问题2：摩天轮的终点速度是多少？ 终点速度是指物体在旋转过程中到达的最高点或最低点时的速度。在 这个问题中，我们可以使用角速度和半径的关系来计算终点速度。根据定义，终点速度（v）等于角速度（ω）乘以半径（r）： 因此，摩天轮的终点速度约为0.7854米/秒。 问题3：座舱离地面的高度在转动过程中如何变化？ 座舱离地面的高度可以通过三角函数来计算。在这个问题中，我们可 以将摩天轮看作一个圆，中心为地面，半径为30米。座舱在转动过程中 会沿着圆周上升和下降。我们可以设想一个直角三角形，其中底边为半径，高为座舱离地面的高度，斜边为摩天轮到达的位置和地面之间的距离。 根据三角函数的定义，正弦函数表示直角三角形中的对边比斜边，可 以用来求得座舱离地面的高度。在这个问题中，我们可以使用正弦函数来 计算座舱离地面的高度。 设座舱离地面的高度为h，角度为θ，则有以下关系： sin(θ) = h / r 解出h的表达式： h = r * sin(θ) = 30 * sin(θ) 因此，座舱离地面的高度h等于半径r乘以正弦函数的值。 问题4：座舱在t秒时的高度是多少？ 在这个问题中，我们需要根据给定的时间t来求解座舱的高度。首先，我们需要将给定的时间转换为角度。
高一数学必修一《三角函数的应用》同步练习 一、选择题： 1、已知某人的血压满足函数关系式f （t ）=24sin160πt+110，其中f （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），则此人每分钟心跳次数为（ ） A. 80 B. 100 C. 90 D. 75 2、如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩 天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度π π40sin 506 2h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（单位： m ），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续( )min ． A. 4 B. 10 C. 9 D. 6 3、已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A ．()() 2 2 2πf x x x =- B ．()cos πf x x x =+ C ．()sin f x x x = D ．()2 cos 1f x x x =+- 4、某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为( ) A ．75米 B ．85米 C ．100米 D ．110米 5、如图所示，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米(在水面下则d 为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d ＝Asin(ωt
＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，－π2<φ<π2.当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π 6 ；④k ＝5.则其中正确是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D.①②③④ 6、已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f （t ），经长期观测，y=f （t ）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象，下表是某日各时的浪高数据： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 2 3 2 1 32 2 32 32 2 则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( ) A ．y=1π cos 26 t+1 B ．y=1πcos 26t+3 2 C ．y=2cos π6t+3 2 D ．y= 12cos6πt+32 二、填空题： 7、设偶函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωφωφ=+>><<的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，1KL =，则16f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的值为 . 8、如图所示，一个半径为10 m 的摩天轮，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（∠POA=30°）时开始计时． 在摩天轮转动一圈内，约有 时间此人相对于地面的高度不小于17m ．
5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章) 一、教学目标 1.让学生经历匀速圆周运动的数学建模过程，了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的现实背景，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系. 2. 依托现实情境，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养. 二、教学重难点 1. 教学重点：用函数y＝A sin(ωx＋φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程. 2.教学难点：将实际问题抽象为数学问题的过程. 三、教学过程 1.承上启下，激发兴趣 引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？ 设计意图：承上启下，让学生感受到之前只是研究了一个特殊的问题，需要进一步研究一般的匀速圆周运动，从而明确目标，激发兴趣． 2.新知探究，构建模型 2.1 模型的建立 问题1：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）． 图1 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个筒车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离
水面的相对高度与时间的关系吗？ 预设的师生活动：请学生叙述建模的构想． 预设答案：因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的 运动规律. 问题2：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 预设的师生活动：从圆周运动这个视角下进行整体分析：角速度、半径、初始位置、 圆心角及建系，同时帮助学生抽象出相应的数学问题． 预设答案：如图2，相关的量有：水车半径r，水车中心距水面的高度h；水车转动的 角速度ω；初始位置所对应的角φ；水车转动的时间t；盛水筒距离水面的相对高度H； 若以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角s坐标系.设t=0时，盛水 筒位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x,y).于是，以 Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，并且有 y＝r sin(ωt＋φ). ①所以，盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是： 图2 H＝r sin(ωt＋φ)＋h．② 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规 律了.由于h为常量，我们可以只研究函数①的性质. 设计意图：通过筒车模型引入和建立三角函数的数学模型，体现数学的实际价值，表 示其上质点匀速圆周远动，引出这一课时的核心内容． 2.2 模型的巩固和应用 例.如图3，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱 里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m， 转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座 舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min． （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在 转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； 图3 （2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地 面的高度差的最大值（精确到0.1）． 预设的师生活动：学生讨论，然后回答． 提问：你打算选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？
课题学习：摩天轮中的数学问题（2） 西安远东二中张勇 一．教材分析及重难点把握 （一）教材分析 1．地位与作用：本节内容选自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）（北师大版）．本节教学是在三角函数与三角函数恒等变形学习完成后的一节课题学习，旨在让学生感受生活中存在的周期现象，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，通过数学建模体验数学与日常生活的紧密联系，并尝试运用已有的数学知识和方法解决这一实际问题，使其养成用数学用数学的眼光观察生活，用数学的思想方法解决的思维习惯 2 对课题学习的解读：数学课题学习，即数学研究性学习，就是将研究性学习的思想和方法体现在数学学科教学中，使教学过程变成一种科研或微科研的过程，让学生在获取知识的同时，参与体验研究性学习过程，学生通过亲身实践获得感悟和体验，获得丰富的非结构性的知识 3 课题学习的特点和教法的选择：数学课题学习强调学生探究问题的过程，并且过程具有开放性，同时学生掌握学习的自主权因此教师只是活动的组织者和参与者，所以本节课以学生自主探究、自主学习、合作交流为主 （二）重难点及突破 根据学生的认知水平，将“实际问题转化为数学问题”为本节的重难点，采取小组合作讨论的形式进行突破，“建立函数关系式——解决问题的过程”也本节重点 二．三维目标： 1 知识与技能：借助对实际模型的分析与解决，进一步巩固和掌握三角函数y=A sin(ωx+φ)+b，y=Acos(ωx+φ)+b，的图像和性质 2 过程与方法：通过对实际背景的研究过程，体会函数是重要的数学模型，三角函数是刻画与描述现实世界中具有周期变化规律的重要函数；经历观察、猜测、分析数学事实，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论或规律这一过程，初步掌握数学建模的一般方法，提升学生的数学应
2021-2022学年湘教版(2019) 高一数学必修第一册 第5章 第五节 三角函数模型的简单应用 一、单选题 1．音叉由钢质或铝合金材料所制成，由两个振动臂（叉臂）和一个叉柄组成（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P 离开平衡位置的位移y 与时间t 的函数关系为1 sin 1000 y t ω= ．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（ ） A ．200 B ．400 C ．200π D ．400π 【答案】D 【分析】直接利用周期公式求出ω. 【详解】由题可得，0>ω，114800200T =⨯=，即21200 πω=，则400ωπ=． 故选：D ． 2．如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m ，最高点距地面135m ，运行一周大约30min ，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min 时他距地面大约为（ ） A ．95m B ．100m C ．105m D ．110m 【答案】C 【分析】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为
()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈，根据已知条件求出 ()f t =60cos 7515 t π -+，再求(10)f 得解. 【详解】设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为()sin()f t A t B ωϕ=++(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈， 由题意可知60A =，1356075B =-=，230T π ω ==，所以15 π ω= ， 即()60sin 7515f t t πϕ⎛⎫ =++ ⎪⎝⎭ . 又因为(0)13512015f =-=， 解得sin 1ϕ=-，故32 π ϕ= ， 所以()f t =360sin 7560cos 7515215t t π ππ⎛⎫ + +=-+ ⎪⎝⎭ ， 所以2(10)60cos 751053 f π =-⨯+=. 故选：C 3．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线sin()y A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02ϕπ≤<）的振幅为1，周期为2π，初相为 2 π ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x = C ．sin y x =- D ．cos y x =- 【答案】D 【分析】设噪声的声波曲线sin()y A x ωϕ=+，由题意求出A ，ω，ϕ，即可得到降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【详解】由噪声的声波曲线sin()y A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02ϕπ≤<）的振幅为1，周期为2π，初相为 2 π，可得2212T ππ ωπ= ==，1A =，2ϕπ=，所以噪声的声波曲线的解析式为sin cos 2y x x π⎛ ⎫ =+= ⎪⎝ ⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 cos y x =-. 故选D ．
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版 班级:___________姓名：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定2sin 6h t πφ⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ ，[)0,t ∈+∞和(),φππ∈-.已知当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，则 小球在0=t 秒时h 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ． D 2．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的2 3 ，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（ ） A ． 3 H B ． 4 H C ． 5 H D ． 6 H 3．如图为函数()sin ,()f x x x αα=⋅∈R 的部分图象，则α的值可能是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140mmHg ～和6090mmHg ～．心脏跳动时，则血压在增加或减
小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考 报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式()sin (0)p t a b t ωω=+>，其中()p t 为血压(mmHg)t ，为时间(min)，其函数图像如上图所示，则下列说法错误．． 的是（ ） A ．收缩压为120mmHg B ．80ωπ= C ．舒张压为70mmHg D ．95a = 5．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定： s 1＝5sin 26t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，s 2＝5cos 23t π⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭． 则在时间t ＝23 π 时，则s 1与s 2的大小关系是（ ） A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2 D ．不能确定 6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O 距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ） A ．83 B ．3 C ． 103 D ． 113 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如