2020届高中数学 第 1 页 共 1 页 2020届高中数学：指数型函数模型
1. 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到2017年为止，森林剩余面积为原来的22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到2017年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)从2017年起，还能砍伐多少年？
解：(1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)，
则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12
， 解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.
(2)设经过m 年剩余面积为原来的22
， 则a (1－x )m ＝22
a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212， 即m 10＝12
，解得m ＝5. 故到2017年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从2017年起还能砍伐n 年，
则n 年后剩余面积为22
a (1－x )n . 令2a 2(1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 所以⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，解得n ≤15.
故从2017年起还能砍伐15年．
【点拨】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
2. 已知某工厂生产某种产品的月产量y (单位：万件)与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件，则该产品3月份的产量为________万件．
解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＋b ＝1，（0.5）2a ＋b ＝1.5， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 故当x ＝3时，y ＝－2×0.53＋2＝1.75.故填1.75.
第4章 幂函数、指数函数与对数函数精讲精练 知识梳理 一、幂函数 1、幂的有关概念： 正整数指数幂：*)n n a a a a n N =?????∈个 （ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：* 1(0,)p p a a p N a -= ≠∈ 分数指数幂： m *n (0,,1)n m a a a m n N n =>∈>且 *11 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a -== >∈>
2、幂函数的定义： 形如k y x =的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，高中阶段指数取有理数k 。 3、幂函数的图象. 根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质. 4、幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1） ?k>0时：（图A ）
（1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大（增函数）。 ?k<0时；（图B ） （1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。 ?设幂函数k y x =的指数q k p = ，其中p 、q 互素 当p 是偶数时，k y x =的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数； 当p 是奇数时，如果q 是偶数，那么k y x =是偶函数；如果q 是奇数，那么k y x =是奇函数 当0k ≠时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到 二、指数函数 1.根式的运算性质：(1)当n 为任意正整数时， ()n =a (2)当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=? ??<-≥)0() 0(a a a a (3)根式的基本性质： n m np mp a a =，（a ≥0） n a
第1课时指数函数的概念、图象与性质 学习 目标核心素养 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养. 1．指数函数的概念 一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2．指数函数的图象和性质 a的范围a＞10＜a＜1 图象 性质 定义域R 值域(0，＋∞) 过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性在R上是增函数在R上是减函数 奇偶性非奇非偶函数 对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称 y a x a a 提示：指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图 象具有上升趋势；当0 1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2 x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2x D ．y ＝3－x D [由指数函数的定义可知D 正确．] 2．函数y ＝3－x 的图象是( ) A B C D B [∵y ＝3－x ＝? ?? ??13x ，∴B 选项正确．] 3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝? ?? ??12x D ．f (x )＝x 1 3 B [设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (3)＝8得 a 3＝8，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ，故选B.] 4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． (1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a >1.] 指数函数的概念 【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2 －1；③y ＝a x ； ④y ＝2·3x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 (2)已知函数f (x )为指数函数，且f ? ????－32＝39，则f (－2)＝________. (1)D (2)1 9 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 2020届高中数学 第 1 页 共 1 页 2020届高中数学：指数型函数模型 1. 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到2017年为止，森林剩余面积为原来的22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到2017年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)从2017年起，还能砍伐多少年？ 解：(1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12 ， 解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22 ， 则a (1－x )m ＝22 a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212， 即m 10＝12 ，解得m ＝5. 故到2017年为止，该森林已砍伐了5年． (3)设从2017年起还能砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22 a (1－x )n . 令2a 2(1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 所以⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，解得n ≤15. 故从2017年起还能砍伐15年． 【点拨】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算． 2. 已知某工厂生产某种产品的月产量y (单位：万件)与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件，则该产品3月份的产量为________万件． 解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＋b ＝1，（0.5）2a ＋b ＝1.5， 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 故当x ＝3时，y ＝－2×0.53＋2＝1.75.故填1.75. 4．5.3函数模型的应用 1．能利用已知函数模型求解实际问题． 2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性． 1．常见的函数模型 建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型： 指数函数模型：y＝b·a x＋c(a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型y＝mlog a x＋n(a>0且a≠1，m≠0)． 2．常见的图象对应的数学模型 (1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝ba x ＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型． (2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blog a x ＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型． (3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型． (4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型． 1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？ [答案]指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数增长速度均匀不变 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．() (2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．() (3)函数y＝1 2·3 x＋1属于幂函数模型．() (4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y＝2x＋1.() [答案](1)√(2)√(3)×(4)√ 题型一利用已知函数模型解决实际问题 【典例1】我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L I表示，它们满足以下公式： L I＝10·lg I I0(单位为分贝，L I≥0，其中I0＝1×10 －12，这是人们平 均能听到的最小强度，是听觉的开端)． 回答以下问题： (1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围． [解](1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则 专题04 函数模型 【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+， 其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 C 将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解. ()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t K I t K e **--==+，则()0.235319t e *-=， 所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23 t *≈+≈. 故选：C. 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用． 【命题规律】高考近几年对这部分的考查较少，根据知识点的难度，如果明年仍然考查这一考点，估计考查形式为选择题或填空题． 【答题模板】应用问题的解法 解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，其一般步骤为： (1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系； (2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型； (3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论； (4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答． 【方法总结】 1．解答数学应用题的关键有两点： 第9讲函数模型及其应用 1．几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋b x＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝b a x＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝b log a x＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 y＝a x(a>1) 增函数 越来越快 y＝log a x(a>1) 增函数 越来越慢 y＝x n(n>0) 增函数 相对平稳图象的变化 随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x 轴接近平行轴接近平行 随n值变化而不同 导师提醒 1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 2．关注解决函数应用问题应注意的3个易误点 (1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错． (2)解应用题建模后一定要注意定义域． (3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．() (2)不存在x ，使ax 数学建模-指数函数模型的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．观察实际情景，提出并分析问题 （1）实际情景 2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果. （2）提出问题 如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？ （3）分析问题 可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作. 2.收集数据 利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据. 例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数， 请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数. 3．分析数据 累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用 图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示： 当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型 根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型 画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好. 6．问题解决 该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施. 7．问题拓展 函数模型及其应用 1、下表是某次丈量中两个变量x, y 的一组数据，若将y 表示为对于x 的函数，则最可能的函数模型是 ( ) x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C.指数函数模型 D. 对数函数模型 1 x 2、下边对函数 f (x) log 1 x, g( x) ，与 h( x) x 在区间 (0, ) 上的递减状况说法正确 2 2 的是 ( ) A. f ( x) 递减速度愈来愈慢，g( x) 递减速度愈来愈快，h(x) 递减速度不变 B. f ( x) 递减速度愈来愈快，g( x) 递减速度愈来愈慢，h(x) 递加速度愈来愈快 C. f ( x) 递减速度愈来愈慢，g( x) 递减速度愈来愈慢，h(x) 递加速度不变 D. f ( x) 递减速度愈来愈快，g( x) 递减速度愈来愈快，h(x) 递减速度愈来愈快 3、四人赛跑，假定他们跑过的行程 f i ( x) （此中 i 1,2,3,4 ）和时间 x( x 1) 的函数关系分别是 f1 (x) x2 , f2 (x) 4x, f 3 (x) log 2 x, f 4 (x) 2 x，假如他们向来跑下去，那么最后跑在最前面的人拥有的函数关系是 ( ) A. f1 (x) x2 B. f 2 (x) 4 x C. f 3 ( x) log2 x D. f4 (x) 2x 4、将进货单价为80 元的商品按90 元销售时，能卖出400 个 .若该商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚取最大的收益，售价应定为每个( ) A.115 元 B.105 元 C.95 元 D.85 元 5、有一组实验数据以下表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 以下所给函数模型较合适的是( ) A. y log a x(a 1) B. y ax b(a1) 4．2.2指数函数的图象和性质 内 容 标 准 学 科 素 养 1.通过具体的指数函数，总结指数函数的性质、单调性及特殊点． 数学抽象 逻辑推理、数学运算 2.会利用指数函数的性质解决指数函数问题. 授课提示：对应学生用书第54页 [教材提炼] 知识点指数函数的图象和性质 预习教材，思考问题 y ＝2x 与y ＝(1 2)x 的单调性有什么不同？ 知识梳理 0＜a ＜1 a ＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 减函数 增函数 无奇偶性 1．若3x ＋ 1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：3x ＋1<1＝30，∵y ＝3x 是增函数， ∴x ＋1<0，∴x <－1. 答案：D 2．下列判断正确的是( ) A ．1.51.5＞1.52 B ．0.52＜0.53 C．e2＜2e D．0.90.2＞0.90.5 答案：D 3．y＝3x2＋1的值域是________． 解析：设t＝x2＋1，则t≥1，∵y＝3t是增函数，∴y＝3t≥31＝3. 答案：[3，＋∞) 4．对任意实数m、n，当m＞n时，恒有a m＜a n，则a的取值范围为________． 答案：(0,1) 授课提示：对应学生用书第54页探究一利用指数函数单调性比较大小 [例1]比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.50.3和0.81.2. [解析](1)函数y＝1.5x在R上是增函数， ∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)函数y＝0.6x在R上是减函数， ∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数的性质知 1．50.3＞1.50＝1， 而0.81.2＜0.80＝1， ∴1.50.3＞0.81.2. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小 函数模型及其应用 1、下表是某次测量中两个变量,x y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是( ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 2、下面对函数12 1()log ,()2x f x x g x ⎛⎫ == ⎪⎝⎭，与()h x x =在区间(0,)+∞上的递减情况说法正确 的是( ) A.()f x 递减速度越来越慢，()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度不变 B.()f x 递减速度越来越快，()g x 递减速度越来越慢，()h x 递增速度越来越快 C.()f x 递减速度越来越慢，()g x 递减速度越来越慢，()h x 递增速度不变 D.()f x 递减速度越来越快，()g x 递减速度越来越快，()h x 递减速度越来越快 3、四人赛跑，假设他们跑过的路程i ()f x （其中{}i 1,2,3,4∈）和时间(1)x x >的函数关系分别是212324(),()4,()log ,()2x f x x f x x f x x f x ====，如果他们一直跑下去，那么最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A.21()f x x = B.2()4f x x = C.32()log f x x = D.4()2x f x = 4、将进货单价为80 元的商品按90元出售时，能卖出400个.若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( ) A.115元 B.105元 C.95元 D.85元 5、有一组实验数据如下表所示： 下列所给函数模型较适合的是( ) A.log (1)a y x a => B.(1)y ax b a =+> 2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章4.4 第3课时不同函数增长 的差异含解析 第3课时不同函数增长的差异 学习目标核心素养 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增 长的含义．(重点) 2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点）3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。 澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只,喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长． 问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律? 提示：都是增函数,而y＝a x（a〉1)增长速度越来越快；y＝log a x(a〉1）在（0，＋∞）上增长速度非常缓慢． 三种函数模型的性质 y＝a x（a〉1）y＝log a x(a>1)y＝kx（k〉0)在（0,＋∞)上的 增减性 增函数增函数增函数 图象的变化趋 势随x增大逐渐 近似与y轴平 行 随x增大逐渐 近似与x轴平 行 保持固定增长 速度 增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝log a x （a〉1）的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x〉x0时，有a x>kx〉log a x 1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） (1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．() （2）当a〉1，n>0时,在区间(0,＋∞)上，对任意的x,总有log a x 〈x n〈a x成立．(） (3)函数y＝log错误!x衰减的速度越来越慢．（) [答案］（1)×(2)×(3)√ 2．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（） 【新教材】4.2.2 指数函数的图像和性质（人 教A版） 1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质； 3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 1.数学抽象：指数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小： 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点：指数函数的图象和性质； 难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质． 一、预习导入 阅读课本111-113页，填写。 1．指数函数的图像与性质 过点时，y＝__ 1．函数y＝(3－1)x在R上是( ) A．增函数B．奇函数 C．偶函数 D．减函数 2．函数y＝2－x的图象是( ) 3．函数f(x)＝2x＋3的值域为________． 题型一指数函数的图象问题 题点一：指数型函数过定点问题 例1函数y＝a x－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________． 题点二：指数型函数图象中数据判断 例2函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0 题点三：作指数型函数的图象 例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的． (1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x. 跟踪训练一 1、如图是指数函数:①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( ) A.a 4．4 对数函数 最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用. 知识点一对数函数的概念 函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 状元随笔形如y＝2log2x，y＝log2x 3 都不是对数函数，可称其为对数型函数． 知识点二对数函数的图象与性质 状元随笔底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． 知识点三反函数 一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． [教材解难] 1．教材P130思考 根据指数与对数的关系，由y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫125730 x (x ≥0)得到x ＝log (0＜y ≤1)．如图， 过y 轴正半轴上任意一点(0，y 0)(0＜y 0≤1)作x 轴的平行线，与y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫125730 x (x ≥0)的图象 有且只有一个交点(x 0，y 0)．这就说明，对于任意一个y ∈(0,1]，通过对应关系x ＝log ， 在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝ log ，y ∈(0,1]刻画了时间x 随碳14含量y 的衰减而变化的规律． 2．教材P 132思考 利用换底公式，可以得到y ＝log 12 x ＝－log 2x .因为点(x ，y )与点(x ，－y )关于x 轴对 称，所以y ＝log 2x 图象上任意一点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1(x ，－y )都在y ＝log 12 x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log 2x 的图象画出y ＝log 12 x 的图象． 3．教材P 138思考 一般地，虽然对数函数y ＝log a x (a ＞1)与一次函数y ＝kx (k ＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x 的增大，一次函数y ＝kx (k ＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y ＝log a x (a ＞1)的增长速度越来越慢．不论a 的值比k 的值大多少，在一定范围内，log a x 可能会大于kx ，但由于log a x 的增长慢于kx 的增长，因此总会存在一个 3.2.1 几类不同增长的函数模型 知识点一常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸． 3．对数函数模型 能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢． 4．幂函数模型 幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快． 知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较 1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上． 2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( ) (2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x 2.9函数模型及其应用 必备知识预案自诊 知识梳理 1.常见的函数模型 （1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)； (2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）； (3）反比例函数模型:f（x）=k k （k为常数，k≠0)； （4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）； （5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1); （6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）； (7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1, k2(k),k∈k2, k3(k),k∈k3; （8）对勾函数模型:y=x+k k （a为常数，a>0）。 2。指数、对数、幂函数模型的性质比较 性质函数 y=a x (a>1） y=log a x （a〉1) y=xα （α〉0） 在(0，+∞)内 的 增 减 性 增 长 速 度 越来越快越来越慢相对平稳 图像的变化随x的增 大 逐渐表现 为 与 平行 随x的增 大逐 渐表现为 与 平行 随α值变 化 而各有不 同 值 的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x 考点自诊 1。判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。 (1）幂函数增长比一次函数增长更快。（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（） (3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。（） (5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。(）2。(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 加油时间加油量 (升） 加油时的 累计里程 (千米) 2020年1235 000 第二篇 函数及其性质 专题2.05 指数与指数函数 【考试要求】 1.通过对有理数指数幂a m n (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 【知识梳理】 1.根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：(n a)n ＝a(a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n an ＝a ，当n 为偶数时， n an ＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a >1 00时，y >1； 当x <0时，y >1； 第3课时 不同函数增长的差异 问题导学 预习教材P136－P138，并思考以下问题： 1．函数y ＝kx (k >0)、y ＝a x (a >1)和y ＝log a x (a >1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？ 2．函数y ＝kx (k >0)、y ＝a x (a >1)和y ＝log a x (a >1)的增长速度有什么不同？ 三种函数模型的性质 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( ) (2)函数y ＝x 2 比y ＝2x 增长的速度更快些．( ) (3)当a >1，k >0时，对∀x ∈(0，＋∞)，总有log a x 新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：4.2.1指数函数的概念含解析 4.2指数函数 4．2.1指数函数的概念 [目标] 1。能说出指数函数的定义；2。记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题． [重点] 指数函数的概念、图象、性质． [难点] 指数函数性质的概括总结． 知识点一指数函数的概念 [填一填］ 一般地，函数y＝a x(a〉0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. ［答一答] 1．下列函数是指数函数吗？ ①y＝3x＋1;②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2. 提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．2．指数函数定义中为什么规定a〉0且a≠1？ 提示:①如果a＝0，当x>0时,a x恒等于0;当x≤0时，a x无意义． ②如果a〈0，例如y＝(－4)x,这时对于x＝错误!，错误!，…，在实数范围内的函数值不存在． ③如果a＝1,则y＝1x是一个常量,无研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定a〉0且a≠1. 知识点二指数函数的图象和性质 [填一填] ［答一答] 3．观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x的图象如图所示，能得到什么规律？ 提示：（1)当a>1时,a的值越大，图象越靠近y轴,递增速度越快． （2）当0 第二篇函数及其性质 专题2.09函数与数学模型 【考试要求】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律； 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义； 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 【知识梳理】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 2.几种常见的函数模型 【微点提醒】 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( ) (3)不存在x 0，使ax 02020届高中数学：指数型函数模型
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