4.5.3函数模型的应用
学习目标核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.
1．常用函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型y＝
⎩
⎨
⎧ax＋b(x cx＋d(x≥m) 2.建立函数模型解决问题的基本过程 思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是() x 45678910 y 15171921232527 C．指数函数模型D．对数函数模型 A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.] 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只 C．600只D．700只 A[将x＝1，y＝100代入y＝a l o g2(x＋1)得，100＝a l o g2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100l o g2(7＋1)＝300.] 3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．] 4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年． 7 [设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4,7)， 所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11. 解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7，所以有营运利润的时间不超过7年．] 利用已知函数模型解决实际问题 【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的 初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12t h ，其中 T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ [解] 先设定半衰期h ，由题意知 40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 1220 h ， 即14＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1220h ， 解之，得h ＝10，故原式可化简为 T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 12t 10， 当T ＝32时，代入上式，得 32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 12t 10， 即⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12t 10 ＝864＝18＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫123 ，∴t ＝30. 因此，需要30 min ，可降温到32 ℃. 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 1．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧ t ＋20(0 (t ∈N *) 设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0 [解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ， 所以y ＝⎩⎨⎧ －t 2＋20t ＋800(0 t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *) ①当0 ②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 自建确定性函数模型解决实际问题 【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际 畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)． (1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值． [思路点拨] 畜养率―→空闲率―→y 与x 之间 的函数关系――→单调性 求最值 [解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x m (0 m (x 2－mx ) ＝－k m ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －m 22＋km 4，即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4. 1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y 关于x 的函数解析式？ [解] 根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，因为羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成反比，由此可得y ＝ k x ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫1－x m (0 [解] 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0 因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0 4 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 拟合数据构建函数模型解决实际问题 [探究问题] 1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定． 2．对于收集的一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？ 提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律． 【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示： x 1 2 3 4 f (x ) 4.00 5.58 7.00 8.44 (1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图； (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； (3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？ [思路点拨] 描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模 [解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝1.5， b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5. 检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1. ∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化． (3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件． 函数拟合与预测的一般步骤： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图. (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表： 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 3 8.85 47.25 55.05 映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式； (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？ [解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图． 根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型． 取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎨⎧ 7.9＝a ·b 70，47.25＝a · b 160 ，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x . 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系． (2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖． 1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论． 2．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 1．思考辨析 (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．根据日常生活A 、B 、C 、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( ) A B C D [答案] B 3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．y ＝0.957 6x 100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 0.957 6100x D ．y ＝1－0.042 4x 100 A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100 ，即y ＝0.957 6x 100 .] 4．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 k m /h 的速度返回A 地． (1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象； (2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)． 综上，s ＝⎩⎨⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)， 325－50t (3.5＜t ≤6.5)， 它的图象如图(1)所示． (1) (2) (2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎨⎧ 60(0≤t ≤2.5)， 0(2.5＜t ≤3.5)， －50(3.5＜t ≤6.5)， 它的图 象如图(2)所示． 高考数学：试卷答题攻略 一、“六先六后”，因人因卷制宜。 考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同 科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。 二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。 审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。 三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。 对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。 四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。 对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。 第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。 第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误， 结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。 第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。 4.5.3函数模型的应用 学习目标核心素养 1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养. 1．常用函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数模型y＝ ⎩ ⎨ ⎧ax＋b(x (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是() x 45678910 y 15171921232527 C．指数函数模型D．对数函数模型 A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.] 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只 C．600只D．700只 A[将x＝1，y＝100代入y＝a l o g2(x＋1)得，100＝a l o g2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100l o g2(7＋1)＝300.] 3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．] 4．5.3 函数模型的应用 考点学习目标核心素养 指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际 问题 数学建模 根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函 数模型求解问题 数学建模 问题导学 预习教材P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？ 几类常见的函数模型 名称解析式条件一次函 数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型y＝ k x ＋b k≠0 二次函数模型 一般式： y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ x＋ b 2a 2 ＋ 4ac－b2 4a a≠0 指数函数模型y＝b·a x＋c a>0且a≠1， b≠0 对数函数模型y＝m log a x＋n a>0且a≠1， m≠0 幂函数模型y＝ax n＋b a≠0 2 这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( ) A．300只B．400只 C．500只D．600只 解析：选A.由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品 的产量y 满足( ) A ．y ＝a (1＋5%x ) B ．y ＝a ＋5% C ．y ＝a (1＋5%) x －1 D ．y ＝a (1＋5%)x 解析：选D.经过1年，y ＝a (1＋5%)，经过2年，y ＝a (1＋5%)2 ，…，经过x 年，y ＝a (1＋5%)x . 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51 ＋b ，1.5＝a ·0.52 ＋b ， 得⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＝－2， b ＝2， 所以y ＝－2×0.5x ＋2， 所以3月份产量为 y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75万件 指数型函数模型的应用 一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等， 当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 【解】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0 4.5.3 函数模型的应用 基础过关练 题组一 利用已知函数模型解决问题 1.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)={√x 4.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1000万元.问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益? 题组二建立函数模型解决问题 5.(2020山东烟台高一上期末)某商家准备在2020年春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比() 4.5.3 函数模型的应用 必备知识基础练 知识点一 指数函数、对数函数模型 1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38) A ．38% B ．41% C ．44% D ．73% 2．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477) 知识点二 已知函数模型的应用问题 3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( ) 4．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%， 而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂 质含量减少13，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据： lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 知识点三 建立拟合函数模型解决实际问题 5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示． 时间 1 2 3 4 A ．y ＝(3n ＋5)×1.2n ＋2.4 B ．y ＝8×1.2n ＋2.4n C ．y ＝(3n ＋8)×1.2n ＋2.4 D ．y ＝(3n ＋5)×1.2n －1＋2.4 5．(易错题)某城市出租车起步价为10元，最远可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 增加1.6元(不足1 km 按1 km 计费)，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( ) 6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的 新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已 知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经 过的天数为( ) A ．125 B ．100 C ．75 D ．50 二、填空题 7．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n 倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________． 8．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 9．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发 现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v ＝5log 2q 10(m/s)，其中q 表示燕 子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________． 三、解答题 10．(探究题)一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10年，为保护生态环境，森林面积至少需保留原面积的14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 4.5.3函数模型的应用 一、选择题 1．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年(x ∈N *)，该产品的产量y 满足( ) A ．y ＝a (1＋5%x ) B ．y ＝a ＋5% C ．y ＝a (1＋5%)x － 1 D ．y ＝a (1＋5%)x 2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Ig I I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( ) A.76倍 B ．10倍 C ．1076 倍 D ．ln 7 6 倍 3．设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa ，在1 000 m 高空处的大气压强为0.90×105 Pa ，则在600 m 高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)( ) A ．9.4×104 Pa B ．9.4×106 Pa C ．9×103 Pa D ．9×105 Pa 4．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点．当点P 沿路线A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( ) 5．(2018·唐山一中高一期中)拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费(单位：元)由函数f (m ) ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3.71，0 4.5.3 函数模型的应用 【基础知识】 知识点1.指数函数与对数函数模型 知识点2.解函数应用题的基本思路与步骤 1．建立函数模型解决实际问题的基本思路 2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．第三步，转译成实际问题的解． 知识点3.拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选 出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)． 1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据． (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图． (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型． (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步． (6)用所得函数模型解释实际问题． 2．建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤，我们用下图来表示建立拟合函数模型的一般流程． 【基础自测】 1．某厂2008年的产值为a 万元，预计产值每年以%n 的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是（） A ．13(1%)a n + B ．12(1%)a n + C ．11(1%)a n + D ．12(1%)a n - 2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为kt y e =，其中k 为常数，t 表示时间(单位：时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k =_________，经过5小时，1个 4．5.3 函数模型的应用 1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y ，t 的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是( ) A ．y ＝2t B ．y ＝2t 2 C ．y ＝t 3 D ．y ＝log 2t 答案 D 2．某市家庭煤气的使用量 x (m 3)和煤气费 f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ C ，0 所以f (20)＝4＋1 2 ×(20－5)＝11.5. 3．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a 千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t 等于( ) A ．lg 0.50.92 B ．lg 0.920.5 C.lg 0.5lg 0.92 D.lg 0.92lg 0.5 答案 C 解析 由题意知a (1－8%)t ＝a 2， 即(1－8%)t ＝1 2 ， 等式两边取常用对数得lg 0.92t ＝lg 0.5， 即t lg 0.92＝lg 0.5， ∴t ＝lg 0.5lg 0.92 ，故C 选项是正确的． 4．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100x 答案 C 解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应． 5．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( ) A ．1.00元 B ．0.90元 C ．1.20元 D ．0.80元 答案 B 解析 当x >3时，y ＝0.2＋0.1×([x ]－3)([x ]是不小于x 的最小整数)， 令x ＝550 60 ，故[x ]＝10，则y ＝0.9. 6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1 3，现在价格为8 100元的计算机9年 后的价格为________元． 答案 2 400 解析 依题意得，所求价格为 《函数模型的应用》同步检测 1.已知某林场计划第一年造林10 000平方米,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A.14 400平方米 B.172 800平方米 C.20 736平方米 D.17 280平方米 2.有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从( )年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 3.已知某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表: 则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( ) A.y=log 2(x+1) B.y=2x -1 C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1 4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2021年 B.2022年 C.2023年 D.2024年 5.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)20 mg /100 mL 的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为p 0 mg /100 mL,经过x 小时,酒精含量降为p mg /100 mL,且满足关系式p=p 0·e rx (r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89 mg /100 mL,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61 mg /100 mL,则此人饮酒后至少经过 小时方可驾车精确到1小时,参考数据:(6189)2≈0.470,(6189)3≈0.322,(6189)4≈0.221,(6189)5 ≈0.151. 6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 【新教材】4.5.3 函数模型的应用（人教A版） 本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。 课程目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 数学学科素养 1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题； 2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型； 3.数学运算：解答数学问题,求得结果； 4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答； 5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题. 重点：利用函数模型解决实际问题； 难点：数模型的构造与对数据的处理． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本148-150页，思考并完成以下问题 1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？ 2. 解决实际问题的基本过程是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.常见的数学模型有哪些? (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); +b(k,b为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)=k x (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); 注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见. (4)指数函数模型:f(x)=a·b x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1); (5)对数函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1); (6)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1); (7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 四、典例分析、举一反三 题型一一次函数与二次函数模型的应用 例1某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. ①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). ②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). ③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 课时作业37函数模型的应用 时间：45分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是(A) 解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明是高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A. 2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y＝2x－2 B．y＝2(x2－1) x C．y＝log2x D．y＝log1 2 解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(B) A ．a 12－1 B ．(1＋a )12－1 C ．a D ．a －1 解析：不妨设第一年1月份的产量为b ，则2月份的产值为b (1＋a )，3月份的产值为b (1＋a )2，依此类推，第二年1月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－b b ＝(1＋a )12－1. 4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( A ) A ．10元 B ．20元 C ．30元 D.403元 解析：依题意可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100)， ∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2， 于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，故选A. 5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( C ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元 4.5.3 函数模型的应用 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似地满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0).如表记录了铅球飞行中的x与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为( ) A．2.5 m B．3 m C．3.9 m D．5 m 2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( ) A．y＝ x 50 0.95·m B．y＝ x 50 (10.05) -·m C．y＝50x 0.95-·m D．y＝(1－50x 0.05-)·m 3．某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：h)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx＋b(k，b 为常数)，若设置储存温度0 ℃的保鲜时间是288 h，设置储存温度5 ℃的保鲜时间是144 h，则设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是( ) A．36 h B．48 h C．60 h D．72 h 4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)( ) A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8% 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．某服装公司生产的衬衫每件销售价80元，在某城市年销售8万件．现服装公司将每件衬衫的销售价降 低到80 1＋r% 元，但降价后每年的销售量会增加0.62r万件，则降价后，公司在该城市的销售额(销售额＝销售价×销售量)等于________(单位：万元). 6．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过________块这样的玻璃，光线强度能减弱到 函数模型的应用 教材要点 要点一几类已知函数模型 要点二应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． 3．求模——求解数学模型，得出数学模型． 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．（） （2）解决某一实际问题的函数模型是唯一的．（） （3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．（）（4）对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．（） 2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（） A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2D．y＝2x 3. 某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（） A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·e x＋b D．y＝a ln x＋b 4．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝a log2（x＋1），若这种动物第一年有100只，则到第15年会有只． 题型1 指数函数模型 例 1 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（） （参考数据：lg 3≈0.477） A．6 B．7 C．8 D．9 4.5 函数的应用（二）（2课时） 一、内容和内容解析 1．内容 教科书例3至例6，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程． 2．内容解析 函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.本节课是函数模型的应用的第2课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用.结合对投资回报和选择奖励模型两个问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律. 本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程.在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养. 根据上述分析，确定本节教学的教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程. 二、目标和目标解析 1．目标 能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养. 2．目标解析 达成上述目标的标志是： （1）能明确教科书例5中的数量关系，指出每个方案的函数模型，为将实际问题抽象为数学问题并化归为函数模型作准备； （2）能从教科书中的例题条件出发，根据“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选择不同的函数模型； （3）在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中，围绕“是什么数学问题”“选什么函数模型”“为什么要选某个函数模型”“怎么解答实际问题”，提升学生的数学抽象和数学建模素养. 三、教学问题诊断分析 首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题.但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识.教学时可以多从以下两方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题 4.5 函数的应用(二)思维导图 常见考法 考点一 零点的求解 【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数()f x ax b =+的零点是2(0a ≠)，则函数2 ()g x ax bx =+的零点是( ) A ．2 B ．2和0 C ．0 D ．2-和0 【答案】B 【解析】由条件知(2)0f =，∴2b a =-，∴2 ()(2)g x ax bx ax x =+=-的零点为0和2.故选B. 【举一反三】 1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f (x )＝2211 1log 1 x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，，，则函数f (x )的零点为( ) A ．，0 B ．－2，0 C ． D ．0 【答案】D 【解析】当1x ≤时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当1x >时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12 ， 又因为1x >，所以此时方程无解.综上所述，函数f (x )的零点只有0.故选：D （1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点. （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点. 2.已知函数221,1 ()1log ,1 x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________． 【答案】0 【解析】当1x ≤时，由()210x f x =-=，解得0x =； 当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得1 2 x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0. 考点二 零点区间的判断 【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数3 ()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 【答案】C 【解析】可以求得，所以函数的零点在区间(2,3) 内．故选C ． 【举一反三】 1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．(-2，-1) B ．(-1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 【答案】B 【解析】因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=15 3022 -=-<,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B ． 2．(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考(文))函数1()22x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 的零点所在区间为( ) 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 函数模型的应用实例(第一课时) 【教学设计】 一、教学内容 本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函 数模型的应用实例的第一课时。通过对例3，例4的教学让学生学习体会利用已知的函数模型 解决问题和建立确定的函数模型解决实际问题，进而掌握建立数学模型解决实际问题的一般 步骤。 二、教学目标 知识与技能目标： 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，挖掘隐含条件，建立函数模型； 2.体会分段函数模型的实际应用，规范分段函数的标准形式； 3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型； 4.学会验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及应用数学模型进行预测。 5.会利用建立的函数模型解决实际问题，掌握求解函数应用题的一般步骤； 6.培养学生阅读理解、分析问题、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力. 过程与方法目标： 1.通过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养学生读图的能力； 2.通过实例使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的一般过程； 3.渗透数形结合、转化与化归等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标： 1.通过切身感受数学建模的过程，让学生体验数学在实际生活中的应用，体会数学来 源于生活又服务于生活，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学习数学 的兴趣与动力，增强学好数学的意识。 2.培养学生的应用意识、创新意识和勇于探索、勤于思考的精神，优化学生的理性思维和 求真务实的科学态度。 三、教材分析 本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决实际问题；例4 是利用已知的确定的函数模型解决实际问题，并验证求解出的数学模型与实际情况的吻合程度及用数学模型进行预测。分别在汽车和人口问题这两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 教学重点 1.根据图形信息建立函数模型解决实际问题. 2.用待定系数法求解函数模型并应用. 3.将实际问题转化为数学问题的过程。 教学难点 1.验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及用数学模型解决实际问题，并应用数 4.5 增长速度的比较 学习任务核心素养(教师独具) 1．了解和体会函数模型在实际生活中的广泛 应用．(一般) 2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)1．通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助函数模型的应用，提升数学建模核心素养. 杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变. 第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了. 问题：(1)写出杰米总共收到韦伯的钱y(单位：分)与天数x的函数关系式. (2)写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式. 〖提示〗(1)y＝107x(x∈N*). (2)y＝2x－1(x∈N*). 1．用平均变化率比较函数值变化的快慢 (1)定义：函数y＝f(x)在区间〖x1，x2〗(x1＜x2时)或〖x2，x1〗(x1＞x2时)上的平均变化率 为Δf Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 4.5 函数的应用(二) 【题组一 零点的求解】 1.若函数()2 f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()2 1g x bx ax =--的零点是 A ．1-和 16 B ．1和16 - C ． 12和13 D ．1 2 - 【答案】B 【解析】函数 ()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2 =x ax b -+的两根为2和3. 结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨ ⨯=⎩,即5 6a b =⎧⎨=⎩ , ∴()2 651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和1 6- ,故选B. 2．(2020·北京高一期中)已知函数2 1ln ()x f x x -=，那么方程f (x )＝0的解是( ) A ．1= x e B ．x ＝1 C ．x ＝e D ．x ＝1或x ＝e 【答案】C 【解析】依题意()2 1ln 0x f x x -= =，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 3.(2020年广东湛江)若函数()2 f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()2 1g x bx ax =--的零点是 A ．1-和 16 B ．1和16 - C ． 12和13 D ．1 2 - 【答案】B 【解析】函数 ()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2 =x ax b -+ 的两根为2和3. 结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨ ⨯=⎩,即5 6a b =⎧⎨=⎩ , ∴()2 651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和1 6- ,故选B. 【题组二 零点区间的判断】 1．(2020·浙江高一课时练习)在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A ．1,04⎛⎫ - ⎪⎝⎭ B ．10, 4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增， 且11 44 11 22114320 44114310 22f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭ ⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 2．(2020·浙江高一课时练习)设函数3 y x =与2 12x y -⎛⎫= ⎪ ⎝⎭ 的图象的交点为00,x y ，则0x 所在的区间是( ) A ．0,1 B ．1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 【答案】B 【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则2 3102x x -⎛⎫< ⎪⎝⎭ -,而当x=2时，则2 3102x x -⎛⎫ -> ⎪ ⎝⎭ ，故选B. 3.(2020天津高一期中)在下列个区间中，存在着函数3()239f x x x =--的零点的区间是( ) A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 【答案】C 【解析】 由()()1239100,2166910f f =--=-=--=.【高中数学】1920 第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用第一册数学教案
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--4.5.3 函数模型的应用
4.5.3函数模型的应用同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新教材苏教版高中数学必修一 4.5.3 函数模型的应用
高中数学新人教A版必修第一册 第四章 4.5.3 函数模型的应用 教案
课时作业4：4.5.3 函数模型的应用
高中高三数学集训【精品】《4.5.3 函数模型的应用》同步检测 (1)
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册教案：4.5 函数的应用(二) (2)
高中数学人教A版必修第一册课时作业4-5-3 函数模型的应用
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用课时检测
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.3函数模型的应用学案
4.5.3函数模型的应用(新教材)
高中数学第四章 指数函数与对数函数之函数的应用(二)(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)
高中数学_函数模型的应用实例(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
新教材高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4 5增长速度的比较学案含解析新人教B版必修第二册
4.5 函数的应用(二)(精练)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册)(教师版含解析)
相关主题
文本预览