高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用
第1篇：高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用
导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由小编为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！
1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)
2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.
3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
4.解疑释惑
(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?
一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?
在“数学建模”中要把握好下列几个问题：
1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.
2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.
3求解模型：以所学的数学*质为工具对建立的数学模型进行求解.○
4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效*，如果不满意，要考虑重新建模.
5评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.
(3)“数学建模”中要注意什么问题?
1有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.
2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数*质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决.5.规律总结
(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.
(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.(3)建立“数学模型”常用的分析方法：(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.
第2篇：高一数学函数模型及其应用知识点
函数部分的知识最主要的是怎样运用，在考试中考察的也是应用及模型，因此掌握数学函数模型及其应用知识点是掌握本课内容的基础，希望大家可以认真学习。
知识点总结
本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模
型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。
误区提醒
1、求解应用*问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用*问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
【典型例题】
例1 (1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利).
(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?
解：(1)利息=本金×月利率×月数.
y=100+100×0.36%·x=100+0.36x，当x=5时，y=101.8，∴5个月后的本息和为101.8元.
第3篇：高一数学函数模型及其应用知识点
函数部分的知识最主要的是怎样运用，在考试中考察的也是应用及模型，因此掌握数学函数模型及其应用知识点是掌握本课内容的基础，希望大家可以认真学习。
知识点总结
本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题意.(关键是
数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。
误区提醒
1、求解应用*问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用*问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
【典型例题】
例1 (1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利).
(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?
解：(1)利息=本金×月利率×月数.
y=100+100×0.36%·x=100+0.36x，当x=5时，y=101.8，∴5个月后的本息和为101.8元.
第4篇：高等数学知识点之函数
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。这种关系使一个*里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）*里的唯一元素。以下是小编整理的高等数学知识点之函数，欢迎参考阅读!
⑴、函数的定义
如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只
有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
（4）、函数的简单*态
⑴、函数的有界*：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
第5篇：高考数学必考知识点：对数及对数函数
导语：高考数学所考的知识点比较多，为了方便同学们更好、更准高效学习高中数学，小编整理了高考数学必考知识点：对数及对数函数，供参考！
高考数学必考知识点：对数定义
如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
注：1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。
2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。
3.零没有对数。
4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。
高考数学必考知识点：对数函数定义
一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
高考数学必考知识点：对数函数*质
定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}
值域：实数集R，显然对数函数无界。
定点：函数图像恒过定点(1，0)。
单调*：a>1时，在定义域上为单调增函数;
奇偶*：非奇非偶函数
周期*：不是周期函数
对称*：无
最值：无
零点：x=1
注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：
也就是说：若y=logab(其中a>0,a≠1，b>0)
当a>1,b>1时，y=logab>0;
当0
当a>1,0
第6篇：高考数学幂函数知识点
形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数，以下是幂函数知识点，请考生及时学习。
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶*来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域*质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特*：
排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶*来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义
域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
函数建模及其应用 函数的建模应用是高中数学贯彻<<普通高中数学课程标准>>中关于“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展数学建模的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。”的重要体现。既有助于函数与其他数学内容的联系；也有助于函数与实际的联系。用函数解决实际问题，让学生经历用数学解决实际问题的过程，对学生认识数学的应用价值、培养对数学的兴趣很有好处。 二．教学内容 通过一个与现实生活密切相关的实例, 收集数据,拟合函数模型,解决实际问题,完善函数模型建立的过程与方法,利用已有的数学知识分析、研究身边的问题,数学的观察世界、感受世界,自主探究、合作交流,全面提高各方面素质。 三．教学目标 1.知识与技能： 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题 2.过程与方法： 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 ３.情感、态度、价值观： 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 四．教学重点与难点 1.重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题。 2.难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 II 教学方法与学习方法设计 一、教学方法 本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、探究式的教学方法。通过递进式问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结方法、规律，培养积极探索的科学精神。 二、学习方法 根据本节课的教学目标和教法，把角色还给学生，先由学生观察、探索，再发现、思考、提炼并应用．引导学生逐步提高，发展学生有条理的思考与表达的能力，提高抽象概括能力，使学生获得较全面的发展． 三、教学用具多媒体、计算器 III 教学过程设计 一、设计思想
2020高考数学(文数)考点测试刷题本13 函数模型及其应用 一、选择题 1.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A．8 B．9 C．10 D．11 2.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx＋b(e=2.718…为 自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车 在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( ) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万 元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年B．2019年C．2020年 D．2021年 5.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只能购买一件商品，根据购买商品 的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下： 优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%. 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元． 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 若该顾客购买某商品使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
函数模型的应用实例 1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），指数函数y=a x（a＞0且a≠1），对数函数y=log a x（a＞0且a≠1），幂函数y=x a（a为常数） 2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量；第二步，根据所给模型，列出函数关系式；第三步，利用函数关系求解；第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答. 3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：（1）能够根据原始数据、表格、绘出散点图；（2）通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;（4）利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 4.解疑释惑 （1）怎样理解“数学建模”和实际问题的关系？ 一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. （2）怎样才能搞好“数学建模”？ 在“数学建模”中要把握好下列几个问题： ○1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题. ○2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数. ○3求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. ○4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模. ○5评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤. （3）“数学建模”中要注意什么问题？ ○1有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意. ○2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决. 5.规律总结 （1）如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来
数学建模——函数模型及其应用 基础巩固组 1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0 第九节函数模型及其应用 【最新考纲】 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y＝k x(k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，b≠1，a≠0)型． (5)对数函数模型：y＝mlog a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)型． (6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)型． 2．三种函数之间增长速度的比较 (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．() (2)幂函数增长比直线增长更快．() (3)不存在x0，使ax0 解析：依题意100＝alog 3(2＋1)，得a ＝100， ∴y ＝100 log 3(8＋1)＝200 (只)． 答案：A 3．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线 近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 答案：C 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( ) 解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变．产品的总产量应 高一数学必修一教案《函数模型及其运用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地， 不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大 家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习 有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的 机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的 运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上 刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决进程中， 学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知 道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能 导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立 与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提 炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单 的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。由于建立函数模型离不开 函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会 用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实 际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。在这 个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可 操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有 条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程. (2)了解函数模型的广泛运用 函数模型及其应用教案 一、教学目标 1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用； 2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用； 3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用； 4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。 二、教学重点 1. 函数的概念与应用； 2. 两种常见函数模型的基本形式与参数； 3. 实际问题中函数模型的应用。 三、教学难点 1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系； 2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。 四、教学方法 1. 讲授教学法； 2. 课堂互动式教学法； 3. 问题式教学法。 五、教学准备 1. 多媒体教学设备； 2. 函数模型案例资料。 六、教学过程 1. 引入 函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。 2. 基础知识讲解 （1）函数的概念 函数是一个输入输出关系的特殊情况。数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。 （2）线性函数模型 线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b 称为截距。它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模 型来描述。 （3）指数函数模型 指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。 3. 练习 将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。 （1）一家小餐馆最近三个月的月度利润与月度广告支出如下表所示。根据这些数据，可以建立月度利润的线性函数模型。 月份利润（万元）广告支出（万元） 1 5 3 2 6 5 3 7 6 （2）一个菜市场每天卖出的橙子数量如下所示，如何建立一个合适的指数函数模型，以预测未来一周的橙子销售情况？ 日期销售数量（千斤） 7/1 5 第十讲 函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理 知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝k x ＋b(k ，b 为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0) 2．三种函数模型的性质 函数 性质 y ＝a x (a>1) y ＝log a x(a>1) y ＝x n (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行 随n 值变化而各有不 同 值的比较 存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x 重要结论 1．函数f(x)＝x a ＋b x (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增． 2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸 双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2 的函数值大．( × ) (2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x ＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0 高一数学必修1《函数模型及其应用》教案 教学设计 一、教学目标 1. 知识目标： （1）认识到函数的概念及其分类。 （2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。（3）了解函数的基本性质。 （4）学会应用函数进行实际问题的解决。 2. 能力目标： （1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。 （2）能够利用函数求解实际问题。 3. 情感目标： （1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和 信心。 （2）培养学生分析问题和解决问题的能力。 （3）培养学生的创新思维和实践能力。 二、教学重点和难点 1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。 2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。 三、教学方法 1. 演示法。通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。 2. 实验法。通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。 3. 讲授法。注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。 四、教学步骤 1. 函数的概念及其分类 初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。 ①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。 ②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。 ③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数： 1. 一元函数：y=f(x)。 2. 二元函数：z=f(x,y)。 3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。 4. 隐函数：F(x,y)=0。 2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法 ①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。 ②掌握函数的定义域与值域的求法。 ③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生 学会函数的应用。 3. 函数的基本性质 ①单调性和奇偶性的判定。 ②零点和极值的确定。 ③函数的连续性和可导性。 A.考点5 函数模型及其应用 【1】（C ，北京，文8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况.注：“累计里程”指汽车从出厂开头累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 C.10升 D.12升 数2 ) ()(c x b ax x f ++=的图像如图所示，则下列结论成【2】（C ，安徽，理9）函立的是 A.0 ,0,0<>>c b a B.0,0,0>> 高中数学：函数模型及其应用 高中数学：函数模型及其应用 函数是高中数学的重要内容之一，它贯穿了整个高中数学的学习过程。函数模型的应用在解决实际问题中也发挥着重要的作用。本文将介绍函数模型的概念、类型和特点，并探讨函数模型在高中数学中的应用。 一、函数模型的概念和类型 函数模型是指根据实际问题的需求，将变量之间的关系用数学函数来描述，从而建立数学模型。函数模型可以描述变量之间的依存关系，揭示事物发展的规律。在高中数学中，常见的函数模型包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。 二、函数模型的特点 1、函数模型的图像特征：不同的函数模型有着不同的图像特征，如 幂函数的图像呈现为直线或曲线，指数函数的图像呈现为单调递增或递减等。掌握这些图像特征对于理解函数模型有很大的帮助。 2、函数模型的性质：不同的函数模型有着不同的性质，如奇偶性、 单调性、周期性等。了解这些性质有助于我们更好地理解和应用函数模型。 3、函数模型的应用：函数模型可以应用于解决实际问题中，如描述 经济增长、人口变化、电路电流变化等现象。通过建立适当的函数模型，我们可以对实际问题进行定量的分析和预测。 三、函数模型在高中数学中的应用 1、在方程和不等式中的应用：函数模型可以用于解决方程和不等式 问题。例如，通过构造函数模型，我们可以将方程或不等式问题转化为求函数零点或最值的问题。 2、在数列中的应用：数列是一种特殊的函数，通过构造函数模型， 我们可以将数列问题转化为求解函数的问题。例如，通过构造函数模型，我们可以研究等差数列和等比数列的通项公式和前n项和等性质。 3、在概率统计中的应用：函数模型在概率统计中也有广泛的应用。 例如，通过构造函数模型，我们可以描述正态分布、二项分布、泊松分布等概率分布的规律。 四、总结 函数模型是高中数学中的重要内容，它具有广泛的应用价值。通过对函数模型的学习，我们可以更好地理解变量之间的关系，掌握事物发展的规律。通过将实际问题转化为函数模型，我们可以对实际问题进行定量的分析和预测。因此，在高中数学的学习中，我们应该加强对函数模型的理解和应用，提高解决实际问题的能力。 2023高考数学二轮复习专项训练《函数模型及其应用》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P =P 0⋅e −kt (k 为常数，P 0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为( )(参考数据：取log 52=0.43) A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 2.（5分）已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x +1)关于直线x =−1对称．当x ⩾0时， f(x)={2−14 x 2 +1 ,0⩽x <22−lo g 2x,x ⩾2 ，若对任意的x ∈[m,m +1]，不等式f(2−2x )⩾f(x +m)恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. [−1 4,0) B. [1 2,1] C. [1,+∞) D. [1 2,+∞) 3.（5分）设f(x)={x −2,x ⩾10 f(x +6),x <10 ，则f(9)=( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4.（5分）设f(x)={x 2+1(x ⩾0) 4xcosπx −1(x <0)，g(x)=kx −1(x ∈R)，若函数y =f(x)− g(x)在x ∈[−2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. (2√2,11 3) B. (2√2,113 ] C. (2√3,4) D. (2√3,4] 5.（5分）函数f(x)={x +1,x ⩽0 lg x,x >0 的零点是( ) A. (−1,0)，(1,0) B. −1，1 C. (−1,0) D. −1 6.（5分）设函数f(x)={−3x 2,x <1 2x ,x ⩾1 ，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( ) A. (−∞,1] B. [0,1] C. [0,+∞) D. [1,+∞) 7.（5分）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( ) 初等函数的性质及其应用 初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数 函数、三角函数和反三角函数等。初等函数的性质和应用广泛，不仅在数学领域有重要作用，还在物理、工程、经济等领域有广泛的应用。本文将从初等函数的定义、性质和应用三个方面进行探讨。 一、初等函数的定义和性质 初等函数的定义相对简单，可以通过有限次的加、减、乘、除、幂运算和开方 运算得到。常数函数是最简单的初等函数，它的函数值在定义域内始终保持不变。幂函数是由一个变量的常数次幂构成，指数函数则是以常数为底的幂函数。对数函数是指数函数的反函数，它的定义域为正实数集合。三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义域是全体实数。反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域根据具体函数而定。 初等函数具有一些共同的性质。首先，初等函数在其定义域内是连续的，可以 通过极限运算来求解其函数值。其次，初等函数在其定义域内是可导的，可以通过导数运算来研究函数的变化趋势。再次，初等函数的图像具有一定的对称性，如正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称，正切函数的图像关于原点对称。此外，初等函数之间还存在一些特殊的关系，如指数函数和对数函数是互为反函数，正弦函数和余弦函数是互为相互关系。 二、初等函数的应用 初等函数在数学领域有广泛的应用。首先，它们可以用来描述和研究各种变化 的规律。例如，指数函数可以用来描述人口增长、物质衰变等指数增长或衰减的现象；正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性变化的现象，如天体运动、电流变化等。其次，初等函数可以用来求解各种数学问题。例如，通过对数函数的运算，可以将复杂的乘法和除法运算转化为简单的加法和减法运算，从而简化计算过程。再 课时达标检测（十三） 函数模型及应用 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)． 3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1 000米 D ．1 200米 解析：选A 设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，所以其周长为l ＝2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋40 000x ≥800，当且仅当x ＝40 000x ，即x ＝200时取等号． 4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选C 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N)，配方可得y ＝－6(k －9)2 ＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选 C. 第二章函数概念及基本初等函数 第九节函数模型及其应用 考点1 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用 （2018·全国Ⅱ卷（文））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17）建立模型①：ŷ＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：ŷ＝99＋17.5t. （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】（1）利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ŷ＝－30.4＋13.5×19＝226.1（亿元）． 利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ŷ＝99＋17.5×9＝256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ŷ＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从（1）的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． §2.9函数模型及其应用 考纲展示► 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 考点1 用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化过程 [典题1] (1)[2017·浙江湖州模拟]物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) A B C D [答案] B (2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动．设点P运 动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝ f(x)的图象是( ) A B C D [答案] D [解析] 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x； 当4 第15讲函数模型及其应用 ➢考点1 利用函数图象刻画实际问题 [名师点睛] 判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． [典例] 1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是() 2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律() A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝ma x＋n(m>0,0中学数学第九节 函数模型及其应用
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
函数模型及其应用教案
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案
2021年高考数学试题按考点分类：考点5 函数模型及其应用 Word版含答案
高中数学：函数模型及其应用
2023高考数学二轮复习专项训练《函数模型及其应用》(含解析)
初等函数的性质及其应用
高考数学(理)大一轮复习习题：函数模型及应用 word版含答案
2.9考点1 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用
函数概念与基本初等函数Ⅰ29函数模型及其应用
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