高考数学必背公式整理及高考数学常用公式河北省衡水中学高中数
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高考数学必背公式整理及高考数学常用公式
河北省衡水中学高中数学组
一、导数与微分
1、导数定义：y=f(x)在x=x0处的导数定义为极限
lim_{h->0}[f(x0+h)-f(x0)]/h。
2、导数公式： (1)任意函数的导数为
f'(x)=lim_{h->0}[f(x+h)-f(x)]/h。 (2) 若f(x)可导，则f'(x)
也可导，其导数为[f'(x)]' = f''(x)。
二、积分与微分
1、积分公式：设f(x)在[a,b]上连续，则∫_{a}^{b}f(x)dx =
F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
2、分部积分公式：设u=u(x)，v=v(x)，则∫u(x)v(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。
三、三角函数
1、三角函数基本公式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
2、辅助角公式：设sinx+cosx=√2/2(sinθ+cosθ)，则sinx=(√
2/2)(sinθ+cosθ)-cosx=(√2/2)(sinθ-cosθ)，cosx=(√
2/2)(sinθ-cosθ)-(√2/2)(sinθ+cosθ)。
四、不等式
1、不等式基本性质： (1) a>b，b 2、绝对值不等式：|a|-|b|<=|a±b|<=|a|+|b|。 3、均值不等式：若a，b>0，则a+b>=2√ab (当且仅当a=b时取等号)。 五、排列组合与概率 1、排列组合公式： (1) 排列数公式：A_n^m = n!(n-m)!。 (2) 组合数公式：C_n^m = n!(n-m)!/m!(n-m)!。 2、概率基本概念： (1) 事件：能够发生或可能发生的事情。 (2) 概率：事件发生的可能性大小的数值。 (3) 必然事件：一定会发生的事件，其概率为1。 (4) 不可能事件：一定不会发生的事件，其概率为0。 以上是高中数学中必须掌握的公式及知识点，对于高考数学的学习和 应用具有重要的意义。学生需要在平时的学习过程中反复巩固和练习，加深对数学概念和方法的理解和掌握，以提高数学成绩和数学素养。 高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用 考纲要求: 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2 x ＋cos 2 x ＝1，sin x cos x ＝tanx . 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 基础知识回顾: 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：1cos sin 22=+αα, (2)商数关系：α α αcos sin tan =. 2．三角函数的诱导公式 公式一：απαsin )2sin(=+k ，απαcos )2cos(=+k ，απαtan )2tan(=+k ，其中k ∈Z . 公式二：sin (π＋α)＝αsin -，cos (π＋α)＝αcos -，tan (π＋α)＝tan α. 公式三：sin (－α)＝αsin -，cos (－α)＝αcos ，tan (－α)＝－tan α. 公式四：sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝αcos -，tan (π－α)＝－tan α. 注、（1）三角函数诱导公式))(2 ( Z k k f ∈+απ 的本质是“奇变偶不变，符号看象限” （2）诱导公式的应用之一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α(0≤α<2π)；②转化为锐角． 3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin (α ± β)＝sin αcos β ± cos αsin β；cos (α?β)＝cos αcos β ± sin αsin β；tan (α ± β)＝ tan α±tan β 1?tan αtan β . 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝ α α 2 tan 1tan 2-. 专题06 三角函数 一、单选题 1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，7cos 225α=，则sin 3sin 2α πα=⎛⎫ + ⎪⎝⎭ （ ） A ．3 4 - B ． 34 C ． 43 D ．43 - 2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】 已知函数()f x x ω= 和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移 2π 个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2 π 个单位 3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛ ⎫=+++ ⎪⎝ ⎭， 则（ ） A ．()() 33ππ +=-f x f x B ．,012π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 是函数()f x 的一个对称中心 C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍 D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ ，()()()123f x f x f x +≥恒成立 4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},, min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨ >⎩ ()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为21 2 k x π+= ，k Z ∈ ③ 值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③④ D ．②③④ 5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=， 高考数学必背公式整理 一、平面几何公式 1. 直线方程 - 一般式：Ax + By + C = 0 - 斜截式：y = kx + b - 截距式：x/a + y/b = 1 - 两点式：(y-y₁)/(x-x₁) = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) 2. 圆的方程 - 标准方程：(x-a)² + (y-b)² = r² - 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 - 中心半径方程：(x-h)² + (y-k)² = r² 3. 直角三角形 - 勾股定理：a² + b² = c² - 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC - 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC - 正切定理：tanA = b/a 4. 圆锥曲线 - 椭圆：x²/a² + y²/b² = 1 - 双曲线：x²/a² - y²/b² = 1 - 抛物线：y² = 2px 二、空间几何公式 1. 空间中的直线 - 参数方程：x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct - 对称式：(x-x₁)/l = (y-y₁)/m = (z-z₁)/n 2. 空间中的平面 - 一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 - 点法式：A(x-x₁) + B(y-y₁) + C(z-z₁) = 0 - 三点式：[ABCD] = 0 3. 空间中的球面 - 标准方程：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r² - 一般方程：x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 - 中心半径方程：(x-h)² + (y-k)² + (z-l)² = r² 4. 空间向量 - 点积：a·b = |a| |b| cosθ - 叉积：a×b = |a| |b| sinθn - 混合积：[a,b,c] = a·(b×c) 高考数学必背公式整理及高考数学常用公式河北省衡水中学高中数 学组 高考数学必背公式整理及高考数学常用公式 河北省衡水中学高中数学组 一、导数与微分 1、导数定义：y=f(x)在x=x0处的导数定义为极限 lim_{h->0}[f(x0+h)-f(x0)]/h。 2、导数公式： (1)任意函数的导数为 f'(x)=lim_{h->0}[f(x+h)-f(x)]/h。 (2) 若f(x)可导，则f'(x) 也可导，其导数为[f'(x)]' = f''(x)。 二、积分与微分 1、积分公式：设f(x)在[a,b]上连续，则∫_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。 2、分部积分公式：设u=u(x)，v=v(x)，则∫u(x)v(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。 三、三角函数 1、三角函数基本公式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny， cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。 2、辅助角公式：设sinx+cosx=√2/2(sinθ+cosθ)，则sinx=(√ 2/2)(sinθ+cosθ)-cosx=(√2/2)(sinθ-cosθ)，cosx=(√ 2/2)(sinθ-cosθ)-(√2/2)(sinθ+cosθ)。 四、不等式 1、不等式基本性质： (1) a>b，b 高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题 02 函数 一、选择题 1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】 已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log 5)a f =，31 (log )2 b f =-，(ln 3) c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】函数2cos 1 ()22x x x f x --= -的部分图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是 A ． B ． C ． D ． 4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知()22,0 26ln ,0 x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的 交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2 x f x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( ) A ．[]3,-+∞ B ．[]1,3- C ．(][),13,-∞-+∞ D ．(][),22,-∞-+∞ 6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设定义在R 上的奇函数()y f x =满足：对任意的x ∈R ， 总有(4)f x -(4)f x =+，且当(0,4)x ∈时，2()cos 2x f x e x π - =+-．则函数()f x 在区间[ )8,16-上的 零点个数是 （ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．13 8. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有 ()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时， ()2 11 2 f x x = +成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪ ⎢⎣⎭ ⎪⎪⎩⎭ B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪ ⎩⎭ 9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数 1 ()(0,1)2 x b f x m m m -=- >≠且 的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ） A ．12 ± B ．± C ．2 D ．2± 11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()22211 315x x f x x x x ，， ⎧+-<≤⎪ =⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()1 02 f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2206 25 ⎛⎤ ⋃-- ⎥⎝ ⎦，， B ．(1103 25 ⎛⎤ ⋃-- ⎥⎝ ⎦ ，， C ．(] (013⋃--， ， D ．(](026⋃--， ， 第6节对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2 的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数. 1.对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝n log a M(n∈R). (3)换底公式：log b N＝log a N log a b(a，b均大于零且不等于1，N>0). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>10 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0) 当x >1时，y >0；当0 衡水中学高一的数学知识点作为一所素有盛名的中学，衡水中学一直以来都在数学教育方面有着卓越的表现。无论是学生的整体水平还是教学质量，都得到了广泛的认可。那么，衡水中学高一的数学知识点有哪些呢？接下来，让我们一起探索一下。 1. 数列与数列的求和 数列是数学中非常重要的概念之一。在高一阶段，学生将对等差数列、等比数列以及斐波那契数列等进行学习。同时，学生还需要了解数列的通项公式，掌握如何求解数列的前n项和，以及如何应用数列解决实际问题。 2. 几何初步 在高一的数学学习中，几何是一个重要的知识点。学生将学习到平面几何和立体几何的相关知识。平面几何方面，学生将学习到点、线、面等基本概念，以及直线、射线、线段等的性质和运算。立体几何方面，学生将学习到圆锥、球、柱、锥、棱锥等的性质和计算方法。 3. 三角函数与单位圆 三角函数是高中数学中一个重要的概念。学生将学习到正弦函数、余弦函数、正切函数等的概念和性质。同时，学生还需要理 解三角函数的周期性、奇偶性等基本性质，并掌握三角函数在数 值计算和求解实际问题中的应用方法。 4. 导数与微分 导数与微分是高中数学中的一个重要内容。学生将学习到函数 的导数概念和计算方法，以及导数的几何意义和物理意义。在微 分方面，学生将学习到函数的极限概念和计算方法，了解函数的 连续性，以及微分在曲线的切线和极值问题中的应用。 5. 不等式与绝对值 在高一的数学学习中，不等式与绝对值也是一个重要的知识点。学生将学习到一元一次不等式、一元二次不等式的解法和图像， 以及绝对值不等式的解法和应用方法。同时，学生还需要掌握如 何将不等式与绝对值结合，解决实际问题。 除了以上所述的数学知识点外，还有许多其他重要的内容，如 概率与统计、平面向量等。总之，衡水中学高一的数学教育非常 全面，学生将接受到系统而深入的数学知识训练。 第5讲 简单的三角恒等变换 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝2sin αcos α 二倍角的余弦 cos2α＝cos 2 α－sin 2 α＝1－2sin 2 α＝2cos 2 α－1 二倍角的正切 tan2α＝2tan α 1－tan 2 α [必会结论] 1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2 α＝1－cos2α2 . 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2 α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝ b a 2＋b 2 ，cos φ＝a a 2＋b 2 . [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (5)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．[2018·江西九江模拟]计算sin π12－3cos π 12的值为( ) A ．0 B ．－ 2 C ．2 D. 2 答案 B 解析 sin π12－3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32 cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 故选B. 3．[2017·山东高考]已知cos x ＝3 4，则cos2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18 答案 D 解析 cos2x ＝2cos 2 x －1＝2×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫342－1＝18.故选D. 4．[2018·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是 ( ) A.12 B.23 C ．－1 2 D ．1 答案 C 第2讲 等差数列及前n 项和 考纲展示 命题探究 1 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数． 2 等差中项 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 3 等差数列的通项公式及其变形 通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性 当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 注意点 定义法证明等差数列时的注意事项 (1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列． (2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义. 1．思维辨析 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3 答案 C 解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32 ＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 1 2＝2. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于 ( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C 解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2 ＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2. ∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C. [考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力． 命题法1 等差数列的基本运算 典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝ 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2 －x1|＝1＋1 k2|y2－y1|. 【知识拓展】 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直 线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × ) (3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24 ＋y 2 ＝1只有一条切线．( × ) (6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ ) 1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( ) 答案 D 解析 将方程 a 2x 2＋ b 2y 2＝1 变形为x 21a 2＋y 2 1b 2 ＝1， ∵a >b >0，∴1a 2<1 b 2， ∴椭圆焦点在y 轴上． 第1节数列的概念与简单表示法 考试要求1。了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 知识梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 2.数列的分类 分类标 准 类型满足条件 项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限 项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n 其中 n∈N* 递减数列a n＋1＜a n 常数列a n＋1＝a n 摆动数列 从第二项起,有些项大于它 的前一项,有些项小于它的 前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 （2）递推公式：如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项），且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒] 1。数列的最大（小)项，可以用错误!(n≥2，n∈N＊）错误!求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解. 2.数列是按一定“次序"排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数"的排列顺序有关。 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。 诊断自测 1。判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”) （1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()（2)1，1，1，1,…，不能构成一个数列.（) （3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。（）（4）如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对任意n∈N＊,都有a n＋1＝S n＋1－S n。（） §6.5 数列求和 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识梳理 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ① 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ② 1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1n －1－1n ＋1.( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得． ( × ) (4)求数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ ) 教材改编题 1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 答案 D 解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12 ，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( ) A ．50 B ．75 C ．100 D ．125 答案 B 解析 a 2＋a 4＋…＋a 100 ＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75. 3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1) ，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________. 答案 2 022 解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 4。2同角三角函数的基本关系及诱导公式 必备知识预案自诊 知识梳理 1。同角三角函数的基本关系 （1）平方关系:sin2α+cos2α=。 (2)商数关系:sinα cosα=(α≠π 2 +kπ,k∈Z)。 2.三角函数的诱导公式 公 式 一二三四五六 角2kπ+α (k∈ Z) π+α-απ-απ 2 -απ 2 +α 正 弦 sin α 余 弦 cos α 正 切 tan α 续表 公 式 一二三四五六 口诀函数名不 变,符号看 象限 函数 名改 变, 符号 看象 限 1。特殊角的三角函数值 2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π 2 +kπ,k∈Z ； (3）sin2α=sin2α sin2α+cos2α=tan2α tan2α+1 ; （4）cos 2α= cos 2αsin 2α+cos 2α = 1 tan 2α+1 。 考点自诊 1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。 （1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。 ( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα 恒成立. （ ） （3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。 ( ) (4）若cos(n π—θ）=13 (n ∈Z )，则cos θ=13 . （ ） 2。(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α -π2 =-2√55 ，α∈ π，3π2 ,则tan α=（ ） A 。2 B 。32 C.1 D.12 3。(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ） A.12 B 。-12 C 。√3 2 D.-√32 4。函数f (x )=15 sin x+π3 +cos x —π6 的最大值为（ ) A.65 B.1 C.35 D.15 关键能力学案突破 考 点 同角三角函数基本关系式的应用 【例1】（1)若tan(α-π）=12 ，则 sin 2α+1cos 2α-sin 2α = ( ) 高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和 与差的正弦余弦与正切公式学案理05212174 3．5 两角和与差的正弦、 余弦与正切公式 [知识梳理] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛ ⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α 1－tan 2 α ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2 α＝1－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2 ， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (4)a sin α＋b cos α＝a 2 ＋b 2 sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2 ， tan φ＝b a (a ≠0)． 特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2 －α－β 2 ＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β ＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π4－α等． (2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin 4 x ＋cos 4 x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2 x ＝1－12 sin 22x . [诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－ tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化 (1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－ 32 B.32 C ．－12 D.12 答案 D 解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故 选D. (2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α＋β)＝ 高考数学一轮复习考点知识与题型讲解 考点06 诱导公式及恒等变换 一．三角函数的诱导公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β 三．二倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α↔1 2sin 2α＝sin αcos α (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α 22221 2cos 1cos2cos 1cos 221 2sin 1cos 2sin 1c =22 =os α⇔αααααααα⇔＋＝（＋） －＝（－） （3）tan 2α＝2tan α 1－tan 2α 考点题型分析 考点题型一诱导公式 【例1】(2022·四川射洪中学高三月考(理))已知角α的终边经过点()12,5P -. (1)求sin α，cos α； (2)求()() ()() cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫ +-+ ⎪⎝⎭= -+-的值. 【答案】(1)5sin 13α=- ，12cos 13α=；(2) 29 19 . 【解析】(1)由题意可得：13OP =， 由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12 cos 13 α=； (2)由(1)可知5sin 13α=- ，12 cos 13 α=，再结合诱导公式得： ()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ -+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 ()29 19 f α= 3．6正弦定理和余弦定理 [知识梳理] 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况 3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2ab sin C . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( ) (3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为 锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) (4)在△ABC 中，若sin A sin B 专题56 二项式定理 基础知识要夯实 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a ＋b )n ＝0n C a n ＋1n C a n － 1b ＋…＋k n C a n － k b k ＋…＋n n C b n (n ∈N *)❶； (2)通项公式：T k ＋1＝k n C a n － k b k ，它表示第k ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为0n C ，1 n C ，…，n n C ❷ . 2.二项式系数的性质 (1)项数为n ＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指0n C ，1n C ，…，n n C ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是k n C ，而该项的系数是k n C a n － k b k .当然，在某些二项展开 式中，各项的系数与二项式系数是相等的. 基本技能要落实 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)C r n a n － r b r 是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项.( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用
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