专题06 三角函数
一、单选题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，7cos 225α=，则sin 3sin 2α
πα=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（ ） A ．3
4
-
B ．
34
C ．
43 D ．43
-
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】
已知函数()f x x ω=
和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移
2π
个单位 C ．向右平移1个单位
D ．向右平移2
π
个单位
3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭，
则（ ）
A ．()()
33ππ
+=-f x f x
B ．,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心
C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍
D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()()()123f x f x f x +≥恒成立
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,
min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩
()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为21
2
k x π+=
，k Z ∈ ③
值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减 其中正确的是（ ） A ．①②
B ．②③
C ．①③④
D ．②③④
5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，
则
()
2tan tan tan tan tan A B
C A B ⋅+的值为
A ．2013
B ．1
C ．0
D ．2014
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正
五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，BC AC =
根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）
A B ．C ．D ．7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数
字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为7
6
π，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A ．1250-
B ．1750-
C ．2100-
D ．3500-
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，
,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则
下列结论正确的是（ ）
A ．||sin2A
B d α=⋅
B ．2||cos N
C d α=⋅ C ．2||(||)2
d
DC d AB =
⋅- D ．||cos BD d α=⋅
9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<
C ．tan
02
α> D ．sin
02
α<
二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4
x π
=
对称
B ．函数在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．若12()()4f x f x +=，则122()2
x x k k Z π
π+=+∈
D ．函数f (x )的最小值为－2
2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．24
25
-
B ．1225
-
C ．
1225
D ．
2425
3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4π
C ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-
D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，且是小值为三、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2
a bc
取得最小值时，a b c +的值为___________.
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知
1sin 262A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.
3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2
παβ+≠
，若
3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()
tan αβα
+=________.
4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：
22,22,a b a b
a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩
，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.
5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，1
4,6,cos 3
AB BC B ===-，
则ABC 的外接圆的半径等于___________. 四、解答题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，
60ABC ∠=︒，
75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =AC .
（1）求BD ；
（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求
sin sin α
β
的值. 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且
cos sin b c a B B +=.
（1）求角A ；
（2）若a =ABC 的面积的最大值.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，且满足3m n +=.
(1)求角A 的大小；
(2)若b c +=，试判断ABC 的形状.
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②
2
cos 222
C
C -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.
已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B =2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .
5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，
sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π
3
ABC ∠=
，33AB BC ==．
（1）求sin DAC ∠； （2）若2π
3
ADC ∠=
，求四边形ABCD 的面积． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？
7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC
③BDC 的周长为5. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =
，3
sin sin 4
A C =，cos23cos 1
B B +=，若___________，求CD 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD
相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===． （1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积．
专题06 三角函数
一、单选题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，7cos 225α=，则sin 3sin 2α
πα=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（ ） A ．3
4
-
B ．
34
C ．
43 D ．43
-
【答案】B 【解析】
由题可得2222
2
222cos sin 1tan 7
cos 2cos sin cos sin 1tan 25
ααααααααα--=-===++，解得3tan 4α=±. ,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3tan 4α∴=-，因此，sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
. 故选：
B.
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()
f x x ω=和()
g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移
2π
个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移
2
π
个单位
【答案】
A 【解析】
如图所示：()()f x x g x x ωω===，故tan 1x ω=，,4k x k Z ππωω
=+∈. 取靠近原点的三个交点，3,14A πω⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
，,14B πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14C πω⎛⎫
- ⎪⎝⎭， ABC ∆为等腰直角三角形，故
532444πππωωω
+==
，故2π
ω=，
故()
2
f x x π
=，()22
2g x x x π
π
π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 故为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象向左平移1个单位 . 故选：A .
3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭，
则（ ）
A ．()()
33ππ
+=-f x f x
B ．,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心
C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍
D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()()()123f x f x f x +≥恒成立
【答案】D 【解析】
因为()3sin 2sin 21sin 22121326f x x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以
5
1136f ππ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
既不是最大值也不是最小值，所以直线3x π=不是其图象的对称轴，故A 错误；
因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，
且01112f π⎛⎫
-=+= ⎪⎝⎭，所以点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是其对称中心，故B 错误；
任取方程()1f x =得到的两个根，即为方程sin 206π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭x 的任意两根，
它们之间相差为
2T 的整数倍，且22T π
π==，所以它们彼此之间相差的是2
π的整数倍，故C 错误；
当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时()f x 1+1，
所以对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()()()12321f x f x f x +>≥恒成立，故D 正确.
故选：D.
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,
min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩
()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：
①T π= ②对称轴方程为21
2
k x π+=
，k Z ∈ ③
值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③
C ．①③④
D ．②③④
【答案】D 【解析】
解:()()(){}sin cos ,cos 0,
min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨
->⎩
3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩
()k Z ∈.
因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：
()h x 的对称轴方程为：21
2
2
k x k π
ππ+=+
=
，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确；
当3,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛
⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝
⎭ ⎪⎝⎭，
()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，④正确. 故选：D.
5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，
则
()
2tan tan tan tan tan A B
C A B ⋅+的值为
A ．2013
B ．1
C ．0
D ．2014
【答案】
A
【解析】 ∵a 2+b 2=2014c 2，
∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．
∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinB
cosA cosB sinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC
中，
BC AC =
根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）
A
B
．C
．D
．【答案】C 【解析】
由题意可得：72ACB ∠=︒
，且12cos BC
ACB AC ∠=
所以2
2
cos1442cos 72121︒=︒-=⨯-=⎝⎭
所以
()(
)sin1674sin 2344360sin 234sin 14490cos144︒=︒+⨯︒=︒=︒+︒=︒= 故选：C
7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1
密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密
位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数
字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为7
6
π，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A ．1250-
B ．1750-
C ．2100-
D ．3500-
【答案】B 【解析】
设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则2
17226
απ⨯=，解得7π12α=，
由题意可得7
1260002n π
π=，解得
76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，
,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则
下列结论正确的是（ ）
A ．||sin2A
B d α=⋅ B ．2||cos N
C d α=⋅ C ．2||(||)2
d
DC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅
【答案】C 【解析】
连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.
因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；
在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.
又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；
211||(||)(||)(1cos2)sin 222
d
NC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，
故选项B 不正确；
因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.
又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.
又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽， 所以
||||||||DC NC AC DC =，所以2
||||||(||)2
d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C
9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<
C ．tan
02
α> D ．sin
02
α<
【答案】C 【解析】
由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2
α
为第一或第三象限角，所以tan
02
α>．
故选：C.
二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4
x π
=
对称
B ．函数在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．若12()()4f x f x +=，则122()2
x x k k Z π
π+=+∈
D ．函数f (x )的最小值为－2 【答案】BCD 【解析】 解：由题意可得：
32cos (2,2)2cos sin cos 44
()sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2,2]
44x
x k k x x x f x x x x x x x x x
x k k ππ
ππππ
ππ⎧
∈-
+⎪<⎧⎪
=++-==⎨⎨
⎩⎪∈++⎪⎩
，
函数图象如下所示
故对称轴为4
x k π
π=
+，()k Z ∈，故A 正确；
显然函数在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上单调递减，故B 错误；
当524
x k π
π=
+，()k Z ∈时函数取得最小值(
)min f x =D 错误； 要使12()()4f x f x +=，则12()()2f x f x ==，则1
12πx k 或1122
x k ππ=
+，222x k π=或2222
x k ππ=
+，
()12,k k Z ∈
所以2122
x x k π
π+=
+或21x x k π+=， ()k Z ∈，故C 错误．
故选：BCD ．
2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．24
25
-
B ．1225
-
C ．
1225
D ．
2425
【答案】AD 【解析】
解: 因为π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4sin 55α⎛
⎫+=± ⎪⎝
⎭，
32ππsin 2πsin 2π2sin cos 5555αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
所以324sin 2π525α⎛
⎫-=± ⎪⎝
⎭．
故选: AD
3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4π
C ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-
D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
上单调递增，且是小值为【答案】ABC
【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos ,2
x
再将得
到的图象向左平移π个单位长度，得()2cos 2sin 22x x g x π+⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
因为()()2sin 2sin 22x x g x g x ⎛⎫⎛⎫
-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()g x 为奇函数，故A 正确；
由周期公式
2412
T π
π=
=，所以()g x 的周期为4π，故B 正确； 又()g x 在x π=时取得最小值2-，所以()g x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；
令
3222
22
x k k ππ
π
π++，解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ 所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以最小值为()2g π=-，故D 错误.
故选：ABC. 三、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2
a bc
取得最小值时，a b c +的值为___________.
【解析】
由正弦定理将3cos 3cos 5sin b C c B a A +=变形可得 23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，
即23sin()5sin B C A +=， 由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5
A =， 而A 是锐角，所以4cos 5
A =
， 则由余弦定理可得22222
82cos 5
a b c bc A b c bc =+-=+-，
则222
22
8
855
b c bc a b c bc bc bc +-+=
=-28255
bc bc -=≥，
当且仅当b c =时，2
a bc
取得最小值25，
故2
22
5a
b =，故a ，
所以
a b c +.
故答案为:
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知
1
sin 262A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.
【答案】2 【解析】
∵1262sin A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，A ∈（0，π）
∴2A+
6π=56π，可得A =3
π
∵b=1，△ABC
∴S =
12
112c sinA ⨯⨯⨯=c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123
cos π
⨯=3
∴a
根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=a
sinA
3
sin
故答案为2
3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2
παβ+≠
，若
3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα
+=________.
【答案】5 【解析】
由3
sin(2)sin 2
αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()
5tan αβα
+=.
故答案为：5.
4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：
22,22,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩
，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.
【答案】[0, 【解析】
由22,22,a b a b
a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩
，则函数
52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
整理可得：()2
sin cos |sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭∣
，即sin 0,4x π⎛
⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x
的值域为[0,.
故答案为：[0,
5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，1
4,6,cos 3
AB BC B ===-，
则ABC 的外接圆的半径等于___________.
【解析】在ABC
中，易求sin B =
.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得22222
12cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
-
，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r
，则由正弦定理，得
2sin AC r B =
=，
所以r =
.
四、解答题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，
60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =
，CD =，连接AC .
（1）求BD ；
（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin α
β
的值. 【答案】（1）2；（2
【解析】
解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠
222224=+-⨯⨯， 所以2BD =；
（2）由题意可得360150ADC ABC BAD BCD ∠=︒-∠-∠-∠=︒， 在ACD △中，由正弦定理
sin sin AC CD
ADC β
=∠，
在ABC 中，由正弦定理sin sin AC BC
ABC α
=∠，
两式相除可得：sin sin sin sin CD ABC
BC ADC
αβ∠⋅=∠，
所以sin sin 2
sin sin ABC BC ADC CD αβ∠=⋅∠
所以
sin sin αβ 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且
cos sin b c a B B +=.
（1）求角A ；
（2）若a =ABC 的面积的最大值.
【答案】（1）3
π
；（2）【解析】
（1）由题设及正弦定理得
sin sin sin cos sin B C A B A B +=
A B C π++=
∴sin sin()C A B =+
sin sin()sin cos sin B A B A B A B ++=
化简得sin cos 1)0B A A --=
sin 0B >，
cos 1A A -=，
可得：1
sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
0A x <<
∴3
A π=
（2）由已知a =1）
，根据余弦定理得2212
cos 2b c A bc
+-=， 即2211222b c bc
+-=， ∴2212bc b c =+-
222b c bc +≥，12bc ≤（当且仅当b c =时取号）
∴111sin 122
2
2
ABC S bc A bc ==⋅=△b c =时取号）
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，且满足3m n +=.
(1)求角A 的大小；
(2)若b c +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形
【解析】
(1)∵()()22
23m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝
⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭，
∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222
A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴2221
22
b c a bc +-=①
又∵b c +=②
联立①②有，2
22
bc b c =+-，即22
2520b bc c --=，
解得2b c =或2c b =，又∵b c +，若2b c =，则a =， ∴)
2
222224a c c c b +=
+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②
2
cos 222
C
C -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.
已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B 2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .
【答案】选择见解析；π
6
C =，1S =【解析】
选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=， 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，
所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=，
即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2
C =， 因为()0,πC ∈，所以π6
C =或5π
6C =. 若5π6C =
，由sin sin A B = 而π6A <，π6B <，从而1
sin sin 4A B <，矛盾，舍去.
故π
6
C =
， 接下来求△ABC 的面积S .
法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224
πsin sin 6
c R C =
==， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，
16sin sin 4(1ab A B ∴==，
111
sin 4(11222
ABC
S
ab C ∴==⨯⨯=. 法二：由（1
）得cos C =
，即cos cos sin sin A B A B -=
sin sin A B
，cos cos A B ∴=
1cos()cos cos sin sin 2
A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-
，π3A B ∴-=或π3
B A -=， 当π
3
A B -=时，又5π6A B +=
，7π
12A ∴=，π4
B =，
由正弦定理得π
2sin
sin 4πsin sin
6
c B b C ===
117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯==△
当π3
B A -=
时，同理可得1ABC
S =
故△ABC
的面积为1选
②2
cos 222C
C -=，
因为2cos 222
C C -=，
所以22cos 1cos )20C C --=，即22cos 30C C -=，
(2cos 0C C +=，
所以cos C =
或cos C =， 因为()0,πC ∈，所以π6
C =. 以下同解法同①，
选③()sin sin sin a A b B c C +=，
由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得()
22
a a
b
c +=，
即222a b c +-=，
由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==
0πC <<，
π
6
C ∴=
， 以下解法同①.
5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，
sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π
3
ABC ∠=
，33AB BC ==．
（1）求sin DAC ∠； （2）若2π
3
ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积．
【答案】（1；（2． 【解析】
（1）在ABC 中，π
3
ABC ∠=
，3AB =，1BC =， 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 221
3123172
=+-⨯⨯⨯
=，
专题06 三角函数 一、单选题 1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，7cos 225α=，则sin 3sin 2α πα=⎛⎫ + ⎪⎝⎭ （ ） A ．3 4 - B ． 34 C ． 43 D ．43 - 2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】 已知函数()f x x ω= 和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移 2π 个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2 π 个单位 3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛ ⎫=+++ ⎪⎝ ⎭， 则（ ） A ．()() 33ππ +=-f x f x B ．,012π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 是函数()f x 的一个对称中心 C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍 D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ ，()()()123f x f x f x +≥恒成立 4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},, min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨ >⎩ ()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为21 2 k x π+= ，k Z ∈ ③ 值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③④ D ．②③④ 5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，
专题06 三角函数及解三角形 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ）设函数()cos π () 6 f x x ω =+在[π,π] -的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（） A. 10π 9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 π ?? - ? ?? ， 将它代入函数() f x可得： 4 cos0 96 ππ ω ?? -?+= ? ?? 又 4 ,0 9 π ?? - ? ?? 是函数() f x图象与x轴负半轴的第一个交点， 所以 4 962 πππ ω -?+=-，解得： 3 2 ω= 所以函数() f x的最小正周期为 224 33 2 T πππ ω === 2.（2020·新课标Ⅰ）已知π () 0, α∈，且3cos28cos5 αα -=，则sinα=（）A.53 B. 23C. 13 D. 59
【答案】A 【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2 cos 3 α=-或cos 2α=（舍去）， 又 (0,),sin απα∈∴== 3.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】当6π α=- 时，cos 2cos 03πα?? =-> ??? ，选项B 错误； 当3 π α=- 时，2cos 2cos 03πα?? =- < ??? ，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 4.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） B. 32 C. 1 【答案】C 【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ， ABC 212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴=== ∴ 球心O 到平面ABC 的距离1d =. 5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC 中，cos C = 2 3 ，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）
专题3-1 三角函数求ω归类 目录 讲高考 ............................................................................................................................................................................... 1 题型全归纳 ...................................................................................................................................................................... 2 【题型一】只有单调性求ω ..................................................................................................................................... 2 【题型二】对称轴求ω ............................................................................................................................................... 2 【题型三】对称中心求ω .......................................................................................................................................... 3 【题型四】极（最）值点“恰有”型求ω.......................................................................................................... 4 【题型五】极（最）值点“没有”型求ω.......................................................................................................... 5 【题型七】极（最）值点“至少、至多”型求ω ............................................................................................ 5 【题型八】最值与恒成立型求ω ............................................................................................................................ 6 【题型九】对称轴分界综合型求ω（难点） ..................................................................................................... 7 【题型十】多结果分析型求ω ................................................................................................................................. 8 【题型十一】求ψ型 ................................................................................................................................................... 8 专题训练 .. (9) 讲高考 1．（2022·全国·统考高考真题）设函数π()sin 3f x x ω⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两 个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭ B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦ 2．（2022·全国·统考高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛ ⎫=+> ⎪⎝ ⎭的图像向左平移π2个单位 长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 3．（全国·高考真题）若将函数()tan 04y x πωω⎛ ⎫=+> ⎪⎝ ⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与 函数tan 6y x πω⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭的图像重合，则ω的最小值为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 4．（天津·高考真题）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4 π 个单位长度，所得图像经过点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53 D ．2 5．（2016·全国·高考真题）已知函数()sin()(0),2 4 f x x+x ππωϕωϕ=>≤=- ，为()f x 的零点， 4 x π = 为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π ()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5
【2022高考真题】 1. 【2022高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230 ()0,f x dx π=⎰ 则函数()f x 的图象的一条对 称轴是( ) A.56x π= B.712 x π= C.3x π= D.6x π= 2. 【2022高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为 3 π 的交点，则ϕ的值是 . 3. 【2022高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 . 4. 【2022辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3 y x π =+的图象向右平移 2 π 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[ , ]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ 上单调递增 C ．在区间[,]63ππ - 上单调递减 D ．在区间[,]63 ππ -上单调递增 5. 【2022全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且 ()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________． 6. 【2022全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1，2 ，则AC=( )
A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】B 7. 【2022全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 8. 【2022山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6 A π = 时，ABC ∆的面积为________. 9. 【2022四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上全部的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 1 0. 【2022高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知 b B c C b 2cos cos =+，则 =b a . 11. 【2022全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ） 【答案】C
第二篇 经典专题突破·核心素养提升 专题一 三角函数和解三角形 第1讲 三角函数的图象和性质 考情分析 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查； 1．三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查． 自主先热身 真题定乾坤 ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN 真题热身 1．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π 3 则ω的取值范围是( C ) A ．⎣⎡⎭⎫53，136 B ．⎣⎡⎭⎫ 53，196 C ．⎝⎛⎦⎤136，83 D ．⎝⎛⎦⎤136，196 【解析】 依题意可得ω>0，因为x ∈(0，π)， 所以ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π 3 ，ωπ＋π3， 要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点， 又y ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭ ⎫π 3，3π的图象如下所示： 则5π2<ωπ＋π3≤3π，解得136<ω≤8 3， 即ω∈⎝⎛⎦⎤136，83.故选C. 3．(2022·全国甲卷)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向左平移π 2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( C ) A ．1 6 B ．1 4 C ．1 3 D ．12 【解析】 由题意可知：曲线C 为y ＝sin ⎣⎡⎦ ⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎫ωx ＋ωπ2＋π 3，又C 关于y 轴对称，则ωπ2＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得ω＝1 3＋2k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k ＝0时，ω的最 小值为1 3 .故选C. 4．(2021·全国新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π 6单调递增的区间是( A ) A ．⎝⎛⎭⎫0，π 2 B ．⎝⎛⎭⎫ π2，π C ．⎝ ⎛⎭⎫π，3π 2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π 【解析】 因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π 2(k ∈Z )，对于函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，由2k π－π2 专题2三角函数压轴小题 一、单选题 1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<， y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ． 27 π B ． 25 π C ． 2 π D ． 23 π 3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (x x +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ） A ． B ． 17 2 C ．6 D ．4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 2 B C b a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ） A B ． C ． D ．5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2π ϕ<），已知||33f π⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++ --= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 课时规范训练 [A级基础演练] 1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于() A.π 12 B.π6 C.π 4D． π 3 解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝ 3 2. 又A为锐角，∴A＝π 3. 2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1. 3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于() A．30°B．60° C．120°D．30°或150° 解析：选A.在△ABC中， AB sin C＝ BC sin A，∴ 2 sin C＝ 2 sin 45° ， ∴sin C＝1 2，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°. 4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是() A．102海里B．103海里 C．203海里D．202海里 解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ，解得BC＝102(海里)． 5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝() A. 3π 4B． π 3 C. π 4D． π 6 解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝ π 4. 6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝ 2π 3，a＝3c，则 b c＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝ 2π 3，∴sin A＝ 3 2，∴sin C＝ 1 2，又∠C必为锐角，∴∠C＝ π 6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝ π 6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴ b c＝1. 答案：1 7．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为 153 4，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝ 153 4得 1 2×3×AC sin 120°＝ 153 4，所以AC＝5，因此BC 2＝AB2＋AC2－ 2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5× 1 2＝49，解得BC＝7. 答案：7 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 c－b c－a ＝ sin A sin C＋sin B ，则B＝() A. π 6B． π 4 三年专题09 三角函数 1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π 3 )(ω>0)的图像向左平移π2 个单位长度后 得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．1 6 B ．1 4 C ．1 3 D ．1 2 2．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin (ωx +π 3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点， 则ω的取值范围是（ ） A ．[53,13 6) B ．[53,19 6) C ．(136,8 3] D ．(136,19 6] 3．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2 ，π2 B ．−3π2 ，π2 C ．−π2 ，π2 +2 D ．−3π2 ，π2 +2 4．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx +π 4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π 3 3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版） 1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2 π 的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2 x y = C ．sin 4y x = D ．tan 3y x = 2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x 2cos x 2 B ．y ＝sin 2 x C ．y ＝tan 2x D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x 3．（2022·江西景德镇）函数2 π2sin tan()16 y x x =+-+的最小正周期为（ ） A ． 2 π B ．π C ． 32 π D ．2π 4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3 π )(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34 x π -，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R . 7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期： （1）cos 2sin 2cos 2sin 2x x y x x +=-； （2）66sin cos y x x =+. 题组一 周期 题组二 对称性 1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫ =+- ⎪⎝⎭ 图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ D ．13,1()2k k Z +⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 2．（2022·安徽）“3π ϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的图象关于3x π=对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛ ⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点⎛ ⎝⎭ ，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,0 C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()2,0 4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6 x π =- 对称的是（ ） A ．sin 3y x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭ C ．cos 3y x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭的图像（ ） A ．关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．关于直线6 x π = 对称 D ．关于直线3 x π = 对称 6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛ ⎫=+∈ ⎪⎝ ⎭有下列结论: ∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭； ∈函数的图象关于点,06π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称. 其中错误的结论是( ) A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈ D ．∈∈ 7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的一个函数是（ ） A ．sin 26x y π⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ C ．cos 26y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭ D ．sin 26y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭ 专题15 三角函数与解三角形综合 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅱ）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ； （2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 2.（2020·北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：1 7,cos 7 c A ==- ； 条件②：19 cos ,cos 816 A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 3.（2020·山东卷）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6 C π = ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 4.（2020·天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫ + ⎪⎝ ⎭ 的值． 5.（2020·浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （I ）求角B ； （II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【2019年】 1．【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． 2022年全国各省市中考数学真题汇编 三角函数实际问题专题一 1.(2022·湖北省宜昌市)知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.(参考数据：sin53°≈0.80， cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25) 如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上． (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能 安全使用这架梯子？ 2.(2022·山西省)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高 空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√3≈1.73)． 3.(2022·江苏省泰州市)小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某 厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？(结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48) 4.(2022·湖北省仙桃市）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角 仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．(结果保留小数点后一位)(参考数据：√3≈1.732) 2. 专题09三角函数 【2021年高考全国I卷理数】函数 sinx f(x)=一 cosx x —在［,］的图像大致为x A. -IT C. 门T sin( x) ( x) 【斛析】由 f ( x) 2 cos( x) ( x) 称,排除A.又f sin x x 2 cosx x - 1,f(力 f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对 立......... ——2 0 ,排除B, C,应选D. 1冗 【名师点睛】此题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质 法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答此题时, A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 【2021年高考全国I卷理数】关于函数f(x) 先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除 sin |x| |sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数 ③f(x)在［,］有4个零点 ②f(x)在区间(一,)单调递增 2 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 冗 当一x 2 /时,f x九时,f sin sin x sin 2sinx,它在区间一 2 2sinx ,它有两个零点: sin x f x , f x为偶函数,故①正确. 单调递减,故②错误. 0 ；当兀x 0时,f x sin x sinx 当 x 2k ,2k k N 时,f x 2sin x ；当 x 2k , 2k 2 k N 时, f x sinx sinx 0,又f x 为偶函数, f x 的最大值为2,故④正确. 综上所述,①④正确,应选 C. 【名师点睛】此题也可画出函数 f x sin x sinx 的图象(如以下图),由图象可得①④正确. 3.【2021年高考全国n 卷理数】以下函数中,以 3为周期且在区间(7, 3)单调递增的是 A . f(x)=|cos2x| B . f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D . f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出由于 y sin |x|的图象如以下图1,知其不是周期函数,排除 D ； 由于y cos|x| cosx,周期为2兀,排除C ； 作出y cos2x|图象如图2,由图象知,其周期为 -,在区间(一,一)单调递增,A 正确； 2 4 2 ... .一 一 一一一 ,一_ __ __________ 兀 •一、一 作出y sin2x 的图象如图3,由图象知,其周期为 一,在区间(一,一)单调递减,排除 B, 2 4 2 应选A. 2sin x ,它有一个零点: 冗,故f x 在 有3个零点: ,故③错误. 专题63 三角函数章末复习 一 知识系统整合 二 规律方法 1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2k π＋30°，k ∈Z ，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sin α＝y r ≠sin ×α；诱导 公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1及 sin α cos α ＝tan α，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定． 4．三角函数的诱导公式 诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角； (2)2k π＋α(k ∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)π2±α，π±α，3π2±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质 (1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f (x ＋T )＝f (x )应强调的是自变量x 本身加常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是f (2x )的周期． 解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域． 6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝tan α±tan β 1∓tan αtan β ，其变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)应用广泛；公式cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α 2常用来 升幂或降幂． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) 主要掌握由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A ，ω，φ与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型； (4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟． 在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑． 考点一 三角函数的概念 1．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 2．若角α的终边所在直线经过点P (－2,3)，则有( ) 专题07 三角函数图像与性质 【母题来源】2021年高考乙卷 【母题题文】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3 π 个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ 的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭ D ．sin 212x π⎛⎫ + ⎪⎝ ⎭ 【答案】B 【试题解析】 解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 23y f x π⎡⎤ ⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎣⎦，即得 2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛ ⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的 解析表达式； 解法二：从函数sin 4y x π⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式. 解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移 3 π 个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤ ⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎣⎦ 的图象， 根据已知得到了函数sin 4y x π⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以 2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛ ⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎝⎭⎣⎦， 令23t x π⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ ,则,234212 t t x x πππ= +-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛ ⎫ =- ⎪⎝ ⎭ 逆向变换， 第一步：向左平移 3 π 个单位长度，得到sin sin 3 412y x x π ππ⎛⎫ ⎛ ⎫=+ - =+ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫ =+ ⎪⎝ ⎭的图象， 即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫ =+ ⎪⎝ ⎭. 故选：B. 【命题意图】函数图象的平移变换 （1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 【命题方向】 三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定； （3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用． 专题06三角函数及解三角形 2020年高考真题 1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6 周期为 9 6 4兀3兀 C. — D.兰 3 2 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 ( 4 兀1T \ 将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0, 又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点, 十.I 4兀兀兀5 e 3 所以-亍0+丁丐,解得r • 2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T 2 故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z = A. B. 【答案】A 又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a = • 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题. 3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则 B. cos2a<0 D. sin2a<0 【答案】D 【解析】方法-：由。为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z, 所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z 此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0, 故选：D. 兀 方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化 能力和计算求解能力. C. sin2a>0 >0,选项B 错误; <0,选项A 错误; 【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -2022年新高考数学压轴小题专项训练 专题2 三角函数压轴小题(原卷版+解析版)
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