2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()
A. 3+√3i
B. 3−√3i
C. −3+√3i
D. −3−√3i
2.函数y=2cos2(x−π
4
)−1是()
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为2π的奇函数
C. 最小正周期为π的偶函数
D. 最小正周期为2π的偶函数
3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
…，则第60个数对是()
A. (5,7)
B. (6,6)
C. (4,8)
D. (7,5)
4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的
点，则a的取值范围是()．
A. (1,3]
B. [2,3]
C. (1,2]
D. [3,+∞)
5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射
影是△BCD的()
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
6.已知圆x2+y2+mx−1
4=0与抛物线y=1
4
x2的准线相切，则m的值等于()
A. ±√2
B. √3
C. √2
D. ±√3
7.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数
的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
8.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转
4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=
Asin(ωx+φ)+2则()
A. ω=2π
15，A=5 B. ω=15
2π
，A=5
C. ω=15
2π，A=3 D. ω=2π
15
，A=3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年
全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)
根据图中信息，下列论断正确的有()
A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()
A. A∩B=[0,1
2
] B. ∁U A⊆∁U B
C. A∪B=B
D. ∁B A=(1
2
,+∞)
11.已知函数f(x)=sinxcos2x
cosx
，则()
A. f(x)的图象关于点(π
2
,0)对称 B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)的值域为R
D. f(x)在(0,π
4
)上单调递增
12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点
)上运动，则下列判断正确的是()
A. A1P⊥B1D
B. 三棱锥D1−APC的体积不变，为8
3
C. A1P//平面ACD1
D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π
3)
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1
x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．
14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，
则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知
是双曲线
上一点，
是双曲线的两个焦点，若
，则
的值
为 ．
16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =3
5，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；
(2)若a =√10，求△ABC 的面积．
18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }
的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n =a
n
2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二
孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：
支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计
60
40
100
(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；
(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15
人中男性市民和女性市民的人数；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位
市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X
(i)求X的分布列；
(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．
，其中n=a+b+c+d．
参考公式：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
20.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形
AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．
(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；
(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．
21.已知椭圆C：．
(1)如果椭圆的离心率，经过点．
①求椭圆的方程；
②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，
试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．
(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线
分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．
22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．
(1)求实数a，b的值；
(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．
【答案与解析】1.答案：B
解析：解：∵z=1+√3i，
∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，
则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．
故选：B．
由已知求得|z|及z，作和得答案．
本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A
解析：解：y=2cos2(x−π
4)−1=cos(2x−π
2
)=sin2x，
∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；
故选：A．
运用二倍角公式化简为cos(2x−π
2
)，再利用诱导公式化简．
本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．
3.答案：A
解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，
(1,2)为第(1+1)=2项，
(1,3)为第(1+1+2)=4项，
(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，
(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，
依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+
9+10)=56项，
∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，
则第60项为(5,7)．
故选A
我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．
本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
4.答案：A
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．
当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A
时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，
即a=3，故1 5.答案：A 解析： 本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题． 二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论． 解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等， ∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等， ∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心， 故选：A． 6.答案：D 解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p 2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m 2 )2+y 2= 1+m 24 ，圆心坐标为(−m 2,0)，圆的半径r =√1+m 2 4 ， 圆心到直线的距离d =√ 1=1=r =√1+m 2 4， 化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D 7.答案：A 解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)． 该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时， 所以{e b =384e 22k+b =24 ，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ． 由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 8.答案：D 解析： 本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω 求解；A 为最大振幅，由图象 知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈 ∴ω= 4×2π60=2π 15 又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ． 9.答案：BD 解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误； 对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+1 6×(38−30−29−65−5+128)=4000+ 376 >4000万人，故选项B 正确； 对于C ，2019年未接受高中教育的人数为3995 89.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ． 根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可． 本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题． 10.答案：ACD 解析： 求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果． 本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤1 2}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,1 2 ]，故A 正确； ∁U A ={x|x <0或x >1 2}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >1 2 }=(12 ,+∞).故D 正确． 故选：ACD ． 11.答案：ABC 解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π 2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确； 对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π 2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)= sinxcos2x cosx ， 故f′(x)= cos2x−sin 22x cos 2x = cos 22x+cos2x−1 cos 2x ， 当x ∈(0,π 4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,1 2)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π 4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ． 直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 12.答案：AC 解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动， 对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1， ∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ， ∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ， ∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， ∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值， 以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0 m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d = |D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ | = 2√ 3 =2√3 3 ， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为： V D 1−APC =V P−ACD 1=1 3×S △ACD 1×d =1 3×1 2×√22+22×√22+22×sin60°×2√3 3 =4 3，故B 错误； 对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ， ∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0， 当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π 3，故D 错误． 故选：AC ． 对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为4 3；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π 3． 本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题． 13.答案：5 解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4 r x r ， 所以(1−1 x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44 =5， 故答案为：5． 由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r ，所以(1−1x 2 )(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解． 本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题． 14.答案：6 解析：解：如图所示， 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =1 2AB ，AF =1 2AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =1 2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =1 2(42−22) =6． 故答案为：6． 如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =1 2AB ，AF =1 2AC.再利用数量积的定义即可得出． 本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题． 15.答案：33 解析：由双曲线方程 可知， ，则 ，因为 是双曲线上一 点，所以，又，所以或.又， 所以 ． 考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质． 16.答案：5 解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(3 5sinx +4 5cosx)， 令cosθ=3 5，sinθ=4 5，θ∈[0,2π)． 则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5． 由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题． 17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =3 5， 所以：sinA =4 5， 由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC = 2√5 5 ，cosC = √5 5 ， 由正弦定理得：a sinA =c sinC ， 解得：c = 5√2 2 ， 由于：2cosC =sinB ， sinB = 2√5 5 ， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√5 5 =5 解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积． 本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积． 18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称， ∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2， ∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n 即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n = 2n+12n ， T n =3 2+5 22+723+⋯+ 2n−12n−1 + 2n+12n ，① ∴1 2T n =3 22+5 23+7 24+⋯+ 2n−12n + 2n+12n+1 ，② ①−②得1 2T n =3 2+2 22+2 23+2 24+⋯+2 2n −2n+12n+1 =3 2+2× 12[1−1 2 n−1]1−12 − 2n+12n+1 =32+2−12n−1−2n+12n+1 =7 2− 2n+52n+1 ． ∴T n =7− 2n+52n ． 解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n = 2n−12n ，利用错位相减法可求得T n =5− 2n+52n ． 本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题． 19.答案：解：(1)由列联表可得 K 2= 100×(16×26−14×44)2 30×70×60×40 ≈0.7937<2.706． 所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关． (2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×16 60=4(人)，女性市民有15×44 60=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60 100=3 5，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为3 5． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)， 所以P(X =k)=C 3 k ⋅(3 5)k (2 5 )3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 (ii)E(X)=np =3×3 5=9 5；D(X)=np(1−p)=3×3 5×2 5=18 25． 解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算； (3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差． 本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题． 20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ， AB =AA 1=2A 1B 1=2， 直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ， 由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直， 分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2， ∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,3 2,1)， 平面ABM 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ | |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ | =3√17 =3√17 17 ， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为 3√17 17 ． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ． (Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值． 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ． 椭圆M 的方程为 ． ②直线AB 的斜率为定值 .理由如下： 由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得 所以，从而 同理， 因为所以 为定值； (2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得， ， 令，则， 当且仅当，即时，取“”， 所以 的最大值为 ． 解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由 化简可得结论； (2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值． 22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ． 又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−2 3a +b =0 ， 解得a =1，b =−3． (2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1， 当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1 要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)． 解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−2 3a +b =0，求解即可． (2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围． 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力． 2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.复数z=1+√3i，则|z|+z=() A. 3+√3i B. 3−√3i C. −3+√3i D. −3−√3i 2.函数y=2cos2(x−π 4 )−1是() A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， …，则第60个数对是() A. (5,7) B. (6,6) C. (4,8) D. (7,5) 4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的 点，则a的取值范围是()． A. (1,3] B. [2,3] C. (1,2] D. [3,+∞) 5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射 影是△BCD的() A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 6.已知圆x2+y2+mx−1 4=0与抛物线y=1 4 x2的准线相切，则m的值等于() A. ±√2 B. √3 C. √2 D. ±√3 7.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数 的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转 4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y= Asin(ωx+φ)+2则() A. ω=2π 15，A=5 B. ω=15 2π ，A=5 精品 WORD 可修改 欢迎下载 (-3)2 6 2 9 20 20 年初中毕业生升学文化 课模拟考试 数 学 试 卷（三） 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择 题． 本试卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 卷Ⅰ（选择题，共 42 分） 注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结 束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在 试卷上无效． 一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的数中，与－2 的和为 0 的是 A ．2 B ．－2 C. 1 2 D. - 1 2 2. 将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B ”，再把它铺平，你可见到 A ． B ． C ． D ． 3．下列运算结果正确的是 A ． = -3 B ． (- 3)2 = 3 C ． ÷ = 3 D ． = ±3 4. 如左图所示，是由几个相同小立方体组成的几何体从上面所看到的图形，正方形中的数字表 示在该位置的小立方体的个数，则从左面看这个几何体所得到的图形是 A. B ． C ． D ． 5. 下列说法正确的是 A ．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 B ．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查 C ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 6 ． 李 老 师 给 同 学 们 出 了 一 道 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 的 题 目 ： - 3x 2 (2x - [ ]+1) = - 3x 2 + 6x 3 y - 6x 3 ，那么“ [ ]”里应当是 A ．－y B ．－2y C ．2y D ．2xy 7．下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 对于不同的 x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 A ．平均数、中位数 B ．众数、中位数 C ．平均数、方差 D ．中位数、方差 8. 如图，直线 l 1∥l 2，等腰直角△ ABC 的两个顶点 A 、B 分别落在直线 l 1、l 2 上，∠ACB ＝90°，若∠1 ＝10°，则∠2 的度数是 A ．35° B ．30° l 1 C ．25° D ．20° 9. 1 + 1 的运算结果正确的是 l a b A. 1 a + b 2 B. a + b a + b C. ab （第 8 题图） 2 D. a + b 10. 将方程 x 2 - 6x - 5 = 0 化为( x + m )2 = n 的形式，则 m ， n 的值分别是 A . 3 和5 B . -3 和14 C . -3 和5 D . 3 和14 专题06 三角函数 一、单选题 1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，7cos 225α=，则sin 3sin 2α πα=⎛⎫ + ⎪⎝⎭ （ ） A ．3 4 - B ． 34 C ． 43 D ．43 - 2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】 已知函数()f x x ω= 和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移 2π 个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2 π 个单位 3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛ ⎫=+++ ⎪⎝ ⎭， 则（ ） A ．()() 33ππ +=-f x f x B ．,012π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 是函数()f x 的一个对称中心 C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍 D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ ，()()()123f x f x f x +≥恒成立 4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},, min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨ >⎩ ()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为21 2 k x π+= ，k Z ∈ ③ 值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③④ D ．②③④ 5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=， 2021-2022高考数学模拟试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线方程为2 4y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ---= 2．函数()cos 2 x f x π=与() g x kx k =-在[] 6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1 n i i i x y =+=∑（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，11 2A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知集合(){} lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫ =≤≤⎨⎬⎩⎭ ，则A B =（ ） A ．{} 2x x >- B ．{} 22x x -<< C ．{} 22x x -≤< D ．{} 2x x < 6．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； 第 1 页 共 23 页 2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3） B ．（1，2） C ．（﹣∞，3） D ．（0，2） 2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排 1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种 3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1 所成角的余弦值为（ ） A ．√104 B ．√53 C ．√64 D ．√153 4．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72 B ．3 C ．52 D ．2 5．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为 圆C 的直径，则PA →•PB →的最小值为（ ） A ．2 B ．52 C ．3 D ．72 6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外 每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3） 数学高三下学期高考模拟卷（河北省衡水中学） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时 间120分钟. 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知M ､N 是全集U 的两个非空子集.若()U M N M ⋂=，则下列说法可能正确的是（ ） A. ( )U M N U ⋃= B. ()U M N M ⋃= C. M N ≠∅ D. M N U ⋃= 【答案】D 【解析】 【分析】通过()U M N M ⋂=，得到,M N 之间的关系，再结合韦恩图即可得到答案. 【详解】由()U M N M ⋂=可得U M N ⊆ ，如图， 由图①②，( )U U N N M ⋃=，()U U M N M ⋃=，M N ⋂=∅，A,B,C 错误； 由图②，D 正确. 故选：D. 2. 已知 110a b <<，则下列结论一定正确的是（ ） A. 22a b > B. 2b a a b +< C. a b a a < D. 2lg lg a ab < 【答案】D 【解析】 【分析】由110a b <<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由 110a b <<，可得0b a <<，则0,0,0a b a b ab +<->>， 对于A 中，由22()()0a b a b a b -=+-<，所以22a b <，所以A 不正确； 对于B 中，由0,0b a a b <>，且b a a b ≠，则2b a a b +>=，所以B 不正确； 对于C 中，由0,0a b a a >>，且a a b b a a a -=， 当1a >时，1a a b b a a a -=>，此时a b a a >； 当1=a 时，1a a b b a a a -==，此时a b a a =； 当1a <时，1a a b b a a a -=<，此时a b a a <，所以C 不正确； 对于D 中，由22 lg lg lg lg a a a ab ab b =-=，因为0b a <<，可得01a b <<， 所以lg 0a b <，可得2lg lg a ab <，所以D 正确. 故选：D. 3. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有2215312215C C C A ••= 种方法； 姓名 准考证号 绝密★启用前 2022届高中毕业班联考 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡相应位置上。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回。 第I 卷 一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥。根据欧拉公式.则复数 i e 4 1π在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合:A = {0)2)(2(|≤+-x x x },B= {16|2 2 =+y x y }，则=B A A.[-3, -3] B.[-2,2] C.[-4,4] D. 0 3.等差数列{n a }的公差不为0, 2 10282624a a a a +=+}，则S 13 = A. -1 B.O C.-2 D.-3 4.如图正方体AC 1，点M 为线段BB 1的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何 体，所得的侧视图为 5.已知两个随机变量y x ,之间的相关关系如下表所示： 根据上述数据得到的回归方程为a x b y ˆˆˆ+=，则大致可以判断 A.a ˆ>0，b ˆ<0 B.a ˆ<0，b ˆ<0 C. a ˆ>0，b ˆ>0 D.a ˆ<0,b ˆ>0 6.已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上一动点（异于左右顶点）， 若21F AF ∆的周长为6且面积的最大值为122 22=-b y a x ，则椭圆 的 标准方程为 A.13422=+y x B.1232 2=+y x C.122 2=+y x D.14 22=+y x 河北省张家口市2021届高三数学三模试题（含解析） 一、选择题（共8小题）. 1．已知M，N均为R的子集，若N∪（∁R M）＝N，则（） A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁R N D．∁R N⊆M 2．若复数z满足＝，则在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛．如果小明知道了自己的成绩后（） A．中位数B．平均数C．极差D．方差 4．“a＞0”是“点（0，1）在圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．为了得到函数的图象，可以将函数（）A．向右平移单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6．我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，，则λ+μ＝（） A．B．C．D． 7．（x+2y﹣3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（） A．﹣32 B．﹣16 C．10 D．64 8．已知a，b∈（0，3），且4lna＝aln4，c＝log0.30.06，则（） A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 二、选择题（共4小题）. 9．已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（）A． B．点（2，0）是该双曲线的一个焦点 C． D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0 10．已知一个圆柱的上、下底面圆周均在球O的表面上，若圆柱的体积为4π，则球O的表面积不可能为（） A．6πB．8πC．12πD．16π 11．已知正数a，b满足（a﹣1）b＝1，则（） A．a+b≥3 B．2＞4 C．2log2a+log2b≥2 D．a2+b2＞2a 12．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是偶函数 B．函数f（x）的最小正周期为2 C．函数f（x）在区间（1，2）存在最小值 D．方程f（x）＝1在区间（﹣2，6）内所有根的和为10 三、填空题（共4小题）. 13．在等差数列{a n}中，a11＝2a8+6，则a2+a6+a7＝． 14．2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A 和女生甲没有被同时选中的概率为． 15．若对任意的非零实数a，均有直线l：y＝ax+b与曲线相切． 智才艺州攀枝花市创界学校2021年八中评高考数学三模试卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求. 1．假设复数〔a∈R，i是虚数单位〕是纯虚数，那么实数a的值是〔〕 A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．6 2．设[x]表示不大于x〔x∈R〕的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，那么A∪B=〔〕 A．{1} B．{1，2} C．[1，2〕D．[1，2] 3．某学生一个学期的数学测试成绩一一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如下列图的程序框图，那么输出的S是〔〕 A．1 B．2 C．3 D．4 4．假设函数的图象上某一点处的切线过点〔2，1〕，那么切线的斜率为〔〕 A．0 B．0或者C．D． 5．x，y满足，假设存在x，y使得2x+y≤a成立，那么a的取值范围是〔〕 A．〔2，+∞〕B．[2，+∞〕C．[4，+∞〕D．[10，+∞〕 6．某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕 A．4 B．2 C．6 D． 7．数列{a n}满足a n+1〔a n﹣1﹣a n〕=a n﹣1〔a n﹣a n+1〕，假设a1=2，a2=1，那么a20=〔〕 A．B．C．D． 8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上挪动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，那么△ABC 面积的最小值是〔〕 A．B．C． D．7 9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，那么xy∈[0，4]的概率是〔〕 A．B．C．D． 10．将函数的图象向右平移θ〔θ＞0〕个单位长度后关于y轴对称，那么θ的最小值是〔〕 A．B．C．D． 11．三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC 的中点，且MN⊥AM，假设侧棱，那么三棱锥S﹣ABC的外接球的外表积是〔〕 A．12πB．32πC．36πD．48π 12．函数f〔x〕，g〔x〕满足关系式f〔x〕=g〔|x﹣1|〕〔x∈R〕．假设方程f〔x〕﹣cosπx=0恰有7个根，那么7个根之和为〔〕 A．3 B．5 C．7 D．9 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13．，假设存在向量使，那么=． 14．假设展开式中存在常数项，那么n的最小值为． 15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，那么〔a﹣b〕sin〔a+b〕﹣〔a+b〕sin〔a﹣b〕=． 16．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点〔不包括椭圆的顶点〕，那么以线段PF i〔i=1，2〕为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明或者推理、验算过程. 17．三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平 2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全 国Ⅱ） 一、选择题（共12小题）. 1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（） A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D． 3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（） A．B．C．D．1 4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B． C．D．或 5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（） A．B．C．D． 6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（） A．B． C．D． 7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13 8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法： ①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期； ③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点． 其中正确说法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（） A．B．C．3D． 10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（） A．B．C．D． 11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（） A．﹣1B．0C．1009D．1011 12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（） 河北省衡水市 2021 届新高考数学教学质量调研试卷 、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别 为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC .已知以直角边 AC, AB 为直径的半圆的面积之比为 1 ， 4 记 ABC ，则 sin2 （ ） 详解】 5 曲线 C 有相同的焦点 .设 P 为抛物线与双曲线 C 的一个交点， 且cos PF 1F 2 75，则双曲线 C 的离心率为 25 3 C ． 5 4 D ． 5 答案】 D 解析】 分析】 由半圆面积之比，可求出两个直角边 AB, AC 的长度之比，从而可知 tan AC AB 1 21 ，结合同角三角函 数的基本关系，即可求出 sin ,cos ，由二倍角公式即可求出 sin2 . 解：由题意知 0, 2 ，以 AB 为直径的半圆面积 S 1 2 AB 2 ， 2 以 AC 为直径的半圆面积 S 2 AC 2 2 ，则S S 21 AC 2 AB 2 ，即 tan AC AB 2 sin 2 cos 1 sin 由 tan sin 1 ，得 cos 2 cos 故选 :D. 【点睛】 sin2 2sin cos 考查了二倍角公式 .本题的关键是由面积比求出角的正切值 2 x 2．已知双曲线 C: 2 a 2 2 b y 22 1 a 2 0,b 0 的左、右焦点分别为 F 1、 F 2 ，抛物线 y 2 2px p 0 与双 25 本题考查了同角三角函数的基本关系， 5 5 ，所以 25 5 2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( ) A. 0 B. 1 C. √2 D. 2 2. 已知cosθ−sinθ=3 4，则θ的终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 三象限 D. 第四象限 3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知log a 1 4<1，(1 4)a <1，a 1 4<1，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,1 4) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (1 4,1) 5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ， E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于 F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( ) A. 有最小值1 B. 有最大值2 C. 为定值2 D. 为定值1 6. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. 2√2 7. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位： g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果： 2020 届河北省衡水中学高三第三次质检 数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃= C ．{|}A B x x e ⋃=< D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B 【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x ≥0}，R C A ={x|x ≥1}，由此能求出结果． 【详解】 ∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}， R C B ={x|x ≥0}，R C A ={x|x ≥1}， ∴A ∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误； ()R A C B R ⋃=，故B =正确； ()R C A B ∅⋂=，故D 错误． 故选B ． 【点睛】 本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1 i(,)1i a b a b =+∈-R ，则b a =（ ） A ．1 B C ． 2 D ．2 【答案】C 【解析】根据复数的除法运算得到1112 i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】 i为虚数单位，若 1 (,) 1 a bi a b R i =+∈ - ， 11 12 i a bi i + ==+ - 根据复数相等得到 1 2 1 2 a b ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪= ⎪⎩ . 1 2 12 (). 22 b a== 故答案为C. 【点睛】 这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解． 3．向量,, a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+ r r 与c r 共线,则实数λ=（）A．2-B．1 -C．1D．2 【答案】D 【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b r r 表示出c r ，进而可得出λ. 【详解】 由题中所给图像可得：2a b c += r r r ，又c r= a b r r λ+，所以2 λ=. 故选D 【点睛】 本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 4．函数f(x)= 1 5 sin(x+ 3 π )+cos(x− 6 π )的最大值为 A． 6 5 B．1 C． 3 5 D． 1 5 【答案】A 2021年河北省衡水市五校高考数学联考试卷（一） 一、选择题（共8小题）. 1．已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合，则A∩B＝（）A．∅B．[1，4）C．（1，4）D．（4，+∞）2．下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中假命题为（）A．|z|＝B．z2＝2i C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1 3．公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”．《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话．商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五．”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”．以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理．勾股数组是满足a2+b2＝c2的正整数组（a，b，c）．若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（） A．B．C．D． 4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C 的半衰期为5730（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝a x，即f（5730）＝）．现有一古物，测得14C为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（）（参考数据：≈0.7937，≈0.9998） A．1910B．3581C．9168D．17190 5．函数f（x）＝（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的图象大致是（）A．B． C．D． 6．已知向量＝（cosα，﹣2），＝（sinα，1），且∥，则2snαcosα等于（）A．﹣B．﹣3C．3D． 7．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，则sin（2A﹣C）的取值范围是（） A．（﹣1，1）B．C．D． 8．已知定义在[，e]上的函数f（x）满足，且当x∈[，1]时，f（x）＝xlnx+1，若方程f（x）﹣x﹣a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（） A．（，]B．（，] C．（，]D．（，] 二、选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2019年12月～2020年12月） 根据散点图选择和y＝c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值： 2021届河北省邯郸市高三三模数学试题 一、单选题 1．已知全集为U ，集合,A B 为U 的子集，若U A B ，则A B =（ ） A ． U B B ． U A C ．B D ．A 【答案】C 【分析】由交集为空集可得,A B 包含关系，由此确定交集结果. 【详解】( )U A B =∅，B A ∴⊆，A B B ∴=. 故选：C. 2．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的非负半轴，若点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan(2)πα-等于（ ） A ．3 4 - B ．43 - C ． 34 D ． 43 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可求tan α的值，再利用诱导公式及二倍角正切公式可求. 【详解】解：由题意，得tan 2α ，从而 222tan 2(2)4 tan(2)tan 21tan 1(2)3 απααα⨯--=-=- =-=----， 故选：B. 3．已知双曲线()22 2 :1016 x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1 B ．1或9 C ．3或9 D ．9 【答案】D 【分析】求出a 的值，利用双曲线的定义可求得2PF . 【详解】由题意知 4 2a =，所以2a =，所以c ==， 所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上， 所以214PF PF -=，所以29PF =， 故选：D. 4．已知复数2 1n n z i i i =+++ +(i 为虚数单位，*n ∈N )，若 {}(,1,2, ,)s t M z z z z s t n ==⋅=，从M 中任取一个元素，其模为1的概率为（ ） A ．2 7 B ． 37 C ． 17 D ． 1n 【答案】B 【分析】根据等比数列的求和公式，求得1 11n n i z i +-=-，由复数n i 的性质，得出集合M ， 进而求解. 【详解】由题意，可得1 2 111n n n i z i i i i +-=+++ += -， 根据复数n i 的性质，可得1,,0,1,1,,0,1,n z i i i i =++，即n z 的取值只有四个数 1,,0,1i i +，所以集合{0,1,1,,2,1,1}M i i i i =-+-+，M 中共7个元素， 其中模为1的有三个元素，故所求概率为37 P =. 故选：B . 5．生物体的生长都经过发生､发展､成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢､在发展阶段速度加快､在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为()(0,1,0)1kx b K f x K a k a +=>><+.一种刚栽种的果树的生长曲线 的函数解析式为10 ()()13 kx b f x x += ∈+N ，x 表示果树生长的年数，()f x 表示生长第x 年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1m ，经过一年，该果树高为2.5m ，则 (4)(3)f f -=（ ） A ．2.5m B ．2m C ．1.5m D ．1m 【答案】C 【分析】根据题中条件，得到(0)1m f =，(1) 2.5m f =，由解析式列出方程组求出b ， k ；再计算(3)f 与(4)f ，即可得出结果. 【详解】根据已知(0)1m f =，(1) 2.5m f =，得1310 134b k b +⎧+=⎨+=⎩ ，解得2b =，1k =-， 2023届河北省衡水中学高三上学期第三次综合素养评价数学试题 一、单选题 1．已知集合{}{} 1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 【答案】B 【分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂. 【详解】[方法一]：直接法 因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 =1x -代入集合{} 11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ； 4x =代入集合{} 11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2．下列双曲线的渐近线方程为2y x ±＝的是（ ） A ．2 214 x y ﹣＝ B ．2 214 y x -＝ C ．2 212y x -= D ．2 2 14 x y -＝ 【答案】B 【分析】根据各选项的双曲线的标准方程直接写出渐近线方程即可判断是否符合. 【详解】A ：2 214 x y ﹣＝的渐近线方程为12y x =±，故A 错误； B ：2 2 14 y x -＝的渐近线方程为2y x =±，故B 正确； C ：2 212 y x -=的渐近线方程为y =，故C 错误； D ：22 14 x y -＝的渐近线方程为12y x =±，故D 错误； 故选：B. 3．等比数列{an }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 【答案】C2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)
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