2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）
B ．（1，2）
C ．（﹣∞，3）
D ．（0，2）
2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种
B ．90种
C ．60种
D ．30种
3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1
所成角的余弦值为（ ）
A ．√104
B ．√53
C ．√64
D ．√153
4．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →
=4FQ →
，则|QF |＝（ ） A ．7
2
B ．3
C ．5
2
D ．2
5．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →
•PB →
的最小值为（ ） A ．2
B ．5
2
C ．3
D ．7
2
6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）
A ．10300
B ．10400
C ．10500
D ．10600
7．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0．设a ＝f
（3
2），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）
A ．b ＜a ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜c ＜b
8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过
点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →
•AB →
=AQ →
•FB →
，且BQ →
=3FQ →
，则C 的离心率为（ ） A ．2
B ．√5−1
C ．√5
D ．
2+√5
3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝S 18，则下列各式的值为0的是（ ） A ．a 17
B ．S 35
C ．a 17﹣a 19
D ．S 19﹣S 16
（多选）10．（5分）函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．将函数f （x ）的图象向左平移π
3个单位长度，得到一个奇函数的图象
B ．f （x ）的图象的一条对称轴可能为直线x =−π
6
C ．f （x ）在区间[
17π6
，
23π6
]上单调递增 D ．f （x ）的图象关于点（
4π3
，0）对称
（多选）11．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比
√5−12
的倒数，即e 0=√5+1
2的双曲线称为黄金双曲线，若a ，b ，c 分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的有（ ） A ．当焦点在x 轴时，其标准方程为
x 2a 2
−
2
√5+12
a =1 B ．若双曲线的弦EF 的中点为M ，则k EF •k OM ＝﹣e 0
C ．a ，b ，c 成等比数列
D ．双曲线的右顶点A （a ，0），上顶点B （0，b ）和左焦点F （﹣c ，0）构成的△ABF 是直角三角形
（多选）12．（5分）函数f （x ）＝e kx •lnx （k 为常数）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）若正实数a ，b 满足1
a +
2b
=
√ab ，则ab 的最小值为
．
14．（5分）如图，在△ABC 中，cos C =√3sin B ，点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，AD ＝2，则AB 的长为 ．
15．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求
语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ．
16．（5分）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为 ，该组合体的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）已知函数f(x)=2cos ω
2xsin(ω
2x −π
3)+√3
2，ω＞0，____． （1）求f （x ）在区间[−π6
，π6]上的值域； （2）若f(θ
2
)=−35
，θ∈[−π6
，
5π
6
]，求sin θ的值． 请从①若|f （x ）1﹣f （x 2）|＝2，|x 1﹣x 2|的最小值为π2
；②f （x ）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π
2
；③若f （x 1）＝f （x 2）＝0，|x 1﹣x 2|的最小值为π
2
，这三个条件中任选一个，
补充在上面问题的条件中并作答．
18．（12分）已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +3S n ＝3S n +1+a n a n +1+1． （1）求证：数列{
1a n +1
}为等差数列；
（2）记数列{（a 3n ﹣2+1）（a 3n +1+1）}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（12分）双曲线x 2
−y 2b
2
=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲
线交于A ，B 两点．
（1）直线l 的倾斜角为π
2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =√3，若l 的斜率存在，且（F 1A →+F 1B →）•AB →
=0，求l 的斜率．
20．（12分）如图，矩形ABCD 和梯形ABEF 所在的平面垂直，BE ∥AF ，∠BEF ＝90°，∠BAF ＝30°，BF ＝2，AF ＝4． （1）求证：BF ⊥面ABCD ；
（2）若直线AC 与平面ABEF 所成的角等于30°，求钝二面角D ﹣CF ﹣E 的余弦值．
21．（12分）设点P 为圆C 1：x 2+y 2＝2上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．点M 满足√2MQ →
=PQ →
．
（1）求点M 的轨迹C 2的方程．
（2）过直线x ＝2上的点T 作圆C 1的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与（1）中的曲线C 2交于两点C ，D ．分别记△TAB ，△TCD 的面积为S 1，S 2，求S 1
S 2的取值范围．
22．（12分）已知函数f （x ）＝nx ﹣x n ，x ∈R ，其中n ∈N •
，且n ≥2．
（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y ＝f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g （x ），求证：对于任意的正实数x ，都有f （x ）≤g （x ）；
（Ⅲ）若关于x 的方程f （x ）＝a （a 为实数）有两个正实数根x 1，x 2，求证：|x 2﹣x 1|＜a
1−n +2．
2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）
B ．（1，2）
C ．（﹣∞，3）
D ．（0，2）
【解答】解：∵A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝（1，2）． 故选：B ．
2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种
B ．90种
C ．60种
D ．30种
【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有：∁61=6种结果； 乙场馆从余下的5人中挑2人有：∁52=10种结果； 余下的3人去丙场馆；
故共有：6×10＝60种安排方法； 故选：C ．
3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1
所成角的余弦值为（ ） A ．
√10
4
B ．
√53
C ．
√64
D ．
√15
3
【解答】解：以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AA 1
为z 轴，建立空间直角坐标系，
设直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都为2，
A （0，0，0），M （0，1，2），
B （√3，1，0），
C 1（0，2，2）， AM →
=（0，1，2），BC 1→
=（−√3，1，2）， 设AM 与BC 1所成角为θ， 则cos θ=
|AM →
⋅BC 1→
||AM →
|⋅|BC 1→|
=
√5⋅√8
=√104， ∴AM 与BC 1所成角的余弦值为√10
4
． 故选：A ．
4．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →
=4FQ →
，则|QF |＝（ ） A ．7
2
B ．3
C ．5
2
D ．2
【解答】解：设Q 到l 的距离为d ，则|QF |＝d ， ∵FP →
=4FQ →
， ∴|PQ |＝3d ，
∴不妨设直线PF 的斜率为−2√2d
d
=−2√2， ∵F （2，0），
∴直线PF 的方程为y ＝﹣2√2（x ﹣2）， 与y 2＝8x 联立可得x ＝1， ∴|QF |＝d ＝1+2＝3， 故选：B ．
5．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →
•PB →
的最小值为（ ） A ．2
B ．5
2
C ．3
D ．7
2
【解答】解：PA →
•PB →=(PC →
+CA →
)⋅(PC →
+CB →
)=(PC →
+CA →
)⋅(PC →
−CA →
) =|PC →
|2−|CA →
|2=|PC →
|2−√2，
由点P 在直线y ＝x +3上，点C 位圆心，C （1，1）， 所以|PC →|的最小值为：点C 到直线的距离，d =√1+1
=3√2
2，
则PA →
•PB →
=|PC →
|2−2≥92−2=5
2
， 故选：B ．
6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）
A ．10300
B ．10400
C ．10500
D ．10600
【解答】解：将数字塔中的数字改写成指数式，可发现其指数恰好成杨辉三角，前10层的指数和为1+2+22+⋯⋯+29＝210﹣1＝1023，
所以原数字塔中前10层所有安数字之积为21023＝10lg21023
=101023lg 2＝101023
×0.3
≈
10300， 故选：A ．
7．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0．设a ＝f
（3
2），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）
A ．b ＜a ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜c ＜b
【解答】解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，
则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，
又由f （x ）是偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83）， 又由0.83＜1＜3
2＜3
2log 33＝log 3√27＜log 37， 则c ＜a ＜b ； 故选：B ．
8．（5分）已知双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过
点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →
•AB →
=AQ →
•FB →
，且BQ →
=3FQ →
，则C 的离心率为（ ） A ．2
B ．√5−1
C ．√5
D ．
2+√5
3
【解答】解：由已知得A （a ，0），设F （c ，0）， 由AQ →
•AB →
=AQ →
•FB →
，得AQ →
⋅(AB →
+BF →
)=AQ →
⋅AF →
=0，
∴l 垂直于x 轴，即l ：x ＝a ，不妨设Q 在第一象限，则Q （a ，b ）， 设B （x 0，y 0），由BQ →
=3FQ →
，得BF →
=2FQ →
，
∴（c ﹣x 0，﹣y 0）＝2（a ﹣c ，b ），则{x 0=3c −2a y 0=−2b ，即B （3c ﹣2a ，﹣2b ），
∵B （x 0，y 0）在双曲线上，∴
(3c−2a)2
a 2
−
(−2b)2b 2
=1，
整理得：9c 2﹣12ac ﹣a 2＝0，即9e 2﹣12e ﹣1＝0， 解得e =
2+√5
3
（e ＞1）， 故选：D ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝S 18，则下列各式的值为0的是（ ） A ．a 17
B ．S 35
C ．a 17﹣a 19
D ．S 19﹣S 16
【解答】解：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 17＝S 18， 即17a 1+
17×162d ＝18a 1+18×172
d ， 得a 1＝﹣17d ， ∴a n ＝（n ﹣18）d ，
S n =
n(−17d+nd−18d)2=n(n−35)
2
d ，
所以a 18＝0，S 35＝0． a 17﹣a 19＝﹣d ﹣d ＝﹣2d ， S 19﹣S 16=
19×(−16)2d −16×(−19)
2
d ＝0． 故选：BD ．
（多选）10．（5分）函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．将函数f （x ）的图象向左平移π
3个单位长度，得到一个奇函数的图象
B ．f （x ）的图象的一条对称轴可能为直线x =−π
6
C ．f （x ）在区间[
17π6
，
23π6
]上单调递增 D ．f （x ）的图象关于点（
4π3，0）对称
【解答】解：由图象可知，34
T ＝[5π6
−(−
2π
3
)]=3π
2， 所以T ＝2π， 所以ω＝1， 因为图象过点（5π6
，1），
所以cos （5π6
+φ）＝1，
解得
5π6
+φ=2k π（k ∈Z ），
由﹣π＜φ＜0，可知φ=−5π
6， 所以f （x ）＝cos （x −5π
6），
对于A ，将函数f （x ）的图象向左平移π
3
个单位长度，可得y ＝cos （x −5π6+π3）＝cos （x −π
2）
＝sin x ，
由正弦函数为奇函数可知，A 正确； 对于B ，因为f （x ）＝cos （x −
5π6）的对称轴方程为x −5π6=k π，即x =5π6
+k π（k ∈Z ）， 当k ＝﹣1时，x =−π
6，故B 正确； 对于C ，当x ∈[
17π6
，
23π
6
]时，x −5π
6∈[2π，3π]，
而余弦函数在该区间不是单调递增的，故C 错误； 对于D ，令x −5π
6=k π+π
2（k ∈Z ）， 解得：x =4
3
π+k π， 所以其对称中心为（
4π3
+kπ，0）（k ∈Z ），
当k ＝0时可知，D 正确． 故选：ABD ．
（多选）11．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比
√5−12
的倒数，即e 0=√5+1
2的双曲线称为黄金双曲线，若a ，b ，c 分别是实半轴、
虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的有（ ） A ．当焦点在x 轴时，其标准方程为
x 2a 2
−
2
√5+12
a =1 B ．若双曲线的弦EF 的中点为M ，则k EF •k OM ＝﹣e 0
C ．a ，b ，c 成等比数列
D ．双曲线的右顶点A （a ，0），上顶点B （0，b ）和左焦点F （﹣c ，0）构成的△ABF 是直角三角形
【解答】解：对于A ，若双曲线为黄金双曲线，则离心率为e 0=
√5+1
2
，
又e 0
2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2
a
2， 所以b 2=a 2(e 02
−1)=a 2[(√5+1
2)2−1]=
√5+1
2
a 2，
所以黄金双曲线的方程为
x 2
a 2
−
2
√5+12
a =1，故A 正确；
对于B ，由A 可知，黄金双曲线的方程为x 2
a 2
−
y 2e 0a 2
=1，
设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， 线段EF 的中点M （x 0，y 0）， 则
x 1
2a 2
−
y 1
2e 0a 2
=1，
x 2
2a 2
−
y 2
2e 0a 2
=1，
两式相减得x 12−x 2
2a 2
−
y 12−y 2
2e 0a 2
=0，
所以
x 1+x 22
⋅
1a 2
⋅(x 1−x 2)−
y 1+y 22
⋅
1e 0a 2
⋅(y 1−y 2)=0，
即x 0⋅1a 2−y 0⋅1
e 0a 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=0， 即
1a 2
−
y 0
x 0⋅
1
e 0a 2⋅
y 1−y 2
x 1−x 2
=0，
所以
1
a 2
−k OM ⋅
1e 0a 2
⋅k EF =0，则k EF •k OM ＝e 0，故B 错误；
对于C ，因为b 2=
√5+1
2
a 2，ac =a ⋅ae 0=a 2e 0=
√5+1
2
a 2，
所以b 2＝ac ，所以a ，b ，c 成等比数列，故C 正确； 对于D ，k AB =−b a ，k BF =b
c ，
所以k AB •k BF =−b a ×b c =−b
2
ac
=−1，即AB ⊥BF ，
故D 正确； 故选：ACD ．
（多选）12．（5分）函数f （x ）＝e kx •lnx （k 为常数）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：令f （x ）＝e kx •lnx ＝0，解得x ＝1，即函数f （x ）有且只有一个零点，故D 不可能，
f′（x）=e kx
x（kxlnx+1），
令y＝xlnx，则y'＝lnx+1，
令y'＞0，则x＞1
e，即函数y在（
1
e
，+∞）上单调递增，
令y'＜0，则x＜1
e，即函数y在（0，
1
e
）上单调递减，
∴当x=1
e时，y取得最小值，为−
1
e，即xlnx∈[−
1
e，+∞），且x→0时，xlnx→0，x→+∞
时，xlnx→+∞，
故当0≤k≤e时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，选项A可能，
当k＞e时，f'（x）存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜1
e＜x2＜1，
∴f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，选项B可能，当k＜0时，f'（x）存在唯一零点x0，且x0＞1，
∴f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，选项C可能，
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若正实数a，b满足1
a +
2
b
=√ab，则ab的最小值为2√2．
【解答】解：∵正实数a，b满足1
a +
2
b
=√ab，
∴√ab=1
a
+2b≥2√1a⋅2b=2√2ab，
∴ab≥2√2
当且仅当1
a =
2
b
即a=√2
4且b＝2√2
4时取等号．
故答案为：2√2．
14．（5分）如图，在△ABC中，cos C=√3sin B，点D在边BC上，AD⊥AC，AD＝2，则AB的长为2√3．
【解答】解：因为AD⊥AC，所以sin∠ADB＝sin∠ADC＝cos C，
结合cos C=√3sin B，故sin∠ADB=√3sinB，
所以AB
sin∠ADB =
AD
sinB
，又因为AD＝2，所以AB=AD⋅
sin∠ADB
sinB
=2√3，
故AB的长为2√3．
故答案为：2√3．
15．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是16．
【解答】解：若数学安排在第二节，则由于物理与数学不相邻，语文与化学相邻，所以物理安排在第五节，语文化学从3，4节中各选一节，所以有A22种；
若数学安排在第三节，物理只能为第一或第五，若物理第一节则语文化学从4，5节选有A22，若物理第五节，则语文化学1，2节选，有A22；
若数学安排在第四节，则物理只能在1，语文化学2，3节选，有A22种；
若数学在第五节，则物理应从3，2，1节选，若物理为3，则语文化学从1，2节中各选一节，所以有A22种，若物理为2，则语文化学从3，4节中各选一节，所以有A22种，若物理为1，则语文化学从2，3节中或3，4节中各选一节，所以有2A22种，所有情况安排好数学，物理，语文化学后，剩余的那节为英语，所以有A22+A22+A22+A22+A22+A22+
2A22=16．
故答案为：16．
16．（5分）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为√6，该组合体的外接球的体积为
8√2
3
π．
【解答】解：如图，连接P A交底面BCD于点O，
则点O 就是该组合体的外接球的球心． 设三棱雉的底面边长为a ， 则CO =PO =R =√3
3a ， 得√2×√3
3a =2， 所以a =√6，R =√2， 所以V =43
π⋅(√2)3=8√2
3
π， 故答案为：√6；
8√2
3
π． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）已知函数f(x)=2cos ω
2xsin(ω
2x −π
3)+√3
2，ω＞0，____． （1）求f （x ）在区间[−π
6，π6]上的值域；
（2）若f(θ
2)=−3
5，θ∈[−π
6，5π
6]，求sin θ的值．
请从①若|f （x ）1﹣f （x 2）|＝2，|x 1﹣x 2|的最小值为π
2；②f （x ）图象的两条相邻对称轴之
间的距离为π2
；③若f （x 1）＝f （x 2）＝0，|x 1﹣x 2|的最小值为π
2
，这三个条件中任选一个，
补充在上面问题的条件中并作答．
【解答】解：f(x)=2cos ω2xsin(ω2x −π3)+√3
2=2cos ω2x （12sin ω
2x −√3
2cos ω
2x ）+√3
2
＝sin ω2x cos ω2x −√3cos 2ω
2
x +√3
2
=1
2sin ωx −√3•
1+cosωx
2
+
√32
=sin （ωx −π
3）， （1）选择条件①：
若|f （x ）1﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π
2，
所以最小正周期T ＝2×π2=π=2π
ω，所以ω＝2， 所以f （x ）＝sin （2x −π
3）， 选择条件②：
因为f （x ）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π
2，
所以最小正周期T ＝2×
π2=π=2π
ω
，所以ω＝2， 所以f （x ）＝sin （2x −π3
）， 选择条件③：
若f （x 1）＝f （x 2）＝0，则|x 1﹣x 2|的最小值为π
2，
所以最小正周期T ＝2×
π2=π=2π
ω
，所以ω＝2， 所以f （x ）＝sin （2x −π
3
），
因为x ∈[−π
6，π
6]，所以2x −π
3∈[−2π
3，0]，所以f （x ）的值域为[﹣1，0]． （2）因为f(θ
2)=−3
5，
所以f （θ
2
）＝sin （2•θ
2
−π
3
）＝sin （θ−π
3）=−3
5，
又θ∈[−π6，5π6]，所以θ−π3∈[−π2，π2]，所以cos （θ−π3）=√1−sin 2(θ−π3)=4
5
，
所以sin θ＝sin[（θ−π3）+π3]＝sin （θ−π
3）cos π
3
+cos （θ−π
3）sin
π
3
=（−35）×12+45×√3
2=4√3−3
10
． 18．（12分）已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +3S n ＝3S n +1+a n a n +1+1． （1）求证：数列{
1a n +1
}为等差数列；
（2）记数列{（a 3n ﹣2+1）（a 3n +1+1）}的前n 项和为T n ，求T n ． 【解答】解：（1）证明：由a n +3S n ＝3S n +1+a n a n +1+1， 可得a n ＝3S n +1﹣3S n +a n a n +1+1＝3a n +1+a n a n +1+1，
即为a n +1=a n −1
a n
+3，
所以a n +1+1=a n −1a n +3+1=2(a n +1)
a n +3，
则
1a n+1+1
=
1
a n +1
+1
2
，
可得数列{
1
a n +1
}是首项和公差均为12
的等差数列；
（2）由（1）可得1
a n +1
=
12
+1
2
（n ﹣1）=12
n ，
即有a n +1=2n
，
所以（a 3n ﹣2+1）（a 3n +1+1）=2
3n−2•23n+1=43（13n−2−13n+1）， 则T n =4
3（1−14+14−17
+...+13n−2−13n+1）=43（1−13n+1）=4n
3n+1
． 19．（12分）双曲线x 2−y 2b
2
=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲
线交于A ，B 两点．
（1）直线l 的倾斜角为π
2
，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =√3，若l 的斜率存在，且（F 1A →+F 1B →）•AB →
=0，求l 的斜率． 【解答】解：（1）双曲线x 2−
y 2b
2
=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，a ＝1，c 2＝1+b 2，
直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点， 直线l 的倾斜角为π
2，△F 1AB 是等边三角形，
可得：A （c ，b 2），可得：√3
2
⋅2b 2=2c ， 3b 4＝4（a 2+b 2）， 即3b 4﹣4b 2﹣4＝0， b ＞0，解得b 2＝2．
所求双曲线方程为：x 2−y 2
2=1， 其渐近线方程为y ＝±√2x ．
（2）b =√3，双曲线x 2
−y 2
3=1，可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线的斜率为：k =y 2−y
1x 2
−x 1
，
直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2），
由题意可得：{y =kx −2k
x 2−y 23
=1
，消去y 可得：（3﹣k 2）x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3＝0，
Δ＝36（1+k 2）＞0且3﹣k 2≠0， 可得x 1+x 2=
4k
2
k 2−3
，
则y 1+y 2＝k （x 1+x 2﹣4）＝k （4k 2k 2−3
−4）=
12k k 2
−3
．
F 1A →
=（x 1+2，y 1）， F 1B →=（x 2+2，y 2），
（F 1A →+F 1B →）•AB →
=0可得：（x 1+x 2+4，y 1+y 2）•（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）＝0， 可得x 1+x 2+4+（y 1+y 2）k ＝0， 得
4k 2k 2−3
+4+
12k k 2
−3
•k ＝0
可得：k 2=3
5
， 解得k ＝±
√15
5
． l 的斜率为：±
√15
5
． 20．（12分）如图，矩形ABCD 和梯形ABEF 所在的平面垂直，BE ∥AF ，∠BEF ＝90°，∠BAF ＝30°，BF ＝2，AF ＝4． （1）求证：BF ⊥面ABCD ；
（2）若直线AC 与平面ABEF 所成的角等于30°，求钝二面角D ﹣CF ﹣E 的余弦值．
【解答】（1）证明：在△ABF 中，由正弦定理可得BF sin∠BAF
=
AF sin∠ABF
，
所以sin ∠ABF =
AF⋅sin∠BAF BF =4sin30°
2
=1，
所以∠ABF ＝90°，即BF ⊥AB ， 又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， BF ⊂平面ABEF ，
所以BF ⊥面ABCD ；
（2）解：由于ABCD 是矩形，所以CB ⊥AB ，
又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， CB ⊂平面ABCD ， 所以CB ⊥平面ABEF ，
故直线AC 与平面ABEF 所成的角为∠BAC ， 所以∠BAC ＝30°，
因为AB =√AF 2−BF 2=2√3， 所以CB ＝AB tan30°＝2， 因为BE ∥AF ，
则∠EBF ＝∠AFB ，又∠BEF ＝∠ABF ＝90°， 所以△ABF ∽△FEB ，
所以BE
BF =BF
AF
，可得BE =BF 2
AF =1，
所以EF =√BF 2−BE 2=√3，
以B 为坐标原点，BA 、BF 、BC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B ﹣xyz ，
则D(2√3，0，2)，C(0，0，2)，F(0，2，0)，E(−√3
2，1
2，0)，
所以DC →
=(−2√3，0，0)，DF →
=(−2√3，2，−2)，CE →
=(−√3
2，1
2，−2)，CF →=
(0，2，−2)，
设平面DCF 的一个法向量为m =(x ，y ，z)，
由{m →
⋅DC →
=0m →⋅DF →=0
，得{−2√3x =0−2√3x +2y −2z =0，取y ＝1，可得x ＝0，z ＝1，
所以m →
=(0，1，1)，
设平面CFE 的一个法向量为n →
=(a ，b ，c)，
由{n →
⋅CE →
=0n →⋅CF →=0，得{−√
32a +12
b −2
c =02b −2c =0
，取b ＝1，可得c =1，a =−√3， 所以n →
=(−√3，1，1)，
所以cos ＜m →
，n →
＞m →⋅n →
|m →|⋅|n →|=2√2⋅√5
=√105，
故钝二面角D −CF −E 的余弦值为−
√10
5
．
21．（12分）设点P 为圆C 1：x 2+y 2＝2上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．点M 满足√2MQ →
=PQ →
．
（1）求点M 的轨迹C 2的方程．
（2）过直线x ＝2上的点T 作圆C 1的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与（1）中的曲线C 2交于两点C ，D ．分别记△TAB ，△TCD 的面积为S 1，S 2，求S 1
S 2的取值范围．
【解答】解：（1）设点M （x ，y ），由√2MQ →=PQ →
，可得P(x ，√2y)， 由于点P 在圆C 1：x 2+y 2=2上，所以x 2+2y 2＝2， 故点M 的轨迹方程为
x 22
+y 2=1；
（2）如图所示，设点T （2，t ），A （x '1，y '1），B （x '2，y '2）， 则直线AT 和BT 的方程分别为x '1x +y '1y ＝2，x '2x +y '2y ＝2，
又点T （2，t ）在直线AT 和BT 上，则有2x '1+ty '1＝2①，2x '2+ty '2＝2②， 由①、②可知，直线AB 的方程为2x +ty ＝2， 设点C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 则圆心O 到AB 的距离d =
√4+t
，
则|AB|=
2√r 2−d 2
=2√2t 2+4
t 2+4
，
联立方程组{2x +ty =2
x 22+y 2
=1，可得（t 2+8）y 2﹣4ty ﹣4＝0， 于是y 1+y 2=
4t t 2+8，y 1y 2=−4
t 2+8
，
2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3） B ．（1，2） C ．（﹣∞，3） D ．（0，2） 2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种 3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1 所成角的余弦值为（ ） A ．√104 B ．√53 C ．√64 D ．√153 4．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP → =4FQ → ，则|QF |＝（ ） A ．7 2 B ．3 C ．5 2 D ．2 5．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA → •PB → 的最小值为（ ） A ．2 B ．5 2 C ．3 D ．7 2 6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学(五) 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知z i 21+=1－i ，则|z |= A.25 B.210 C.5 D.10 2.已知集合A ={－1，l}，B ={x ＋y |x ∈A ，y ∈A }，C={x －y |x ∈A ，y ∈A }，则 A.B =C B.B C C.B C =∅ D.B C =A 3.已知x >0，y >0，设命题p ：x ＋y ≤l ，命题q ：x +y ≤2，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若t a n θ=－ 21，则sin2θ= A.－43 B.43 C.－54 D.5 4 5.科研团队对某型号投篮机器人进行投篮试验，假设机器人每次投篮的命中率相同，且两次投篮试 验中至少投中一次的概率为 2521.若机器人进行5次投篮试验，则投中次数的期望为 A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n +a n +2=n ，则S 24= A.132 B.134 C.136 D.138 7.某中学开展劳动实习，学生需要将半径为4的实心木球加工成由同底的圆锥和圆
（专题密卷）河北省衡水中学2022届高考数学万卷检测 空间几何体 选择题 1.一几何体的三视图如右所示（从左到右从上到下分别为正视图，侧 视图，俯视图），则该几何体的体积为A.200+9πB.200+18πC.140+9π D.140+18π2.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形， 其正（主）视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是 (A)45,8(B)45,8,8 3.设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若l//，l//，则// B.若l，l，则// C.若l，l//，则// D.若，l//，则l 4.已知m,n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm,ln,l,l，则 A.//，且l// B.，且l D.与相交，且交线平行于l 88(C)4(51),(D)33C.与相交，且交线垂直于l 5.设m.n是两条不同的直线，α.β是两个不同的平面， A.若m∥α，n∥α,则m∥n B.若m∥α，m∥β,则α∥β C.若m∥n，m⊥α,则n⊥α D.若m∥α，α⊥β,则m⊥β6.下列命题错误的是(). A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面平面，平面平面，l那么l平面 D.如果平面平面，那么平面内所 有直线都垂直于平面7.在四面体ABCD中，AB1,AD23,BC3,CD2,ABCDCB则 二面角ABCD的大小为（）A. 2,6B. 3C. 23D. 56 二、填空题 8.某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的体积为__________.9. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上， 且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数 为 DC 四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点10.如图，在平行OBAO，， 则ABADAO____________。 11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23它的三视图的 俯视图如右图，左视图是一个矩形，则矩形的面积是 12.如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O2，A,B是圆O1上两点，若A,B两点间的2球面距离为3，则AO1B=. O1AOB三、解答题
2021-2022高考数学模拟试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2 B ．2 C ．10 D ．10 2．抛物线 的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23 AFB π ∠= ，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 MN AB 的最大值是（ ） A 3 B ． 33 C ． 32 D 33．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．5⎛ ⎝⎦ B ．5⎫ ⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦ D ．25⎫ ⎪⎪⎣⎭ 4．已知3log 74a =，2log b m =，5 2 c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．17 5．设函数 '()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1 '()ln ()<- f x x f x x ，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0) (0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)(1, ) D ．(,1)(0,1)-∞- 6．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）
专题06 三角函数 一、单选题 1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，7cos 225α=，则sin 3sin 2α πα=⎛⎫ + ⎪⎝⎭ （ ） A ．3 4 - B ． 34 C ． 43 D ．43 - 2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】 已知函数()f x x ω= 和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移 2π 个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2 π 个单位 3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛ ⎫=+++ ⎪⎝ ⎭， 则（ ） A ．()() 33ππ +=-f x f x B ．,012π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 是函数()f x 的一个对称中心 C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍 D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ ，()()()123f x f x f x +≥恒成立 4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},, min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨ >⎩ ()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为21 2 k x π+= ，k Z ∈ ③ 值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③④ D ．②③④ 5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，
河北省衡水中学2022届上学期高三年级六调考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录，根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面函数模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是 A ．)0(>+=m n x m y B ．)0(>+=m n mx y C ．)0(2 >+=m n mx y D ．)10,0(=/>>+=a a m n ma y x 且 2．要得到函数x y cos 2= 的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +=4sin 2πx y 的图象 A ．向上平移 4π 个单位 B ．向下平移 4π 个单位 C ．向左平移4π 个单位 D ．向右平移4 π 个单位 3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆 C 的离心率为 4 7 ，面积为π12，则椭圆C 的方程为 A ．136 422=+y x B ．14322=+y x C ．132182 2=+y x D ．116 92 2=+y x 4．某函数图象如图所示，下列选项中的函数最适合的是 A ．x e y x 2| |= B ．x e x y x )1(2+= C ．| 2|x e y x = D ．2 2x e y x =
2022年河北衡水中学高考数学理科全真模拟试卷含参考答案 第1卷 一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，那么A∩B=〔〕A．∅B．〔0，1〕C．[0，1〕D．[0，1] 2．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕设随机变量ξ～N〔3，σ2〕，假设P〔ξ＞4〕=0.2，那么P〔3 ＜ξ≤4〕=〔〕 A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕复数z=〔i为虚数单位〕，那么3=〔〕 A．1 B．﹣1 C．D． 4．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕过双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，假设∠PFQ=π，那么双曲线的渐近线方程为〔〕 A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 5．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为〔〕 A．B．2 C．D．1 6．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕如图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果是〔〕 A．2 B．3 C．4 D．5 7．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，假设b n=，那么数列 {b n}的前8项和为〔〕 A．B．C．D． 8．〔5分〕〔2022•衡中模拟〕〔x﹣3〕10=a0+a1〔x+1〕+a2〔x+1〕2+…+a10〔x+1〕10，那么a8=〔〕 A．45 B．180 C．﹣180 D．720
数学高三下学期高考模拟卷（河北省衡水中学） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时 间120分钟. 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知M ､N 是全集U 的两个非空子集.若()U M N M ⋂=，则下列说法可能正确的是（ ） A. ( )U M N U ⋃= B. ()U M N M ⋃= C. M N ≠∅ D. M N U ⋃= 【答案】D 【解析】 【分析】通过()U M N M ⋂=，得到,M N 之间的关系，再结合韦恩图即可得到答案. 【详解】由()U M N M ⋂=可得U M N ⊆ ，如图， 由图①②，( )U U N N M ⋃=，()U U M N M ⋃=，M N ⋂=∅，A,B,C 错误； 由图②，D 正确. 故选：D. 2. 已知 110a b <<，则下列结论一定正确的是（ ） A. 22a b > B. 2b a a b +< C. a b a a < D. 2lg lg a ab < 【答案】D 【解析】
【分析】由110a b <<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由 110a b <<，可得0b a <<，则0,0,0a b a b ab +<->>， 对于A 中，由22()()0a b a b a b -=+-<，所以22a b <，所以A 不正确； 对于B 中，由0,0b a a b <>，且b a a b ≠，则2b a a b +>=，所以B 不正确； 对于C 中，由0,0a b a a >>，且a a b b a a a -=， 当1a >时，1a a b b a a a -=>，此时a b a a >； 当1=a 时，1a a b b a a a -==，此时a b a a =； 当1a <时，1a a b b a a a -=<，此时a b a a <，所以C 不正确； 对于D 中，由22 lg lg lg lg a a a ab ab b =-=，因为0b a <<，可得01a b <<， 所以lg 0a b <，可得2lg lg a ab <，所以D 正确. 故选：D. 3. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有2215312215C C C A ••= 种方法；
2022届河北省衡水中学高三下学期素养提升五数学试题 一、单选题 1．已知集合{}1,2,3,4,5M =，{}1,2,4,6,7N =，若集合{}3,5A =，则下列阴影部分可以表示A 集合的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【分析】利用Venn 图先判断集合M N ⋂，再在集合M 中去掉M N ⋂的部分，即可得到答案. 【详解】{}1,2,4M N ⋂=，是两个集合的公共部分，{}()3,5M M N ⋂=，在集合M 中 去掉M N ⋂的部分，即选B. 故选：B. 2．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15- B ．75- C ．1i 5- D ．7i 5 - 【答案】B 【分析】通过复数的除法和分母有理化，结合2i 1=-，解得17 i 55 z =--，再利用虚部为 i 系数即可求解. 【详解】因为(34i)5(1i)z +⋅=-， 所以5(1i) (34i) z -= +， 所以2225(1i)5(1i)(34i)5(37i+4i )5(17i) (34i)(34i)(34i)34i 25 z ------==⋅==++--， 所以5(17i)17 i 2555 z --= =--， 所以z 的虚部为7 5 -. 故选：B. 3．已知0a >且1a ≠，则“a π>”是“a a a π>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性即可判断 【详解】由“a π>”可知，函数()x f x a =在R 上单调递增，所以a a a π>，充分性成立； 因为a a a π>，所以当01a <<时，则a π<；当1a >时，则a π>，必要性不成立， 所以“a π>”是“a a a π>”的充分不必要条件． 故选：A 4．若y=f （x ）的定义域为（0，2]，则函数g （x ）=()21 f x x -的定义域是（ ） A ．（0，1] B ．[0，1） C ．（0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】D 【分析】根据f （x ）的定义域，结合题意列不等式组求出g （x ）的定义域． 【详解】由y=f （x ）的定义域为（0，2]， 令022 10x x ≤⎧⎨-≠⎩＜， 解得0＜x ＜1， ∴函数g （x ）=()21 f x x -的定义域是（0，1）． 故选D ． 【点睛】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题． 5．古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus ，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线1l ，2l ，3l ，且2l ，3l 均与1l 垂直.若动点M 到23,l l 的距离的乘积与到1l 的距离的平方相等， 则动点M 在直线23,l l 之间的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设记1l 为0y =，直线2l 为0x =，3l 为x a =，进而可根据条件表示出动点M 的轨迹方程，从而得出结论. 【详解】因为在平面内三条给定的直线1l ，2l ，3l ，且2l ，3l 均与1l 垂直，所以2l ，3l 平行，又因为动点M 到23,l l 的距离的乘积与到1l 的距离的平方相等，记1l 为0y =，直线2l 为
2022学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）. A ．2寸 B ．3寸 C ．4寸 D ．5寸 2．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ,则()sin πα+= ( ) A ．223 B ．223- C ．223± D ．13 3．设集合{}2320M x x x =++>，集合1 {|()4}2 x N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ） A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}2x x ≤- D ．R 4．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2 π 5．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ） A ．100 B ．1000 C ．90 D ．90 6．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+ B ．x x y e e -=- C ．lg y x = D ．2y x
2021届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学〔文〕试题 一、单项选择题 1．设集合，，且，那么实数a的值为 A．1或-1 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由A与B的交集，得到元素3属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值． 【详解】 ∵A∩B＝{3}， ∴3∈A且3∈B， ∴a2＝3或a22＝3， 解得：a＝1或a＝﹣1， 当a＝1时，a2＝3，a22＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 那么a＝﹣1． 应选：B 【点睛】 此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解此题的关键． 2．AB是抛物线的一条焦点弦，，那么AB中点C的横坐标是 A．2 B．C．D． 【答案】B 【解析】先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标 【详解】 设，C的横坐标为，那么， 因为是抛物线的一条焦点弦，所以， 所以，故 应选B 【点睛】
此题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于根底题型3．是等比数列，且，，那么的值等于〔〕 A．5 B．10 C．15 D．2021答案】A 【解析】试题分析：由于是等比数列，，， 【考点】等比中项 4．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 【详解】 设双曲线方程为， 将点代入双曲线方程， 解得 从而所求双曲线方程的焦点坐标为,一条渐近线方程为， 即4-3=0， 所以焦点到一条渐近线的距离是， 应选：B 【点睛】 此题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 5．是边长为的等边三角形，向量，满足，，那么以下结论正确的选项是〔〕 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】试题分析：,,． 由题意知． ．．故D正确． 【考点】1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．
2022年高考数学模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．8 1x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的二项展开式中，2 x 的系数是（ ） A ．70 B ．-70 C ．28 D ．-28 2．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ． 12 B ． 35 C ． 710 D ． 45 3．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ） A 53 B ．3 C ．33 D ． 3 3 4．若复数5 2z i =-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 5． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）
河北省衡水中学2022届高三下学期二调数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合{ } 2 230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ） A ．(]1,5- B ．(]1,1- C ．()1,3 D ．[)1,3 2．若( ) 2022 1i (2i)z =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．4 C ．2i D ．4i 3．设 1.6 12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3log 6b =，238c -=，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b << D ．b a c << 4．已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln x x x π≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lge 0.4343)≈（ ） A ．1086 B ．1229 C ．980 D ．1060 5．宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm ，高为6cm ，中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（ ） A ．2650cm π B ．21300cm π C ．21500cm π D ．22600cm π 6．在抛物线28y x =上有三点A ，B ，C ，F 为其焦点，且() 1 3 AF AB AC =+，则AF BF CF ++=（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 7．双曲余弦函数e e cosh 2 x x x -+=是高等数学中重要的函数之一.定义在R 上的函数
2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模数学试卷-学生用卷 一、单选题 1、【来源】 2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模第1题 设全集U =R ，且A ={−1,0,1,2}，B ={x |2x <2}，且A⋂B =（ ） A. (−1,0,1) B. (−1,0) C. {−1,0} D. {−1,0,1} 2、【来源】 2021~2022学年福建三明三元区三明市第一中学高一下学期月考（第一次月考）第1~1题 已知复数z 满足(1+√3i)z =i ，则复数z =（ ） A. √34 +14 i B. 14 +√34 i C. −√34+14 i D. −14 +√3 4 i 3、【来源】 2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模第3题 已知向量a → ，b → 的夹角为θ，|a →+b → |=2√3，|a →−b → |=2，则a → ⋅b → =（ ） A. 2 B. 2√2 C. 2√3 D. 4√3 4、【来源】 2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模第4题 函数f(x)=sinx 2−√3cosx 2，x ∈R 的最小正周期为（ ） A. π 2 B. π
C. 2π D. 4π 5、【来源】 2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模第5题 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是 A. 2 3B. 7 6 C. 4 5 D. 5 6 6、【来源】 2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模第6题 不等式“(1 2) x <2”是“log2x>1”成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7、【来源】 2022年河北衡水桃城区衡水中学高三三模第7题 已知函数f(x)=x2+2x+1−2x，则y=f(x)的图象大致为（）A. B.
2022届高三上学期一轮复习周测数学考卷带参考答案和解析（河北省衡水中学） 选择题 下列说法正确的是（） A. 0与的意义相同 B. 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C. 集合是有限集 D. 方程 的解集只有一个元素 【答案】D 【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D。 选择题 已知集合，则 （） A. B. C. D. 【答案】D
【解析】试题分析：, ，所以. 选择题 设命题“”，则为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以为，应选答案B。 选择题 已知集合，则集合（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以，应选答案C。 选择题 设，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】当时，，所以，，但 时，即，不能保证为正数，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A. 选择题 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以由题意可得： ，应选答案B。 选择题 已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，因此：?m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．
2022年河北省衡水市冀州一中高考数学一模试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知集合M ＝{x |﹣2＜x ＜6}，N ＝{x |﹣3＜x ＜log 235}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜log 235} B ．{x |﹣3＜x ＜log 235} C ．{x |﹣3＜x ＜6} D ．{x |log 235＜x ＜6} 2．若复数z 满足2z −z =1+3i ，则z ＝（ ） A ．1+i B ．1﹣i C ．﹣1+i D ．﹣1﹣i 3．已知菱形ABCD 边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝2DF ，则AE → ⋅AF → =（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．1 D ．一1 4．某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分（不可以不选），再从高三（2）班的4位女生中选出一部分（不可以不选）组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（ ） A ．30种 B ．96种 C ．120种 D ．125种 5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则(m n x 2−1x )6的展开式中的常数项是（ ）