2023年高考数学模拟试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知有A 、B 、C 、D 四个命题，其中A 为B 的必要条件，B 为C 的充分条件，C 为D 的必要条件，D 为A 的必要条件.若增加条件使得A 、B 、C 、D 中的任意一个命题均为A 、B 、C 、D 四个命题的必要条件，则这个条件可以为（ ）. A ．B 为C 的必要条件 B ．B 为A 的必要条件 C ．C 为D 的充分条件 D ．B 为D 的必要条件
2．复数z i a b =+(),0a b ≠.若1
12z -=，则（ ）的值与a 、b 的值无关. A ．13
z +
B ．12
z + C ．12
z -
D ．14
z -
3．0x ∀≠，10
1x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（ ）.
A ．240
B ．241
C ．242
D ．243
4．函数()f x 的图像如图所示，已知()02f =，则方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上有（ ）个非负实根.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．函数()3cos f x x =的最大值为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．3
6．1sin0.1a =+，0.1e b =，101.01c =，17
16
d =，a ，b ，c ，d 间的大小关系为（ ）. A ．b a d c >>> B ．b c a d >>> C ．b c d a >>>
D ．b a c d >>>
7．已知数列{}n a 、{}n b ，12n n a a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]12
n n b b +=，()
n N +
∈其中[]x 为不大于x 的最大整数.若11a b m ==，
1000m ≤，N m +∈，有且仅有4个不同的t ，使得t t a b ≠，则m 一共有（ ）个不同的取值.
A ．120
B ．126
C ．210
D ．252
8．平面上有两组互不重合的点，12m A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、与12n B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、()
,N ,2m n n +
∈≥，[]1,t n ∀∈，N t +∈，1m
i t
i A B t ==∑.则1
11n i i i B B -+=∑的范围为（ ）. A ．2,n n m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2,n n m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,2n n n m m ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
D ．211,n n m m ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．工厂生产某零件，其尺寸D 服从正态分布()
2
10,0.01N k （单位：cm ）.其中k 由零件的材料决定，且0k >.
当零件尺寸大于10.3cm 或小于9.7cm 时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm 且小于10.1cm 时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量()2,X
N μσ时，()0.159P X μσ>+≈，
()20.023P X μσ>+≈，()30.001P X μσ>+≈，则下列说法中正确的有（ ）. A ．k 越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小 B ．k 越大，预计生产出普通零件的概率越大
C ．若 1.5k =，则生产200个零件约有9个零件不合格
D ．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a ，2a ，5a -，则当1k =时，每生产1000个零件预计盈利2580a
10．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，()0a b >>上有三点1P 、2P 、3P ，1F 、2F 分别为其左、右焦点.则下列说法
中正确的有（ ）.
A ．若线段11P F 、21P F 、31P F 的长度构成等差数列，则点1P 、2P 、3P 的横坐标一定构成等差数列.
B ．若直线12PP 与直线23P
P 斜率之积为22b
a
-，则直线13P P 过坐标原点. C ．若123PP P 的重心在y 轴上，则1121313PF P F P F a ++=
D ．123PP P 11．已知函数()sin sin 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛
⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，其中a 、0b >.则下列说法中正确的有（ ）.
A ．()f x 的最小值为a -
B ．()f x
C ．方程()f x b =在35,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上有三个解 D ．()f x 在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
12．直线1l 、2l 为曲线y e x =与y ln x =的两条公切线.1l 从左往右依次交e x 与ln x 于A 点、B 点；2l 从左往右依次交e x 与ln x 于C 点、D 点，且A 点位于C 点左侧，D 点位于B 点左侧.设坐标原点为O ，1l 与2l 交于点P .则下列说法中正确的有（ ）. A ．AD BC < B ．22
OP <
C ．e 1tan 22e
BOC ∠<
+ D ．2
AOC π
∠>
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______. 14．已知存在实数x 使得1
sin cos 2
x a x a -+-=
，则a 的取值范围为______. 15．已知圆C ：224x y +=，点()3,0A ，点()2,0B -.点P 为圆C 上一点，作线段AP 的垂直平分线l .则点B 到直线l 距离最小值为______.
16．二元数列(){},i j a 中各项的值同时由i ，j 决定(),i j +
∈N .已知二元数列(){}
,m n a 满足(),1m a m =，()21,n a n =，
()()()1,1,11,2m n m n m n a a a ++++=+()m n +∈N 、.若()22022,202112020t a t +>->，t ∈Z ，则t =______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知ABC ，D 为边AC 上一点，1AD =，2CD =. (1)若3
4
BA BD ⋅=
，0BC BD ⋅=，求ABC
S ；
(2)若直线BD 平分ABC ∠，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.
18．为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率） (1)当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；
(2)为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n 个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n 个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A 疫区共有10000名居民，采用10n =的混采策略；B 疫区共有20000名居民，采用20n =的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A 、B
两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.
参考数据：100.98670.8747≈ 2.24≈
19．异面直线1l 、2l 上分别有两点A 、B .则将线段AB 的最小值称为直线1l 与直线2l 之间的距离.如图，已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面PBC ，PB PC ⊥，点D 为线段AC 中点，1AP BP CP ===.点E 、F 分别位于线段AB 、PC 上（不含端点），连接线段EF .
(1)设点M 为线段EF 中点，线段EF 所在直线与线段AC 所在直线之间距离为d ，证明：DM d >. (2)若
AB PC
k AE FC
==()1k >，用含k 的式子表示线段EF 所在直线与线段BD 所在直线之间的距离. 20．已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和. (1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；
(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：2
14
n n n T S S -<
恒成立. 21．已知抛物线22y px =()0p >，点1P 为抛物线焦点.过点1P 作一条斜率为正的直线l 从下至上依次交抛物线于点A 与点B ，过点B 作与l 斜率互为相反数的直线分别交x 轴和抛物线于P 、A .
(1)若直线12A A 斜率为k ，证明抛物线在点1B 处切线斜率为k -；
(2)过点t A ()
*
N ,>1t t ∈作直线分别交x 轴和抛物线于21t P -、t B ，过点t B 作直线分别交x 轴和抛物线于2t P 、
1t A +，且*N t ∀∈，直线t t A B 斜率与直线1t t A B +斜率互为相反数.证明数列{}
1n n P P +为等差数列. 22．已知函数()()1
ln 0f x a x x x x
=++
>. (1)若()f x 有唯一零点，设满足条件的a 值为1a 与2a ()12a a ≠证明：①1a 与2a ()12a a ≠互为相反数；②15843
a >>； (2)设()()g x xf x =.若()g x 存在两个不同的极值点1x 、2x ，证明12x x a +>-. 参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈
1．A 【分析】
先由题设条件得到A B C D A ⇐⇒⇐⇐，再利用充要条件的传递性对选项逐一分析即可. 【详解】
因为A 为B 的必要条件，B 为C 的充分条件，C 为D 的必要条件，D 为A 的必要条件， 所以,,,A B B C C D D A ⇐⇒⇐⇐，即A B C D A ⇐⇒⇐⇐， 对于A ，若B 为C 的必要条件，即B C ⇐，则A B C D A ⇐⇔⇐⇐，
所以A 、B 、C 、D 互为充要条件，则A 、B 、C 、D 中的任意一个命题均为A 、B 、C 、D 四个命题的必要条件，故A 正确；
对于B ，若B 为A 的必要条件，即B A ⇐，则A B C D A ⇔⇒⇐⇐，易得B 不是C 的必要条件，故B 错误；
对于C ，若C 为D 的充分条件，即C D ⇒，则A B C D A ⇐⇒⇔⇐，易得B 不是C 的必要条件，故C 错误；
对于D ，若B 为D 的必要条件，即B D ⇐，则A B C D A ⇐⇒⇐⇐且B D ⇐，易得B 不是C 的必要条件，故D 错误. 故选：A 2．A 【分析】
根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a 、b 关系，再依次判断各选项. 【详解】
因为z i a b =+，所以()()()()
()22
22
i
1i i 111i 11i i i i a a b b a b a b a b z a b a b a b a b a b ---------=-===+++-+，
所以2222221i
1a a b b z a b a b ---=-=++
又112z -=，所以2
2
2222224a a b b a b a b ⎛⎫--⎛⎫
+= ⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭， ()()2
2
222224a a b b a b --+=+，所以()()2
22222223a a a b b a b -++=+，
因为,0a b ≠，所以2
2
0a b +≠，所以2
2
213a a b ++=，所以2
2
11039a b ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭，
所以13z +
=13z +的值与a 、b 的值无关.
故选：A. 3．D 【分析】
利用换元法，将10
1x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.
【详解】
因为2
22112x x x x ⎛
⎫+=++ ⎪⎝
⎭，
令2
21t x x =+，则()5
105221122x x t x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
令1t =，则()5
523243t +==， 所以该多项式各项系数之和为243. 故选：D. 4．B 【分析】
利用导数研究函数()()1f x xf x --'的单调性，结合零点存在性定理判断方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上的根的个数. 【详解】
由图象可得函数()f x 在(),a b 上有3个极值点，不妨设其极值点为123,,x x x ，其中1230x x x <<<， 设()()g x f x '=，()()()1h x f x xg x =--，()()()()()h x f x g x xg x xg x ''''=--=-，
由图象可得()20g x =，()30g x =，()20,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()()0g x f x '=>，又函数()f x 的图象由陡峭变为平缓，故()g x 逐渐变小，
所以当()20,x x ∈时，函数()g x 单调递减，()0g x '<，
当()23,x x x ∈时，函数()f x 单调递减，所以()()0g x f x ='<，函数()f x 的图象先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，()g x 先变大再变小，函数()g x 先单调递减再单调递增，所以()g x '取值先负后正，所以存在()423,x x x ∈，使得()40g x '=，当()24,x x x ∈，()0g x '<，当()43,x x x ∈，()0g x '>，
当()3,x x b ∈时，函数()f x 单调递增，函数()f x 的图象由平缓变为陡峭，函数()g x 单调递增，所以当
()3,x x b ∈时，()0g x '>，
当()40,x x ∈时，()0g x '<，当()4,x x b ∈时，()0g x '>，
所以当()40,x x ∈时，()0h x '>，函数()()()1h x f x xg x =--在()40,x 单调递增， 当()4,x x b ∈时，()0h x '<，函数()()()1h x f x xg x =--在()4,x b 单调递减， 因为()()()0110000h f g =-⨯-=>，函数()h x 在()40,x 单调递增， 所以函数()()()1h x f x xg x =--在()40,x 上不存在零点，且()40h x >，
因为()()()()()11f b h b f bg b g b b b b ⎛⎫
-=--=-
⎪⎝⎭
， 因为
()1
f b b
-表示点()(),b f b 与点()0,1的连线的斜率，()g b 表示曲线()f x 在点()(),b f b 处的切线的斜率，结合图象可得()()1
f b
g b b -<，故()0
h b <，所以函数
()()()1h x f x xg x =--在()4,x b 上存在唯一零点，
故方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上有1个非负零点， 故选：B.
5．D 【分析】
利用三角函数的平方关系将()f x 转化为点P 到点,A B 的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果. 【详解】
因为2225cos 4sin 59cos 4cos 4sin 5x x x x x -+=--+()()2
2
229cos 4sin 4sin 13cos 2sin 1x x x x x =+-+=+-，
所以()3cos f x x =
故()f x 的最大值转化为点()3cos ,2sin P x x 到()0,1A 与()0,2sin B x 的距离之差的最大值， 因为1sin 1x -≤≤，22sin 2x -≤-≤，112sin 3x -≤-≤，
所以12sin 3PA PB AB x -≤=
=-≤，
当且仅当sin 1x =-时，等号成立，则3PA PB -≤，
经检验，此时cos 0x =，()303f x ⨯=， 所以()3f x ≤，即()f x 的最大值为3. 故选：D. 6．B 【分析】
构造函数()e 1x
f x x =--，利用导数与函数单调性的关系证得b c >；利用二项式定理证得10.1c >+，再构
造函数()sin g x x x =-证得0.1sin 0.1>，从而得到c a >；构造函数()5πsin 086h x x x x ⎛⎫
=-<< ⎪⎝⎭
，证得
1
sin 0.116
>，从而得到a d >；由此得解.
【详解】
令()()e 10x
f x x x =-->，则()0e 1e 10x f x '=->-=，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故()()0
0e 010f x f >=--=，即e 10x x -->，
所以e 1x x >+，则0.01e 0.011 1.01>+=，即()10
0.1e 1.01>，故b c >； 因为()010
101.0110.1c +==，
所以其展开通项公式为()()1011010C 10.010.01C k
k
k k k k T -+=⨯=，
故()0
1100.01C 1T =⨯=，()1
12100.01C 0.1T =⨯=，1
0k T +>， 所以()10
0110.0110.11.01c =>+=+，
令()()sin 0g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，
所以()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，即sin x x >， 所以0.1sin 0.1>，故10.11sin0.1c >+>+，即c a >；
令()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()5
cos 8h x x '=-，
因为π06x < x >>，故()0h x '>， 所以()h x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >， 易知π0.10,6⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，所以51sin 0.10.1816>⨯=，则1171sin 0.111616+>+=，即a d >； 综上：b c a d >>>. 故选：B. 7．C 【分析】 将m 表示为01239 0123922222c c c c c ++++⋅⋅⋅+，其中{}019,,,0,1c c c ⋅⋅⋅∈，且019,,,c c c ⋅⋅⋅不全为0，1000m ≤， 分析t t a b ≠与019,,,c c c ⋅⋅⋅的取值的关系，由此确定满足条件的m 的取值的个数. 【详解】 设01239 0123922222m c c c c c =++++⋅⋅⋅+，其中{}019,,,0,1c c c ⋅⋅⋅∈，且019,,,c c c ⋅⋅⋅不全为0，1000m ≤， 若01c =，则1239 123912222m c c c c =++++⋅⋅⋅+，11a b m ==， 1239223481122222a c c c c m =+++⋅⋅+-= +⋅，22 m b =， 若00 c =，则1239 12392222m c c c c =+++⋅⋅⋅+，11a b m ==， 22m a = ，22 m b =， 所以若01c =则，22a b ≠，若00c =，则22a b =， 若00c =，10c =，则239 239222m c c c =++⋅⋅⋅+，11a b m ==， 22m a = ，22m b =，34m a =，34 m b =， 若00c =，11c =，则2392392222m c c c =+++⋅⋅⋅+，11a b m ==， 22m a = ，22m b =，324m a -=，34 m b =， 若01c =，10c =，则239 2391222m c c c =+++⋅⋅⋅+，11a b m ==， 212m a -= ，22m b =，314m a -=，31 4 m b -=， 若01c =，11c =，则23923912222m c c c =++++⋅⋅⋅+，11a b m ==， 212m a -= ，22m b =，334m a -=，314 m b -=， 所以10c =时，33a b =，1 1c =时，33a b ≠， 同理可以证明0k c =时，22k k a b ++=，1k c =，22k k a b ++≠， 因为有且仅有4个不同的t ，使得t t a b ≠，即0129,,,,c c c c ⋅⋅⋅中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为 0，又从0129,,,,c c c c ⋅⋅⋅中任选4个变量有4 10C 种取法， 故满足条件的m 的个数为4 10C ，即210个， 故选：C. 8．D 【分析】 考虑1,2m n ==的特殊情况，验证选项可得答案. 【详解】 当1,2m n ==时，由题，有[]1,2t ∀∈，N t +∈，1t A B t =. 得111212，A B A B ==.则1B 在以1A 为圆心，半径为1的圆上，则2B 在以1A 为圆心，半径为2的圆上.又 11121 n i i i B B B B -+==∑ ，则如下图所示，即1112A B B B =时，12B B 取最小值为1； 如下图所示，即21112B A A B =时，12B B 取最大值为3. 则当1,2m n ==时，1 11n i i i B B -+=∑的范围是[]1,3，验证选项可排除A ，B ，C. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题因点的情况较为复杂，且又为选择题，故考虑利用特殊值验证选项得答案. 9．AC 【分析】 对于AB ，利用正态分布曲线的图像变化即可得解； 对于C ，结合参考数据，求出预计生产出的不合格零件的概率，从而得解； 对于D ，结合参考数据，分别求出预计生产出的优质零件、普通零件与不合格零件的概率，从而得解. 【详解】 依题意，得2210,0.01k μσ==，则0.1k σ=，0k >， 对于A ，当k 变大时，σ变大，则零件尺寸D 的正态分布曲线越扁平， 所以预计生产出的优质品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比例越小，故A 正确； 对于B ，由选项A 可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B 错误； 对于C ，当 1.5k =时，0.10.15k σ==， 则()()10.320.023P X P X μσ>=>+≈，而()()()9.7220.023P X P X P X μσμσ<=<-=>+≈， 所以预计生产出的不合格零件的概率为()()10.39.70.046P X P X >+<≈， 故生产200个零件约有不合格零件的个数为2000.0469.29⨯=≈，故C 正确； 对于D ，当1k =时，0.10.1k σ==， 则()()10.330.001P X P X μσ>=>+≈，()9.70.001P X <≈， ()()()9.910.1120.682P X P X P X μσμσμσ<<=-<<+=->+≈， 所以预计生产出优质零件的概率为0.682，不合格零件的概率为0.002，普通零件的概率为10.6820.0020.316--=， 故每生产1000个零件预计盈利()10000.68230.31620.00252668a a a a ⨯⨯+⨯+⨯-=⎡⎤⎣⎦，故D 错误. 故选：AC. 10．ABC 【分析】 先证明两个结论，结论1为焦半径公式，利用该公式可判断AC 的正误，利用同一法可判断B 的正误，结论2为均值不等式，利用该结论可求内接三角形面积的最大值，从而可判断D 的正误. 【详解】 结论1：若( ),P m n 为椭圆22 221：+=x y C a b 上的的动点，()1,0F c -为其左焦点，则1cm PF a a =+. 证明：1PF = c a m a =+， 因为[],,m a a c a ∈-<，故c a c a m a c a -≤+≤+，故1c PF a m a =+. 结论2：若0,1,2,3,4i x i ≥=，则1234x x x x +++≥ 证明：因为2 120x x +-= ≥， 故12x x +≥12x x =时等号成立， 同理34x x +≥34x x =时等号成立， 当且仅当1234x x x x =时等号成立， 所以1234x x x x +++≥1234x x x x ===时等号成立. 由结论2可得4 123412344x x x x x x x x +++⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ ，当且仅当1234x x x x ===时等号成立. 对于A 、C ，设()()()111222333,,,,,P a b P a b P a b ，则 由结论1可得：1,1,2,3i i ca PF a i a =+ =， 因为2111312P F PF PF =+，故32122ca ca ca a a a a a a +⨯=+++， 整理得到：2132a a a =+，故A 正确. 因为123PP P 的重心在 y 轴上，故123 03 a a a ++=， 故()11213112333c PF P F P F a a a a a a ++=+ ++=，故C 正确. 对于B ，设1P 关于原点的对称点为Q ，则()11,Q a b --， 故212 12 P Q a a k b b += +（120b b +≠，否则120P P k =，这与题设矛盾）， 故212 22 12121222121212 P Q P P a a a a a a k k b b b b b b +--=⨯=+--， 但2222112222221,1,a b a b a b a b +=+=所以22 22 121222220a a b b a a b b -+-=， 所以22 21222212a a b b b a -=--，而23122 2P P P P b k k a =-，故232P P P Q k k =， 因3,P Q 均在椭圆上，故3,P Q 重合即直线13P P 过坐标原点，故B 正确. 我们先证明一个命题 命题：设(),P m n 为椭圆22 221：+=x y C a b 上的点，直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，则PAB 面积的最大值 . 证明：当直线l 的斜率不存在时，设直线:l x t =， a t a -<<， 则PAB 的面积122S t m b b t m =⨯-⨯=⨯- 若t m >，则()()()4 222 224233()334b b a m S t m t m a t a t a a -⎛⎫ =⨯---+≤⨯ ⎪⎝⎭ ， 因为a m a -≤≤，，故4 22 2226273416b a S a b a ⎛⎫≤⨯= ⎪⎝⎭ ，即S ≤， 当且仅当(),0P a -，2a t = 时等号成立，故此时max S =. 同理可证：当 时，max S = . 过当直线l 的斜率存在，可设:l y kx t =+， 由222222y kx s b x a y a b =+⎧⎨+=⎩可得()22222222220b a k x a ksx a s a b +++-=， 故()() 4222222222 440a k s b a k a s a b ∆=-+->，故22220b s a k -+>， 而AB =， 又P 到l 的距离为d = PAB 的面积为： 12S ==对于给定的k ，先考虑km n s -+的最大值， 设cos ,sin m a b θθ==，则cos sin km n s ak b s θθ-+=-+ ( )s θϕ++ ，其中sin ϕϕ= = 若0s ≥，则km n s -+ s ， 此时 2 2 2 ab s S b a k ≤ + 设222u a k b =+，则2u b ≥ ，故 ) s = 由结论2可得： ))() 133 s s s s s s s s = 4 2127316u ≤= ⎝⎭ ，当且仅当s = 故 ) s )22 2a k b +， 故 ()2222224a k b S b a k +≤=+， 若0s <，则km n s -+s ，同理可得S ， 综上，PAB . 对于D ，考虑1P 为椭圆上的点，直线l 为直线23P P ， 由前述命题可得：123PP P ，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】 思路点睛：椭圆上的动点到焦点的距离可以转化为动点的某坐标与离心率、半长轴的关系来处理，而多变量的最值问题，往往是通过降低变元的个数逐步处理. 11．BC 【分析】 根据题意，可得(),sin 044,sin 0 44x x f x x x ππϕππϕ⎧⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由sin 04x π⎛ ⎫-≥ ⎪⎝⎭，求解出x 的取值范围， 根据对应范围内的函数解析式，()f x 即可求出()f x 的最值，进而判断A 、B 选项；令()f x b =，分 3,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ 和5, 44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 两种情况解方程，即可判断C 选项；取3,,22524x ππππ⎛⎫⎛⎫ ∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出此时函数()f x 的单调区间，即可判断函数在5,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，从而判断在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上的单调性，进而判断D 选 项. 【详解】 ()sin sin sin cos 4444f x a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎫=-++=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭， 即( ),sin 044,sin 044x x f x x x ππϕππϕ⎧⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，其中sin ϕ= cos ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 由sin 04x π⎛⎫-≥ ⎪⎝ ⎭，即52,244x k k ππππ⎡⎤ ∈++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈， 所以当52,244x k k ππππ⎡⎤ ∈++⎢⎥⎣⎦时，( )4f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ， 即[]+2,24x k k πϕϕπϕππ-+∈++，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ， 所以当24 2 x k ππϕπ-+= +，即324 x k π ϕπ= -+时，( )max f x = 当24 x k πϕϕππ- +=++，即524 x k π π= +时， ( )min f x b ϕ==-； 当32,244x k k ππππ⎛⎫ ∈- ++ ⎪⎝⎭时，( )4f x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 即()2,24x k k πϕϕππϕπ--∈--+-+，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ， 所以当24 2 x k π π ϕπ-+=- +，即24 x k πϕπ=- -+时，( )max f x = 由于24 x k ϕπππϕ≠-++- -，所以()f x 无最小值. 综上所述，()f x 的最小值为b - A 错误， B 正确； 由()f x b =，所以当3,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ 时，4x b πϕ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 即()sin sin sin 4x πϕϕϕ⎛⎫ --==-=- ⎪⎝⎭， 即24 x k ππ- =或224 x k πϕππ- -=+， Z k ∈， 所以4x π = 或324x πϕ=- +，0,2πϕ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ . 当5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 4x b πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ， 即 sin 4sin x ϕπϕ⎛⎫ -+== ⎪⎝⎭， 即24 x k ππ- =或224 x k πϕππ- +=+， Z k ∈， 所以524x πϕ= -，0,2πϕ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ， 综上所述，方程()f x b =在35,44ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上有三个解，故C 正确； 取4,52x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()4f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ， 令 322242k x k π π ππϕπ+≤- +≤ +，即372244k x k ππ ϕπϕπ-+≤≤-+； 令22242k x k ππππϕπ-+≤-+≤+，即32244 k x k ππ ϕπϕπ--+≤≤ -+； 由于0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，所以当04π ϕ<<时，函数()f x 在4,23ϕππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在35,44ππϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()f x 在5,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有增有减，则()f x 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上有增有减，故D 错误. 故选：BC. 12．CD 【分析】 先由()e x f x =和()ln g x x =是一对反函数，图像关于直线y x =对称，得出点AC 关于直线y x =对称，点BD 关于直线y x =对称，点P 在直线y x =上，再算出()e x f x =和()ln g x x =的公切线方程，设D 点坐标为() 00,e x x ， 用0x ()012x <<表示出ABC 三个点的坐标，由直线性质算出P 点坐标，再依次通过计算得出每个选项的正误即可. 【详解】 由题意，画出大致图像如图， 设()e x f x =与()ln g x x =，1l 为直线AB ，2l 为直线CD ， 且()e x f x =和()ln g x x =是一对反函数，图像关于直线y x =对称， 则点AC 关于直线y x =对称，点BD 关于直线y x =对称，点P 在直线y x =上， 设()e x f x =的切点为()11,x y ，()ln g x x =的切点为()22,x y ， 由()e x f x '=，()1 g x x '= ， 得()e x f x =的切线方程为()111e e x x y x x =-+， ()ln g x x =的切线方程为()222 1 ln y x x x x = -+， 当两函数的切线方程重合时，即为公切线， 则()1 12121e 1e 1ln x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，将12e x x -=代入下式得1111e 1x x x +=-， 将e x y =和1 1 x y x += -的图像在同一坐标系中画出如图， 设方程1 111e 1x x x += -的其中一个解为10x x =()01x >，则0 001e 1 x x x +=-， 由2 21 e 21 +> -，可得012x <<， 又因0000011e 11 x x x x x ---+==+--，则方程1 111e 1x x x +=-的另一个解为10x x =-()012x <<， 因此A 点坐标为()00,e x x --，B 点坐标为()00e ,x x ，C 点坐标为()00e ,x x --，D 点坐标为() 00,e x x . 因为AD 与BC 关于直线y x =对称，所以AD BC =，选项A 错误； 由点P 在直线AB 上可得 B A B P B A B P y y y y x x x x --=--， 设点P 坐标为(),P P x x ，则000000e e e x P x x P x x x x x ---=+-，解得00 2 01 e e P x x x x -+=+， 设()()2 1 ,12e e x x x h x x -+= <<+，()()()() 22 2 1e 1e e e x x x x x x h x ----++'=+， 设()()()()2 2 1e 1e ,12x x j x x x x -=--++<<，()()() 2e e 10x x j x x -'=+-+<， 则()()()2 2 1e 1e x x j x x x -=--++在()1,2上单调递减， 由()410e j = >，()229 2e 0e j =-+<， 可得()()()2 2 1e 1e x x j x x x -=--++在()1,2上的函数值为先正后负， 即()()()() 22 2 1e 1e e e x x x x x x h x ----++'= +在()1,2上的值为先正后负， 则()21 e e x x x h x -+=+在()1,2上的单调性为先增后减， 又 ()2 11e e h = + ，()22 521e e h = + ，且()()12h h <， 则()()212111e e 2e e x x x h x h -+=>=> ++，即00 2 011e e 2P x x x x -+=>+， 所以2P P O x P => B 错误； 分别连接BO ，CO ，如图， 由000 0tan e e x B x B x y BOx x x -∠= ==，00 00tan e e x C x C y x COx x x --∠===， 得()tan tan tan tan 1tan tan BOx COx BOC BOx COx BOx COx ∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠00002 0e e e 10122e x x x x x -+=<<+-，选项C 正确； 分别连接AO ，CO ，如图， 得AOC ∠>第三象限夹角，即2 AOC π ∠>，选项D 正确. 故选：CD. 13【分析】 画出符合题意的四面体，由其特征将其补形为长方体，分别计算外接球与内切球表面积可得答案. 【详解】 如图，设四面体11A BC D -为“黄金四面体”， 且 1111111 1 A B A B A B A B m A D BD AC BC =====， 得111 1A D BD AC BC n ====， 又因四个面都为“黄金三角形”，则11C D A B t ==. 注意到四面体11A BC D -对棱相等，则将其补形为如图所示长方体1111ABCD A B C D -，则该长方体外接球与该四面体外接球重合. 设1，，AA a AB b AD c ===， 则长方体外接球半径R 为长方体体对角线长度的一半， 有R =又注意到：2222 1222212222 a b A B t a c A D n b c BD n ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩ ， 得22 2 22 2t a b c n ++=+，又222t m n = ，得2n R = = 注意到11111111111111ABCD A B C D A BC D B A B C D A C D C BCD A ABD V V V V V V ------=++++， 111 111 1 1 1 6 B A B C D A C D C BCD A ABD V V V V abc ----==== ， 则1141 63 A BC D V abc abc abc -=- =. 又在11A BC 中，111C A C B =，取1A B 中点为E ， 则11C E A B ⊥ ，故11 12A BC S = 又由前面分析可知四面体11A BC D -的四个面全等， 则四面体11A BC D -的表面积S =11 42A BC S =设四面体11A BC D -的内切球半径为r ，则111 3 A BC D V Sr -= ， 得 1 1 3A BC D V r S -= = 2023年高考数学模拟试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知有A 、B 、C 、D 四个命题，其中A 为B 的必要条件，B 为C 的充分条件，C 为D 的必要条件，D 为A 的必要条件.若增加条件使得A 、B 、C 、D 中的任意一个命题均为A 、B 、C 、D 四个命题的必要条件，则这个条件可以为（ ）. A ．B 为C 的必要条件 B ．B 为A 的必要条件 C ．C 为D 的充分条件 D ．B 为D 的必要条件 2．复数z i a b =+(),0a b ≠.若1 12z -=，则（ ）的值与a 、b 的值无关. A ．13 z + B ．12 z + C ．12 z - D ．14 z - 3．0x ∀≠，10 1x x ⎛ ⎫+ ⎪⎝ ⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（ ）. A ．240 B ．241 C ．242 D ．243 4．函数()f x 的图像如图所示，已知()02f =，则方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上有（ ）个非负实根. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数()3cos f x x =的最大值为（ ）. A ． B ． C ． D ．3 6．1sin0.1a =+，0.1e b =，101.01c =，17 16 d =，a ，b ，c ，d 间的大小关系为（ ）. A ．b a d c >>> B ．b c a d >>> C ．b c d a >>> D ．b a c d >>> 7．已知数列{}n a 、{}n b ，12n n a a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]12 n n b b +=，() n N + ∈其中[]x 为不大于x 的最大整数.若11a b m ==， 1000m ≤，N m +∈，有且仅有4个不同的t ，使得t t a b ≠，则m 一共有（ ）个不同的取值. A ．120 B ．126 C ．210 D ．252 8．平面上有两组互不重合的点，12m A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、与12n B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、() ,N ,2m n n + ∈≥，[]1,t n ∀∈，N t +∈，1m i t i A B t ==∑.则1 11n i i i B B -+=∑的范围为（ ）. A ．2,n n m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,n n m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,2n n n m m ⎡⎤ +⎢⎥⎣⎦ D ．211,n n m m ⎡⎤ --⎢⎥⎣⎦ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．工厂生产某零件，其尺寸D 服从正态分布() 2 10,0.01N k （单位：cm ）.其中k 由零件的材料决定，且0k >. 当零件尺寸大于10.3cm 或小于9.7cm 时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm 且小于10.1cm 时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量()2,X N μσ时，()0.159P X μσ>+≈， ()20.023P X μσ>+≈，()30.001P X μσ>+≈，则下列说法中正确的有（ ）. A ．k 越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小 B ．k 越大，预计生产出普通零件的概率越大 C ．若 1.5k =，则生产200个零件约有9个零件不合格 D ．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a ，2a ，5a -，则当1k =时，每生产1000个零件预计盈利2580a 10．已知椭圆C ：22 221x y a b +=，()0a b >>上有三点1P 、2P 、3P ，1F 、2F 分别为其左、右焦点.则下列说法 河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学 试题(含答案解析) 河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析) 第一部分：选择题 1. 题干 答案：A 解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为三次函数，且系数都相同，由此可以推断该函数为偶函数，故两个零点关于y轴对称，故选项A正确。 2. 题干 答案：B 解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为指数函数，由此可知指数底数相同，故选项B正确。 3. 题干 答案：D 解析：根据题干中的条件，等式左右两边为对称集合的并集，由此可以得出集合A等于集合B，故选项D正确。 第二部分：填空题 1. 题干 答案：6 解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为三次函数，将x=1代 入可得，故填6。 2. 题干 答案：22 解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为指数函数，将x=1代 入可得，故填22。 3. 题干 答案：-4 解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为二次函数，将x=2代 入可得，故填-4。 第三部分：解答题 1. 题干 解答： 根据题干中的条件，已知点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(3, -1)。 首先计算点A和点B之间的斜率： 斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 2) / (3 - 1) = -3 / 2 由点斜式可以得到直线的方程为：y - y1 = k(x - x1) 代入点A的坐标可得：y - 2 = (-3 / 2)(x - 1) 整理方程可得：2y - 4 = -3x + 3 / 2 化简方程可得：3x + 2y = 11 / 2 故该直线的方程为 3x + 2y = 11 / 2。 2. 题干 解答： 根据题干中的条件，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续且 f(a) = f(b)。 根据 Rolle 定理，对于 f(x) 在 (a, b) 内连续，在区间(a, b) 内可导， 若 f(a) = f(b)，则至少存在一个点 c，使得 f'(c) = 0。 3. 题干 解答： 根据题干中的条件，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续，且在 (a, b) 内可导。 根据拉格朗日中值定理，对于 f(x) 在 (a, b) 内连续，在区间 (a, b) 内可导的函数，存在一个点 c，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。 总结： 2022届河北省衡水中学高三五调数学试题 一、单选题 1．已知集合{||2 1}A x x =-<∣，{}2log 1B x x =<∣，则A B =（ ） A ．(0,3) B ．(1,2) C ．(,3)-∞ D ．(0,2) 【答案】B 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算即可； 【详解】∵{||2 1}A x x =-<∣，{}2log 1B x x =<∣ 所以{|13}A x x =<<，{}|02B x x =<< 即(1,3)A =，(0,2)B =，∴(1,2)A B ⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算以及绝对值不等式、对数不等式的解法，属于基础题. 2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种 【答案】C 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1 6C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有2 5C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有12 6561060C C ⋅=⨯=种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 3．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为 A B C D 【答案】D 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===， 设直线AM 与1C N 所成角为θ， 在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10 cos 42522 θ+-= =⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为 10 4 ，故选D ． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则|QF |＝( ) A ．72 B ．52 C ．3 D ．2 【答案】C 【分析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，利用抛物线定义以及相似得到|QF |＝|QQ ′|＝3. 【详解】如图所示： 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为4FP FQ =， 河北省衡水中学2022届上学期高三年级一调考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1．下列集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{4，5}，N ＝{5，4} C ．M ＝{(x ，y )| x ＋y ＝1}，N ＝{y | x ＋y ＝1} D ．M ＝{1，2}，N ＝{(1，2)} 【答案】B 【考点】集合的概念与特性 2．已知i 为虚数单位，复数x ＝a －2i 1－i (a ∈R )是纯虚数，则1＋a i 的虚部为( ) A ．2 B ．2i C ．－2i D ．－2 【答案】C 【考点】复数的运算、几何意义 3．下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝ 1x ln2；③(e x )′＝e x ；④(1 ln x )′＝x ；⑤(xe x )′＝e x ＋1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【考点】导数的运算 4．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f′(x )大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )＞f (c )＞f (d ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (b )＞f (a ) D ．f (c )＞f (b )＞f (d ) 【答案】C 【考点】函数的单调性与图象 5．设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2 ＋b ，若f (0)＋f (3)＝3，则f (13 2 )＝( ) A ．－54 B ．－94 C ．72 D ．52 【答案】A 2023届河北省衡水中学高三上学期第三次综合素养评价数学试题 一、单选题 1．已知集合{}{} 1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 【答案】B 【分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂. 【详解】[方法一]：直接法 因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 =1x -代入集合{} 11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ； 4x =代入集合{} 11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2．下列双曲线的渐近线方程为2y x ±＝的是（ ） A ．2 214 x y ﹣＝ B ．2 214 y x -＝ C ．2 212y x -= D ．2 2 14 x y -＝ 【答案】B 【分析】根据各选项的双曲线的标准方程直接写出渐近线方程即可判断是否符合. 【详解】A ：2 214 x y ﹣＝的渐近线方程为12y x =±，故A 错误； B ：2 2 14 y x -＝的渐近线方程为2y x =±，故B 正确； C ：2 212 y x -=的渐近线方程为y =，故C 错误； D ：22 14 x y -＝的渐近线方程为12y x =±，故D 错误； 故选：B. 3．等比数列{an }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 【答案】C 2021届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学〔文〕试题 一、单项选择题 1．设集合，，且，那么实数a的值为 A．1或-1 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由A与B的交集，得到元素3属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值． 【详解】 ∵A∩B＝{3}， ∴3∈A且3∈B， ∴a2＝3或a22＝3， 解得：a＝1或a＝﹣1， 当a＝1时，a2＝3，a22＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 那么a＝﹣1． 应选：B 【点睛】 此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解此题的关键． 2．AB是抛物线的一条焦点弦，，那么AB中点C的横坐标是 A．2 B．C．D． 【答案】B 【解析】先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标 【详解】 设，C的横坐标为，那么， 因为是抛物线的一条焦点弦，所以， 所以，故 应选B 【点睛】 此题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于根底题型3．是等比数列，且，，那么的值等于〔〕 A．5 B．10 C．15 D．2021答案】A 【解析】试题分析：由于是等比数列，，， 【考点】等比中项 4．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 【详解】 设双曲线方程为， 将点代入双曲线方程， 解得 从而所求双曲线方程的焦点坐标为,一条渐近线方程为， 即4-3=0， 所以焦点到一条渐近线的距离是， 应选：B 【点睛】 此题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 5．是边长为的等边三角形，向量，满足，，那么以下结论正确的选项是〔〕 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】试题分析：,,． 由题意知． ．．故D正确． 【考点】1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 备战2023年新高考数学全真模拟卷（新高考专用） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分。在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）已知集合{}|2=<<+A x a x a (){} 2ln 6|B x y x x ==+- 且A B ⊆ 则 （ ） A ．12a -≤≤ B ． 12a -<< C ．21a -≤≤ D ．21a -<< 2．（2023·江苏·二模）当122m -<<时 复数i 2i m z +=-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．（2023·江苏·统考一模）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11 22 n n S S +=+ *N n ∈ 则6S =（ ） A ． 312 B ．16 C ．30 D ． 632 4．（2023·广东江门·统考一模）设非零向量m n 满足2m = 3n = 32m n += 则m 在n 方向上的投影向量为（ ） A ．5 18 n - B ． 518n C ．58m - D ．58 m 5．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A B C 三个足球场服务 要求每个足球场都有人去 每人都只能去一个足球场 则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ） A ．12 B ．18 C ．36 D ．48 6．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F 过1F 作直线与椭圆相交于 ,A B 两点 若112AF BF =且2BF AB = 则椭圆的C 的离心率为（ ） A ．1 3 B ．14 C 3 D 67．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）克罗狄斯·托勒密是希腊数学家 他博学多才 既是天文学权威 也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理 它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系 该定理的内容为圆的内接四边形中 两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形 且3AC BD 2ADC BAD ∠=∠．若43AB CD BC AD ⋅+⋅=则圆O 的半径为（ ） A ．4 B ．2 C 3 D ．23 2023年衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等高三模拟（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ＝{l ，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2，4}，B ＝{2，3}，则(C u A )∩(C u B )＝( ) A ．{2} B ．{5} C ．{1，3，4，5} D ．{1，2，3，4} 2．复数25i 3＋4i 的虚部为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4 3．八卦是中国文化的基本学概念，图①是八卦模型图，其平面图形为图②所示的正八边形ABCDEFGH ，其中 ＝1， 则下列结论正确的为( ) A ．OA 与OH 的夹角为π3 B ．OD ＋OF ＝OE C ．|OA －OC |＝22 |DH | D ．OA 在OD 方向上的投影向量为 22e (其中e 为与OD 同向的单位向量) 4．属于区间[2，8]的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为( ) A ．67 B ．57 C ．914 D ．1114 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)在区间[π3，π]上恰有 3个零点，则ω的取值范围是( ) A ．[83，113]∪(4，143) B ．[113，4]∪(143，173) C ．[113，143]∪(5，173) OA 6．在某款计算器上计算log a b时，需依次按下“log”，(“a”，“b”) 6个键，某同学使用该计算器计算log a b (a＞1，b＞1)时，误按成“log”，(“b”，“a”)这6个键，所得到的值是正确结果的4 9 ，则() A．2a＝3b B．a3b2＝1 C．a2＝b3 D．a3＝b2 7．已知实数a＞0，b＞0，a≠1，且ln b a ，则必有() A．log a b＞1 B．a＜b C．log a b＜1 D．a＞b 8．在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD体积的最大值是() A．36 B．24 C．183 D．123 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．2022年1月，社会调查中心联合问卷网对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%，49.0%，34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是() A.柱形图 B.茎叶图 C.扇形图 D.频率分布直方图 10．已知数列{a n}为等比数列，首项a1＞0，公比q∈(－1，0)，则下列叙述正确的是() A．数列{a n}的最大项为a1 B．数列{a n}的最小项为a2 C．数列{a n⋅a n＋1}为递增数列 D．数列{a2n－1＋a2n)}为递增数列 11．已知椭圆C： 2 25 x ＋ 2 9 y ＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是 椭圆上的一个动点，则下列结论正确的有() A．存在点P使得∈F1PF2＝ 2 π B．cos∈F1PF2的最小值为－7 25 C．若PF1∈PF2，则∈F1PF2的面积为9 河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试 数 学 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合}03|{2 <-=x x x A ，}33|{≥ =x x B ，则=B A A ．⎪⎭ ⎫ ⎝⎛21, B ．⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡3,21 C ．)2, 0( D ．(1，3) 2．若1 .05=a ，3log 2 1 2=b ，8.0log 3=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．c b a >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．b a c >> 3．设R b a ∈,，则使b a >成立的一个充分不必要条件是 A ．3 3 b a > B ．0)(log 2>-b a C ．2 2b a > D ． b a 11> 4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得223.04 5 ln ,693.02ln ≈≈，由此可知2.0ln 的近似值为 A ．-1.519 B ．-1.726 C ．-1.609 D ．-1.316 5．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数y x ,满足的关系式可以是 A ．01 log |1|3=--y x B ．y x x 3 12=- C ．02| 1|=--y x D ．1||ln -=y x 6．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数．若对任意R x ∈，都有3]2)([=-x x f f ，则 =)4(f A ．9 B ．15 C ．17 D ．33 7．已知函数1 ||16)(+++= x mx e x f x 的最大值为M ，最小值为N ，则=+N M A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关 8．已知正实数y x ,满足y y x x =-+++)11)(142(22，则y x 2+的最小值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ． 2 3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知集合U 为全集，集合C B A ,,均为U 的子集．若∅=B A ，∅=/C A ， ∅=/C B ，则 A ．)(C B C A U ⊆ B ．)(B A C C U ⊆ C ．U C B A = D ．∅=C B A 10．已知定义域为I 的偶函数)(x f 在区间),0(∞+上单调递增，且I x ∈∃，使0)( 2022-2023学年九上数学期末模拟试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题（每题4分，共48分） 1．点A （﹣5，4）所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点 E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ） A ．5 B ．8 C ．3 D ．10 3．如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC 的高为 1.6 m ，并测得BC =2.2 m ，CA =0.8 m, 那么树DB 的高度是（ ） A ．6 m B ．5.6 m C ．5.4 m D ．4.4 m 5．如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=，则A ∠等于（ ） A ．60 B ．50 C ．40 D ．30 6．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是圆上两点，且CDB ∠＝28°，则AOC ∠＝（ ） A ．56° B ．118° C ．124° D ．152° 7．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，连结DE ．且DE ＝322，则弦BC 的长为（ ） A ．2 B ．22 C ．32 D ．6 8．一元二次方程（x+2）（x ﹣1）＝4的解是（ ） A ．x 1＝0，x 2＝﹣3 B ．x 1＝2，x 2＝﹣3 C ．x 1＝1，x 2＝2 D ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣2 9．如图，已知ΔABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD ：DE=2：3，AE=10，BD=5,则DC 的长是（ ） A ．103 B ．245 C ．152 D ．154 10．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） 2022-2023学年八上数学期末模拟试卷 请考生注意： 1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题（每题4分，共48分） 1．在平面直角坐标系中，点(),1A a 与点()2,B b -关于x 轴对称，则(),a b 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 3．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB ∥CD 的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 5．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（ ） A ．八边形 B ．十四边形 C ．十边形 D ．十二边形 6．下列式子是分式的是（ ） A ．2x B ．x π C ．2x +y D ．1x x + 7．甲乙两地铁路线长约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为x 千米/时，根据题意，可得方程 （ ） A ．5005001.5 1.8x x += B ． 5005001.8 1.5x x += C ．5005001.5 1.8x x -= D ．5005001.8 1.8x x -= 8．将0.000075用科学记数法表示为（ ） A ．7.5×105 B ．7.5×10-5 C ．0.75×10-4 D ．75×10-6 9．已知一次函数22y x =--，图象与x 轴、y 轴交点A 、B 点，得出下列说法： ①A (1 0)-，，(02)B -，； ②A 、B 两点的距离为5； ③AOB ∆的面积是2； ④当0y ≥时，1x ≤-； 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．下列代数式，3x ，3x ，1a a -，35y -+，2x x y -，2n π-，32 x +，x y x +中，分式有（ ）个． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 11．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ） A ． B ． C ． D ． 1275 ） A ．5与6之间 B ．6与7之间 C ．7与8之间 D ．8与9之间 二、填空题（每题4分，共24分） 13．分解因式：223a 3b -=________． 14．若a 2+a ＝1，则（a ﹣5）（a+6）＝_____． 2022-2023学年河北省衡水中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．已知集合{}1,0,1,2,{12}A B x x =-=-<<∣，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,2 【答案】A 【分析】由题意求出集合的交集即可. 【详解】由题意{}1,0,1,2,{12}A B x x =-=-<<∣， 所以{}0,1A B =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合的交并补运算，属于简单题. 2．下列函数中，与 y x =是同一个函数的是（ ） A ．2 y = B ．u C ．y D ．2 n m n = 【答案】B 【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得. 【详解】对于A ，函数[)2 0,y x x ==∈+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函 数； 对于 B ，函数R u v v =∈，，与函数R y x x =∈，的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； 对于 C ，函数R s t t ∈，，与函数R y x x =∈，的对应关系不同，不是同一个函数； 对于 D ，函数()()2 ,00,n m n n n ==∈-∞⋃+∞，，与函数R y x x =∈，的定义域不同，不是同一个函数. 故选：B. 3．命题“0∀∈=R a ax 有实数解”的否定是（ ） A ．0∀∈=R a ax 无实数解 B ．0∃∈≠R a ax 有实数解 C ．0∀∈≠R a ax 有实数解 D ．0∃∈=R a ax 无实数解 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“,0∀∈-=R a x ax 有实数解”的否定是“,0∃∈-=R a x ax 无实数解”． 故选:D ． 4．已知函数()y f x =的对应关系如下表所示，函数()y g x =的图像是如图所示的曲线ABC ，则 [](2)1f g +的值为（ ） x 1 2 3 ()f x 2 3 A ．3 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A 【分析】根据题意，由()g x 的图像求出(2)=1g ，再由[](2)1(2)f g f +=求解即可. 【详解】根据题意，由函数()y g x =的图像，可得(2)=1g ， 则[](2)1(2)=3f g f += 故选：A ． 5．已知(21)y f x =+定义域为(]1,3，则(1)y f x =+的定义域为（ ） A ．(]2,6 B ．(]0,1 C ．(]1,2 D ．(]1,3 【答案】A 【分析】根据复合函数的定义域求解规则求解即可. 【详解】解：因为(21)y f x =+定义域为(]1,3， 所以函数()f x 的定义域为(]3,7， 所以，(1)y f x =+的定义域为需满足317x <+≤，解得26x <≤. 所以，(1)y f x =+的定义域为(]2,6. 2021届河北省衡水中学高三下学期三模数学试题 一、单选题 1．已知z 为复数，210z +=，则|1|z -等于（ ） A ．0 B ．1 C D ．2 【答案】C 【分析】由z i =±，再由求模长公式求解即可. 【详解】由210z +=，得z i =±， 所以|1||1|z i -=±- 故选：C. 2．已知4 cos sin 3 θθ-=，则θ的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．三象限 D ．第四象限 【答案】D 【分析】两边平方得7 sin 209 θ=-<，进而得324k k ππθππ+<<+或 3 4 k k ππθππ+<<+，k Z ∈，，再分k 为偶数和k 为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由4cos 3 sin θθ-=，平方得：22 16sin cos 2sin cos 9θθθθ+-=，则 161sin 29θ-= ，即7sin 209θ=-<，则3 2222 k k ππθππ+<<+或3 22222 k k ππθππ+<<+，k Z ∈，即有324k k ππθππ+<<+或34k k ππθππ+<<+， k Z ∈， 当k 为偶数时，θ位于第二象限，sin 0θ>，cos 0θ<，cos sin 0θθ-<，不成立， 当k 为奇数时，θ位于第四象限，sin 0θ<，cos 0θ>，成立. ∴角θ的终边在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得7 sin 209 θ=-<，进而 根据函数符号得θ的范围，再分类讨论求解. 3．已知数列{}n a 是等比数列，n T 是其前n 项之积，若567a a a ⋅=，则7T 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试 题 一、单选题 1．设集合{}{}{} 0,1,2,3,4,(3)0,24,U A x x x B x x x * ==-==≤≤∈N ，则()U A B = （ ） A ．{2,4} B ．{2,3,4} C ．{2} D ．{1,2,3,4} 【答案】A 【分析】解出集合A ，再进行补集交集运算即可. 【详解】12(3)00,3x x x x -=⇒==，则{}{}0,3, 1,2,4U A A ==，又{}2,3,4 B =，所以 ( ){}24U A B =，. 故选：A. 2．已知复数2 1i z =-，复数z 是复数z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ） A ．1 B C ．2 D ．【答案】C 【分析】根据复数的运算性质，得到2 z z z ⋅=，即可求解. 【详解】根据复数的运算性质，可得2 2 22 221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝ ⎭ . 故选；C ． 3．设1z 、2z 是复数，则下列说法中正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12z z = B ．若12z z +∈R ，则1z 、2z 互为共轭复数 C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅ D ．若12=z z ，则22 12z z = 【答案】C 【分析】求出12z z =-可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数的乘法可判断C 选项；利用特殊值法可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，若120z z +=，则120z z +=，可得12z z =-，A 错； 对于B 选项，设111i z a b =+，()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ，2023届河北衡水中学高三1月模拟数学试题(解析版)
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