数学分析教案华东师大版
一、教学目标
通过本课程的学习，学生应该能够：
1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理；
2.掌握数学分析中的常用方法和技巧；
3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力；
4.培养学生的数学思维和创造性思维。
二、教学内容
本教案主要包括以下内容：
1.函数、极限与连续性
–函数的定义和性质
–极限的定义和性质
–连续函数的定义和性质
–极限存在的判定方法
–无穷小量与无穷大量
2.一元函数的微分学
–导数的定义和性质
–导数的几何意义和物理意义
–某类函数的导数
–高阶导数与导数的运算法则
–隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学
–积分的定义和性质
–函数的原函数与不定积分
–定积分的定义和性质
–定积分的计算方法
–积分中值定理
4.多元函数的微分学
–多元函数的定义和性质
–多元函数的极限和连续性
–偏导数和全微分
–隐函数与参数方程的求导公式
–多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学
–重积分的定义和性质
–二重积分的计算方法
–三重积分的计算方法
–曲线与曲面的面积与弧长
–应用于物理和几何的多重积分
三、教学方法
1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识；
2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧；
3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维；
4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。
四、教学工具
在教学过程中，我们将使用以下工具：
1.教材：华东师大版《数学分析》教材；
2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法；
3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤；
4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；
5.实验器材：用于进行一些实际应用和实验。
五、教学评价
为了评价学生的学习效果和掌握程度，我们将采用以下方
式进行评价：
1.平时成绩：包括作业完成情况、课堂参与度等；
2.期中考试：对学生的理论知识和基本应用进行考核；
3.期末考试：对学生的综合应用和解决问题能力进行
考核；
4.实验报告和小组项目：对学生的实践能力和团队合
作能力进行考核；
5.学习笔记和讨论记录：对学生的学习态度和思维能
力进行考核。
六、教学进度安排
根据本教案的教学内容和教学目标，我们将按照以下进度
安排进行教学：
•第一周：函数、极限与连续性
•第二周：一元函数的微分学
•第三周：一元函数的积分学
•第四周：多元函数的微分学
•第五周：多元函数的积分学
•第六周：复习和总结
七、参考资料
1.《数学分析基础教程》（华东师范大学版）
2.《数学分析导论》（华东师范大学版）
3.《数学分析习题集》（华东师范大学版）
4.《数学分析实验指导书》（华东师范大学版）
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；
数学分析教案 第一章 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,, λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >； 或 ,, λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数． (2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数 (一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：
第八章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么,熟练掌握不定积分的根本积分公式. 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位.要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两局部的乘积, 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步达到快而准的求出不定积分. 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法, 从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来. 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时 1 / 19
教学要求：积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么, 熟练掌握不定积分的根本积分公式. 教学重点：深刻理解不定积分的概念. 、新课引入：微分问题的反问题,运算的反运算 、讲授新课： 〔一〕不定积分的定义: 1.原函数: 例1 填空：〔；〔〕' = -2cosx ; 上；'］；•；；；；---' - Al .；；.；' -：二二； ax ax 一二.二二. 定义. 注意是/⑺的一个原函数. 原函数问题的根本内容：存在性,个数,求法 原函数的个数： Th假设尸〔工〕是了⑺在区间I上的一个原函数,那么对Vt ,尸㈤+ r都是 了〔1〕在区间I上的原函数；假设G⑶也是了⑶ 在区间I上的原函数,那么必有 G⑺=户⑺+ c.〔证〕 2 / 19
第十八章隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件； 3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。 教学时数：14学时 §1 隐函数 一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 隐函数及其几何意义: 以为例作介绍. 1. 2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析 性质. 二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理:
Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件: ⅰ> 函数 在以为内点的某一区域D上连续; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件) ; ⅲ> 在D内存在连续的偏导数 ⅳ> . 的某邻域()D内, 方程唯一地确定一个定义在 则在点 某区间内的隐函数 ⑴, 时()且 . 在区间内连续 . ⑵函数 四.隐函数可微性定理: 满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在D内 Th 2 设函数 存在且连续 . 则隐函数 . ( 证)
在点满足隐函数存在 例1 验证方程 唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149例1 . 其中为由方程所确定 例2 的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿) 在点的某邻域内 例3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数 有连续的导函数 函数, 并求反函数的导数. P151例4 五. 元隐函数: P149 Th3 . 验证在点存在是 例4 §２隐函数组 一．隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 入手介绍隐函数组，一般形式为 * 二.隐函数组定理:
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用. 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式. 教学时数：18学时 §1 可微性 一．可微性与全微分: 1．可微性：由一元函数引入。亦可写为， 时。 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性。P107例1 二。偏导数： 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.求偏导数：
例2 , 3 , 4 . P109-110例2 , 3 ，4 。 例5. 求偏导数。 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求。 例8。求和。 解=， =。 例9 证明函数在点连续, 并求和。 证 . 在点连续 . , 不存在。
三。可微条件: 1。必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且 。( 证）由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件，但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . ［1]P110 例5 。 2。充分条件： Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续。则函数在点可微 . （证）P111
Th 3 若在点处连续，点存在, 则函数在点 可微 . 证 . 即在点可微。 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件。 例11 验证函数在点可微，但和在点处不连续 . (简证，留为作业）证 因此，即， 在点可微，。但时, 有 ,
第十四章幂级数 教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。 教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。 教学时数：12学时 §1 幂级数（4 时） 幂级数的一般概念. 型如和的幂级数 . 幂级数由系数数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一.幂级数的收敛域: 1.收敛半径、收敛区间和收敛域： Th 1 （Abel）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.
证收敛, {}有界. 设||, 有 |, 其中. . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数和的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径R的求法. Th 2 对于幂级数, 若, 则 ⅰ>时,;ⅱ>时; ⅲ>时. 证, ( 强调开方次数与的次数是一致的).…… 由于, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数的收敛区间: . 幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.
例1求幂级数的收敛域 . 例2求幂级数的收敛域 . 例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴; ⑵. 2. 复合幂级数: 令, 则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式 确定.可相应考虑收敛域. 特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数, 该级数中,为第项的系数 . 例4求幂级数的收敛域 . 解是缺项幂级数 . . 收敛区间为. 时, 通项. 因此, 该幂级数的收敛域为. 例5 求级数的收敛域 .
数学分析教案华东师大版 一、教学目标 通过本课程的学习，学生应该能够： 1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理； 2.掌握数学分析中的常用方法和技巧； 3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力； 4.培养学生的数学思维和创造性思维。 二、教学内容 本教案主要包括以下内容： 1.函数、极限与连续性 –函数的定义和性质 –极限的定义和性质 –连续函数的定义和性质
–极限存在的判定方法 –无穷小量与无穷大量 2.一元函数的微分学 –导数的定义和性质 –导数的几何意义和物理意义 –某类函数的导数 –高阶导数与导数的运算法则 –隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学 –积分的定义和性质 –函数的原函数与不定积分 –定积分的定义和性质 –定积分的计算方法 –积分中值定理
4.多元函数的微分学 –多元函数的定义和性质 –多元函数的极限和连续性 –偏导数和全微分 –隐函数与参数方程的求导公式 –多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学 –重积分的定义和性质 –二重积分的计算方法 –三重积分的计算方法 –曲线与曲面的面积与弧长 –应用于物理和几何的多重积分
三、教学方法 1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识； 2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧； 3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维； 4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。 四、教学工具 在教学过程中，我们将使用以下工具： 1.教材：华东师大版《数学分析》教材； 2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法； 3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤； 4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；
第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值及凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义及几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”及物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/c119062343.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且
第十四章幕级数 教学目的：1.理解幕级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题； 2.理解幕级数的运算，掌握函数的幕级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幕级数时的重要性。 教学重点难点：本章的重点是幕级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。 教学时数：12学时 § 1幕级数（4时） 幕级数的一般概念.型如\亠二二一和农心的幕级数.幕级数 由系数数列…?唯一确定.幕级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如工陽才的幕级数.幕级数是最简单的函数项级数之一. 一. 幕级数的收敛域： 1. 收敛半径、收敛区间和收敛域：
Th 1 ( Abel )若幕级数、厂在点:;收敛,则对满足不等 式|x|<|z|的任何X,幕级数升*收敛而且绝对收敛；若在点I = x发散，则对满足不等式| x|〉|]|的任何X,幕级数工兔才发散? 收敛,{%}有界.设I \
由于lirn。和=p, n lim戈忙厂=口，因此亦可用比值法求收敛半径n今a a ” 71' 幕级数的收敛区间： 幕级数的收敛域：一般来说，收敛区间_收敛域?幕级数 的收敛域是区间上、厂、—E.F.或「-匚门之一. 例2求幕级数- ■■■…的收敛域. f - J , 2 n 例3 求下列幕级数的收敛域 2.复合幕级数、宀:- ：令「-厂二I ,则化为幕级数?设该 幕级数的收敛区间为?山./■. I，则级数的收敛区间由不等式- .■:■二确定?可相应考虑收敛域? 求幕级数\'二的收敛域.([-U])
第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 在上一章开头讨论过由连续曲线y =f （x )（≥0),以及直线x =a ，x =b （a 〈b ）和x 轴所围曲边梯形的面积为()b b a a A f x dx ydx ==⎰⎰，如果f （x ）在[a , b ]上不都是非负的，则所围图形的面积为|()|||b b a a A f x dx y dx ==⎰⎰，一般地,由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x ）以及两条直线x =a ， x = b （a 〈b )所围的平面图形,它的面积计算公式为21[()()]b a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积. 解 该平面图形如图所示。先求出抛物线与直线的交点坐标（1，-1）、(9，3)，用x =1把图形分成左 右两部分，应用公式得111004[()]23A x x dx xdx =--==⎰⎰，921328[]23 x A x dx -=-=⎰,所以A=A 1+A 2=32/3. 本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²，x =2y +3，y∈[1，3］，改取积分变量为y ，便得32132[23]3 A y y dy -=--=⎰。 设曲线C 由参数方程x=x(t)，y=y （t ），t ∈[，]给出,在［a ,b ］上y(t)连续,x=x(t ）连续可微且x ’(t ）≠0(对x(t ）连续，y=y(t ）连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论)，记a=x(）,b=x （)(a 〈b 或a>b)，则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为|()()|A y t x t dt β α'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint)，y=a （1-cost ）（a>0）的一拱与 x 轴所围平面图形的面积. 解 摆线的一拱可取t ∈［0，2π],所求面积为 2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰ ⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y （t ）,t ∈［,]是封闭的，既有x （）=x(），y()=y （),且在（ ，）上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰（或|()()|A x t y t dt βα '=⎰）,此公式可由前面推出,绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t)，y=y （t ），t ∈［a ，b ］的旋转方向所确定。 例3求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a ] 因为面积元素为ydx 所以⎰=a ydx S 04椭圆的参数方程为：x a cos t y b sin t 于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b ⎰-=0 22sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=2 2 当a=b=r 时,这就等于圆的面积πr ². 设曲线C 由极坐标方程r r ()及射线 ∈[]给出，其中r(θ)在［a ，b ］上连续，β—≤2π，由曲线r r （）及射线 围成的图形称为曲边扇形此曲边扇形的面积计算公式为 21[()]2A r d βα θθ=⎰ 这任然可用定积分的基本思想而得.对区间［a ,b ]作任意分割T ：=θ0<θ1<θ2<…。<θn =β，射线θ=θi (i=1,2，…，n —1）把扇形分成n 个小扇形，由于r=r(θ）是连续的，因此当||T|｜很小时，在每一个i 上r=r （θ）的值变化也很小，任取ξi ∈D i ,便有r(θ)≈r（ξi ）, θ∈D i ,i=1，2,…，n ，这时第i 个小扇形的面积DA i ≈0。5 r ²(ξi ） Dθi ，于是211()2n i i i A r ξθ=≈∆∑。由定积分定义和连续函数的可积性,当｜
§ 6 重积分的应用 (一)教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力. (二)教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式. 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式. (三)教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题. 一曲面的大面积 设D为可求面积的平面有界区域函数在D上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 z 二f (x, y) , (x, y) D 所确定的曲面S的面积丄二 厶S = '：八厶A i i =1 i =1 n 当||T|| > 0时，可用和式A的极限作为S的面积 i m 首先计算A的面积，由于切平面的法线向量就是曲面量，记它与z轴的夹角为i，则S在M i( I,I,I)处的法线向 Aa i n I n
i 1 f ；( i , i ) - f y 1 2 ( i , i ) V f x 2 ( i , i ) f ：( i , i )*i J f X 2( i , i ) ■ f ,2(\, i )在有界闭域上的积分和，所以当 ||T||》0时，就得 •)s 詔化二 J f x 2( i , i ) f ；( i , Jr 鼻 J f x 2(X j ,y 」f ；(X j , yjdxdy D ® lim J i 虬 |T|T y |cos ；'i )| D |cos(n,z) | n n ［一 A i 八 i 4 i A J f ；( i , i ) f ；( i , i )*i
§5 微积分基本定理。定积分计算（续） 教学要求:熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点:熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入 当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后，接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数。 一。 变限积分与原函数的存在性 设f （x)在[a ，b ］上可积，根据定积分的性质4,对任何x ∈[a,b ］，f(x)在［a,x]上也可积，于是由 ()()x a x f t dt Φ=⎰，x ∈[a ，b ］定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可 定义变下限的定积分，()()b x x f t dt ψ=⎰，x ∈［a,b],统称为变限积分。注意在变限积分中不可再把积分变量 写成x,以免与积分上下限的x 相混淆。变限积分所定义的函数有着重要性质,由于()()b x x b f t dt f t dt =-⎰⎰，因 此只讨论变上限积分的情形。 定理9。9 若f （x ）在[a,b]上可积,则()()x a x f t dt Φ=⎰，x ∈［a,b]是连续函数。 证明 对［a,b ］上任一确定的点x,只要x+x ∈[a,b ］,则()()()x x x x x a a x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰ ⎰⎰ , 因f(x ）在[a ，b ］上有界，可设|f （t)|≤M ，t ∈［a,b]，于是当Dx>0时有 |||()||()|x x x x x x M f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰ ⎰ ≤≤，当Dx<0时有||||M x ∆Φ∆≤，由此得到0 lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。由x 得任意性，(x ）在[a,b ］上处处连续。 定理9。10原函数存在定理 若f(x ）在［a,b ］上连续，则F(x)在［a ，b ］上处处可导，且F'(x ）=f （x),即 ()()(),[,]x a d x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a ，b]上任一确定的x ，当Dx ≠0且x+Dx ∈［a ，b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x x x f t dt f x x x x θθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f （x ）在点x 处连续，故有00 ()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ 'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性,证得F(x)是f （x)在［a,b ］上的一个 原函数。 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面上看去似不相干的概念之间的内在联系，同时也证明了连续函数必有原函数这一基本结论，并给出了f(x ）的原函数F(x ）。正因为定理9。10的重要作用而被誉为微积分学基本定理；此外又因f （x ）的任意两个原函数之间只能相差一个常数,所以当f(x ）为连续函数时，它的任一原函数F 必满足()()x a F x f t dt C =+⎰，若在此式中令x=a ，则得到()C F a =从而有 ()()()x a f t dt F x F a =-⎰ ，再令x=b ，既得()()()b a f t dt F b F a =-⎰，这是牛顿莱布尼茨公式的又一证明。比照 定理9.1,现在只需设被积函数f （x ）为连续函数,其原函数F(x)的存在性已为定理9.10所证，无需另作假设。 例1 求极限2 2 1 0lim ()x t x x e dt →+∞ ⎰
第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“”定义. 例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .
⑴. . ⑵. . ⑶设为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有, , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 .
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) 易见逐点收敛. 设,……,有. 令 , 对D成立, 即, ，D. 推论1 在D上, ，. 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 D , 使, 则函数列在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选为函数
第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时 §1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证) P199
若曲线方程为: , 则 . 的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知, , =. ( 注意是大圆) §2 第二型曲线积分
一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得 , 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此, . 由, 得 .
数学分析教案(华东师大版)第十九章含参量积分优选版
第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。 教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 § 1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数 和在上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P173 2. 含参积分的可微性及其应用:
Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含 参积分在上可微 , 且 . ( 证 )P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且. P177. § 2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
1.含参无穷积分:函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以为例介绍含参无穷积 分表示的函数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积 分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致 收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
第十一章反常积分教学目的： 1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。 教学时数：8学时 § 1 反常积分概念（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一问题的提出: 例（P264）. 二两类反常积分的概念 概念1. 设函数概念在无穷区间上，且在任何有限 区间上可积，若是存在极限 （1） 则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称
无穷积分），记作,并称收敛. 若是极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散. 概念2. 设函数概念在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，若是存在 极 则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作 并称反常积分收敛，若是极限不存在，这时也说反常积 分发散. 例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵计算积分. 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴; ⑵. 例3 讨论积分的敛散性 .
例4判断积分的敛散性 . 例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 . 三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数持续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分能够互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 . §2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一无穷积分的性质 ⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间 上可积,且. ⑵和在区间上可积 , 在区间 上可积 , 且. ⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:
第十五章Fourier级数 教学目的：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确2L为周期的函数的Fourier 级数是为周期的函数的Fourier级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier 级数和Fourier级数的收敛定理。 教学重点难点：本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数；难点是Fourier 级数的收敛性的判别。 教学时数：10学时 §1 Fourier级数 一．三角级数与正交函数系. 1．背景： ⑴波的分析：频谱分析 . 基频( ) . 倍频. ⑵函数展开条件的减弱: 积分展开 . ⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.
2.三角级数的一般形式: 一般的三角级数为. 由于, 设, 得三角级数的一般形式 3. 三角级数的收敛性: Th1 若级数收敛, 则级数在R 内绝对且一致收敛 . 证用M判别法. 4.三角函数正交系统: （1. ）内积和正交: 由R中的内积与正交概念引入. 设函数和在区间上( R)可积 . 定义内积为 . 当时, 称函数和在区间上正交 .
函数的正交性与区间有关 . 例如函数和在区间 上并不正交( 因为) , 但在区间却是正交的 . （2）.正交函数系统: 标准正交系( 幺正系) , 完全系 . 三角函数系统 是区间上的正交系统 . 验证如下: , ; , 对且,有 和. 该系统不是标准正交系, 因为 , . 因此, 三角函数系统