数学分析选讲教案
教案-数学分析选讲
一、教学目标
1.了解数学分析选讲的内容和意义；
2.掌握数学分析选讲中具体的知识点和方法；
3.培养学生对数学问题的分析和解决能力。
二、教学内容
1.极限与连续
2.导数与微分
3.积分与不定积分
4.一元函数的级数展开
5.二重积分与曲线积分
三、教学过程
1.首先介绍数学分析选讲的意义和重要性，引导学生对该学科的兴趣和学习动力。
2.然后分别介绍每个知识点的基本概念和定义，并通过一些具体的例子进行说明。比如，对于极限与连续，可以通过函数在其中一点处的极限和函数的连续性来说明。
3.接着，讲解每个知识点的具体计算方法和应用。比如，对于导数与微分，可以讲解导数的定义和性质，并介绍如何求导和微分的计算方法。
同时，通过一些实际问题的应用，如求速度、加速度等问题，来说明导数与微分的应用。
4.在讲解知识点的同时，可以穿插一些习题的讲解和训练，以检测学生对知识点的掌握情况，并培养学生的解题能力。
5.最后，总结每个知识点的要点和注意事项，并给出一些练习题供学生进行巩固和深化。
四、教学方法
1.以讲授和演示为主，结合习题训练和实例分析，培养学生的数学分析思维和解题能力。
2.采用逐步推导和详细解释的方法，使学生更好地理解和掌握每个知识点。
3.灵活运用多种教学手段和教学资源，如课堂讨论、实验演示等，提高学生的主动参与和探索能力。
五、教学评价
1.基于每个知识点的习题和问题进行评价，考察学生对知识点的掌握情况和解决问题的能力。
2.引导学生对学习过程进行自我评价和反思，发现自己的不足和提高的方法。
3.结合考试、小测验和作业等方式，全面评价学生的数学分析水平和综合能力。
六、教学反思
1.整个教案的设计要简洁明了，符合学生的认知特点，避免内容过于
冗杂和抽象，能够引起学生的学习兴趣和主动参与。
2.在教学过程中，要注意与学生的互动和沟通，帮助他们理解和解决
问题，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。
3.针对每个知识点的讲解，要重点讲解基本概念和计算方法，并给出
一些典型的例子和习题，帮助学生加深对知识点的理解和掌握。
4.在课程结束时，要进行总结和梳理，帮助学生回顾和巩固所学内容，并鼓励他们自主学习和进一步探索。
第八章 不定积分 (14学时) §1 不定积分概念与基本积分公式 教学目的要求： 掌握不定积分的概念和性质，会用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 教学重点、难点：重点不定积分的定义，用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 难点不定积分定义的理解. 学时安排: (2学时) 教学方法: 讲授法. 教学过程: 微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。 一 原函数与不定积分 （一） 原函数 定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。若 )()(x f x F ='， I x ∈， 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。 如：331x 是2 x 在R 上的一个原函数；x 2cos 21-， 12cos 21+x ， x 2sin ，x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则 有多少个？ 问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 定理1 若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。 证明：在第九章中进行。 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设)(x F 是)(x f 在在区间I 上的一个原函数，则（1）设C x F +)(是)(x f 在在区间I 上的原函数，其中C 为任意常量（若)(x f 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2）)(x f 在I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证明：由定义即可得。 （二） 不定积分 定义2 函数)(x f 在区间I 上的原函数的全体称为)(x f 在I 上的不定积分，记作： ?dx x f )( 其中 ?--积分号；--)(x f 被积函数； --dx x f )(被积表达式；--x 积分变量。 注1 ?dx x f )(是一个整体记号；
大学数学分析方法教案 大学数学分析方法教学内容： 第一部分：函数与极限 1.函数的概念及性质 定义函数，函数的分类，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。 2.数列极限 数列的概念，数列极限的定义，极限存在判定定理。 3.函数极限 函数极限的定义，函数极限的性质，极限存在判定定理。 4.连续性 函数的连续性概念，连续函数性质，间断点。 第二部分：导数与微分 1.导数概念 导数的定义，导数的性质，导数的几何意义。 2.微分学基本公式 微分的概念，微分学基本公式，微分中值定理。 3.导数的应用 导数的物理意义，最大值与最小值，曲率与余曲率，泰勒公式。 第三部分：积分与反演定理 1.定积分 定积分的定义，定积分的性质，定积分计算。 2.不定积分 不定积分的定义，常见函数的不定积分，积分表。
3.反演定理 反演定理的概念，拉普拉斯反演定理，傅里叶反演定理。 第四部分：多元函数微积分 1.多元函数的导数 多元函数的偏导数，多元函数的全导数，多元函数的导数和微分。 2.重积分 二重积分的定义，性质，计算方法；三重积分的定义，性质，计算方法。 3.曲线积分和曲面积分 第一类曲线积分的定义，计算方法；第二类曲线积分的定义，计算方法；曲面积分的定义，计算方法。 教学方法： 本课程的授课方式采用理论与实践相结合的教学法，注重讲明概念、定理与公式，并通过数学应用实例深入阐述其具体的计算方法，以便学生真正理解学习到的知识。 在课程的教学中，特别注重实战操作，为学生提供大量实验、计算及解题实例，增强学习者的实践能力，使学生能够更好地理解抽象的数学原理与方法，并能将其灵活应用于实际中去。 总结： 通过本课程学习，学生将掌握数学分析基本概念、优化方法及其计算应用等全面而深入的知识体系，加深对数学的理解，并提升数学分析能力，为其今后的求学、研究及实践积累了更深入的理论基础和实践技能。
数学分析教案 第一章 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,, λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >； 或 ,, λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数． (2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数 (一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：
1J ] 1J 1J ] 1 2 3 4 《数学分析》教案 SF 01（数） ChO数学分析课程简介 Chi实数集与函数 计划课时：ChO 2时 Chi 6 时 说明: 1.这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期， 总课时为1 8 0学时，是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了80学时）?按照学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 本教案共2 7 9页，分2 1章. 2.取材的教材： 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996； 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析，兰州大学出版社，1999；
We Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964. Ch 0 数学分析课程简介(2时) 一?数学分析(mathematical analysis)简介： 1.背景：从切线、面积、计算sin32\实数定义等问题引入. 2.极限(limit) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏 观两个方面研究函数，并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的 微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. . %1.数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪，Archimedes 就有 了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3.十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期：参阅《数学分析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72. 4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：参阅《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—7 5. %1.数学分析课的特点： 逻辑性很强，很细致，很深刻；先难后易，是说开头四章有一定的难度，倘能努力学憧前四章(或前四章的80%),后面的学习就会容易一些；只要在课堂上专心听讲，一般是可以听得懂的，但即便能听懂，习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法，不辅以相应的技巧，是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的，也是里要的内容之一，也是最难的内容之一.一般憧得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式，学习基本的证明方法，掌握叙述和书写证明的一般语言和格式，是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此，建议的学习方法是：预习，课堂上认真听讲，必须记笔记，但要注意以听为主，力争在课堂上能听憧七、八成.课后不要急于完成作业，先认真整理笔记，补充课堂讲授中太简或跳过的推导，阅读教科书，学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后，再去做作业.在学习中，要养成多想问题的习惯. 1.关于教材：没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方，本课程主要 从以下教科书中取材： fl］华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用. 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式. 教学时数：18学时 §1 可微性 一．可微性与全微分: 1．可微性：由一元函数引入。亦可写为， 时。 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性。P107例1 二。偏导数： 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.求偏导数：
例2 , 3 , 4 . P109-110例2 , 3 ，4 。 例5. 求偏导数。 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求。 例8。求和。 解=， =。 例9 证明函数在点连续, 并求和。 证 . 在点连续 . , 不存在。
三。可微条件: 1。必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且 。( 证）由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件，但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . ［1]P110 例5 。 2。充分条件： Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续。则函数在点可微 . （证）P111
Th 3 若在点处连续，点存在, 则函数在点 可微 . 证 . 即在点可微。 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件。 例11 验证函数在点可微，但和在点处不连续 . (简证，留为作业）证 因此，即， 在点可微，。但时, 有 ,
数学分析教案设计 数学分析教案设计 考试科目：数学分析 《数学分析》 一、题目类型：证明题、计算题。 二、参考教材：1 、《数学分析教程》，编者：常庚哲等，高等教育出版社 2 、《数学分析》，编者：李成章、黄玉民，科学出版社 三、基本内容： 1 、极限论包括：（ 1 ）数列极限（含上、下极限）；（ 2 ）函数极限；（ 3 ）函数的连续性及其应用；（ 4 ）实数的六个等价命题；（ 5 ）无穷小（大）量及其阶数。 2 、单变量微积分学包括：（ 1 ）导数和微分；（ 2 ）微分学的基本定理（ Lagrange 定理及 Fermat, Rolle, Cauchy 定理和 Taylor 公式）及其应用；（ 3 ）不定积分；（ 4 ）定积分与可积性；（ 5 ）广义积分与瑕积分；（ 6 ）含参变量的`广义积分。 3 、级数论包括：（ 1 ）数项级数；（ 2 ）函数项级数与幂级数；（ 3 ） Fourier 级数与 Fourier 变换；（ 4 ）级数的各种收敛性及判别法。 4 、多变量微积分学包括：（ 1 ）二重和三重积分；（ 2 ）第一和第二类曲线积分；（ 3 ）第一和第二类曲面积分；（ 4 ）各种积分间的关系（ Green, Gauss 和 Stokes 公式）及其应用；（ 5 ）场论初步（梯度，散度和旋度的定义）。 四、基本要求： 1 、能正确使用ε—δ，ε—N 语言及数学分析中的基本定理刻划和证明有关极限，连续性（间断性），一致连续性（不一致连续性），可积性（不可积性），收敛性（发散性），一致收敛性（不一致连续性）等问题。 2 、能准确计算极限，导数和积分，级数（幂级数和 Fourier 级数）
数学分析教案 一、教案概述 本教案是为高中数学分析课程编写的，旨在帮助学生掌握数学分析 的基础知识和解题技巧。通过系统的教学安排，结合生动的教学方法，提高学生的学习兴趣和主动性，达到有效教学的目的。 二、教学目标 1. 知识与理解目标： - 掌握函数、极限、导数和积分等基本概念； - 理解数列、级数和函数收敛与发散的概念； - 理解函数的连续性和可导性。 2. 能力目标： - 能够正确运用函数的极限、导数和积分的计算方法； - 能够分析和解决实际问题； - 能够利用数学分析解决相关学科的问题。 3. 情感目标： - 培养学生对数学的兴趣和好奇心； - 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。 三、教学重难点
1. 教学重点： - 函数、极限、导数和积分的基本概念和性质； - 极限运算法则、导数计算法则和积分计算法则的掌握。 2. 教学难点： - 函数连续性和可导性的理解和判断； - 极限的证明和应用。 四、教学内容和安排 本教案共包括以下内容： 1. 第一章函数与极限 - 1.1 函数概念及其运算 - 1.2 极限的概念与性质 - 1.3 极限运算法则 2. 第二章导数与微分 - 2.1 导数的概念与计算 - 2.2 导数的应用 3. 第三章不定积分 - 3.1 不定积分的概念与性质
- 3.2 基本积分公式 - 3.3 积分法与定积分 4. 第四章一元函数微分学应用 - 4.1 驻点与极值 - 4.2 一元函数的应用问题 五、教学方法与手段 1. 讲授法：通过清晰的语言和具体的实例讲解基本概念和性质； 2. 演示法：通过图像和图表等形式展示数学分析的过程和结果； 3. 实践法：设置一些练习和问题让学生积极参与，提高实际运用能力。 六、课堂活动与作业安排 1. 课堂活动： - 利用实例引出函数的概念和运算法则； - 通过图像展示极限的概念和性质； - 设计小组讨论活动，加深对导数和积分概念的理解。 2. 作业安排： - 预习下一课的内容，了解相关定义和性质； - 完成课后习题，巩固所学知识；
数学分析教案华东师大版 一、教学目标 通过本课程的学习，学生应该能够： 1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理； 2.掌握数学分析中的常用方法和技巧； 3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力； 4.培养学生的数学思维和创造性思维。 二、教学内容 本教案主要包括以下内容： 1.函数、极限与连续性 –函数的定义和性质 –极限的定义和性质 –连续函数的定义和性质
–极限存在的判定方法 –无穷小量与无穷大量 2.一元函数的微分学 –导数的定义和性质 –导数的几何意义和物理意义 –某类函数的导数 –高阶导数与导数的运算法则 –隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学 –积分的定义和性质 –函数的原函数与不定积分 –定积分的定义和性质 –定积分的计算方法 –积分中值定理
4.多元函数的微分学 –多元函数的定义和性质 –多元函数的极限和连续性 –偏导数和全微分 –隐函数与参数方程的求导公式 –多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学 –重积分的定义和性质 –二重积分的计算方法 –三重积分的计算方法 –曲线与曲面的面积与弧长 –应用于物理和几何的多重积分
三、教学方法 1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识； 2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧； 3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维； 4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。 四、教学工具 在教学过程中，我们将使用以下工具： 1.教材：华东师大版《数学分析》教材； 2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法； 3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤； 4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；
第五章导数和微分 教学目的： 1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分； 2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算； 3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 § 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念。 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数 在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 考查在点的可导情况. 例3 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例4求曲线在点处的切线与法线方程. 4.可导与连续的关系: 5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. 注意: 等具体函数的导函数不能记为应记为 6.费马定理及达布定理
数学分析教案 【篇一：《数学分析》教案】 《数学分析》教案 s f 01 ( 数 ) c h0 数学分析课程简介 c h 1 实数集与函数 计划课时： ch 0 2时 ch 1 6时 p 1—8 说明： 1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）. 按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容. 本教案共2 7 9页，分2 1章 . 2. 取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996； [2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出 版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； ch 0数学分析课程简介 ( 2 时 ) 一. 数学分析(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从切线、面积、计算sin32?、实数定义等问题引入. 2. 极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研 究实变实值 函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极 限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些 运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积 分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别.. 二．数学分析的形成过程：
第十四章幕级数 教学目的：1.理解幕级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题； 2.理解幕级数的运算，掌握函数的幕级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幕级数时的重要性。 教学重点难点：本章的重点是幕级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。 教学时数：12学时 § 1幕级数（4时） 幕级数的一般概念.型如\亠二二一和农心的幕级数.幕级数 由系数数列…?唯一确定.幕级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如工陽才的幕级数.幕级数是最简单的函数项级数之一. 一. 幕级数的收敛域： 1. 收敛半径、收敛区间和收敛域：
Th 1 ( Abel )若幕级数、厂在点:;收敛,则对满足不等 式|x|<|z|的任何X,幕级数升*收敛而且绝对收敛；若在点I = x发散，则对满足不等式| x|〉|]|的任何X,幕级数工兔才发散? 收敛,{%}有界.设I \
由于lirn。和=p, n lim戈忙厂=口，因此亦可用比值法求收敛半径n今a a ” 71' 幕级数的收敛区间： 幕级数的收敛域：一般来说，收敛区间_收敛域?幕级数 的收敛域是区间上、厂、—E.F.或「-匚门之一. 例2求幕级数- ■■■…的收敛域. f - J , 2 n 例3 求下列幕级数的收敛域 2.复合幕级数、宀:- ：令「-厂二I ,则化为幕级数?设该 幕级数的收敛区间为?山./■. I，则级数的收敛区间由不等式- .■:■二确定?可相应考虑收敛域? 求幕级数\'二的收敛域.([-U])
数学分析教案第二十一章重积分 一、教学目标 1.掌握重积分的定义和性质。 2.了解重积分的计算方法和应用。 3.能够熟练运用重积分解决实际问题。 二、教学重难点 1.重积分的计算方法。 2.重积分的应用。 三、教学内容和教学步骤 1.重积分的引入 通过提问引导学生回顾定积分的概念和计算方法，并对比定积分与重积分的异同之处，引出重积分的概念。 2.重积分的定义和性质 定义：设D为平面上的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界，将D 分成许多小矩形，取其中任意一个小矩形，设其面积为ΔA，取小矩形的一些点(xi,yi)，使得(xi,yi)在小矩形内，记作(Pi)，则称 Σf(xi,yi)ΔA为f(x,y)在D上的一个二重积分，记作∬D f(x,y)dxdy。 性质：（1）线性性质：∬D (αf(x,y)+βg(x,y))dxdy = α∬D f(x,y)dxdy + β∬D g(x,y)dxdy，其中α、β为常数。
（2）可加性质：D = D1 ∪ D2，则∬D f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。 （3）保号性质：若f(x,y)在D上非负，则∬D f(x,y)dxdy ≥ 0。 3.重积分的计算方法 （1）累次积分法：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。 （2）极坐标法：适用于具有极坐标形式的函数，通过变量代换，将重积分转化为二重积分。 （3）换元法：通过变量代换，将重积分中的积分区域变换为简单形式，然后计算二重积分。 4.重积分的应用 （1）计算质量：对密度函数和有界闭区域进行重积分，得到物体的质量。 （2）计算重心：对密度函数、有界闭区域和轴线进行重积分，得到物体的重心坐标。 （3）计算面积：对平面区域的特定函数进行重积分，可以计算出该区域的面积。 （4）计算二重积分：通过重积分计算曲面的面积、曲面的体积以及曲面与平面的交线弧长。 四、课堂练习及讲评 1.小组讨论解决以质量和重心为主题的实际问题。 2.学生上台展示解决问题的过程和结果。
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值 函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究 一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累 时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时 期： 三、数学分析课的特点:
逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要 在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带
数学分析选讲教学大纲 一、课程简介 本课程是一门针对高年级本科生的数学分析选修课，旨在为学生提供更深入的数学分析知识和技能。通过本课程的学习，学生将进一步拓宽对数学分析的理解，并掌握其在实际问题中的应用。 二、教学目标 1.掌握数学分析的基本概念和原理； 2.能够运用数学分析的方法和技巧解决实际问题； 3.增强数学分析的逻辑思维能力和抽象推理能力； 4.培养学生严谨的数学论证能力和问题解决能力。 三、教学内容 1.实数和数列 a.实数的性质和运算规律 b.数列的收敛性和极限 c. 数列的一致收敛性和Cauchy准则 2.函数极限和连续性 a.函数极限的定义和性质 b.函数连续性的定义和性质 c.中值定理和连续函数的性质
3.函数导数和微分 a.导数的定义和性质 b.微分的定义和性质 c.高阶导数与泰勒展开 4.不定积分和定积分 a.不定积分的定义和性质 b.定积分的定义和性质 c.积分计算的基本方法和技巧 5.级数和幂级数 a.级数的收敛性和性质 b.幂级数的收敛半径和性质 c.幂级数的求和和收敛域 四、教学方法 1.传统讲授：通过讲授理论知识和解题技巧，向学生介绍数学分析的基本概念和原理。 2.问题导向：通过提出问题和引导学生讨论，培养学生的抽象思维和问题解决能力。 3.探究式学习：引导学生通过实际例子和实验观察，发现数学分析中的规律和性质。 五、评估方式
1.平时成绩：包括课堂参与和作业完成情况（占比30%）； 2.期中考试：对学生对前半学期内容的理解和掌握程度进行测试（占比30%）； 3.期末考试：对全学期内容进行综合测试，检验学生对数学分析的综合能力（占比40%）。 六、参考教材
第一章实数集与函数 第一章实数集与函数 教学目的： 1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念； 2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。 教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时 § 1 实数（2学时） 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： 1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； 2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 一．复习引新： 1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义. 2.四则运算封闭性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性: 5.稠密性:有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6.实数集的几何表示───数轴:
7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二. 讲授新课： （一）. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: ⑴ ⑵均值不等式: 对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当且, 且时, 有严格不等式 证：由且
教案 2006-2007学年第 1 学期 课程名称：数学分析3 课程编号：4081103 学院、专业、年级：数学科学学院、数学与应用数学专业、05级任课教师：姜子文 教师所在单位：数学科学学院 山东师范大学
《数学分析3 》教案 ------------------------------------------------------------------------------------- 课程简介 《数学分析》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业——数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本、专科的一门重要基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。本课程所讲授的这些内容和方法是现代应用数学的基础，是数学类专业学生必须具备的最基础的基本训练，是实现数学类专业培养目标的重要基础课。 《数学分析》课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。通过本课程的讲授，可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。 《数学分析》课程授课时间为三个学期，各学期课程名称分别为：《数学分析(1)》、《数学分析(2) 》、《数学分析(3) 》。其中《数学分析(1)》主要包括如下内容： 函数；数列极限；函数极限；函数连续性；实数连续性的基本定理；导数与微分。 授课学期：第一学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。 《数学分析(2) 》主要包括如下的内容： 不定积分；定积分；定积分的应用；级数理论。 授课学期：第二学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。 《数学分析(3) 》主要包括如下的内容： 多元函数偏导数，多元函数可微性，多元函数Taylor公式，多元函数极值，多元函数定积分、面积分、线积分及格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。 授课学期：第三学期；授课总时数：98学时；学分：6学分。
楚雄0帀范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案5T―教案15 （数学分析专题选讲，周学时三节，单四双二） 第10 周(2009. 4. 27-2009. 5. 3) 课第五专题无穷级数与无穷积分中的若干基本方法 § 5. 1无穷级数与无穷积分的比较（自学） 赵§5.2无穷级数敛散性的判定 学2学时 1•分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法2• 借助多媒体辅助教学 § 5. 2无穷级数敛散性的判定 例1.讨论下列级数敛散性. (1 丫' 1 . 2/+2“ l + -r +-sm I n ) n 4n + 2n +1 c 力cos3 3" —r= arctan (n + 1) Vn2 +1 ⑵.工 n=l 丿 又由于-sin 2f + 2n n 4n' +2〃 + l <1. 2n"+2n <1 n 4«3 + 2n +1 n2 s 1 ，故工上sin ”=i n 2n2 + In 4r?3 + 2" +1 收敛. 教学 内容 （主 要） 无穷级数敛散性的判定 教 学 目 标 1.能熟练判定无穷级数敛散性 教学 重点 1.判定无穷级数敛散性的技能技巧 教学 难点 1 .判定无穷级数敛散性的技能技巧 ⑴•工 n=l
『1 . 2n 2+2n + —sin --- - -------- 1 n 4n +2n + l 丿 敛，于是阿贝尔判别法 8 ] E （-iy —j= arctan "=1 V Yl 收敛. 00 00 1 例2.若工a n 是收敛的正项级数，且工b ；收敛，证明：当a 〉一时 ”=i ”=i 2 绝对收敛. 证明:⑴.因为 kn 2 sinp 4 吕 例3•设lim n n a n =1,证明：当£〉—时，工色收敛. "Too 3 7 J ”=1 证明：由已知条件lim ------- =1,工色是正项级数. z 曲 sing Z? n n 又 (2).因为 （〃 + 1） J/ + 彳 = lim —= -<1,^ 是工 f 3 3 厶 3 %兀 oo Tl COS ------- 3 n=l 3" 收敛. 又 arctan 故｛〃C 伽（〃 + 1）厶 $ +1] 00 单调有界, 工(-1)'4收 yjn n-l 00 故立 发散. （〃 + 1）厶2 +1 00 故£ - n=l V ‘ 3 n 兀 ncos 3” -——（一 1）" ~~f= ci^ctan （^ +1） +1 收敛. 1 数学分析教案 (华东师大版)第十三章 函数列与函数项级数
第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“”定义. 例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .
⑴. . ⑵. . ⑶设为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有, , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 .
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) 易见逐点收敛. 设,……,有. 令 , 对D成立, 即, ，D. 推论1 在D上, ，. 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 D , 使, 则函数列在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选为函数
第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时 §1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证) P199
若曲线方程为: , 则 . 的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知, , =. ( 注意是大圆) §2 第二型曲线积分
一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得 , 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此, . 由, 得 .