第四章
函数的连续性
（14学时）
● 引言
在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题:
１．什么是“函数的连续性”?
２．“间断"或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？
４．初等函数的连续性有何特点？
§１ 连续性概念
教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求：（１)使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种
等价叙述；(２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵.
教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排： 4学时 教学程序：
● 引言
“连续”与“间断"（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的。
由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。
当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性.
例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）。 因此,为了给出“连续”的定义,需要对此作进一步分析和研究。
从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃,当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化.而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1
x x →时，1()()f x f x →。换句话说,当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即11lim ()()
x x f x f x →=。
根据这一分析，引入下面的定义：
一 函数在一点的连续性
１．
函数f 在点0x 连续的定义
定义１(f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续。
注 00
0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续"意味着“极限运算与对应法则f 可交换。 ２．例子
例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续.
例２．2lim(21)5(2)
x x f →+==。
例３．讨论函数
1sin
,0()0,0x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性。 ３．函数f 在点0x 连续的等价定义
１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量。设00()y f x =，
0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量。
注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零。(区别于“增加”)。
２） 等价定义１:函数f 在点0x 连续⇔0lim 0x y ∆→∆=。
３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<。 注:一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义,可以证明以下命题: 例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数。
４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系
１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）。而f 在
点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）。
２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续"时,由于x=0x 时,0|()()|f x f x ε-<恒成立。所
以换为:0||x x δ-<。
３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限"，而且00lim ()()x x f x f x →=;而在讨论0lim ()x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不存在。
总的来讲，函数在点0x 连续的要求是:①()f x 在点0x 有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()
x x f x f x →=.
任何一条不满足，f 在点0x 就不连续。同时，由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质。
５．f 在点0x 左（右）连续定义
① 定义２：设函数f 在点0()U x +(0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（00lim ()()x x f x f x -→=），则称f
在点0x 右(左）连续.
②
f 在点0x 连续的等价刻划
定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续，又是左连续.
如上例４：00lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续），00lim ()lim 0(0)
x x xD x x f --→→===(左连续）。 例５．讨论函数
2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨
-<⎩在点0x =的连续性. 二 区间上的连续函数 １．定义
若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续,则称f 为Ｉ上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，
函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续。 ２．例子
(１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；
(２)
函数y =(1,1)-内每一点都连续.在1x =处为左连续,在1x =-处为右连续,因而它在
[1,1]-上连续.
命题：初等函数在其定义区间上为连续函数.
函数[]y x =，sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗? sgn x 在Ｒ上是分段连续吗?
三 间断点及其分类
１．不连续点（间断点）定义
定义３ 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不２，不则称
点0x 为函数f 的间断点或不连续点。
注 这个定义不好；还不如说:设f 在00()U x 内不定义，如果()f x 在0x 不连续，则称0x 是()f x 的
不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若0x 为函数f 的间断点,则必出现下列情形之一：①()f x 在点
0x 无定义;②0lim ()x x f x →不存在；③00lim ()()x x f x f x →≠。据此，对函数的间断点作如下分类:
２．间断点分类
１） 可去间断点 若
lim ()x x f x A
→=，而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则称0x 为f 的可去间断
点。
例如：0x =是函数
sin ()|sgn |,()x
f x x
g x x ==
的可去间断点。
“可去间断点”名称何来?通过一定的手段，可以“去掉”.设0x 是()f x 的可去间断点，且0lim ()x x f x A →=。
0(),(),f x x x f x A x x =⎧⎨
≠⎩则0x 是()f x 的连续点.
例如，对
sin ()x
g x x =，定义sin ,0()1,0x
x g x x x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩,则()g x 在0x =连续。 ２） 跳跃间断点 若
lim (),lim ()x x x x f x f x +
-
→→存在，但00(0),(0)f x f x +-,则称点0x 为函数f 的跳跃间断点。
例如,对[]y x =，00lim[]0,lim[]1
x x x x +-→→==-故0x =是它的跳跃间断点。
再如0x =是sgn x 的跳跃间断点。
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。
３） 第二类间断点 函数的所有其它形式的间断点(即使称函数至少有一侧极限不存在的点)称为函数的
第二类间断点。
例如,0x =是函数1x ，
1
sin
x 的第二类间断点。 §２ 连续函数的性质
教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。
教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知
复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（２）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中加以运用;（３)理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。
教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念. 学时安排：4学时 教学程序：
引言
函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质,都可以移到连续函数中来。
一 连续函数的局部性质
性质１（局部有界性）若f 在0x 连续.则f 在某0()U x 有界.
性质２（局部保号性)若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<。
注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取
0()
2f x r =
，则存在0()U x ，
使得当0()x U x ∈有0()
()2f x f x >
；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续"，
把0()U x 改为0
0()U x 其余一致.
性质３.（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)f
f g f g g x g ±⋅≠也都在点0x 连续。
问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４(复合函数的连续性)若f 在点0x 连续,记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。
注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：00
0lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.(即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。）
例１． 求21limsin(1)
x x →-.
2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a,又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立。（因
此时若0
0lim ()()
x x f x a f x →==的话是显然的；若00
lim ()()
x x f x a f x →=≠，或()f x 在0x x =无定义,即0x 是f 的可
去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）。故可用来求一些函数的极限.
例２ 求极限(
１）0x →；（２
)x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或
[(),()]f b f a 上连续。
二、初等函数的连续性
１．复习(关于初等函数）
（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数。 （２）基本初等函数： 常量函数y C =；
幂函数y x α
=；
指数函数
(0,1)x
y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠；
三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =;
反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =。 ２．初等函数的连续
定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。
定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。 ３．利用初等函数的连续性可计算极限
例３．设0
lim ()0
x x u x a →=>，0
lim ()x x v x b
→=，证明:0
()lim ()v x b
x x u x a →=。
例４．求0ln(1)lim
x x x →+。
例５ 求20ln(1)lim
cos x x x →+.
三 区间上连续函数的基本性质
引 言
闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几何上看,这些性质都是十分明显的。但要严格证明它们,还需其它知识，将在第七章§２给出.先给出下面的关于“最大大值"的定义:
定义１ 设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（
0()()f x f x ≤)，则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值。
例如，sin ,[0,]y x π=.max 1y =、min 0y =。 一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小)值，即使()f x 在Ｄ上有界。 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；
1
,(0,1)()2,0,1x f x x
x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０，１］上也无最大（小）值。
１．性质
性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值。 性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界。
思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，
1
,(0,1)()2,0,1x g x x
x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否?说明理由;②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续?是否一定要闭区间呢?
结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。
性质３（介值定理)设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠。若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=.
注 表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值。（如左图）。
性质４(根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号(()()0f a f b ⋅<），则至少存在一点
0[,]x a b ∈，使得0()0f x =.
几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点.
２．闭区间上连续函数性质应用举例
关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间。
例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ,使得0n
x r =。
例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂.证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =.
四 一致连续性
引言
在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念,叫做一致连续。我们先叙述何谓一致连续. 设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义,也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续。即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时，就有0|()()|f x f x ε-<。
一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的。例如图左.中
1
y x =
的曲线，对接近于原点
的0x ,δ就应取小一些。而当0x 离原点较远时，δ取大一些。(对后者的δ值就不一定可用于前者。但在
以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念-—一致连续。
１．一致连续的定义
定义(一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数.若对任给的0ε>,存在一个()0δδε=>，使得对任
何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，则称函数f 在区间Ｉ上一致连续。
２．函数在区间上连续与一致连续的比较
(2)若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不一定在Ｉ上一致连续.
３．问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：
定理（康托Cantor 定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续。 ４．一致连续的例子
例8 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。
例9 （１)证明函数
1
y x =
在(0,1)内不一致连续。 (２）0c ∀>，证明
1y x =
在(,1)c 内是一致连续的。 例10 证明
1sin
x 在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续。
第1章 函数、极限与连续 函数的连续性与间断点 【教学目的】： 1. 理解函数在一点连续的概念； 2. 会求简单函数的间断点； 【教学重点】： 1. 函数连续、间断的概念； 2. 函数在一点处连续的判定方法； 3. 函数间断点的分类； 【教学难点】： 1. 函数在一点处连续的判定方法； 2. 分段函数分段点处的连续性判断； 3. 函数间断点的分类。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 1.4.1函数的连续性的概念 1、函数的增量 2、函数的连续性 定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0 =?→?y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点． 连续的另一等价定义是： 定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00 lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续. 注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件 (1) 函数)(x f 在0x 处有定义； (2) 极限)(lim 0 x f x x →存在； (3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00 x f x f x x =→． 定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0 x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00 x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ? )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．
数学分析教案 第一章 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,, λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >； 或 ,, λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数． (2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数 (一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：
外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量 值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础 上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明. 函数的极限 4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ?，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或 q x f p x =→)(lim （１） 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得 ε<)),((q x f d Y （２） 对于满足 δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立． 记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离． 如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）． 应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么
数学分析教案设计 数学分析教案设计 考试科目：数学分析 《数学分析》 一、题目类型：证明题、计算题。 二、参考教材：1 、《数学分析教程》，编者：常庚哲等，高等教育出版社 2 、《数学分析》，编者：李成章、黄玉民，科学出版社 三、基本内容： 1 、极限论包括：（ 1 ）数列极限（含上、下极限）；（ 2 ）函数极限；（ 3 ）函数的连续性及其应用；（ 4 ）实数的六个等价命题；（ 5 ）无穷小（大）量及其阶数。 2 、单变量微积分学包括：（ 1 ）导数和微分；（ 2 ）微分学的基本定理（ Lagrange 定理及 Fermat, Rolle, Cauchy 定理和 Taylor 公式）及其应用；（ 3 ）不定积分；（ 4 ）定积分与可积性；（ 5 ）广义积分与瑕积分；（ 6 ）含参变量的`广义积分。 3 、级数论包括：（ 1 ）数项级数；（ 2 ）函数项级数与幂级数；（ 3 ） Fourier 级数与 Fourier 变换；（ 4 ）级数的各种收敛性及判别法。 4 、多变量微积分学包括：（ 1 ）二重和三重积分；（ 2 ）第一和第二类曲线积分；（ 3 ）第一和第二类曲面积分；（ 4 ）各种积分间的关系（ Green, Gauss 和 Stokes 公式）及其应用；（ 5 ）场论初步（梯度，散度和旋度的定义）。 四、基本要求： 1 、能正确使用ε—δ，ε—N 语言及数学分析中的基本定理刻划和证明有关极限，连续性（间断性），一致连续性（不一致连续性），可积性（不可积性），收敛性（发散性），一致收敛性（不一致连续性）等问题。 2 、能准确计算极限，导数和积分，级数（幂级数和 Fourier 级数）
第四章 函数的连续性 （14学时） ● 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题： １．什么是“函数的连续性”？ ２．“间断”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？ ４．初等函数的连续性有何特点？ §１ 连续性概念 教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数 在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排: 4学时 教学程序： ● 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数 ()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的。 由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。 当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。 例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）。 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。 从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →。换句话说， 当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即11lim ()()x x f x f x →=。 根据这一分析，引入下面的定义： 一 函数在一点的连续性 １． 函数f 在点0x 连续的定义 定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()() x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x) = f ( x0), (1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为 又如, 函数lim x →2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5= f (2 ). f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0, x =0 在点x = 0 连续, 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 x sin 1 x =0= f ( 0). 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x-x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy= f ( x) - f ( x0) = f ( x0 + Δx)- f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y= f( x)在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx →0
70 第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的, 因而也可直接用ε- δ方 式来叙述, 即: 若对任给的ε>0 , 存在δ> 0 , 使得当|x - x 0 | <δ时有 | f (x)- f ( x 0 ) |<ε, (2) 则称函数 f 在点 x 0 连续 . 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念 之间的联系.首先, f 在点x 0 有极限是f 在x 0 连续的必要条件;进一步说“, f 在 点x 0 连续”不仅要求f 在点x 0 有极限,而且其极限值应等于f 在x 0 的函数值 f( x 0) .其次,在讨论极限时,我们假定f 在点x 0 的某空心邻域U °( x 0 )内有定 义( f 在点x 0 可以没有定义),而“f 在点x 0 连续”则要求f 在某U( x 0 )内(包括 点x 0)有定义,此时由于(2)式当x = x 0 时总是成立的,所以在极限定义中的“0 <|x - x 0 |<δ”换成了在连续定义中的“|x - x 0 |<δ”.最后,(1)式又可表示为 lim x → x f (x)= f lim x , x → x 可见“f 在点x 0 连续”意味着极限运算lim x → x 与对应法则 f 的可交换性 . 例1证明函数 f (x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续, 其中 D ( x ) 为狄利克雷 函数 . 证 由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ?1 , 对任给的ε>0 , 为使 | f ( x) - f ( 0) | = | xD( x ) | ? | x | <ε, 只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f 在x =0连续. □ 相应于f 在点x 0 的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下: 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义.若 lim x → x + f (x)= f (x 0) lim - x → x f (x)= f (x 0) , 则称 f 在点 x 0 右( 左) 连续 . 根据上述定义1 与定义2 , 不难推出如下定理 . 定理4.1 函数 f 在点x 0 连续的充要条件是:f 在点 x 0 既是右连续, 又是 左连续 . 例 2 讨论函数 在点 x = 0 的连续性 . 解 因为 f ( x ) = x + 2 , x ? 0 , x - 2 , x <0 lim x → 0 + lim x → 0 - f ( x ) = lim x → 0 + f (x)= lim x → 0 - ( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2, 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, 从而它在 x = 0 不连续( 见 ●
《数学分析》课程教学大纲 一、教学大纲说明 （一）课程的性质、地位、作用和任务 《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程，以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。 本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。 （二）教学目的和要求 本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。 1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论较进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类积分、级数和函数项级数的敛散性、幂级数的概念、性质、计算及应用。 2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理的内容、证明及应用、一般有理函数的不定积分及万能变换、欧拉变換、隐函数定理的证明、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数的概念、性质、计算与应用、斯托克斯公式。 3、了解——要求能应用基本理论，不要求掌握证明方法；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧。包括各类近似计算问题、上、下极限问题、可积性理论及积分在物理中的应用、数项级数的拉贝判别法，傅里叶级数的收敛定理的证明、n重积分与反常二重积分、复变量的指数函数与欧拉公式、场论初步，流形上的微积分。（注：课文中打*号的章节均为选讲内容）。 （三）课程教学方法与手段 本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。由于本课程具有强烈的几何背景，结合培养目标，教学过程可恰当地使用现代教育技术手段，把传统的板书与现代化手段相结合，重要的定理、图表、图像制成多媒体，利用黑板进行问题分析与推理。另外由于本课程与数学应用联系密切，课程的教学中可适当介绍数学实验以及数学建模的基础内容，提高学生应用数学建模方法来解决各种实际问题的能力。 （四）课程与其它课程的联系 《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。因此要学习本课程，需先修初等数学，而本课程的多元微积分部分需运用空间平面、直线等有关知识，故需先修空间解析几何知识。而后继课程包括：常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、点集拓扑、概率论与数理统计、物理学及其他应用数学相关课程。
《数学分析(shù xué fēn xī)》教学大纲(jiào xué dà ɡānɡ) 2005年3月修订(xiūdìng) 一、课程基本(jīběn)信息 1、课程(kèchéng)中文名称：数学分析 2、课程类别：必修 3、适用专业：信息与计算科学本科（非师范类） 4、课程地位：基础课（主干课） 5、总学时：264学时 6、总学分：15学分 7、先修课程：①高中数学②空间解析几何③高等代数④普通物理 8、课程编码052111101 二、课程目标 1、本课程是高等院校数学系的信息与计算科学专业的一门重要基础课，它既为众多后续课程的教学提供必要的基础，又为解决实际问题提供最有力的方法。旨在使学生掌握本课程的最基本的内容和方法对达到本培养规格对业务方面的要求具有关键性的作用。它的任务是使学生获得极限论，一元函数微积分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。 2、要求学生对本课程的基本理论和基本方法有清晰的理解；并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论，拓扑学，泛函分析等后继课程的阶梯，为从事信息与计算科学工作打下必要的基础。 3、通过本课程的讲授与作业应使学生： （1）对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点；
（2）正确理解数学分析(shù xué fēn xī)的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。 4、本课程在第一(dìyī)、二、三学期开设，“大纲(dàgāng)内容”括号内所注学时数是指讲授时数。 5、实施(shíshī)本大纲时，请注意以下几点： （1）在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元(dānyuán)讲授顺序和时数安排，可作适当调整。 （2）为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后，又如定积分中“上和与下和”，“可积条件”的证明可移到积分法之后，亦可移入实变函数中进行，可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。 （3）本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。 （4）体现信息与计算科学性，重视应用性。 （5）强调素质教育，将素质教育贯穿于整个课程教学之中。 三、课程内容 第一章函数（6学时） [教学目的与要求] 要求学生深刻理解函数概念，掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理和初等函数的概念；进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数。 [教学内容] 1、实数、区间与邻域 2、有界集、确界与确界原理 3、函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。函数的四种运算：复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数 4、具有某些特殊类型的函数：有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数 [附注]
《数学分析》第四章函数的连续性 《数学分析》第四章主要讨论函数的连续性。连续性是一个基本概念，它是描述函数在其中一点附近的性质的重要工具。本章内容将从函数的连 续性定义开始，通过研究连续函数的运算性质，以及间断点的分类和性质，深入探讨函数的连续性的各种特点和性质。 首先，我们来回顾函数的定义。设有函数f(x)，如果对于任意给定 的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε，那么我们称函数f在点x0处连续。这个定义非常重要，它不仅是刻画函 数连续性的数学工具，也是我们研究函数性质的基础。 其次，我们探讨连续函数的运算性质。常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等一些基本函数都是连续函数。利用这 些基本函数的连续性，可以通过运算和复合等方法构造出更多的连续函数。比如，两个连续函数之和、差、积和商仍然是连续函数，连续函数的复合 函数也是连续函数。这些运算性质是我们运用函数的连续性进行问题求解 的重要工具。 然后，我们研究连续函数的间断点。函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。对于可去间断点，函数在该点的 极限存在且有限，可以通过改变函数在该点的定义来使函数在该点连续。 跳跃间断点指的是函数在该点的左右极限存在但不相等，这种间断可以看 作是函数的一个突变点。无穷间断点则是函数在该点的极限为正无穷大或 负无穷大，函数在该点附近发散。研究间断点有助于我们了解函数的局部 性质，并在问题求解中进行函数的优化和极限的计算。
最后，我们来讨论函数连续性的性质。将函数的定义和运算性质与间断点的分类和性质综合起来，我们可以得到一些重要的性质。首先是介值性定理，它指出连续函数在区间上将取到任意两个值之间的所有值。然后是最值定理，它指出连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，并且能够取到这些值。最后是连续函数的保号性质，它指出如果连续函数在其中一点取正（或负）值，那么在该点附近的函数值也将一直保持正（或负）值。这些性质对于函数的应用很重要，可以帮助我们确定函数的性态和问题的解集。 总之，函数的连续性是数学分析中的一个重要概念，通过研究函数的定义、运算性质、间断点和性质以及连续性的性质，我们可以更深入地了解函数的特点和行为。随着学习的深入，我们还会进一步讨论更高级的连续函数，如一致连续函数和点集上的连续函数等。掌握函数连续性的概念和方法，将为我们解决实际问题提供有力的工具和思路。
多元函数的连续性概念 多元函数的连续性是指在函数定义域内，对于任意一点x0，当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点对应的函数值的性质。简而言之，连续性描述了函数图像在整个定义域内的连贯性和完整性。 要理解多元函数的连续性概念，我们首先需要对一元函数连续性的概念进行回顾。一元函数的连续性是指当自变量趋近于某一点时，函数值也趋于这个点对应的函数值。用数学的语言描述就是： 对于一元函数f(x)，如果对于任意一个点x0，对于任意一个给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - f(x0) < ε，那么我们说函数f(x)在点x0处连续。 对于多元函数而言，我们不能再像一元函数那样仅仅通过一个自变量进行收敛的判断。多元函数涉及多个自变量，因此我们需要考虑自变量对函数的影响，即所有自变量的趋近性都要同时满足条件。 定义域内的每一个点都是多元函数的连续点，该函数就是在这个定义域内连续。可以总结多元函数连续性的基本思想为：多元函数在某一点连续，当且仅当函数在这一点的各个分量函数在这一点连续。 多元函数的连续性可以有以下几种形式：
1. 第一类连续性：函数在定义域内的每个点都连续。 对于函数f(x1, x2, ..., xn)，如果对于任意一个点(x1, x2, ..., xn)，对于任意一个给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当(x1, x2, ..., xn) - (x1', x2', ..., xn') < δ时，有f(x1, x2, ..., xn) - f(x1', x2', ..., xn') < ε，那么我们说函数f(x1, x2, ..., xn)在其定义域内连续。 2. 第二类连续性：函数在定义域内的每个点的某些分量函数连续。 对于函数f(x1, x2, ..., xn)，如果对于任意一个点(x1, x2, ..., xn)，对于任意一个给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当(x1, x2, ..., xn) - (x1', x2', ..., xn') < δ时，有f(xi, x2, ..., xn) - f(xi', x2', ..., xn') < ε，其中i为自变量的某个分量，那么我们说函数f(x1, x2, ..., xn)在其定义域内连续。 3. 连续逼近：函数可以通过逼近序列连续。 对于函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在一个序列{xk}，当k趋近于无穷大时，对于所有的点(x1, x2, ..., xn)，有lim(f(x1, x2, ..., xn, x1k, x2k, ..., xnk)) = f(x1, x2, ..., xn)，那么我们说函数f(x1, x2, ..., xn)在其定义域内连续。 多元函数的连续性概念对于数学和科学领域有着广泛的应用。在数学分析、物理
函数连续性 一、函数连续性的定义 函数连续性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点或某一范围内的极限行为。如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。更具体地说，对于函数f(x)，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。如果函数在定义域内的每一点都连续，则称函数为连续函数。 二、连续函数的性质 连续函数具有许多重要的性质，这些性质在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。 1.连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数。 2.连续函数的复合函数也是连续函数。 3.连续函数在闭区间上具有最大值和最小值。 4.如果函数在区间(a, b)的两端点处取值，则该函数在此区间内为常数。 5.连续函数的原函数存在且连续。 三、连续函数的判断 要判断一个函数是否连续，需要求出函数的极限，并将其与函数值进行比较。如果极限值等于函数值，则函数在该点连续；否则，函数在该点不连续。对于一些特殊形式的函数，可以根据其性质来判断其连续性。例如，多项式函数、三角函数等在其定义域内都是连续的。 四、连续函数的应用
连续函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，许多问题可以通过连续函数来描述其变化规律。在解决实际问题时，我们需要选择适当的数学模型来描述问题，而连续函数作为一种常见的数学工具，被广泛应用于各种模型的建立和求解中。此外，连续函数还在数值分析、微分方程、积分方程等领域中有广泛的应用。 五、不连续函数和分段函数的特性 不连续函数是指在其定义域内某些点上不满足连续性的函数。不连续点也称为间断点，其特点是函数的左右极限不相等或者不存在。分段函数则是指在其定义域内由若干个不相交的区间组成的函数。分段函数的每一段都可以是连续的或不连续的。不连续函数和分段函数具有一些特殊的性质，例如在间断点处的取值、跳跃度等。这些性质使得它们在某些特定的问题中有特殊的应用价值。 六、函数连续性与微积分的关系 微积分是研究函数的微分和积分的学科，而函数的连续性是微积分中的一个重要概念。在微积分中，许多重要的定理和性质都与函数的连续性有关。例如，闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；如果一个函数在一个区间内可导，则该函数在该区间内必定是连续的。此外，函数的可积性和可微性也都与函数的连续性有密切的关系。因此，深入理解函数的连续性对于学习微积分是至关重要的。 七、对未来研究方向的展望 随着数学和其他学科的发展，函数的连续性概念也在不断深入和完善。未来研究可能会从以下几个方面展开：一是深入研究不连续点和分段函数的性质
初等函数及其连续性,,初等函数及其连续性 在《数学分析》和《高等数学》里都会提到初等函数，初等函数是一个使用频率很高的概念，很多学者对它进行研究。但这些研究多数只关注初等函数的形式而没有涉及初等函数的实质，就是到底什么是初等函数没有说清楚。本文从基本初等函数出发，严格讨论函数相等与函数运算，给出初等函数的确切定义。初等函数的连续性也是研究比较多的一个内容，主要分歧是在初等函数在其定义域内还是其定义区间上连续。我们在给出初等函数确切定义后，再重新讨论初等函数的连续性。 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六类函数称作基本初等函数。它们在其定义域内都是连续的。这里我们强调：根据函数相等，函数定义域、对应法则都相同函数才相等，所以函数的一部分与原来函数不是同一函数，即基本初等函数的一部分不是基本初等函数。对于“什么是初等函数？”则有点复杂。为了把它说清楚，我们首先从函数的四则运算与复合运算的定义说起。函数的四则运算与复合运算可分为两种情况讨论，即，严格的和广义的。为了叙述方便，记函数y=f（x）的定义域为Df，值域为Rf。 2 严格的四则运算与严格的复合运算 一般《数学分析》里定义的函数的四则运算和复合运算，我们这里把它称为严格的四则运算与严格的复合运算。 定义2。1（严格的函数的四则运算）设函数y=f（x）与y=g（x）的定义域相同，则y=f（x）与y=g（x）的和、差、积、商分别为f（x）+g（x）、f（x）-g（x）、f（x）·g（x）、f（x）g（x）（g（x）≠0）。 定义2。2（严格的函数的复合运算）设y=f（x）的定义域包含函数y=g（x）的值域，则称 y=f[g（x）] 为f与g的复合函数，记作f°g。对于复合函数y=f[g（x）]也可
数学分析课本（华师大三版）习题及答案第四章数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第四章 第四章函数的连续性 一、填空题 1x0xsinx1．设f(x)??kx?0，若函数f(x)在定义域内连续，则 xsin11x0xk； 2．函数f(x)??x?0?x?1的间断点是； x?0?sinx3．函数f(x)?x的已连续区间就是；4．函数f(x)?1的已连续区间就是； x2?2x?3x2?95．函数f(x)?的间断点是； x(x?3)6．函数f(x)?x?2的间断点就是； (x?1)(x?4)1的连续区间是； (x?1)(x?2)7．函数f(x)??ex?e?x?x?0在x?0点已连续，则k?； 8．设f(x)??x?x?0?k?1?x?0?x?1?0?x?1的间断点是；9．函数 f(x)x?1??x?31?x?3?10．函数f(x)??x?0?ax?ba?b?0.则f(x)处处连续的充要条件是 2x?0?(a?b)x?xb?； 12?x11．函数f(x)??ex?0，则limf(x)?，若f(x)无间断点，则a?； x?0?x?0?a?1?x2?x??1，当 12．如果f(x)??1?xa?时，函数f(x)已连续 x1a二、选择填空 1．设f(x)和?(x)在,内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)?0，?(x)存有间断点，则() a.??f(x)?必有间断点。 b.??(x)?2必有间断点 c.f??(x)?必存有间断点 d. (x)f(x)必有间断点2．设函数f(x)?xa?ebx，在,??内连续，且xlimf(x)?0，则常数a,b满足(a.a?0,b?0b.a?0,b?0c.a?0,b?0d.a?0,b?0 13．设f(x)?1?ex1，当x?0;f(x)??1,当x?0，则
数学分析第四章函数的连续性总结 第四章《函数的连续性》是数学分析课程中的重要章节，主要介绍了函数的连续性概念、连续函数的性质和连续函数运算的有关定理。在学习这一章节时，我们掌握了连续性的定义和性质，以及学会了判断函数的连续性和运用连续函数的性质进行数学推导和问题求解。下面是对这一章节的总结。 1.连续性的定义： 连续性是函数分析的基本概念之一、对于实数集上的函数f(x)，当x 趋于其中一点c时，如果f(x)也趋于其中一点f(c)，则称函数f(x)在点c处连续。常用的连续性定义有： -ε-δ定义：对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当，x-c，<δ时，有，f(x)-f(c)，<ε； -极限定义：f(x)在c点连续的充要条件是当x→c时，有 f(x)→f(c)。 2.连续函数的性质： (1)连续函数在其定义域上具有以下性质： -连续函数的和、差、积仍然是连续函数； -连续函数的复合仍然是连续函数； -有界闭区间上的连续函数取得最大值和最小值。 (2)零点定理和介值定理：
-零点定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)分别为正 数和负数，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0； -介值定理：如果函数在区间[a,b]上连续，并且k介于f(a)和f(b) 之间，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=k。 (3)连续函数的保号性和单调性： -保号性：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)不等于0， 则在开区间(a,b)内，函数f(x)的符号不变； -单调性：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上严格单调增加 或减少，那么函数的值域也是一个区间。 3.连续函数运算的有关定理： (1)介值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则它在该区间上取 得介于f(a)和f(b)之间的任意值。 (2)零点定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则它在该区间内至少有一个零点。 (3)有界性定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上 有界，即存在M>0，使得，f(x)，≤M，∀x∈[a,b]。 (4)最值定理：若函数f(x)在有界闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该 区间上必有最大值和最小值。 4.连续函数的运算与构造： (1)连续函数的和、差、积仍然是连续函数，连续函数的复合仍然是 连续函数；
数学分析函数的连续性 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（数学分析函数的连续性）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为数学分析函数的连续性的全部内容。
第四章 函数的连续性 第一节 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）x x f 1)(=; （2）x x f =)(。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1+； (2）=)(x f x x sin ； (3)=)(x f ]cos [x ; （4）=)(x f x sgn ； (5）=)(x f )sgn(cos x ; (6)=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7 ,71 3．延拓下列函数，使在 ),(+∞-∞上连续： (1)=)(x f 283--x x ； （2)=)(x f 2 cos 3x x -； （3）=)(x f x x 1cos 。 4．若f 在0x 点连续，则f ，2f 是否也在0x 连续？又若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否连续？ 5．设当0≠x 时，)()(x g x f ≡，而)0()0(g f ≠，试证f 与g 这两个函数中至多有一个在0=x 连续。 6．证明：设f 为区间I 上的单调函数，且I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点. 7．设函数f 只有可去间断点，定义)(lim )(y f x g x y →=，证明g 为连续函数。 8．设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g ,证明函数g 在R 上每点都连续。 9．举出定义在]1,0[上符合下列要求的函数： (1)在31,21和4 1三点连续的函数；
函数的连续性与一致连续性 舒雄伟 数学与信息科学学院数学与应用数学专业07128011 指导教师：汪天飞副教授 【摘要】连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，一致连续函数又是从连续函数的概念派生出来的。在学习数学分析时,总容易把函数连续性与一致连续性混淆，仅能浅层次理解其概念不能深入学习。因此，本文为了解决类似问题，并受一致连续性定理和数学分析教材几个习题的启发，对此加以推导证明，解释了学习时经常出现的几个重要问题，归纳总结出连续函数与一致连续函数的几种判定方法，使得对连续函数与一致连续函数的内涵有了更全面的理解。 【关键词】连续一致连续判定方法 0．引言 连续函数对揭示自然界连续变化的现象有很重要的作用，如气温连续上升或下 降，压力的连续减少，距离的连续增加等等，它们数学抽象都是连续函数。学习连 续函数，可以通过局部估计函数值，对有界性，取极值，介值等的学习都有很大帮 助。从连续性派生的一致连续性，更是函数性质从其局部到其整体上的拓展，使研 究的函数性质更深入全面。 1．研究的背景和意义 在学习数学分析时，总是很难理解概念和公式的意义，常常只要求自己记住会 用就行。学习函数的连续性和一致连续性时也有同样的情况，不理解为什么会用极 限刻画连续性，函数的极限与连续性有何关系，以及函数的一致连续性是如何由连 续性派生，一致连续性定理在其它区间是否适用等问题，都成为我们学习连续函数 和一致连续函数的障碍，本文解决了学习中几个常见重要问题，对函数连续性的掌 握更深入全面，把函数连续性和一致连续性的关系作了深刻剖析，给出了连续性和 一致连续性的几个判定方法，有助于本章相关内容的掌握。 ２．函数连续性与一致连续性的概念
课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握连续函数的概念。 （2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。 （3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间. （4）理解闭区间上连续函数的性质。 思政育人目标： 通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力 教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间 教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程主要教学内容及步骤设计意图 第一节课 考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤 ⏹【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组 织纪律性，掌握学 生的出勤情况 知识讲解（35 min） ⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用 案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线() y f x =， 如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线() y g x =，如图 1-28所示． 学习连续函数 的概念、函数间断 点的分类。边做边 讲，及时巩固练 习，实现教学做一 体化
2 图1-27 图1-28 分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性． 定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果 000 lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=， 则称函数()f x 在点0x 处连续． 若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量 0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →． 因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若 0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续． 由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0 lim ()x x f x →存在； （3）极限值0 lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即