数学分析1教案泰勒公式
§3.泰勒公式
[教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。
[教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；
（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余
项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。
[教学重点]Taylor 公式
[教学难点]Taylor 定理的证明及应用。
[教学方法]系统讲授法。
[教学程序]
引言
不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？
上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点0x可导，则有有限存在公式；
0000((((0。
fxfxfxxxxx'=+-+-即在0x附近，用一次多项式
1000((((pxfxfxxx'=+-逼近函数f(x)时，其误差为00(xx-。
然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或
高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00(xx-，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式：
0100(((n
nnpxaaxxaxx=+-++-易见：
00(napx=，01(1!npxa'=，02(2!npxa''=，…，(0(!
nnnpxan=（多项式的系数由其各阶导数在0x的取值唯一确定）。
对于一般的函数，设它在0x点存在直到n阶导数，由这些导数构造
一个n次多项式如下：
(00000((((((1!!
nn
nfxfxTxfxxxxxn'=+-++-称为函数f在点0x处泰勒多项式，(nTx的
各项函数，(0(!
kfxk（k＝1,2,…,n）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0((0(()n
nfxTxxx-=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式
定理1若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有0((0(()n
nfxTxxx=+-，即(000000((((((0(()1!!
nnnfxfxfxfxxxxxxxn'=+-++-+-
即函数f 在点0x 处的泰勒公式；(((n n R x f x T x =-称为泰勒
公式的余项。形如00(()n x x -的余项称为皮亚诺（peano ）型余项。
注1、若f(x)在点0x附近函数满足0((0(()nnfxPxxx=+-，其中
0100(((nnnpxaaxxaxx=+-++-，这并不意味着(npx必定是f的泰勒多项式(nTx。但(npx并非f(x)的泰勒多项式(nTx。（因为除(0)0f'=外，f在x
＝0出不再存在其它等于一阶的导数。）；2、满足条件0((0(()n。
n f x P x x x =+-的n 次逼近多项式(n p x 是唯一的。由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求0((0(()n n f x P x x x =+-的多
项式(n p x 一定是f 在0x 点的泰勒多项式(n T x ；3、泰勒公式0x
＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式：((0)(0)((0)0(1!!
n n n f f f x f x x x n '=++++ 引申：定理1给出了用泰勒多项
式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们
当0x x →时，误差是较0(n x x -高阶的无穷小量，这是一种“定性”
的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到
底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来。为此，我们有有
必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。
2、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式
定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的0,[,]xxab∈，至少存在一
点(,)abξ∈使得：
((1)1
000000((((((((1!!(1)!
nnnnfxfxffxfxxxxxxxnnξ++'=+-++-+-+注：（1）、当n＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当00x=时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式。
((1)1(0)(0)(((0)1!!(1)!
nnnnfffxfxfxxxnnθ++'=+++++(0,1)
θ∈3、常见的Maclaurin 公式
(1)带Penno 余项的Maclaurin 公式210(2!!n
x
n x x e x x n =+++++ 352112sin (1)0(3!5!(21)!
m m m x x x x x x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)0(2!4!(2)!
mmmxxxxxm+=-+++-+
231ln(1)(1)0(23n n n x x x x x x n
-+=-+++-+2(1)
(1)(1)
(1)10。
2!!nnxxxxnααααααα---++=+++++2110(1nnxxxxx
=+++++- （2）带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式
21
12!!(1)!nx
xnxxeexxnnθ+=++++++xR∈，(0,1)
θ∈3521121cos sin (1)(1)3!5!(21)!(21)!
m m m m x x x x x x x m m θ--+=-+++-+--+ x R ∈，
(0,1)θ∈242122cos cos 1(1)(1)2!4!(2)!(22)!m m m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+ x R ∈，(0,1)。
θ∈23111ln(1)(1)(1)23(1)(1)
nnnnnxxxxxxnnxθ+-++=-+++-+-++1x>-，(0,1)θ∈2(1)
(1)(1)
(1)12!!nnxxxxnααααααα---++=++++11
(1)。
(1)!nnnxxnααααθ--+--++1x>-，(0,1)
θ∈122
111(1)n n n x x x x x x θ++=+++++-- 1x <，(0,1)θ∈4、常见的Maclaurin 公式的初步应用
（1）利用上述Maclaurin 公式，可求得其它一些函数的Maclaurin 公式或Taylor 公式。
例1写出2
2(x f x e -=的Maclaurin 公式，并求(98)(0)f 与(99)(0)f 例2
求ln x 在x ＝2处的Taylor 公式
（2）求某种类型的极限
例122
40cos lim x x x e
x→-（3）在近似计算上的应用
例1（1）计算e的值，使其误差不超过610-；（2）证明e为无理数。
例2：用Taylor 多项式逼近正弦函数sinx ，要求误差不超过310-，试求m ＝1和m ＝2两种情形分别讨论x 的取值范围。
泰勒公式的应用及技巧 泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。泰勒公式以其精确的近似能力和简洁的形式，成为解决实际问题中的近似计算问题的理想选择。本文将详细介绍泰勒公式的应用及技巧，帮助读者更好地理解和应用这一重要工具。 泰勒公式的应用 泰勒公式的基本形式是： f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+… +f(n)(a)(x-a)^n/n!+…其中f(a)表示函数f在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数f在点a处的导数、二阶导数、三阶导数等。 泰勒公式在近似计算中具有广泛的应用。例如，对于一些复杂的函数，我们可能无法得到其精确的值，但可以通过泰勒公式对其进行近似计算。将函数展开成泰勒级数，取前几项进行计算，可以获得相当精确的结果。 例如，我们要求解sin(x)在x=π/4处的近似值。将sin(x)展开成泰勒级数：sin(x)=1+(x-π/4)+(x-π/4)^3/(3!)+…+(x-π
/4)^n/(n!)+…在x=π/4处，带入各项进行计算，取前两项得到： sin(π/4)=1+(π/4-π/4)+(π/4-π/4)^3/(3!)+…=1，与精确值1 相差无几。 泰勒公式的推广形式 泰勒公式不仅可以在点a处展开，还可以在区间[a,b]上展开。泰勒 公式在区间上的推广形式为： f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+… +f(n)(a)(x-a)^n/n!+…其中f(a)、f'(a)、f''(a)等表示函数f在 区间[a,b]上的导数、二阶导数、三阶导数等。 这种推广形式下的泰勒公式可以应用于更广泛的近似计算问题。例如，在求解积分、微分方程等问题中，可以通过泰勒公式将复杂的函数展开成简单项的组合，从而方便计算。 泰勒公式的应用技巧 使用泰勒公式进行近似计算时，需要注意以下几点技巧： 1、选择适当的公式：根据具体问题选择合适的泰勒公式展开形式。 如果对于函数在某点处的近似计算，可以选择基本形式；对于区间上的近似计算，则可以选择推广形式。
泰勒公式 泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。 由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。 泰勒公式 教学方法 泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。 例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证： 等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。我们回顾一下它的证明。通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我
们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。 这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。这个结论叙述出来就是：如果函数f（x）在x=x0处存在三阶导数，则 只是这个三次多项式的三次项的分母是3！此外，上述公式是预期的。并且我们立刻对我们猜测的结论做了严格的证明。 证明：为了方便起见，我们把等式右端三次的多项式记为p3（x），即 对于结论的正确性我们只需要验证 而通过简单的计算可知， 所以，用两次洛必达法则，我们得到 到了这里就不能再用洛必达法则求极限了，因为，我们只知道函数f（x）在x=x0处存在三阶导数，即函数f（x）在x0的邻域内二阶导函数连续，在xo的邻域内是否存在三阶导数不知道，所以不再满足洛必达法则的条件，但是对于上式极限，我们只需要对二阶导函数应用导数的定义就能得到： 这就证明了我们猜想的结论正确。 现在，我们再总结一下得到的结论：如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于
泰勒公式及其应用 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。 关键词：泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 泰勒级数 一、泰勒公式及其余项 1：泰勒公式 对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个n 次多 项式， n n x x n x f x x x f x x x f x f x Tn )0(! )0()0(!2)0('')0(!1)0(')0()0()(2 -++-+-+= 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式,)(x Tn 的各项系数 ),,2,1(! ) 0() (n k k x f k =称为泰勒系数。 2：泰勒余项 定理1：若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有))0(()()(n x x n T x f -+= ；即 ) )0(()0(! )0()0(!2)0('')0)(0(')0()()(2 n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+= 其中 )()()(x Tn x f x Rn -=称为泰勒公式的余项。 形如))0((n x x - 的余项称为佩亚诺型余项。 特殊的当0=x 时;)(! )0(!2)0('')0(')0()()(2n n n x x n f x f x f f x f +++++= 称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。 定理2：（泰勒定理） 若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在 )1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[0,b a x x ∈，至少存在一点∈ξ(a,b)使得
数学分析1教案泰勒公式 §3.泰勒公式 [教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。 [教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异； （2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余 项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。 [教学重点]Taylor 公式 [教学难点]Taylor 定理的证明及应用。 [教学方法]系统讲授法。 [教学程序] 引言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点0x可导，则有有限存在公式；
0000((((0。 fxfxfxxxxx'=+-+-即在0x附近，用一次多项式 1000((((pxfxfxxx'=+-逼近函数f(x)时，其误差为00(xx-。 然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或 高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00(xx-，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式： 0100(((n nnpxaaxxaxx=+-++-易见： 00(napx=，01(1!npxa'=，02(2!npxa''=，…，(0(! nnnpxan=（多项式的系数由其各阶导数在0x的取值唯一确定）。 对于一般的函数，设它在0x点存在直到n阶导数，由这些导数构造 一个n次多项式如下： (00000((((((1!! nn nfxfxTxfxxxxxn'=+-++-称为函数f在点0x处泰勒多项式，(nTx的 各项函数，(0(! kfxk（k＝1,2,…,n）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0((0(()n nfxTxxx-=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有0((0(()n
泰勒公式及其应用 本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。 2.泰勒公式 泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与
函数的导数有关。这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。 2.3带有积分型余项的泰勒公式 带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用 泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。 3.2利用泰勒公式判断敛散性 泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。 3.3利用泰勒公式证明中值问题
多元函数泰勒公式的应用 多元函数的泰勒公式是数学中很重要的工具，它可以用来近似地表示多元函数在其中一点附近的取值。它在数学分析、物理学、经济学等许多领域都有广泛的应用。 泰勒公式是以英国数学家布鲁马·泰勒的名字命名的。它是一个关于函数在其中一点附近的Taylor级数展开式的表达式。假设函数f(x, y) 在点(x0, y0)处具有各阶连续偏导数，则在该点附近可以将f(x, y)展开为以下形式： f(x, y) = f(x0, y0) + (x - x0)∂f/∂x + (y - y0)∂f/∂y + 1/2![(x - x0)∂/∂x + (y - y0)∂/∂y]^2f(x, y) + ⋯ + 1/n![(x - x0)∂/∂x + (y - y0)∂/∂y]^nf(x, y) + ⋯ 其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别是f(x,y)对x和y的偏导数，[⋅]^2表示算子的平方，[⋅]^n表示算子的n次方。该级数展开式的前n个项表示了原函数在点(x0,y0)附近的一个近似值。 泰勒公式的应用非常广泛，以下是其中的一些例子。 1.函数近似：泰勒公式可以将函数在其中一点附近展开为无穷级数形式，通过截取有限项可以得到函数的近似表达式。这在数值计算中非常有用，例如计算根号下的数、计算三角函数的值等。 2.极值和拐点的判定：通过泰勒公式展开函数，并对其求导，可以判断函数在其中一点的局部极值和拐点。当一阶导数为零时，可以判断函数是否有极值；当二阶导数为零时，可以判断函数是否有拐点。
3.近似计算：通过泰勒公式展开函数，并截取有限项，可以近似地计算函数的值。特别是对于复杂的非线性函数，可以通过低阶泰勒公式来进行近似计算，从而简化计算过程。 4.函数图像的绘制：通过泰勒公式展开函数，可以得到函数在其中一点附近的线性近似，从而可以通过绘制直线的方式来近似绘制函数图像。这在数字图像处理中经常使用。 5.误差估计：通过泰勒公式展开函数，并计算截取的有限项的误差，可以估计函数的近似误差。这对于数值计算和实际问题的分析非常重要，可以判断近似计算的精度。 泰勒公式的应用非常广泛，几乎涵盖了数学的各个领域。它不仅可以用于近似计算和分析函数性质，还可以用于解决物理学中的微分方程、经济学中的边际分析等实际问题。因此，熟练掌握泰勒公式的使用方法对于提高数学和应用领域的解决问题的能力非常重要。
第六章微分中值定理及其应用 2 泰勒公式(讲义) 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 若f在x0可导，则有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0). 即在点x0附近，用f(x0)+f’(x0)(x-x0)逼近函数f(x)时，其误差为(x-x0)的高阶无穷小量. 若要求误差为o((x-x0)n)，可参考n次多项式： P n(x)=a0+a1 (x-x0)+a2(x-x0)2+…+a n(x-x0)n. 则 P n(x0)=a0；P n’(x0)=a1；P n”(x0)=2!a2；…；P n(n)(x0)=n!a n. 即 a0=P n(x0)；a1=P n ′(x 0) 1! ；a2=P n ′′(x 0) 2! ；…；a n=P n (n)(x 0) n! . 若f在点x0存在直到n阶的导数，则由这些导数构造的n次多项式： T n(x)=f(x0)+f′(x0) 1!(x-x0)+f′′(x0) 2! (x-x0)2+…+f(n)(x0) n! (x-x0)n， 称为函数f在点x0处的泰勒多项式，T n(x)的各项系数f(k)(x0) k! (k=1,2,…,n)称为泰勒系数。 f(x)与其泰勒多项式T n(x)在点x0有相同的函数值和直至n阶导数值，即f(k)(x0)=T n(k)(x0), k=0,1,2,…,n. 定理6.8：若f在x0存在直到n阶的导数，则有f(x)=T n(x)+o((x-x0)n)， 即f(x)=f(x0)+f′(x0) 1!(x-x0)+f′′(x0) 2! (x-x0)2+…+f(n)(x0) n! (x-x0)n+o((x-x0)n). 证：记R n(x)=f(x)-T n(x)，Q n(x)=(x-x0)n，则
考研泰勒公式大全 泰勒公式也被称为泰勒展开式，是数学分析中的重要概念，可以用来 近似表示函数的数值解。它在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的 应用。下面我将为你介绍一些常见的泰勒公式及其应用。 1.一阶泰勒公式： 泰勒公式的一阶展开式为： f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a) 这个公式可以用来近似计算函数在一些点附近的取值。其中，f(x)是 函数在点x处的取值，f(a)是函数在点a处的取值，f'(a)是函数在点a 处的导数。 2.二阶泰勒公式： 泰勒公式的二阶展开式为： f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2 这个公式在一阶泰勒公式的基础上增加了二阶导数的项，使得近似更 加精确。 3.高阶泰勒公式： 泰勒公式的高阶展开式可以通过递归的方式得到。对于n阶泰勒公式，展开式为： f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x- a)^2+...+(1/n!)f^n(a)(x-a)^n
这里f^n(a)表示函数f的n阶导数在点a处的值。高阶泰勒公式的 近似精度随着阶数的增加而提高。 4.应用： 泰勒公式的应用非常广泛。在数学领域，它可以用来研究函数的性质 和行为，例如在微积分中的一些证明中常常会用到。在物理学中，泰勒公 式可以用来近似描述物理过程和现象，例如在力学中，可以通过泰勒公式 近似计算物体的运动轨迹。 另外，泰勒公式还可以用来计算函数的近似值。当我们遇到难以直接 计算的函数时，可以通过泰勒公式在一些点处进行展开，然后利用展开式 中的有限个项来近似计算函数的值，从而简化计算过程。 除了近似计算函数的值之外，泰勒公式还可以用来求解函数的零点、 最大值、最小值等问题。通过对泰勒展开式进行求导和求解方程，可以得 到函数在一些条件下的极值点或者零点。 总的来说，泰勒公式是数学分析中非常重要的工具，它可以帮助我们 更好地理解函数的行为、近似计算函数的值，以及求解一些复杂的数学和 物理问题。在考研中，泰勒公式也是一个重要的知识点，需要掌握和运用。
高中常用的泰勒展开式 一、泰勒展开式的概念及基本思想 泰勒展开式是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法，它是数学分析中的重要工具之一。泰勒展开式的基本思想是：将一个函数在某个点附近进行多项式展开，以此来逼近该函数。 二、泰勒公式及其推导 1. 一阶泰勒公式 设函数f(x)在x0处可导，则有： f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)（当x趋向于x0时） 其中o(x-x0)表示当x趋向于x0时，o(x-x0)/（x-x0）趋向于零。2. n阶泰勒公式 设函数f(x)在点x=x0处n次可导，则有： $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$ 其中$f^{(k)}(x_0)$表示f(x)在$x=x_0$处的k阶导数。 三、常用的泰勒展开式 1. 指数函数e^x的泰勒展开式： $e^x=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}$ 2. 正弦函数sin x的泰勒展开式：
$sinx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ 3. 余弦函数cos x的泰勒展开式： $cosx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$ 4. 自然对数函数ln(1+x)的泰勒展开式： $ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$ 5. 反正切函数arctan x的泰勒展开式： $arctanx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$ 四、应用举例 以e^x为例，设要求e^0.5的近似值，可以使用其二阶泰勒公式：$e^x=e^0+\frac{e^0}{1!}(x-0)+\frac{e^0}{2!}(x-0)^2+o(x^2)$ 代入$x=0.5$，得到近似值： $e^{0.5}\approx 1+\frac{0.5}{1!}+\frac{0.25}{2!}= 1.625$ 五、总结 泰勒展开式是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法，常用于数学分析中。常用的泰勒展开式包括指数函数e^x、正弦函数sin x、余弦函数cos x、自然对数函数ln(1+x)和反正切函数arctan x等。在实际应用中，可以根据需要选择适当的阶数进行近似计算。
微数学用泰勒公式来增长你的数学知识吧！ 同学们是否已经学习了泰勒公式呢？接下来就跟着小编一起再来看看吧！ 泰 勒 公 式 有关简介 泰勒（Brook Taylor），18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家。 以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。 泰勒公式 看到这么复杂的一大堆公式推导，你是否也跟小编一样头疼呢？那么接下来就跟小编一起看看泰勒公式的几个记忆口诀吧！ 记忆口诀 1、sinx=x-1/6x^3 o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。 2、arcsinx=x 1/6x^3 o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。 3、tanx=x 1/3x^3 o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。 4、arctanx=x-1/3x^3 o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。 5、ln(1 x)=x-1/2x^2 o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1 x)展开公式，
在求极限的时候可以把ln(1 x)用泰勒公式展开代替。 6、cosx=1-1/2x^2 o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。 看了这些口诀，是否让你燃起了对数学分析学习的火花呢？希望能这次的推送能真正帮助到各位同学们哦。 本期编辑：王亚歌 责任编辑：王家雯
高考数学泰勒公式 泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。在高考数学中，泰勒公式被广泛地应用于函数的近似计算和函数的性质研究等方面。 我们来了解一下泰勒公式的基本形式。对于任意光滑函数f(x)，如果它在某一点x=a处具有n阶导数，那么在该点的附近，函数f(x)可以用一个n次多项式来逼近。具体来说，泰勒公式可以表示为： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) 其中，f(a)表示函数f(x)在点x=a处的函数值，f'(a)表示f(x)在点x=a处的一阶导数值，以此类推，f^n(a)表示f(x)在点x=a处的n 阶导数值。而Rn(x)表示余项，它是一个与(x-a)^n有关的函数，用于衡量n次多项式逼近的误差。 泰勒公式的这种逼近性质使得我们可以用简单的多项式来近似复杂的函数。这在高考数学中非常有用。例如，在计算机中常用的sin(x)、cos(x)、e^x等函数，实际上都可以通过泰勒公式展开来进行计算。当我们需要计算这些函数的具体值时，可以根据泰勒公式展开式中的有限项来进行近似计算，从而得到一个较为准确的结果。 除了近似计算外，泰勒公式还可以用于研究函数的性质。例如，通
过泰勒公式展开，我们可以推导出函数的极值点、拐点等重要性质。这对于解决一些函数相关的最优化问题非常有帮助。同时，泰勒公式还可以用于证明一些数学定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。 在高考数学中，泰勒公式经常被用于构造近似解、证明数学定理以及解决实际问题。因此，掌握泰勒公式的基本概念和应用方法对于高考数学的学习非常重要。在考试中，如果遇到需要进行函数逼近或者研究函数性质的问题，我们可以灵活运用泰勒公式，通过逼近多项式的计算来得到答案。 泰勒公式是高考数学中一个重要的概念，它具有逼近函数和研究函数性质的作用。通过掌握泰勒公式的基本形式和应用方法，我们可以更好地解决数学问题，提高数学分析和应用能力。希望同学们在备考高考数学时，能够充分理解并熟练运用泰勒公式，取得优异的成绩。
泰勒公式的应用 榆林学院本科毕业论文 摘要 泰勒公式是微积分中一个重点和难点内容，它能将某些复杂函数近似地表示成简单的 多项式函数，体现了微积分“逼近法”的思想精髓，成为解决数学问题的有力工具.基于此，本论文探讨了泰勒公式在诸多数学问题中的应用.为此，首先阐述了泰勒公式的基本 思想理论；其次，重点总结介绍了泰勒公式在求解极限、证明不等式与等式、计算行列式，研究函数性态和近似计算与误差估计等方面的应用；同时,每种应用下都给予了相应的典 型例题加以具体说明.通过本文的探讨介绍，充分显示出泰勒公式在解题中所发挥出的重 要作用. 关键词：泰勒公式，高阶导数，行列式，误差估计 I 榆林学院本科毕业论文 ABSTRACT Taylor formula is an important and difficult content in the Calculus, it can take some complex functions approximately expressed as the simple polynomial functions, and it reflects the essence of \the calculus, so it is a powerful tool to solve many mathematical problems. Based on this, this paper discussed the application of Taylor formula in solving many mathematical problems. For this reason, firstly , described the basic idea and theory of Taylor formula; Secondly, summaried and described the application of Taylor formula in solving problems like limit calculation, proving the inequalities and the equations, studying the state of function, approximate calculation and error estimation and so on; At the same time, the corresponding typical examples are given under each application for the specific descriptions. Through the introduction of this paper, demonstrated fully the significant role of Taylor formula in solving a lot of mathematical problems.
皮亚罗余项和拉格朗日余项的泰勒公式 概述 在数学分析中，泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法。它将一个光滑函数在某点附近展开成无穷级数。泰勒公式可以用来近似计算函数的值，以及研究函数在某点附近的性质。 本文将介绍泰勒公式的两个重要概念：皮亚罗余项和拉格朗日余项。我们将详细解释这两个概念，并给出相关的公式和例子。 皮亚罗余项 皮亚罗余项是泰勒公式中展开式与原函数之间的差值。它表示了用截断的泰勒级数逼近原函数时的误差大小。设函数$f(x)$在$x_0$附近具有$n+1$阶导数，则根据泰勒公式，我们有： $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\fra c{f''(x_0)}{2!}(x- x_0)^2+\cd ot s+\fr a c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$$ 其中，$R_n(x)$表示皮亚罗余项，其具体表达式为： $$R_n(x)=\fr ac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$ 其中，$\x i$的取值介于$x$和$x_0$之间。 皮亚罗余项告诉我们在使用$n$次泰勒展开式来逼近函数时，截断的误差大小与剩余项$R_n(x)$有关。 拉格朗日余项 拉格朗日余项是泰勒公式中展开式与原函数之间的差值的一种特殊情况。它是皮亚罗余项的一种特殊形式，具有更具体的表达式。设函数 $f(x)$在$x_0$附近具有$n+1$阶导数，则根据泰勒公式，我们有： $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\fra c{f''(x_0)}{2!}(x- x_0)^2+\cd ot s+\fr a c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$$ 其中，$R_n(x)$表示拉格朗日余项，其具体表达式为：
数学分析泰勒公式 泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点 附近的局部行为。泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数 展开、拉格朗日余项等等。本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。 泰勒公式的一般形式如下： 设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一 点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ， 使得 f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x- c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x) 其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c 处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。 R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。其具体形式为： R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) 其中ξ位于x和c之间。 泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。 当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好 地由前面几项和来近似表示。特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个 无穷级数展开，称为泰勒级数展开。 泰勒级数展开形式如下：
f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x- c)ⁿ/n!+... 通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并 记作： f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n! 泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点 的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。例如，对于常见 的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行 计算和近似。 泰勒公式在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分、微分方程、 概率论等领域。泰勒公式的应用使我们能够更好地理解和研究函数的性质，并在实际问题中进行计算和近似。 总结起来，泰勒公式是数学分析中的重要定理，它描述了一个函数在 特定点附近的局部行为，给出了一个函数的泰勒级数展开形式，并可以通 过余项来估计近似误差。泰勒公式的应用非常广泛，为我们解决实际问题 提供了有力的工具。
泰勒公式在近似计算和误差估计的应用(一) 泰勒公式在近似计算和误差估计 1. 什么是泰勒公式 泰勒公式是数学分析中的重要定理，它可以将一个函数在某一点 的邻域内用无穷多个多项式逐阶逼近。泰勒公式的应用范围非常广泛，特别在近似计算和误差估计中发挥着重要的作用。 2. 泰勒公式的形式 泰勒公式可以写成以下的形式： f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a) 2! (x−a)2+ f‴(a) 3! (x−a)3+⋯ 其中，f(x)是要逼近的函数，a是逼近点，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。 3. 应用示例1：三角函数的近似计算 对于一些复杂的三角函数，如正弦函数和余弦函数，在某些特殊点处的取值往往难以计算。但利用泰勒公式进行逼近计算，可以大大简化计算过程。 例如，我们要计算sin(x)在x=0附近的值，根据泰勒公式展开到二阶，可以得到近似计算公式：
sin(x)≈x−1 6 x3 这样，我们就能够用简单的多项式来代替复杂的三角函数进行计算，大大提高了计算效率。 4. 应用示例2：误差估计 泰勒公式不仅可以进行近似计算，还可以用于估计逼近结果的误差范围。 以求解函数值为例，假设我们要用泰勒公式近似计算函数f(x)在a 附近的值f(x0)，根据泰勒公式的n阶展开，我们可以得到逼近值 f approx(x0)以及误差项R n(x0)： f(x0)=f approx(x0)+R n(x0) 其中，R n(x0)表示剩余项，是由于我们将泰勒公式截断到n阶导致的误差。 通过对剩余项进行分析，我们可以估计逼近值与真实值之间的误差范围，这对于科学计算和工程设计十分重要。 5. 总结 泰勒公式在近似计算和误差估计中发挥着重要的作用。它能够将函数在某一点的邻域内用多项式逐阶逼近，简化复杂计算，并能够通过对剩余项的分析估计逼近结果的误差范围。在实际应用中，我们可以利用泰勒公式进行三角函数的近似计算，以及对逼近结果的误差进行估计，从而提高计算效率和结果的准确性。
第15讲 泰勒公式 讲授内容 一 、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n x x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式 .)()()()(02 02010n n n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1) 逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，10)(a x p n ='，20!2)(a x p n =''，n n n a n x p !)(,0) (= ， 即 .! ) (,!2)(,!1)(),(0) (020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n =''='= = 由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．
对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式 n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(! )()(!2)()(!1)()()(00)(2 00000-++-''+-'+= （2） 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数 =k k x f k (! ) (0)(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0) (0) (n k x T x f k n k == （3） 下面将要证明))(()()(0n n x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于 n x x )(0-的高阶无穷小量． 定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+ =)()(x T x f n 即),)((0n x x -ο ).)(()(! )()(!2)())(()()(000)(2 00000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4） 证：设 n R (,)()(),()()0n n n x x x Q x T x f x -=-=现在只要证 .0)() (lim 0=→x Q x R n n x x 由关系式(3)可知， 0)()()(0)(0'0===x R x R x R n n n n ，并易知!.)(,0)()()(0) (0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- 因为)(0) (x f n 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当)(0x U x ∈且 0x x →时，允许接连使用洛必达法则n —1次，得到 . 0)]() ()([lim !1 )(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(0 0) 1() 1(000)(0)1()1()1() 1(''0 000=---= -----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n n n n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如 ))((0n x x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式． 注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0n n x x x p x f -+=ο （5） 注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的． 以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：
2015年度本科生毕业论文（设计） 泰勒公式在数值分析中的应用 教学系：数学学院 专业：数学与应用数学 年级：11级数本（3）班 姓名：袁国彦 学号：20110701013056 导师及职称：程高讲师 2015年 05 月
毕业论文（设计）原创性声明 本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： 毕业论文（设计）授权使用说明 本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名：指导教师签名： 日期：日期：
袁国彦毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单
摘要 泰勒公式是微积分中一个重要的公式，它将一些复杂的函数近似的表示为多项式函数，为一些复杂函数的求解带来方便。不仅在数学分析中有着重要的地位，在数值分析中也有着广泛的应用，本文简要介绍了泰勒公式在数值分析中的应用，并讨论泰勒公式在泰勒插值，欧拉方法和牛顿迭代法中的具体应用，在泰勒插值和数值积分中，用泰勒公式展开的多项式去逼近原函数，得出近似解，并分析误差。欧拉方法是通过迭代的方法，求得近似值，通过用不同的步长进行对比，并得到一种通过控制误差来得到步长的方法。牛顿迭代法是求解非线性方程近似解的一种方法，通过程序来得到方程根所在的区间，求出初值，最后控制其误差。泰勒公式需要先取点对原式进行泰勒展开，如何选取，使得泰勒公式展开后，计算的结果在误差的允许范围内，并且计算过程尽量简单，减少计算步骤。 关键词：泰勒展开；泰勒插值；数值积分；欧拉方法；牛顿迭代法；数值分析
本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名： 学号： 专业：数学与应用数学 班级： 指导教师： 完成日期：2012年 5月20日
泰勒公式及其应用 内容摘要 本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用. 通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础. 关键词：泰勒公式Lagrange余项Peano余项应用
The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application