数学分析教案第二十一章重积分

数学分析教案第二十一章重积分

一、教学目标

1.掌握重积分的定义和性质。

2.了解重积分的计算方法和应用。

3.能够熟练运用重积分解决实际问题。

二、教学重难点

1.重积分的计算方法。

2.重积分的应用。

三、教学内容和教学步骤

1.重积分的引入

通过提问引导学生回顾定积分的概念和计算方法，并对比定积分与重积分的异同之处，引出重积分的概念。

2.重积分的定义和性质

定义：设D为平面上的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界，将D 分成许多小矩形，取其中任意一个小矩形，设其面积为ΔA，取小矩形的一些点(xi,yi)，使得(xi,yi)在小矩形内，记作(Pi)，则称

Σf(xi,yi)ΔA为f(x,y)在D上的一个二重积分，记作∬D f(x,y)dxdy。

性质：（1）线性性质：∬D (αf(x,y)+βg(x,y))dxdy = α∬D

f(x,y)dxdy + β∬D g(x,y)dxdy，其中α、β为常数。

（2）可加性质：D = D1 ∪ D2，则∬D f(x,y)dxdy = ∬D1

f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。

（3）保号性质：若f(x,y)在D上非负，则∬D f(x,y)dxdy ≥ 0。

3.重积分的计算方法

（1）累次积分法：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。

（2）极坐标法：适用于具有极坐标形式的函数，通过变量代换，将重积分转化为二重积分。

（3）换元法：通过变量代换，将重积分中的积分区域变换为简单形式，然后计算二重积分。

4.重积分的应用

（1）计算质量：对密度函数和有界闭区域进行重积分，得到物体的质量。

（2）计算重心：对密度函数、有界闭区域和轴线进行重积分，得到物体的重心坐标。

（3）计算面积：对平面区域的特定函数进行重积分，可以计算出该区域的面积。

（4）计算二重积分：通过重积分计算曲面的面积、曲面的体积以及曲面与平面的交线弧长。

四、课堂练习及讲评

1.小组讨论解决以质量和重心为主题的实际问题。

2.学生上台展示解决问题的过程和结果。

五、课后作业

1.完成课后习题。

2.查找相关资料，了解重积分在其他领域的应用。

六、教学反思

通过本节课的学习，学生对重积分的概念和计算方法有了初步的了解，能够初步掌握重积分的应用。但是，在计算重积分的过程中，部分学生还

存在一些错误，需要进行进一步的巩固和练习。教师需要及时给予指导和

解答，提高学生的学习效果。

数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 2直角坐标系下二重积分的计算 定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分?d c dy y x f ),(存在，则累次积分??d c b a dy y x f dx ),(也存在，且 ?? D d y x f σ),(=??d c b a dy y x f dx ),(. 证：令F(x)=?d c dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0

数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 6重积分的应用 一、曲面的面积 问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积. 分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=?n i i S 1 ≈∑=?n i i A 1 , 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积. ∴当T →0时，可用和式∑=?n i i A 1 的极限作为S 的面积. 建立曲面面积计算公式： ∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=) ,(),(11 22i i y i i x f f ηξηξ++. ∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i = i i γσcos ?=i i i y i i x f f σηξηξ?++),(),(122. 又和数∑=?n i i A 1 =∑=?++n i i i i y i i x f f 1 22),(),(1σηξηξ是连续函数

),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有 △S=∑=→?++n i i i i y i i x T f f 1220 ),(),(1lim σηξηξ=??++D y x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑ =→?n i i i T 1 cos lim γσ=??∧ D z n dxdy ) ,cos(, 其中),cos(∧ z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦. 例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤2 1 , 0≤θ≤2π}, 又z x = 2 2y x x += r r θcos =cos θ, z y =22y x y +=r r θsin =sin θ, ∴△S=??++D y x dxdy z z 221=?? π θ20210 2rdr d = π4 2. 例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=?'+b a dx x f x f )(1)(22π. 证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x = 2 2)()()(y x f x f x f -', z y = 2 2 )(y x f y --. 即有 221y x z z ++=2 22 2222)()()()(1y x f y y x f x f x f -+-'+=2 222)()) (1)((y x f x f x f -'+. ∴S=??--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx ) () (2 22)()(1)(2=??-'+b a x f dy y x f dx x f x f )(0222)(1 )(1)(4 =??---'+b a x f x yf d x f y dx x f x f ) (0 1 2 22))(()(11)(1)(4

华东师范大学本科生数学分析教案

数学分析教案 第一章 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,, λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >； 或 ,, λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数． (2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数 (一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：

第二十一章(数分)

178 第二十一章 曲线积分与曲面积分 ( 1 6 时 ) §1 第一型曲线积分与第一型曲面积分( 3 时 ) 一. 第一型曲线、曲面积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数,分析线段、平面区域、空间几何体的质量定义及计算. 2. 曲线和曲面的质量: 3. 第一型曲线、曲面积分的定义: 定义及记法. 线积分? L fds , 面积分??S fdS . 4. 第一型曲线、曲面积分的性质: [1]P 356 二. 第一型曲线、曲面积分的计算: 1. 第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th22.1 设有光滑曲线)( , )( :t y t x L ψ?==, ],[βα∈t . ),(y x f 是定义在L 上的连续函数. 则 ()dt t t t t f ds y x f L ? ?'+'=β α ψ?ψ?)()()( , )(),(22. ( 证 ) [1]P 357 若曲线方程为L :],[ , )(b a x x y ∈=ψ, 则 ()? ?'+=L b a dx x x x f ds y x f )(1)( , ),(2ψψ. L 的方程为)(y x ?=时有类似的公式. 例1 设L 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0. ? +L ds y x )(22. [1]P 200 E1. 例2设L 是曲线x y 42 =上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段.计算第一型曲线积分 ? L yds . [1]P 200 E2. 空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线)( , )( , )( :t z t y t x L χψ?===, ],[βα∈t . 函数)( , )( , )(t t t χψ?连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有 ()? ?'+'+'=L dt t t t t t t f ds z y x f β α χψ?χψ?)()()()( , )( , )(),,(222.

数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 7 n 重积分 引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且 设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为 3 2 221112121)(r dz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就 得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分， 即F x =?????? -V dz dy dx dz dy dx r x x z y x z y x 2221113 2122221111) )(,,(),,(ρρ.这是在由 六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示. 概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2. 设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n V dx dx dx x x x f ??????2121),,,(.

数学分析之二重积分教案.doc

§ 9.1二重积分概念与性质 【目的要求】 1、了解二重积分的概念； 2、会用估值定理估计二重积分的范围； 3、会应用二重积分的中值定理证明等式或不等式. 【重点难点】 二重积分的概念与性质. 【教学内容】 一、二重积分的概念 在一元积分学屮，我们为了计算单变量函数与坐标轴围成的平面曲边梯形的面积和变力所做的 功，应用有限变无限，精确变近似，引进了定积分的概念，使问题得以解决.对于多元函数，也有类 似的问题.下面通过两个例子引进二重积分的概念. 1.二重积分的概念 （1）曲顶柱体的体积的计算 设有一立体，它的底是xOj面上的有界闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行 于z轴的柱面，它的顶是曲面z=/（x,y）,这里/（x,j；）>0且在D上连续，这种立体叫做曲J页柱体. 下面我们讨论曲顶 柱体体积的计算方法. Z I ■ I ：■ | i i ：■ i i i ：■ i i i ； i i %1分割：体积具有可分性和可加性.将区域。任意分成"个矩形小区域 △<71，△叭，△。3，, A CT,, 同时△©也表示第i个小区域的面积，这样就把该曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.以表示以g 为底的第i个小曲顶柱体的体积，7表示以D为的曲顶柱体的体积，则有 V= £ AF Q［，ksai］ /=i 厶［'总J %1近似：在每个小区域M（心1,2,3,…屛）内任取一点（伽）,把以/（伽）为高，以5为底的 平顶柱体的体积/（&,%）△©作为M的近似值，即 WgfSZ，（Z= 1,2,3,-,«） %1作和： v'= a /(©,%)也©

i=l 则厂是7的一个近似值. %1求极限：当分割越来越细，小区域越来越小，且逐渐收缩接近于一个点时，总和厂就越来越接近于真值V. 我们用必表示小区域g内任意两点间距离的最大值，称为该区域的直径（匸1,2,3,•••,"）,如果当厶max®%……"”｝趋于零时，厂的极限存在，我们就将这个极限值定义为曲顶柱体的体积，即 V= lim a /（©,%）也6 i= 1 （2）平面薄片的质量 设平面薄片（不计厚度）所占面积为闭区域D, Q上任意点（九刃的面密度函数为p=p（x,y）,这里p（x,y）＞0且在。上连续.当面密度是常数时 质量=面密度X面积. 由于区域D内不同点的面密度不一样，故上式就不适用了.象上面所做的一样，将区域D任意分成"个小区域.由于"（砂）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域△©的直径足够小，这些小块就可近似地看作是均匀薄片，在上任取一点（細汀,则 p（4^'）-Acr,- 可以看作第7个小块的质量的近似值.通过求和，取极限，便得出 i= 1 上述两个问题的实际意义虽然不同，但所求的量都归结为同一形式的和的极限.在实际问题中，许多物理或经济问题的解决都可以归结为这一形式的和的极限.因此我们要研究这一类和式的极限，并抽象出下述二重积分的定义. 2.二重积分的定义 【定义】设是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域Q任意分成"个小的闭区域 △（71，A®，A CF3, .,Acr w 其中表示第i个小区域，也表示第i个小区域的面积.在每个小区域上任意取一点（乙〃），作乘积/（乙,/）仏6 （j=l,2,3,…，并作和 a /（©，%）如， Z=1 如果当各小闭区域As的直径中的最大者趋于零时，这和的极限总存在 i= 1 则称此极限值I为函数/（砂）在闭区域D上的二重积分（一个变量的定积分称为单积分）,并称/（砂）在Q上回超，记作 蝌/（X」）亦， D 即

数学分析-第21章 重积分

§1 二重积分概念 1．若),(y x f 为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则 0),(>??D d y x f σ. 2．若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，且在D 上连续，且在D 内任一个区域D D ?/上有 0),(' =??D d y x f σ，则在D 上0),(≡y x f . 3．应用中值定理估计积分??≤+++= 10022cos cos 100y x y x d I σ的值. §2 直角坐标系下二重积分的计算 1． 设),(y x f 在区域D 上连续，试将二重积分??D d y x f σ),(化为不同顺序的累次积分： （1） D 由不等式)0(,,b a b x a y x y <<≤≥≤所确定的区域； （2） D 由不等式1,0,22≤+≥≤y x y x y 所确定的区域； （3） D 由不等式122≤+y x 与1≥+y x 所确定的区域； （4） {}1|),(≤+=y x y x D ； 2．计算下列二重积分： （1） ??D d xy σ2，其中D 由抛物线px y 22=与直线)0(2>=p p x 所围成的区域； （2） ??+D d y x σ)(22，其中{}x y x x y x D 2,10|),(≤≤≤≤=； （3）??D d x σ，其中{ }x y x y x D ≤+=22|),(； 3．求由坐标平面及4,3,2=++==z y x y x 所围成的角柱体的体积. §3 格林公示. 曲线积分与路线的无关性 1． 应用格林公式计算下列曲线积分； ?-+-AB x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由)0,(a 到)0,0(经过圆 ax y x =+22上半部的路线.

数学分析教案第二十一章重积分

数学分析教案第二十一章重积分 一、教学目标 1.掌握重积分的定义和性质。 2.了解重积分的计算方法和应用。 3.能够熟练运用重积分解决实际问题。 二、教学重难点 1.重积分的计算方法。 2.重积分的应用。 三、教学内容和教学步骤 1.重积分的引入 通过提问引导学生回顾定积分的概念和计算方法，并对比定积分与重积分的异同之处，引出重积分的概念。 2.重积分的定义和性质 定义：设D为平面上的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界，将D 分成许多小矩形，取其中任意一个小矩形，设其面积为ΔA，取小矩形的一些点(xi,yi)，使得(xi,yi)在小矩形内，记作(Pi)，则称 Σf(xi,yi)ΔA为f(x,y)在D上的一个二重积分，记作∬D f(x,y)dxdy。 性质：（1）线性性质：∬D (αf(x,y)+βg(x,y))dxdy = α∬D f(x,y)dxdy + β∬D g(x,y)dxdy，其中α、β为常数。

（2）可加性质：D = D1 ∪ D2，则∬D f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。 （3）保号性质：若f(x,y)在D上非负，则∬D f(x,y)dxdy ≥ 0。 3.重积分的计算方法 （1）累次积分法：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。 （2）极坐标法：适用于具有极坐标形式的函数，通过变量代换，将重积分转化为二重积分。 （3）换元法：通过变量代换，将重积分中的积分区域变换为简单形式，然后计算二重积分。 4.重积分的应用 （1）计算质量：对密度函数和有界闭区域进行重积分，得到物体的质量。 （2）计算重心：对密度函数、有界闭区域和轴线进行重积分，得到物体的重心坐标。 （3）计算面积：对平面区域的特定函数进行重积分，可以计算出该区域的面积。 （4）计算二重积分：通过重积分计算曲面的面积、曲面的体积以及曲面与平面的交线弧长。 四、课堂练习及讲评 1.小组讨论解决以质量和重心为主题的实际问题。 2.学生上台展示解决问题的过程和结果。

数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 1二重积分的概念 一、平面图形的面积 引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ?R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时 直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点； (2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=?； (3)△i 上含有P 的边界点. 将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)； 将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知， 对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记T p I sup ={s p (T)} ,T p I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I . p I 称为内面积，p I 称为外面积. 定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积. 定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总

存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε. 证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ?ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)I p -2ε, S p (T)0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知， p I =p I ，∴平面图形 P 可求面积. 推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖. 定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0. 证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：?ε>0, ?直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0. 定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.

数学分析教案华东师大第三版

§ 6 重积分的应用 (一)教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力. (二)教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式. 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式. (三)教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题. 一曲面的大面积 设D为可求面积的平面有界区域函数在D上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 z 二f (x, y) , (x, y) D 所确定的曲面S的面积丄二 厶S = '：八厶A i i =1 i =1 n 当||T|| > 0时，可用和式A的极限作为S的面积 i m 首先计算A的面积，由于切平面的法线向量就是曲面量，记它与z轴的夹角为i，则S在M i( I,I,I)处的法线向 Aa i n I n

i 1 f ；( i , i ) - f y 1 2 ( i , i ) V f x 2 ( i , i ) f ：( i , i )*i J f X 2( i , i ) ■ f ,2(\, i )在有界闭域上的积分和，所以当 ||T||》0时，就得 •)s 詔化二 J f x 2( i , i ) f ；( i , Jr 鼻 J f x 2(X j ,y 」f ；(X j , yjdxdy D ® lim J i 虬 |T|T y |cos ；'i )| D |cos(n,z) | n n ［一 A i 八 i 4 i A J f ；( i , i ) f ；( i , i )*i

数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换 一、二重积分的变量变换公式 定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'β αϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-') (1 )())((X dt t t f ϕ ϕϕ. 当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-') (1 )())((X dt t t f ϕ ϕϕ， 即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-') (1 )())((X dt t t f ϕϕϕ. 引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)= ),() ,(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆ dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况) ∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则

数学分析(1、2、3)课程教学大纲

数学分析（1、2、3）课程教学大纲 一、课程的基本信息 适应对象：信息与计算科学专业本科层次 课程代码：15E00111、15E00212、15E00313 学时分配：72+96+96=264学时 赋予学分：4+6+6=16 先修课程：中学数学 后续课程：常微分方程、概率论与数理统计、实变函数、复变函数等 二、课程性质与任务 《数学分析》是信息与计算科学专业的一门重要的学科基础课，是基础课程的重中之重，是培养数学素养的核心课程。这门课共开设3个学期，《数学分析》研究的主要对象是函数，贯穿于始终的工具是极限，微积分的思想、理论和方法是众多学科的基础。通过对本课程的学习，使学生掌握基本概念、基本理论和基本计算方法，灵活运用本课程介绍的思想方法推理、论证有关数学问题，特别是培养学生的数学素养与思想。开设本课程的主要任务是让学生掌握数学中一些基本概念、基本理论及基本运用技能，一方面为后续课程的学习提供必要的基础知识，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练；并为实变函数、复变函数、常微分方程等后续课程的学习打下基础。 三、教学目的与要求 使学生能够掌握数学分析的基本理论和方法；准确理解并能灵活应用极限的理论与思想；培养学生抽象思维、空间想象、逻辑推理和熟练地运算能力；培养学生的学习方法和学习兴趣，培养自学能力；培养学生的创新能力，应用数学方法解决实际问题的能力；学会使用数学软件进行科学计算；培养学生将来从事教学工作和科研工作所必备的数学素质, 同时为后继课程的学习打下一个良好的基础。 四、教学内容与安排 数学分析（1）——72学时 第一章实数集与函数（6学时） 实数及其性质，绝对值与不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数的定义，函数的表示法，函数的四则运算，复合函数，反函数，初等函数，有界函数，单调函数，奇函数和偶函数，周期函数。 第二章数列极限（12学时） 数列极限的概念、无穷小数列与无穷大数列的概念，收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式型、迫敛性，收敛数列的四则运算，子列的概念，单调有界原理，致密性定理，Cauchy收敛准则。 第三章函数极限（18学时） x时函数的极限，函数极限的性质：唯一性、有界性、保x趋于 时函数的极限，x趋于

高中数学备课教案二重积分与曲面积分的计算方法

高中数学备课教案二重积分与曲面积分的计 算方法 高中数学备课教案：二重积分与曲面积分的计算方法 一、引言 在高中数学课程中，积分是一个重要的概念和工具。在这篇教案中，我们将重点介绍二重积分与曲面积分的计算方法。通过学习这两种积 分的具体计算方法，学生将进一步掌握数学分析中的积分应用技巧， 为解决实际问题奠定基础。 二、二重积分的计算方法 2.1 二重积分的概念 二重积分是对平面上某个区域上的函数进行积分运算。一般地，设 函数f(x, y)在平面区域D上连续，则函数f(x, y)在D上的二重积分定义为： ∬D f(x, y) dσ， 其中，dσ表示区域D上的面积元素。 2.2 二重积分的计算过程 2.2.1 写出二重积分的累次积分形式 对于给定的区域D和函数f(x, y)，我们可以通过将二重积分转化为 累次积分来计算。具体来说：

∬D f(x, y) dσ = ∫∫D f(x, y) dy dx = ∫a到b [∫c到d f(x, y) dy] dx。 2.2.2 计算累次积分 根据累次积分的性质，我们可以先对内层积分求解，再对外层积分 进行求解。具体做法是： Step 1: 计算内层积分 对y在区间[c, d]上进行积分，得到一个关于x的函数。 Step 2: 计算外层积分 对x在区间[a, b]上进行积分，将内层积分的结果代入，得到最终结果。 2.3 二重积分的应用 2.3.1 平面图形的面积计算 通过二重积分，我们可以计算给定平面图形的面积。具体步骤如下：Step 1: 确定平面图形的边界 定义一个由曲线和直线所围成的可求面积区域D。 Step 2: 设置二重积分的积分区域 按照边界确定二重积分的积分区域。 Step 3: 设计二重积分的被积函数 定义二重积分的被积函数，通常为常数函数1。

重积分知识点

重积分知识点 重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。 一、定义 重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$ 其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。 二、性质 1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有： $$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$

其中$a,b$为常数。 2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域 $\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$ 3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$ 4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有： $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$ 三、计算方法 1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。 2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。

数学分析21.8反常二重积分(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 8 反常二重积分 一、无界区域上的二重积分： 定义1：设f(x,y)为定义在无界区域D 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγ γd y x f D d ⎰⎰∞ →),(lim 存在且有限，且与γ的取法无关，则 称f(x,y)在D 上的反常二重积分收敛，并记σd y x f D ⎰⎰),(=σγ γd y x f D d ⎰⎰∞ →),(lim ， 否则称f(x,y)在D 上的反常二重积分发散，或简称σd y x f D ⎰⎰),(发散. 定理21.17：设在无界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足： (1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)； (2)I=σd y x f n D n ⎰⎰),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集， 则反常二重积分σd y x f D ⎰⎰),(收敛，且有σd y x f D ⎰⎰),(=I. 证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞ →n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’⊂D n ⊂D. 由f(x,y)≥0, 有σd y x f D ⎰⎰' ),(≤σd y x f n D ⎰⎰),(≤I. 又I=σd y x f n D n ⎰⎰),(sup , ∀ε>0, ∃n 0, 使得 σd y x f n D ⎰⎰0 ),(>I-ε. 对充分大的d ’, 区域D ’又可包含D 0 n , 使得 σd y x f D ⎰⎰' ),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ⎰⎰' ),(≤I, 知

重积分变量代换公式证明707

教案 重积分变量代换公式的证明 1. 教学内容我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个容易理解而简单的证明。 2. 指导思想重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难 点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的方法。 3. 教学安排 1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下二重积分变量代换公式应该是怎样的： 定积分：设f(x) 在区间[a,b]上连续，变换x=ϕ(t)是一一对应，有连续导数，x=ϕ(t[α, β]（或[β,α]）→[a,b]（ϕ(α) =a，ϕ(β) =b），则 ) : b( ) β′( ∫= ∫f(ϕ(t))ϕt)dt f x dx aα ⎧= x x(u,v) 二重积分：设f(x y在有界闭区域D连续，变换: ⎨T D , ) : D ( ) T→ y=y(u,v) ⎩ 是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换公式似乎应该是 d udv， ∂(x, y) ∫∫x∂ f, y)dxdy=∫∫x(u v y( , )) ( f( , ), u v T( , ) (D) D u v ∂(x, y) 其中是向量值函数T的导数。但是注意在定积分情况下，如果ϕ' (t) <0 ，∂(u,v) 则α>β，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后，ϕ'(t) 就换成−ϕ'(t) ；

重积分运算的常用解法

积分运算的常用方法 Warren K 引言： 本学期课程的一大重点在于重积分的运算、利用重积分解决实际问题的微元法以及线面积分及其应用。这里根据自己学习的一些心得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结一些积分运算的常用方法。 一、 二重积分 （1）、化为累次积分 公式 ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰⎰ ==b a x y x y d c y x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f ) (2) (1) (2) (1) (),(),(),( 例1:计算⎰⎰) (s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域. 解 将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得 855])2[(5.02 1 4 22 1 2 ) (2=-+==⎰⎰⎰⎰⎰--+dy y y y xydx dy xyds y s y 如果用直线 把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。先对y 后对x 积分得 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=41 2 1 ) (x x x x s xydy dx xydy dx xyds 由上式可以得出同样的结果，但这种方法显然要麻烦一些。从这也可以看到，计算二重积分时，选取适当的积分顺序是一个值得注意的问题。如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的麻烦，而且可能

导致积分无法算出。 （2）、化为极坐标 若积分域（S ）与被积函数f(x,y)用极坐标表示更为简便，则应考虑将其化为极坐标的二重积分来计算。为此，建立极坐标系，令极点与xOy 直角坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。利用直角坐标与极坐标的转换公式 ),20,0(sin ,cos πϕρϕρϕρ≤≤+∞≤≤==y x 将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为 ).sin ,cos (),(ϕρϕρf y x f = 接下来就是把面积微元由极坐标表示出来， .ϕρρ∆∆≈∆s 从而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==β αϕρϕρ ρρϕρϕρϕϕρρϕρϕρ) () (21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f s s =⎰⎰b a d f d ) ()(21 )sin ,cos (ρϕρϕϕρϕρϕρρ 例2：)0() (4102 2 2 2 2>+-=⎰⎰-+--a dy y x a dx I a x a a x 解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算. a d a d I a 2 2 240 4sin 20 2 2 -= -=⎰⎰ --πρρ ρ θπθ （3）、曲线坐标下二重积分的计算法 1.正则变换 二重积分⎰⎰) (),(s ds y x f

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限；计算方法;洛必达法则； 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用。重积分是由一元函数积分推广而来的，但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关，计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数 ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分 和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=∆-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积，数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=⎰⎰, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数， ,x y 称为积分变量， D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数，则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ⎰⎰(),D k f x y d σ=⎰⎰.

1。22 若(),f x y ，(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积，且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±⎰⎰()(),,D D f x y d g x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰。 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也 可积，且 ()12 ,D D f x y d σ⎰⎰()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰ 1。3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ⎰存 在，则累次积分(),b d a c dx f x y dy ⎰⎰也存在，且 (),D f x y d σ⎰⎰ (),b d a c dx f x y dy =⎰⎰。 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ⎰存在，在上述条件上可得 (),D f x y d σ⎰⎰ (),d b c a dy f x y dx =⎰⎰ 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算，在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下，对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理：若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ，()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ⎰⎰()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =⎰⎰ 即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分。 同理在上述条件下,若区域为Y -型，有