《数学分析》教案-第三章函数极限
第三章 函数极限
在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.
通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势.
我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即
:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.
研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势. 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？
为此，考虑下列函数:
1,0;
()0,0.x f x x ≠⎧=⎨
=⎩
类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,
.
由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.
下面，我们就依次讨论这些极限.
§1 函数极限的概念
教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．
教学要求：掌握当0x x →；∞→x ；∞+→x ；∞-→x ；+→0x x ；-
→0x x 时函数极限的分析
定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．
教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当0x x →时函数
极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限.
一、x →+∞时函数的极限 (一) 引言
设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.
例如 1
(),f x x x =
无限增大时，()f x 无限地接近于0；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2
π
；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近.正因为如此，
所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势.我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”.
问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. (二) x →+∞时函数极限的定义
定义1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数.若对任给的0ε>，存在正数Ｍ
()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限.记作
lim ()x f x A →+∞
=或()()f x A x →→+∞.
(三) 几点注记 1、
义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，
而不仅仅是正整数n.
2、lim ()x f x A →+∞
=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈
3、lim ()x f x A →+∞
=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中
心线，以2ε为宽的带形区域.“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线
()y f x =全部落在这个带形区域内.
如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.
4、现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，
lim ()x f x A →-∞
=或()()f x A x →→-∞，
lim ()x f x A →∞
=或()()f x A x →→∞.
这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：
lim ()x f x A →-∞
=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，
lim ()x f x A →∞
=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<.
5、推论 设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则
lim ()x f x A →∞
=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞
→-∞
==.
(四) 利用lim ()x f x →+∞
＝Ａ的定义验证极限等式举例
例1 证明 1
lim
0x x
→∞=. 例2 证明 1）lim 2
x arctgx π
→-∞
=-
；2）lim 2
x arctgx π
→+∞
=
.
二、0x x →时函数的极限 (一) 引言
上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ.
本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，.现在讨论当
00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.
先看下面几个例子：
例1 ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）.
例2 24
()2
x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）.
例3 1
()f x x
=
.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →）. 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势.
我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0
lim ()x x f x A →=.
和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？
作如下分析：
“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”
→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了.即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<.此即
lim ()x x f x A →=.
(二) 00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义
定义2 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0
lim ()x x f x A →=或
（0()()f x A x x →→.
(三) 函数极限的εδ-定义的几点说明
1、|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出.
2、ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的.为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的.这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了.以便通过ε寻找δ，使得当
00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立.这即ε的第二特性——暂时固定性.即在寻找δ的过
程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2
ε
ε均为任意正数，均可扮演ε的角
色.也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤）
3、δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ.它的第一个特性是相应性.即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小.但是，定义中是要求由
00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23
δδ
等等比δ还小的正数
均可满足要求，因此δ不是唯一的.这即δ的第二个特性——多值性.
4、在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”.
5、定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈.从而定义2⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U A ε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂.
6、εδ-定义的几何意义.
例1 设24
()2
x f x x -=-，证明：2lim ()4x f x →=.
例2 设()1(0)f x x =≠，讨论0x →时()f x 的极限. 例3 证明 1）0
0lim sin sin x x x x →=；2）0
0lim cos cos x x x x →=.
例4 证明 22
112lim 213
x x x x →-=--.
例5 证明
lim x x →=0(||1)x <.
例6 证明 0
0lim ,lim x x x x C C x x →→==.
例7 证明
)
0(11lim
≠=→a a
x a
x .
证明 注意到a x a x a x ⋅-=
-11，要想它任意小，a x -可任意小，x 却不能任意小，当a
x →时，它必须远离零点.当
2a a x <
-时，
2a
a x a x >
--≥就远离零点了.
0>∀ε, 取)2,2min(2
εδa
a =，则当δ<- |211a a x a x . 例8 证明 a x a x =→lim . 证明 先设0=a ，要证0 lim 0=+ →x x ，0>∀ε，要使 ε <=x x , 取2 εδ=，则 当δ< ε δ<<=x x ，即 0 lim 0=+ →x x . 再设0>a ，0>∀ε, 要使 ε <-a x ， 注意到 a x a a x a x a x -≤ +-= -1， 只要ε <-a x a 1 , 且0>x ，取) 2,min(a a εδ=，则当δ<- ε <-a x ， 即 a x a x =→lim . 例9 验证.22 2lim 22=-+∞→x x x x 证明 . 4 2 2 2 4 24 222 2423222x x x x x x x x x x x x =-+-+=--+>> 例10 验证 .512 3 72933lim 2233=+--+-→x x x x x x 证明 由,3≠x 512 )3( )12()3( )3( 5123 72933 2223----+=-+--+-x x x x x x x x x =.1 2395125395 512 123 2---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x 于是, 倘限制 130<- 512 3 72933 223-+--+-x x x x x 12395---≤ x x x .3111311-=-≤x x . 三、单侧极限 (一) 引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 21,0(),0 x x f x x x ⎧≥=⎨ <⎩ 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 2()0f x x =≥. 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论1()f x 在0x →时的极限.要在0x =的左右两侧分别讨论.即当0x >而趋于0时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当 0x <而趋于0时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于0时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念. (二) 单侧极限的定义 定义 3 设函数f 在0 0(;)U x δ+ '内有定义，Ａ为定数.若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋 于0x 时的右极限，记作 lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=. 类似可给出左极限定义（0 0(;)U x δ- ，00x x x δ-<<，0 lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）. 注 右极限与左极限统称为单侧极限. (三) 例子 例1 讨论函数1()f x 在0x =的左、右极限. 例2 讨论sgn x 在0x =的左、右极限. 例3 讨论函数1±处的单侧极限. (四) 函数极限0 lim ()x x f x →与0 lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系 定理3.1 0 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 证明 必要性:0>∀ε, 由A x f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，特别地当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故A x f x x =+→)(lim 00. 同理当δ<- 充分性: 0>∀ε, 由A x f x x =+→)(lim 00，0 1>∃δ, 使得当100δ<- A x f x x =-→)(lim 0 0, 02>∃δ, 使得当200δ<- 当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故A x f x x =→)(lim 0. 注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10 lim ()0x f x →=.还可说明 某些函数极限不存在，如由例2知0 limsgn x x →不存在.2）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可 能毫无关系，如例2. §2 函数极限的性质 教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质. 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合. 在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限： 1、lim ()x f x →+∞ ；2、lim ()x f x →-∞ ；3、lim ()x f x →∞ ；4、0 lim ()x x f x →;5、0 lim ()x x f x +→；6、0 lim ()x x f x -→. 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以0 lim ()x x f x →为代表来叙述并证明这些 性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可. 一、函数极限的性质 性质1（唯一性） 如果) (lim x f a x →存在，则必定唯一. 证法一 设 ) (lim x f a x →A =，B x f a x =→)(lim ,则 ,0,01>∃>∀δε当1||0δ<- ε<-|)(|A x f , (1) ,02>∃δ当2||0δ<- ε<-|)(|B x f . (2) 取 {} 2,1min δδδ=，则当 δ <- 因而有 ε 2)()())(())((<-+-≤---=-B x f A x f B x f A x f B A , (3) 由ε的任意性，（3）式只有当 =-B A 时，即B A =时才成立. 证法二 反证,如)(lim x f a x →A =，B x f a x =→)(lim 且B A >，取 20B A -= ε，则0>∃δ， 使当 δ <- 0)(,)(εε<-<-B x f A x f , 即 2)(200B A B x f A B A +=+<<-=+εε 矛盾. 性质2（局部有界性） 若0 lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界. 证明 取10=ε, 由 A x f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 有 1)(<-A x f , 即 1)()(+≤-+≤A A x f A x f ， 说明)(x f 在);(00δx U 上有界，1+A 就是一个界. 性质3（保序性） 设 b x f a x =→)(lim ，c x g a x =→)(lim . 1）若c b >，则 0>∃δ，当 0δ<-； 2）若0 0>∃δ，当 0δ<- 证明 1） 取 20c b -= ε即得.2）反证，由1）即得. 注 若在2）的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”, 未必就有 .B A < 以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明. 推论（局部保号性） 如果b x f a x =→)(lim 且0≠b ，则0