大学数学分析课教案
一、引言
1.1 课程背景
大学数学分析是一门重要的基础数学课程，它旨在培养学生具备系统的数学思
维能力和解决实际问题的能力。本教案旨在为教师提供一个全面而系统的指导，以便他们可以有效地传授数学分析知识给学生。
1.2 教材选择
本教案参考了多种常用的大学数学分析教材，如《高等数学分析》、《数学分
析导论》等。根据不同教材的章节结构和内容难度，我们按照一个逐步推进的
顺序进行讲解。
二、教学目标
2.1 知识目标
•掌握大学数学分析基本概念和基本定理；
•熟练运用极限、连续性、微积分等概念和方法解决实际问题；
•理解并能正确运用相关证明方法。
2.2 技能目标
•培养良好的数学思维和逻辑推理能力；
•提高问题求解和证明能力；
•培养合作交流与团队合作的能力。2.3 情感目标
•提高学生对数学的兴趣和热爱；
•培养学生对数学的信心和自信心；•培养学生解决实际问题的动机和意愿。
三、教学内容
3.1 极限与连续性
•极限的概念与性质
•数列极限与函数极限的关系
•连续性及其性质
•中值定理及其应用
3.2 微分学
•导数与微分的概念
•不同类型函数的导数计算方法
•高阶导数及其应用
3.3 积分学
•定积分的概念与性质
•不定积分及其计算方法
•牛顿—莱布尼茨公式和换元法
3.4 级数与级数收敛性
•数项级数的概念和性质
•收敛级数和发散级数的判别法
•泰勒级数及其应用
四、教学方法
4.1 讲授法
通过讲解理论知识，引导学生了解基本概念、理论证明和解题方法。
4.2 实例演示法
通过具体实例，展示数学分析的应用，帮助学生理解和掌握知识点。
4.3 问题解决法
通过提出一些具有挑战性的问题，激发学生思考和探索，培养他们的解决问题的能力。
4.4 讨论与合作
鼓励学生进行互动讨论和合作学习，在小组内共同解决问题，促进彼此之间的交流和合作能力。
五、教学评估
5.1 考试与测验
设计适当难度的练习题、期中考试和期末考试以评估学生对于所教知识的掌握程度。
5.2 实际应用任务
布置一些实际应用任务，要求学生将数学分析中的概念和方法运用到实际问题中去解决。
5.3 口头报告与座谈会
鼓励学生进行口头报告和座谈会，分享各自对于数学分析领域中某个特定主题的研究成果或深入理解。
六、教学资源
•大学数学分析课程教材（如《高等数学分析》、《数学分析导论》等）•PowerPoint演示文稿
•多媒体设备和投影仪
•教学案例、实例和练习题
•网络资源和数学软件（如MATLAB、Mathematica等）
结语
本教案为大学数学分析课程的教师提供了一个详细而全面的指导，包括教学目标、教学内容、教学方法和评估方式等。通过合理运用这些指导，可以有效地
提高教师的教学质量，培养学生对数学分析的兴趣和热爱，并提高他们的数学思维与问题解决能力。
数学分析教案 教案题目：求不定积分的基本方法 一、教学目标： 1. 了解不定积分的基本概念和计算方法； 2. 掌握基本函数的不定积分； 3. 能够利用积分计算解析式。 二、教学重点： 1. 不定积分的基本概念和计算方法； 2. 基本函数的不定积分。 三、教学难点： 1. 积分常数的引入； 2. 积分计算解析式的应用。 四、教学过程： 1.预习导入（5分钟） 通过提问复习定积分的基本概念和计算方法，引导学生思考什么是不定积分。 2. 由浅入深（15分钟） 首先，讲解不定积分的概念，即函数的原函数族，并引入不定积分的符号“∫”。然后，介绍不定积分的基本计算方法，包括基本积分公式和基本积分法则。
3. 讲解基本函数的不定积分（30分钟） 讲解几个基本函数的不定积分，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，引导学生熟练掌握积分计算的方法和技巧。 4. 拓展与应用（30分钟） 引导学生通过积分计算解析式，例如利用积分计算曲线的弧长、曲线下的面积、顶点、对称轴等问题。 5. 总结与讨论（10分钟） 总结不定积分的基本概念和计算方法，强调积分常数的引入和解析式的应用，与学生一起回顾本节课的主要内容。并鼓励学生举一些生活中的例子，讨论积分在实际中的应用。 6. 作业布置（5分钟） 布置一些练习题作为课后作业，巩固所学内容。可以包括求不定积分的练习题和应用题。 五、教学反思： 本节课以求不定积分的基本方法为教学内容，通过引导学生认识不定积分的概念、掌握基本函数的不定积分和积分计算解析式的应用，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。通过讲解、示范和练习等多种教学手段，能够提高学生的学习兴趣和积极性，有效地促进学生的学习成果。
第七章 实数的完备性 (9学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++?= （2）lim ()0 n n n b a →∞ -= 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 证: 先证存在性 {[,]}n n a b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∴可设 lim n n a ξ →∞ = 且由条件2有 lim lim ()lim n n n n n n n n b b a b a ξ →∞ →∞ →∞ =-+== 由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 再证唯一性 设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ' ≤≤= 那么, ,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-= 由区间套的条件2得 lim ()0 n n n b a ξξ→∞ '-≤-=故有ξξ'= 推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈= 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当 n N >时有 [,](,)n n a b U ξε? 柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对 ,m n N >有 ||m n a a ε-<. 证 [必要性] 略. [充分性] 已知条件可改为：对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N ≥有 ||m n a a ε-≤.
大学数学分析方法教案 大学数学分析方法教学内容： 第一部分：函数与极限 1.函数的概念及性质 定义函数，函数的分类，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。 2.数列极限 数列的概念，数列极限的定义，极限存在判定定理。 3.函数极限 函数极限的定义，函数极限的性质，极限存在判定定理。 4.连续性 函数的连续性概念，连续函数性质，间断点。 第二部分：导数与微分 1.导数概念 导数的定义，导数的性质，导数的几何意义。 2.微分学基本公式 微分的概念，微分学基本公式，微分中值定理。 3.导数的应用 导数的物理意义，最大值与最小值，曲率与余曲率，泰勒公式。 第三部分：积分与反演定理 1.定积分 定积分的定义，定积分的性质，定积分计算。 2.不定积分 不定积分的定义，常见函数的不定积分，积分表。
3.反演定理 反演定理的概念，拉普拉斯反演定理，傅里叶反演定理。 第四部分：多元函数微积分 1.多元函数的导数 多元函数的偏导数，多元函数的全导数，多元函数的导数和微分。 2.重积分 二重积分的定义，性质，计算方法；三重积分的定义，性质，计算方法。 3.曲线积分和曲面积分 第一类曲线积分的定义，计算方法；第二类曲线积分的定义，计算方法；曲面积分的定义，计算方法。 教学方法： 本课程的授课方式采用理论与实践相结合的教学法，注重讲明概念、定理与公式，并通过数学应用实例深入阐述其具体的计算方法，以便学生真正理解学习到的知识。 在课程的教学中，特别注重实战操作，为学生提供大量实验、计算及解题实例，增强学习者的实践能力，使学生能够更好地理解抽象的数学原理与方法，并能将其灵活应用于实际中去。 总结： 通过本课程学习，学生将掌握数学分析基本概念、优化方法及其计算应用等全面而深入的知识体系，加深对数学的理解，并提升数学分析能力，为其今后的求学、研究及实践积累了更深入的理论基础和实践技能。
数学分析教案 第一章 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,, λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >； 或 ,, λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数． (2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数 (一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：
数学分析教案 教案名称：数学分析教学 教学目标： 1. 学习和掌握数学分析的基本概念、原理和方法。 2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。 3. 增强学生对数学的兴趣和热情。 4. 培养学生的数学分析思维习惯。 教学内容： 单元1：数列与极限 1. 数列的定义、收敛性、发散性。 2. 数列极限的定义、性质和判定方法。 3. 数列的常用极限性质和计算方法。 单元2：函数与连续性 1. 函数的定义、性质和分类。 2. 函数极限的定义和性质。 3. 连续函数的定义和性质。 4. 连续函数的计算方法和判定方法。 单元3：导数与微分 1. 导数的定义和性质。 2. 函数的可导性和导数的计算方法。 3. 微分的定义和性质。 4. 常用函数的导数和微分计算。 单元4：定积分与不定积分
1. 定积分的定义和性质。 2. 定积分的计算方法和性质。 3. 不定积分的定义和性质。 4. 不定积分的计算方法和性质。 教学重点： 1. 数列与极限的概念和计算方法。 2. 函数与连续性的定义和性质。 3. 导数与微分的计算方法和应用。 4. 定积分与不定积分的计算方法和性质。 教学方法： 1. 综合运用讲授、实验、探究、讨论、分组合作等多种教学方法。 2. 鼓励学生独立思考和解决问题的能力。 3. 提供案例分析和实践操作，帮助学生理解和应用知识。 教学评价： 1. 对学生的课堂表现进行观察和评价。 2. 组织小组讨论、作业和实验报告等形式的评价。 3. 定期组织小测验和考试，检验学生的掌握程度。 教学资源： 1. 教材：数学分析教材。 2. 辅助教材：数学分析习题集。 3. 多媒体教学设备：投影仪、电脑等。
1J ] 1J 1J ] 1 2 3 4 《数学分析》教案 SF 01（数） ChO数学分析课程简介 Chi实数集与函数 计划课时：ChO 2时 Chi 6 时 说明: 1.这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期， 总课时为1 8 0学时，是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了80学时）?按照学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 本教案共2 7 9页，分2 1章. 2.取材的教材： 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996； 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析，兰州大学出版社，1999；
We Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964. Ch 0 数学分析课程简介(2时) 一?数学分析(mathematical analysis)简介： 1.背景：从切线、面积、计算sin32\实数定义等问题引入. 2.极限(limit) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏 观两个方面研究函数，并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的 微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. . %1.数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪，Archimedes 就有 了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3.十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期：参阅《数学分析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72. 4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：参阅《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—7 5. %1.数学分析课的特点： 逻辑性很强，很细致，很深刻；先难后易，是说开头四章有一定的难度，倘能努力学憧前四章(或前四章的80%),后面的学习就会容易一些；只要在课堂上专心听讲，一般是可以听得懂的，但即便能听懂，习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法，不辅以相应的技巧，是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的，也是里要的内容之一，也是最难的内容之一.一般憧得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式，学习基本的证明方法，掌握叙述和书写证明的一般语言和格式，是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此，建议的学习方法是：预习，课堂上认真听讲，必须记笔记，但要注意以听为主，力争在课堂上能听憧七、八成.课后不要急于完成作业，先认真整理笔记，补充课堂讲授中太简或跳过的推导，阅读教科书，学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后，再去做作业.在学习中，要养成多想问题的习惯. 1.关于教材：没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方，本课程主要 从以下教科书中取材： fl］华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；
教案 2006-2007学年第 1 学期 课程名称：数学分析3 课程编号：4081103 学院、专业、年级：数学科学学院、数学与应用数学专业、05级任课教师：姜子文 教师所在单位：数学科学学院 山东师范大学
课程简介 《数学分析》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业——数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本、专科的一门重要基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。本课程所讲授的这些内容和方法是现代应用数学的基础，是数学类专业学生必须具备的最基础的基本训练，是实现数学类专业培养目标的重要基础课。 《数学分析》课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。通过本课程的讲授，可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。 《数学分析》课程授课时间为三个学期，各学期课程名称分别为：《数学分析(1)》、《数学分析(2) 》、《数学分析(3) 》。其中《数学分析(1)》主要包括如下内容： 函数；数列极限；函数极限；函数连续性；实数连续性的基本定理；导数与微分。 授课学期：第一学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。 《数学分析(2) 》主要包括如下的内容： 不定积分；定积分；定积分的应用；级数理论。 授课学期：第二学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。 《数学分析(3) 》主要包括如下的内容： 多元函数偏导数，多元函数可微性，多元函数Taylor公式，多元函数极值，多元函数定积分、面积分、线积分及格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。 授课学期：第三学期；授课总时数：98学时；学分：6学分。 现用教材：《数学分析》课程现在所用教材为面向21世纪课程教材和国家九五重点教材——华东师范大学主编的《数学分析（上、下册）》（第三版）。 同步参考教材：《数学分析学习指导书》（上、下册），吴良森等编著； 《数学分析学习指南》（自编）（上、下及下下册）； 《数学分析研究》，马顺业编著； 《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），刘玉琏等等编著
第一章实数集与函数 第一章实数集与函数 教学目的： 1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念； 2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。 教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时 § 1 实数（2学时） 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： 1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； 2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 一．复习引新： 1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义. 2.四则运算封闭性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性: 5.稠密性:有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6.实数集的几何表示───数轴:
7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二. 讲授新课： （一）. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: ⑴ ⑵均值不等式: 对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当且, 且时, 有严格不等式 证：由且
数学分析教案设计 数学分析教案设计 考试科目：数学分析 《数学分析》 一、题目类型：证明题、计算题。 二、参考教材：1 、《数学分析教程》，编者：常庚哲等，高等教育出版社 2 、《数学分析》，编者：李成章、黄玉民，科学出版社 三、基本内容： 1 、极限论包括：（ 1 ）数列极限（含上、下极限）；（ 2 ）函数极限；（ 3 ）函数的连续性及其应用；（ 4 ）实数的六个等价命题；（ 5 ）无穷小（大）量及其阶数。 2 、单变量微积分学包括：（ 1 ）导数和微分；（ 2 ）微分学的基本定理（ Lagrange 定理及 Fermat, Rolle, Cauchy 定理和 Taylor 公式）及其应用；（ 3 ）不定积分；（ 4 ）定积分与可积性；（ 5 ）广义积分与瑕积分；（ 6 ）含参变量的`广义积分。 3 、级数论包括：（ 1 ）数项级数；（ 2 ）函数项级数与幂级数；（ 3 ） Fourier 级数与 Fourier 变换；（ 4 ）级数的各种收敛性及判别法。 4 、多变量微积分学包括：（ 1 ）二重和三重积分；（ 2 ）第一和第二类曲线积分；（ 3 ）第一和第二类曲面积分；（ 4 ）各种积分间的关系（ Green, Gauss 和 Stokes 公式）及其应用；（ 5 ）场论初步（梯度，散度和旋度的定义）。 四、基本要求： 1 、能正确使用ε—δ，ε—N 语言及数学分析中的基本定理刻划和证明有关极限，连续性（间断性），一致连续性（不一致连续性），可积性（不可积性），收敛性（发散性），一致收敛性（不一致连续性）等问题。 2 、能准确计算极限，导数和积分，级数（幂级数和 Fourier 级数）
§ 9.1二重积分概念与性质 【目的要求】 1、了解二重积分的概念； 2、会用估值定理估计二重积分的范围； 3、会应用二重积分的中值定理证明等式或不等式. 【重点难点】 二重积分的概念与性质. 【教学内容】 一、二重积分的概念 在一元积分学屮，我们为了计算单变量函数与坐标轴围成的平面曲边梯形的面积和变力所做的 功，应用有限变无限，精确变近似，引进了定积分的概念，使问题得以解决.对于多元函数，也有类 似的问题.下面通过两个例子引进二重积分的概念. 1.二重积分的概念 （1）曲顶柱体的体积的计算 设有一立体，它的底是xOj面上的有界闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行 于z轴的柱面，它的顶是曲面z=/（x,y）,这里/（x,j；）>0且在D上连续，这种立体叫做曲J页柱体. 下面我们讨论曲顶 柱体体积的计算方法. Z I ■ I ：■ | i i ：■ i i i ：■ i i i ； i i %1分割：体积具有可分性和可加性.将区域。任意分成"个矩形小区域 △<71，△叭，△。3，, A CT,, 同时△©也表示第i个小区域的面积，这样就把该曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.以表示以g 为底的第i个小曲顶柱体的体积，7表示以D为的曲顶柱体的体积，则有 V= £ AF Q［，ksai］ /=i 厶［'总J %1近似：在每个小区域M（心1,2,3,…屛）内任取一点（伽）,把以/（伽）为高，以5为底的 平顶柱体的体积/（&,%）△©作为M的近似值，即 WgfSZ，（Z= 1,2,3,-,«） %1作和： v'= a /(©,%)也©
i=l 则厂是7的一个近似值. %1求极限：当分割越来越细，小区域越来越小，且逐渐收缩接近于一个点时，总和厂就越来越接近于真值V. 我们用必表示小区域g内任意两点间距离的最大值，称为该区域的直径（匸1,2,3,•••,"）,如果当厶max®%……"”｝趋于零时，厂的极限存在，我们就将这个极限值定义为曲顶柱体的体积，即 V= lim a /（©,%）也6 i= 1 （2）平面薄片的质量 设平面薄片（不计厚度）所占面积为闭区域D, Q上任意点（九刃的面密度函数为p=p（x,y）,这里p（x,y）＞0且在。上连续.当面密度是常数时 质量=面密度X面积. 由于区域D内不同点的面密度不一样，故上式就不适用了.象上面所做的一样，将区域D任意分成"个小区域.由于"（砂）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域△©的直径足够小，这些小块就可近似地看作是均匀薄片，在上任取一点（細汀,则 p（4^'）-Acr,- 可以看作第7个小块的质量的近似值.通过求和，取极限，便得出 i= 1 上述两个问题的实际意义虽然不同，但所求的量都归结为同一形式的和的极限.在实际问题中，许多物理或经济问题的解决都可以归结为这一形式的和的极限.因此我们要研究这一类和式的极限，并抽象出下述二重积分的定义. 2.二重积分的定义 【定义】设是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域Q任意分成"个小的闭区域 △（71，A®，A CF3, .,Acr w 其中表示第i个小区域，也表示第i个小区域的面积.在每个小区域上任意取一点（乙〃），作乘积/（乙,/）仏6 （j=l,2,3,…，并作和 a /（©，%）如， Z=1 如果当各小闭区域As的直径中的最大者趋于零时，这和的极限总存在 i= 1 则称此极限值I为函数/（砂）在闭区域D上的二重积分（一个变量的定积分称为单积分）,并称/（砂）在Q上回超，记作 蝌/（X」）亦， D 即
数学分析教案华东师大版 一、教学目标 通过本课程的学习，学生应该能够： 1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理； 2.掌握数学分析中的常用方法和技巧； 3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力； 4.培养学生的数学思维和创造性思维。 二、教学内容 本教案主要包括以下内容： 1.函数、极限与连续性 –函数的定义和性质 –极限的定义和性质 –连续函数的定义和性质
–极限存在的判定方法 –无穷小量与无穷大量 2.一元函数的微分学 –导数的定义和性质 –导数的几何意义和物理意义 –某类函数的导数 –高阶导数与导数的运算法则 –隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学 –积分的定义和性质 –函数的原函数与不定积分 –定积分的定义和性质 –定积分的计算方法 –积分中值定理
4.多元函数的微分学 –多元函数的定义和性质 –多元函数的极限和连续性 –偏导数和全微分 –隐函数与参数方程的求导公式 –多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学 –重积分的定义和性质 –二重积分的计算方法 –三重积分的计算方法 –曲线与曲面的面积与弧长 –应用于物理和几何的多重积分
三、教学方法 1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识； 2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧； 3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维； 4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。 四、教学工具 在教学过程中，我们将使用以下工具： 1.教材：华东师大版《数学分析》教材； 2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法； 3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤； 4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；
数学分析教案 第7章 实数的完备性 §7.1 实数完备性的基本定理 数学分析是建立在极限理论这个基础上，而极限理论的基础是实数，实数理论就成为基础的基础．有关实数理论的知识，参见华东师大编写的《数学分析》附录2．在这里主要介绍实数的完备性即连续性，有关实数连续性的基本定理有7个． 1 戴德金分划 任一有理分划必确定一个实数．参见华东师大编写的《数学分析》附录2． 2 确界原理 有界数集必有确界．本书作为公理． 3 单调有界定理 有界的单调数列必有极限． 此定理可分为两个部分，即 (1) 数列{}n a 单调上升且有上界，则{}n a 必有极限； (2) 数列{}n a 单调下降且有下界，则{}n a 必有极限． 证：设{}n a 单调上升有上界，由确界存在定理知，{}n a 有上确界． 设sup{ } = n a a ，于是, n n a a ?≤，且0, 0, N N a a εε?>?>?>-“”， 于是n N >时， < N n a a a a a εε-<<≤+，从而n a a ε-<，所以 l i m n n a a →∞=． 同理可证(2)． 4 区间套定理 定义1 若闭区间列[]{} ,n n a b 满足(1) [][]11 ,,n n n n n a b a b ++??，； (2) lim()0n n n b a →∞-=，则称这列闭区间列[]{} ,n n a b 为闭区间套，简称区间套． 在区间套[]{} ,n n a b 中，端点满足1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤ ．即由左端点构成的数列{}n a 单调上升有上界；由右端点构成的数列{}n b 单调下降有下界． 定理1 (区间套定理) 若闭区间列[]{} ,n n a b 为区间套，则[]|, , ,n n n a b ξξ???∈“”． 证：(存在性) 因为[]{} ,n n a b 为闭区间套，所以由单调有界性定理知{}n a 、 {}n b 收敛． 由lim()0 n n n b a →∞ -=知两极限相等．设lim lim n n n n a b ξ →∞ →∞ ==，则 [], ,n n n a b ξ?∈． (唯一性) 若[],, ,n n n a b ξξ''???∈“”，则, ||n n n b a ξξ'?-≤-． 而lim()0 n n n b a →∞ -=，所以ξξ'=．综上可知，结论成立． 注意： (1) ξ是闭区间套[]{} ,n n a b 确定的点，则 []0, 0, ,(,)n n N n N a b U εξε?>?>?>??“”； (2) 闭区间套定理中，若把闭区间换为开区间，则定理不成立．例如10,n ?? ???? ?????，就找
数学分析教案 【篇一：《数学分析》教案】 《数学分析》教案 s f 01 ( 数 ) c h0 数学分析课程简介 c h 1 实数集与函数 计划课时： ch 0 2时 ch 1 6时 p 1—8 说明： 1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）. 按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容. 本教案共2 7 9页，分2 1章 . 2. 取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996； [2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出 版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； ch 0数学分析课程简介 ( 2 时 ) 一. 数学分析(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从切线、面积、计算sin32?、实数定义等问题引入. 2. 极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研 究实变实值 函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极 限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些 运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积 分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别.. 二．数学分析的形成过程：
数学分析第一册教学设计 一、教学目标 通过本次教学，学生应该能够： 1.理解数列极限和函数极限的概念，以及其与数列和函数连 续性的关系； 2.掌握基本的极限计算方法和判断极限大小的方法； 3.了解导数的定义和基本性质，并学会使用导数求解极值和 函数图像的特征参数； 4.熟悉微积分学中的左右导数、导数存在性和意义，掌握间 断点及其分类和处理方法。 二、教学内容及进度 本次教学将集中讲解以下主题： 1. 数列极限和函数极限 •数列极限的定义和性质； •函数极限的定义和性质； •数列极限和函数极限的关系； •函数连续性的概念和性质。 时间：2课时
2. 极限计算和判断 •常用数列极限计算方法； •常用函数极限计算方法； •极限大小的判断方法。 时间：4课时 3. 导数与函数图像 •导数的定义和性质； •函数极值和单调性的判定； •特殊函数图像及其性质。 时间：4课时 4. 左右导数、导数存在性、间断点 •多项式函数、初等函数、三角函数等导数计算； •函数的左右导数和导数存在性的判断； •函数的间断点及其分类和处理方法。 时间：4课时 三、教学方法 本节课采用讲授、互动、案例分析、讨论等多种教学方法结合实例演示进行教学。在讲授环节中，注重理论知识的讲解和模型陈述；在案例分析和讨论环节中，讲解实际问题的解决思路，并引导学生从案例中发现问题，探索解决问题的方法。
四、教学流程 时间内容 1-2课时数列极限和函数极限 3-6课时极限计算和判断 7-10课时导数与函数图像 11-14课时左右导数、导数存在性、间断点 五、评价与建议 在教学评价中，将注重学生自主学习能力和求知欲的培养，在学习 过程中，教师将引导学生进行探索和思考，通过掌握本节课的知识和 方法，学生应能够在实际应用中灵活运用，掌握解决实际问题的方法。 六、参考资料 •小金牛教育《数学分析第一册》； •南开大学《数学分析》教程； •教育部《高等数学教学与研究》杂志。
第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 一． 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. ”定义. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“ 例1 对定义在 义验证其收敛域为 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .
⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 .
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性 质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列 . , ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 , ，. 推论1 在D上 D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 应用系2 判断函数列
§ 6 重积分的应用 (一)教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力. (二)教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式. 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式. (三)教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题. 一曲面的大面积 设D为可求面积的平面有界区域函数在D上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 z 二f (x, y) , (x, y) D 所确定的曲面S的面积丄二 厶S = '：八厶A i i =1 i =1 n 当||T|| > 0时，可用和式A的极限作为S的面积 i m 首先计算A的面积，由于切平面的法线向量就是曲面量，记它与z轴的夹角为i，则S在M i( I,I,I)处的法线向 Aa i n I n
i 1 f ；( i , i ) - f y 1 2 ( i , i ) V f x 2 ( i , i ) f ：( i , i )*i J f X 2( i , i ) ■ f ,2(\, i )在有界闭域上的积分和，所以当 ||T||》0时，就得 •)s 詔化二 J f x 2( i , i ) f ；( i , Jr 鼻 J f x 2(X j ,y 」f ；(X j , yjdxdy D ® lim J i 虬 |T|T y |cos ；'i )| D |cos(n,z) | n n ［一 A i 八 i 4 i A J f ；( i , i ) f ；( i , i )*i
大学十四年级数学教案学习数学分析与数论 的高级理论与应用 大学十四年级数学教案：学习数学分析与数论的高级理论与应用 一、引言 数学分析和数论是大学数学中的两个重要分支，它们探究了数学的 高级理论与应用，为学生提供了深刻的数学思维和问题解决能力。本 教案旨在引导大学十四年级的数学学生系统学习数学分析与数论的高 级理论与应用，提高他们在数学领域的能力。 二、教学目标 1. 理解数学分析与数论的基本概念和原理； 2. 掌握数学分析与数论的高级理论和重要定理； 3. 能够运用数学分析与数论解决实际问题； 4. 培养学生的逻辑思维能力和证明能力； 5. 培养学生对数学的兴趣和研究能力。 三、教学内容 本教案分为数学分析和数论两个部分，介绍它们的高级理论与应用。 1. 数学分析
数学分析研究函数、极限、连续性、微分和积分等概念和性质。在本部分中，我们将学习以下内容： 1.1 函数的性质与分类 1.2 极限与连续性 1.3 微分学与导数 1.4 积分学与不定积分 2. 数论 数论研究整数的性质与规律，探索整数之间的关系和数学结构。在本部分中，我们将学习以下内容： 2.1 整数的性质与分类 2.2 素数与合数 2.3 数论中的重要定理与应用 2.4 费马大定理及其证明 四、教学方法与策略 在教学过程中，我们将采用以下方法与策略： 1. 理论授课：系统地介绍数学分析与数论的基本概念和性质，并讲解相应的证明过程；
2. 实例演练：通过具体的实例，辅助学生理解数学分析与数论的高级理论与应用； 3. 问题讨论：引导学生思考和讨论数学分析与数论中的问题，并帮助他们培养逻辑思维和解决问题的能力； 4. 独立研究：鼓励学生进行独立的数学研究，提高他们的创新思维和自主学习能力。 五、教学评估与反馈 为了评估学生的学习效果和掌握情况，我们将采用以下评估方式： 1. 课堂测验：通过课堂小测验，检验学生对数学分析与数论的理解程度； 2. 作业评价：评估学生完成的作业质量和水平； 3. 期末考试：进行全面的期末考试，考察学生对数学分析与数论的掌握情况； 4. 学习反馈：根据评估结果，及时给予学生学习反馈，帮助他们找到问题并加以改进。 六、教学资源 为了辅助教学，我们将提供以下资源： 1. 教材：配备相应教材，包括数学分析与数论的理论与应用； 2. 参考书籍：推荐相关的参考书籍，供学生进一步阅读和学习；
《工科数学分析》课程教案 一、无穷小量 定义1 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小 当0x x →时，如果函数)(x f 的极限为0，则称当0x x →时，)(x f 是无穷小量 同样可以给出其他极限过程的无穷小量的定义 若数列{n a }的极限为0，则{n a }是无穷小量 注 （1）无穷小量不是很小的数 （2）数零是唯一可作为无穷小的常数 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外 （3）无穷小指量的变化状态，而不是量的大小 （4）任意无穷小量都为有界量 1、无穷小与极限的关系 定理1 A x f x x =→)(lim 0⇔0))((lim 0 =-→A x f x x 推论 A x f x x =→)(lim 0⇔α+=A x f )(，其中0lim 0 =→αx x 2、无穷小量的性质 定理2 同一极限过程的两个无穷小的和、差、积仍是无穷小 例如，当0→x 时，x x sin ±、x x sin 也是无穷小量 定理3 无穷小量与有界量之积是无穷小量 例如，当0→x 时，x x cos ，x x 1sin 2也是无穷小量 推论1 任一常数与无穷小量之积是无穷小量 例如，当0→x 时，x sin 3也是无穷小量 推论2 有限个无穷小量之积是无穷小量 注 两个无穷小之商未必是无穷小 定理4 无穷小除以极限大于零（或小于零）的量的商仍未无穷小 二、无穷大量 定义2 当0x x →时，若)(x f 的绝对值无限增大，则称当0x x →时，)(x f 是无穷大量，
简称无穷大，记作∞=→)(lim 0 x f x x 若数列{n x }当∞→n 时，它项的绝对值无限增大，则{n x }是无穷大量，记成∞=∞→n n x lim 注 1）无穷大量不是一个很大的数 2）无穷大量的实质是极限不存在 3）无穷大必无界，反之不真，例如x x x f sin )(=在)(+∞U 无界，但πn x n 2=时，0)(lim =∞ →n n x f 4）两个无穷大的代数和未必为无穷大，例如x a 与x a -（1,>+∞→a x ）都是无穷大，但他们的和却是无穷小 1、无穷大量的性质 定理5 同一极限过程的两个无穷大的积仍是无穷大 定理6 无穷大与有界量之和仍为无穷大 2、无穷大与无穷小的关系 定理 5 如果当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 是无穷大量，那么)(1x f 就是当0x x →（或∞→x ）时的无穷小量；反过来，如果当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 是非零无穷小量，那么)(1x f 就是当0x x →（或∞→x ）时的无穷大量