数学分析教案
一、教案概述
本教案是为高中数学分析课程编写的，旨在帮助学生掌握数学分析
的基础知识和解题技巧。通过系统的教学安排，结合生动的教学方法，提高学生的学习兴趣和主动性，达到有效教学的目的。
二、教学目标
1. 知识与理解目标：
- 掌握函数、极限、导数和积分等基本概念；
- 理解数列、级数和函数收敛与发散的概念；
- 理解函数的连续性和可导性。
2. 能力目标：
- 能够正确运用函数的极限、导数和积分的计算方法；
- 能够分析和解决实际问题；
- 能够利用数学分析解决相关学科的问题。
3. 情感目标：
- 培养学生对数学的兴趣和好奇心；
- 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学重难点
1. 教学重点：
- 函数、极限、导数和积分的基本概念和性质；
- 极限运算法则、导数计算法则和积分计算法则的掌握。
2. 教学难点：
- 函数连续性和可导性的理解和判断；
- 极限的证明和应用。
四、教学内容和安排
本教案共包括以下内容：
1. 第一章函数与极限
- 1.1 函数概念及其运算
- 1.2 极限的概念与性质
- 1.3 极限运算法则
2. 第二章导数与微分
- 2.1 导数的概念与计算
- 2.2 导数的应用
3. 第三章不定积分
- 3.1 不定积分的概念与性质
- 3.2 基本积分公式
- 3.3 积分法与定积分
4. 第四章一元函数微分学应用
- 4.1 驻点与极值
- 4.2 一元函数的应用问题
五、教学方法与手段
1. 讲授法：通过清晰的语言和具体的实例讲解基本概念和性质；
2. 演示法：通过图像和图表等形式展示数学分析的过程和结果；
3. 实践法：设置一些练习和问题让学生积极参与，提高实际运用能力。
六、课堂活动与作业安排
1. 课堂活动：
- 利用实例引出函数的概念和运算法则；
- 通过图像展示极限的概念和性质；
- 设计小组讨论活动，加深对导数和积分概念的理解。
2. 作业安排：
- 预习下一课的内容，了解相关定义和性质；
- 完成课后习题，巩固所学知识；
- 复习已讲过的内容，加深理解。
七、教学评价与反思
1. 教学评价：
- 根据学生的课堂表现和作业完成情况，进行定期考核；
- 配备合适的评价标准，评估学生的知识掌握情况。
2. 教学反思：
- 不断调整教学方法和手段，提高教学效果；
- 关注学生的学习动态，及时调整教学内容和节奏。
通过本教案的设计和实施，相信学生在数学分析方面的知识和能力将得到全面提高。希望学生能够主动参与到教学活动中，积极探索、思考和解决问题，达到理论与实践相结合的学习效果。
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3 为极限，对ε=10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
大学数学分析方法教案 大学数学分析方法教学内容： 第一部分：函数与极限 1.函数的概念及性质 定义函数，函数的分类，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。 2.数列极限 数列的概念，数列极限的定义，极限存在判定定理。 3.函数极限 函数极限的定义，函数极限的性质，极限存在判定定理。 4.连续性 函数的连续性概念，连续函数性质，间断点。 第二部分：导数与微分 1.导数概念 导数的定义，导数的性质，导数的几何意义。 2.微分学基本公式 微分的概念，微分学基本公式，微分中值定理。 3.导数的应用 导数的物理意义，最大值与最小值，曲率与余曲率，泰勒公式。 第三部分：积分与反演定理 1.定积分 定积分的定义，定积分的性质，定积分计算。 2.不定积分 不定积分的定义，常见函数的不定积分，积分表。
3.反演定理 反演定理的概念，拉普拉斯反演定理，傅里叶反演定理。 第四部分：多元函数微积分 1.多元函数的导数 多元函数的偏导数，多元函数的全导数，多元函数的导数和微分。 2.重积分 二重积分的定义，性质，计算方法；三重积分的定义，性质，计算方法。 3.曲线积分和曲面积分 第一类曲线积分的定义，计算方法；第二类曲线积分的定义，计算方法；曲面积分的定义，计算方法。 教学方法： 本课程的授课方式采用理论与实践相结合的教学法，注重讲明概念、定理与公式，并通过数学应用实例深入阐述其具体的计算方法，以便学生真正理解学习到的知识。 在课程的教学中，特别注重实战操作，为学生提供大量实验、计算及解题实例，增强学习者的实践能力，使学生能够更好地理解抽象的数学原理与方法，并能将其灵活应用于实际中去。 总结： 通过本课程学习，学生将掌握数学分析基本概念、优化方法及其计算应用等全面而深入的知识体系，加深对数学的理解，并提升数学分析能力，为其今后的求学、研究及实践积累了更深入的理论基础和实践技能。
数学分析教案 第一章 第一章 实数集与函数 §1 实数 (一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议： (1) 本节主要复习中学的有关实数的知识． (2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用． §2 数集.确界原理 (一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理． (1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,, λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >； 或 ,, λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题． §3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法． (二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数． (2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象． §4 具有某些特性的函数 (一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：
八年级下册数学分析教案大全(6 篇) 八年级下册数学分析教案大全精选篇1 一、教材分析 本节内容是人民教育出版社出版《义务教育课程实验教科书（五四学制）数学》（供天津用）八年级下册第十章整式第一节整式加减第2小节整式的加减。 二、设计思想 本节内容是学生掌握了“整式”有关概念的延展学习，为后继学习整式运算、因式分解、一元二次方程及函数知识奠定基础，是“数”向“式”的正式过度，具有十分重要地位。 八年级学生已具有了较强的数的运算技能和“合并”的意识（解一元一次方程中用）同时也具有初步的观察、归纳、探索的技能。因此，我结合教材，立足让每个学生都有发展的宗旨，我采用合作探究的学习方式开展教学活动，通过设计有针对性、多样式的问题引导学生，给学生提供充足的、和谐的探索空间让学生学习。通过学习活动不但培养学生化简意识，提升数学运算技能而且让学生深刻体会到数学是解决实际问题的重要工具，增强应用数学的意识。 三、教学目标： （一）知识技能目标： 1、理解相似物品的含义，并能区分相似物品。 2.掌握合并相似项的方法，熟练合并相似项。
3、掌握整式加减运算的方法，熟练进行运算。 （二）过程方法目标： 1、通过探究同类项定义、合并同类项的方法的活动，培养学生观察、归纳、探究的能力。 2.通过相似项和代数表达式的加减练习相结合，提高了学生的运算技能，提高了运算的准确性，培养了学生的化简意识，发展了学生的抽象概括能力。 3.通过研究举实例和探究实例1的活动，发展学生的形象思维，初步培养学生的符号感。 （三）情感价值目标： 1、通过交流协商、分组探究，培养学生合作交流的意识和敢于探索未知问题的精神。 2.通过学习活动培养学生科学严谨的学习态度。 四、教学重、难点： 合并同类项 五、教学关键： 同类项的概念 六、教学准备： 教师： 1、筛选数学题目，精心设置问题情境。 2.制作两个不同大小的长方形纸盒的实物模型，展开。
数学分析1教案泰勒公式 §3.泰勒公式 [教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。 [教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异； （2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余 项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。 [教学重点]Taylor 公式 [教学难点]Taylor 定理的证明及应用。 [教学方法]系统讲授法。 [教学程序] 引言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点0x可导，则有有限存在公式；
0000((((0。 fxfxfxxxxx'=+-+-即在0x附近，用一次多项式 1000((((pxfxfxxx'=+-逼近函数f(x)时，其误差为00(xx-。 然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或 高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00(xx-，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式： 0100(((n nnpxaaxxaxx=+-++-易见： 00(napx=，01(1!npxa'=，02(2!npxa''=，…，(0(! nnnpxan=（多项式的系数由其各阶导数在0x的取值唯一确定）。 对于一般的函数，设它在0x点存在直到n阶导数，由这些导数构造 一个n次多项式如下： (00000((((((1!! nn nfxfxTxfxxxxxn'=+-++-称为函数f在点0x处泰勒多项式，(nTx的 各项函数，(0(! kfxk（k＝1,2,…,n）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0((0(()n nfxTxxx-=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有0((0(()n
数学试卷分析教案模板（共7篇） 数学试卷分析课教案 1、培养学生学会分析自己试卷失分的原因及感受。 2、正确熟练地计算两位数乘两位数的乘法和两步混合运算。 3、培养学生联系生活实际，提出问题和解决问题的能力。教学 重点： 1、让学生学会分析试卷中失分的原因。 2、提高计算正确率和解决问题的能力。教学过程： 一、谈话揭题 二、分析错题的原因 1、观察几位同学的试卷，分析他们做错的原因，给他们提点意见。（1）漏：漏做，漏写横式答案，漏写得数末尾的0。（2）没 看清题目：运算符号，运算顺序，抄错。（3）计算方法不对：没有退位，数位没对齐。 2、请同学们拿出试卷，算一算你这次考试共丢了几分？并想一 想原来可以考几分？这次失分的原因是什么？（同桌互相交流失分 原因。） 3、全班交流：对照自己，你有没有和他们类似或者是相同的错 误原因呢？（全班交流。）今后遇到计算题，应该注意什么？（指 名回答。）（1）看清题目（2）不漏做漏写（3）数位对齐，注意退位。（4）勤摆竖式，多摆竖式。（5）运用估算 4、请做全对的同学说一说自己为什么能够做全对。 这些粗心做错的题目，老师相信同学们一定能自己订正好。现在，我们一起来看看同学们错的较多的几道题目。
1、在（ ）里应该填几？ （ ）×80=3200 70×（ ）=4200（ ）÷90=70 （ ）×40+600=1000（1）你觉得（ ）里应该填几？你是怎么想的，你为什么这么填？（2）（ ）÷90=70，括号里是填630还是6300，为什么？ （3）（ ）×40+600=1000，这个题目应该怎么做呢，好象有点难？谁能给大家说说自己的方法。（多请几个同学说（4）出示补充题： （ ）×20+40=100 （ ）+51×2=200 63÷3-（ ）=201）学生独立完成。2）说一说算法。 2、填空题。 45的30倍是（ ），2800是40的（
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用. 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式. 教学时数：18学时 §1 可微性 一．可微性与全微分: 1．可微性：由一元函数引入。亦可写为， 时。 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性。P107例1 二。偏导数： 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.求偏导数：
例2 , 3 , 4 . P109-110例2 , 3 ，4 。 例5. 求偏导数。 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求。 例8。求和。 解=， =。 例9 证明函数在点连续, 并求和。 证 . 在点连续 . , 不存在。
三。可微条件: 1。必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且 。( 证）由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件，但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . ［1]P110 例5 。 2。充分条件： Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续。则函数在点可微 . （证）P111
Th 3 若在点处连续，点存在, 则函数在点 可微 . 证 . 即在点可微。 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件。 例11 验证函数在点可微，但和在点处不连续 . (简证，留为作业）证 因此，即， 在点可微，。但时, 有 ,
第一章实数集与函数 第一章实数集与函数 教学目的： 1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念； 2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。 教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时 § 1 实数（2学时） 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： 1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； 2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 一．复习引新： 1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义. 2.四则运算封闭性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性: 5.稠密性:有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6.实数集的几何表示───数轴:
7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二. 讲授新课： （一）. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: ⑴ ⑵均值不等式: 对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当且, 且时, 有严格不等式 证：由且
数学分析教案设计 数学分析教案设计 考试科目：数学分析 《数学分析》 一、题目类型：证明题、计算题。 二、参考教材：1 、《数学分析教程》，编者：常庚哲等，高等教育出版社 2 、《数学分析》，编者：李成章、黄玉民，科学出版社 三、基本内容： 1 、极限论包括：（ 1 ）数列极限（含上、下极限）；（ 2 ）函数极限；（ 3 ）函数的连续性及其应用；（ 4 ）实数的六个等价命题；（ 5 ）无穷小（大）量及其阶数。 2 、单变量微积分学包括：（ 1 ）导数和微分；（ 2 ）微分学的基本定理（ Lagrange 定理及 Fermat, Rolle, Cauchy 定理和 Taylor 公式）及其应用；（ 3 ）不定积分；（ 4 ）定积分与可积性；（ 5 ）广义积分与瑕积分；（ 6 ）含参变量的`广义积分。 3 、级数论包括：（ 1 ）数项级数；（ 2 ）函数项级数与幂级数；（ 3 ） Fourier 级数与 Fourier 变换；（ 4 ）级数的各种收敛性及判别法。 4 、多变量微积分学包括：（ 1 ）二重和三重积分；（ 2 ）第一和第二类曲线积分；（ 3 ）第一和第二类曲面积分；（ 4 ）各种积分间的关系（ Green, Gauss 和 Stokes 公式）及其应用；（ 5 ）场论初步（梯度，散度和旋度的定义）。 四、基本要求： 1 、能正确使用ε—δ，ε—N 语言及数学分析中的基本定理刻划和证明有关极限，连续性（间断性），一致连续性（不一致连续性），可积性（不可积性），收敛性（发散性），一致收敛性（不一致连续性）等问题。 2 、能准确计算极限，导数和积分，级数（幂级数和 Fourier 级数）
数学分析教案 一、教案概述 本教案是为高中数学分析课程编写的，旨在帮助学生掌握数学分析 的基础知识和解题技巧。通过系统的教学安排，结合生动的教学方法，提高学生的学习兴趣和主动性，达到有效教学的目的。 二、教学目标 1. 知识与理解目标： - 掌握函数、极限、导数和积分等基本概念； - 理解数列、级数和函数收敛与发散的概念； - 理解函数的连续性和可导性。 2. 能力目标： - 能够正确运用函数的极限、导数和积分的计算方法； - 能够分析和解决实际问题； - 能够利用数学分析解决相关学科的问题。 3. 情感目标： - 培养学生对数学的兴趣和好奇心； - 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。 三、教学重难点
1. 教学重点： - 函数、极限、导数和积分的基本概念和性质； - 极限运算法则、导数计算法则和积分计算法则的掌握。 2. 教学难点： - 函数连续性和可导性的理解和判断； - 极限的证明和应用。 四、教学内容和安排 本教案共包括以下内容： 1. 第一章函数与极限 - 1.1 函数概念及其运算 - 1.2 极限的概念与性质 - 1.3 极限运算法则 2. 第二章导数与微分 - 2.1 导数的概念与计算 - 2.2 导数的应用 3. 第三章不定积分 - 3.1 不定积分的概念与性质
- 3.2 基本积分公式 - 3.3 积分法与定积分 4. 第四章一元函数微分学应用 - 4.1 驻点与极值 - 4.2 一元函数的应用问题 五、教学方法与手段 1. 讲授法：通过清晰的语言和具体的实例讲解基本概念和性质； 2. 演示法：通过图像和图表等形式展示数学分析的过程和结果； 3. 实践法：设置一些练习和问题让学生积极参与，提高实际运用能力。 六、课堂活动与作业安排 1. 课堂活动： - 利用实例引出函数的概念和运算法则； - 通过图像展示极限的概念和性质； - 设计小组讨论活动，加深对导数和积分概念的理解。 2. 作业安排： - 预习下一课的内容，了解相关定义和性质； - 完成课后习题，巩固所学知识；
§ 9.1二重积分概念与性质 【目的要求】 1、了解二重积分的概念； 2、会用估值定理估计二重积分的范围； 3、会应用二重积分的中值定理证明等式或不等式. 【重点难点】 二重积分的概念与性质. 【教学内容】 一、二重积分的概念 在一元积分学屮，我们为了计算单变量函数与坐标轴围成的平面曲边梯形的面积和变力所做的 功，应用有限变无限，精确变近似，引进了定积分的概念，使问题得以解决.对于多元函数，也有类 似的问题.下面通过两个例子引进二重积分的概念. 1.二重积分的概念 （1）曲顶柱体的体积的计算 设有一立体，它的底是xOj面上的有界闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行 于z轴的柱面，它的顶是曲面z=/（x,y）,这里/（x,j；）>0且在D上连续，这种立体叫做曲J页柱体. 下面我们讨论曲顶 柱体体积的计算方法. Z I ■ I ：■ | i i ：■ i i i ：■ i i i ； i i %1分割：体积具有可分性和可加性.将区域。任意分成"个矩形小区域 △<71，△叭，△。3，, A CT,, 同时△©也表示第i个小区域的面积，这样就把该曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.以表示以g 为底的第i个小曲顶柱体的体积，7表示以D为的曲顶柱体的体积，则有 V= £ AF Q［，ksai］ /=i 厶［'总J %1近似：在每个小区域M（心1,2,3,…屛）内任取一点（伽）,把以/（伽）为高，以5为底的 平顶柱体的体积/（&,%）△©作为M的近似值，即 WgfSZ，（Z= 1,2,3,-,«） %1作和： v'= a /(©,%)也©
i=l 则厂是7的一个近似值. %1求极限：当分割越来越细，小区域越来越小，且逐渐收缩接近于一个点时，总和厂就越来越接近于真值V. 我们用必表示小区域g内任意两点间距离的最大值，称为该区域的直径（匸1,2,3,•••,"）,如果当厶max®%……"”｝趋于零时，厂的极限存在，我们就将这个极限值定义为曲顶柱体的体积，即 V= lim a /（©,%）也6 i= 1 （2）平面薄片的质量 设平面薄片（不计厚度）所占面积为闭区域D, Q上任意点（九刃的面密度函数为p=p（x,y）,这里p（x,y）＞0且在。上连续.当面密度是常数时 质量=面密度X面积. 由于区域D内不同点的面密度不一样，故上式就不适用了.象上面所做的一样，将区域D任意分成"个小区域.由于"（砂）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域△©的直径足够小，这些小块就可近似地看作是均匀薄片，在上任取一点（細汀,则 p（4^'）-Acr,- 可以看作第7个小块的质量的近似值.通过求和，取极限，便得出 i= 1 上述两个问题的实际意义虽然不同，但所求的量都归结为同一形式的和的极限.在实际问题中，许多物理或经济问题的解决都可以归结为这一形式的和的极限.因此我们要研究这一类和式的极限，并抽象出下述二重积分的定义. 2.二重积分的定义 【定义】设是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域Q任意分成"个小的闭区域 △（71，A®，A CF3, .,Acr w 其中表示第i个小区域，也表示第i个小区域的面积.在每个小区域上任意取一点（乙〃），作乘积/（乙,/）仏6 （j=l,2,3,…，并作和 a /（©，%）如， Z=1 如果当各小闭区域As的直径中的最大者趋于零时，这和的极限总存在 i= 1 则称此极限值I为函数/（砂）在闭区域D上的二重积分（一个变量的定积分称为单积分）,并称/（砂）在Q上回超，记作 蝌/（X」）亦， D 即
数学分析教案华东师大版 一、教学目标 通过本课程的学习，学生应该能够： 1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理； 2.掌握数学分析中的常用方法和技巧； 3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力； 4.培养学生的数学思维和创造性思维。 二、教学内容 本教案主要包括以下内容： 1.函数、极限与连续性 –函数的定义和性质 –极限的定义和性质 –连续函数的定义和性质
–极限存在的判定方法 –无穷小量与无穷大量 2.一元函数的微分学 –导数的定义和性质 –导数的几何意义和物理意义 –某类函数的导数 –高阶导数与导数的运算法则 –隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学 –积分的定义和性质 –函数的原函数与不定积分 –定积分的定义和性质 –定积分的计算方法 –积分中值定理
4.多元函数的微分学 –多元函数的定义和性质 –多元函数的极限和连续性 –偏导数和全微分 –隐函数与参数方程的求导公式 –多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学 –重积分的定义和性质 –二重积分的计算方法 –三重积分的计算方法 –曲线与曲面的面积与弧长 –应用于物理和几何的多重积分
三、教学方法 1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识； 2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧； 3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维； 4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。 四、教学工具 在教学过程中，我们将使用以下工具： 1.教材：华东师大版《数学分析》教材； 2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法； 3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤； 4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；
《数学分析》教案-第三章函数极限
第三章 函数极限 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例. 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势. 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势. 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1,0; ()0,0.x f x x ≠⎧=⎨ =⎩ 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, . 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限. §1 函数极限的概念 教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．
数学分析教案 【篇一：《数学分析》教案】 《数学分析》教案 s f 01 ( 数 ) c h0 数学分析课程简介 c h 1 实数集与函数 计划课时： ch 0 2时 ch 1 6时 p 1—8 说明： 1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）. 按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容. 本教案共2 7 9页，分2 1章 . 2. 取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996； [2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出 版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； ch 0数学分析课程简介 ( 2 时 ) 一. 数学分析(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从切线、面积、计算sin32?、实数定义等问题引入. 2. 极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研 究实变实值 函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极 限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些 运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积 分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别.. 二．数学分析的形成过程：
第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值及凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义及几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”及物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/a819204980.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且
八年级下册数学分析教案简短5篇 八年级下册数学分析教案简短5篇 八年级数学教案很有意思。语文能力是学习其他学科和科学的基础，也是一门重要的人文社会科学，是人们相互交流思想等的工具。下面小编给大家带来关于八年级下册数学分析教案简短，希望会对大家的工作与学习有所帮助。 八年级下册数学分析教案简短（篇1） 教学目的 1、使学生了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。 2、使学生能了解实数绝对值的意义。 3、使学生能了解数轴上的点具有一一对应关系。 4、由实数的分类，渗透数学分类的思想。 5、由实数与数轴的一一对应，渗透数形结合的思想。 教学分析 重点：无理数及实数的概念。 难点：有理数与无理数的区别，点与数的一一对应。 教学过程 一、复习 1、什么叫有理数？ 2、有理数可以如何分类？ （按定义分与按大小分。） 二、新授 1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数。 2、实数的定义：有理数与无理数统称为实数。
3、按课本中列表，将各数间的联系介绍一下。 除了按定义还能按大小写出列表。 4、实数的相反数： 5、实数的绝对值： 6、实数的运算 讲解例1，加上（3）若|x|=π（4）若|x-1|=,那么x的值是多少？ 例2，判断题： （1）任何实数的偶次幂是正实数。（） （2）在实数范围内，若|x|=|y|则x=y。（） （3）0是最小的实数。（） （4）0是绝对值最小的实数。（） 解：略 三、练习 P148练习：3、4、5、6。 四、小结 1、今天我们学习了实数，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，二是对实数两种不同的分类要清楚。 2、要对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，来理解在实数中的运用。 五、作业 1、P150习题Ａ：３。 2、基础训练：同步练习1。 八年级下册数学分析教案简短（篇2） 一、教材分析 （一）教材地位 这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中
数学分析教案第二十一章重积分 一、教学目标 1.掌握重积分的定义和性质。 2.了解重积分的计算方法和应用。 3.能够熟练运用重积分解决实际问题。 二、教学重难点 1.重积分的计算方法。 2.重积分的应用。 三、教学内容和教学步骤 1.重积分的引入 通过提问引导学生回顾定积分的概念和计算方法，并对比定积分与重积分的异同之处，引出重积分的概念。 2.重积分的定义和性质 定义：设D为平面上的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界，将D 分成许多小矩形，取其中任意一个小矩形，设其面积为ΔA，取小矩形的一些点(xi,yi)，使得(xi,yi)在小矩形内，记作(Pi)，则称 Σf(xi,yi)ΔA为f(x,y)在D上的一个二重积分，记作∬D f(x,y)dxdy。 性质：（1）线性性质：∬D (αf(x,y)+βg(x,y))dxdy = α∬D f(x,y)dxdy + β∬D g(x,y)dxdy，其中α、β为常数。
（2）可加性质：D = D1 ∪ D2，则∬D f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。 （3）保号性质：若f(x,y)在D上非负，则∬D f(x,y)dxdy ≥ 0。 3.重积分的计算方法 （1）累次积分法：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。 （2）极坐标法：适用于具有极坐标形式的函数，通过变量代换，将重积分转化为二重积分。 （3）换元法：通过变量代换，将重积分中的积分区域变换为简单形式，然后计算二重积分。 4.重积分的应用 （1）计算质量：对密度函数和有界闭区域进行重积分，得到物体的质量。 （2）计算重心：对密度函数、有界闭区域和轴线进行重积分，得到物体的重心坐标。 （3）计算面积：对平面区域的特定函数进行重积分，可以计算出该区域的面积。 （4）计算二重积分：通过重积分计算曲面的面积、曲面的体积以及曲面与平面的交线弧长。 四、课堂练习及讲评 1.小组讨论解决以质量和重心为主题的实际问题。 2.学生上台展示解决问题的过程和结果。
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值 函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究 一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累 时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时 期： 三、数学分析课的特点:
逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要 在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带
第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 在上一章开头讨论过由连续曲线y =f （x )（≥0),以及直线x =a ，x =b （a 〈b ）和x 轴所围曲边梯形的面积为()b b a a A f x dx ydx ==⎰⎰，如果f （x ）在[a , b ]上不都是非负的，则所围图形的面积为|()|||b b a a A f x dx y dx ==⎰⎰，一般地,由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x ）以及两条直线x =a ， x = b （a 〈b )所围的平面图形,它的面积计算公式为21[()()]b a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积. 解 该平面图形如图所示。先求出抛物线与直线的交点坐标（1，-1）、(9，3)，用x =1把图形分成左 右两部分，应用公式得111004[()]23A x x dx xdx =--==⎰⎰，921328[]23 x A x dx -=-=⎰,所以A=A 1+A 2=32/3. 本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²，x =2y +3，y∈[1，3］，改取积分变量为y ，便得32132[23]3 A y y dy -=--=⎰。 设曲线C 由参数方程x=x(t)，y=y （t ），t ∈[，]给出,在［a ,b ］上y(t)连续,x=x(t ）连续可微且x ’(t ）≠0(对x(t ）连续，y=y(t ）连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论)，记a=x(）,b=x （)(a 〈b 或a>b)，则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为|()()|A y t x t dt β α'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint)，y=a （1-cost ）（a>0）的一拱与 x 轴所围平面图形的面积. 解 摆线的一拱可取t ∈［0，2π],所求面积为 2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰ ⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y （t ）,t ∈［,]是封闭的，既有x （）=x(），y()=y （),且在（ ，）上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰（或|()()|A x t y t dt βα '=⎰）,此公式可由前面推出,绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t)，y=y （t ），t ∈［a ，b ］的旋转方向所确定。 例3求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a ] 因为面积元素为ydx 所以⎰=a ydx S 04椭圆的参数方程为：x a cos t y b sin t 于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b ⎰-=0 22sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=2 2 当a=b=r 时,这就等于圆的面积πr ². 设曲线C 由极坐标方程r r ()及射线 ∈[]给出，其中r(θ)在［a ，b ］上连续，β—≤2π，由曲线r r （）及射线 围成的图形称为曲边扇形此曲边扇形的面积计算公式为 21[()]2A r d βα θθ=⎰ 这任然可用定积分的基本思想而得.对区间［a ,b ]作任意分割T ：=θ0<θ1<θ2<…。<θn =β，射线θ=θi (i=1,2，…，n —1）把扇形分成n 个小扇形，由于r=r(θ）是连续的，因此当||T|｜很小时，在每一个i 上r=r （θ）的值变化也很小，任取ξi ∈D i ,便有r(θ)≈r（ξi ）, θ∈D i ,i=1，2,…，n ，这时第i 个小扇形的面积DA i ≈0。5 r ²(ξi ） Dθi ，于是211()2n i i i A r ξθ=≈∆∑。由定积分定义和连续函数的可积性,当｜