第十章 定积分的应用
§1 平面图形的面积
在上一章开头讨论过由连续曲线y =f （x )（≥0),以及直线x =a ，x =b （a 〈b ）和x 轴所围曲边梯形的面积为()b b
a a A f x dx ydx ==⎰⎰，如果f （x ）在[a ,
b ]上不都是非负的，则所围图形的面积为|()|||b b
a a A f x dx y dx ==⎰⎰，一般地,由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x ）以及两条直线x =a ， x =
b （a 〈b )所围的平面图形,它的面积计算公式为21[()()]b
a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积.
解 该平面图形如图所示。先求出抛物线与直线的交点坐标（1，-1）、(9，3)，用x =1把图形分成左
右两部分，应用公式得111004[()]23A x x dx xdx =--==⎰⎰，921328[]23
x A x dx -=-=⎰,所以A=A 1+A 2=32/3. 本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²，x =2y +3，y∈[1，3］，改取积分变量为y ，便得32132[23]3
A y y dy -=--=⎰。 设曲线C 由参数方程x=x(t)，y=y （t ），t ∈[，]给出,在［a ,b ］上y(t)连续,x=x(t ）连续可微且x ’(t ）≠0(对x(t ）连续，y=y(t ）连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论)，记a=x(）,b=x （)(a 〈b 或a>b)，则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为|()()|A y t x t dt β
α'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint)，y=a （1-cost ）（a>0）的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
解 摆线的一拱可取t ∈［0，2π],所求面积为
2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰
⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y （t ）,t ∈［,]是封闭的，既有x （）=x(），y()=y （),且在（
，）上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰（或|()()|A x t y t dt βα
'=⎰）,此公式可由前面推出,绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t)，y=y （t ），t ∈［a ，b ］的旋转方向所确定。
例3求椭圆12222=+b
y a x 所围成的图形的面积 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍
椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a ] 因为面积元素为ydx
所以⎰=a ydx S 04椭圆的参数方程为：x a cos t y b sin t 于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b ⎰-=0
22sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=2
2
当a=b=r 时,这就等于圆的面积πr ².
设曲线C 由极坐标方程r r ()及射线 ∈[]给出，其中r(θ)在［a ，b ］上连续，β—≤2π，由曲线r r （）及射线 围成的图形称为曲边扇形此曲边扇形的面积计算公式为
21[()]2A r d βα
θθ=⎰ 这任然可用定积分的基本思想而得.对区间［a ,b ]作任意分割T ：=θ0<θ1<θ2<…。<θn =β，射线θ=θi (i=1,2，…，n —1）把扇形分成n 个小扇形，由于r=r(θ）是连续的，因此当||T|｜很小时，在每一个i 上r=r （θ）的值变化也很小，任取ξi ∈D i ,便有r(θ)≈r（ξi ）, θ∈D i ,i=1，2,…，n ，这时第i
个小扇形的面积DA i ≈0。5 r ²(ξi ） Dθi ，于是211()2n
i i i A r ξθ=≈∆∑。由定积分定义和连续函数的可积性,当｜
|T|｜→0时上式右边的极限即为公式21[()]2A r d βα
θθ=⎰的定积分。 例4 求双纽线r ²=a ²cos2θ所围平面图形的面积。
解 因为r ²≥0，所以θ的取值范围是[-0.25π，0.25π]和［0.75π，1。25π］，由图形的对称性及公式得
2224400
14cos 2sin 2|2A a d a a π
πθθθ=⋅==⎰ 参考题1。 计算阿基米德螺线
a (a 〉0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积S
解: ⎰=πθθ202)(21d a S 3220323
4]31[21πθπa a == 参考题2。 计算心形线
a (1cos ) (a 〉0) 所围成的图形的面积S 解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ2022
3]2sin 41sin 223[a a =++=
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A) ( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 3 1]3132[)(10323 1 02 =-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=4 22)214(dy y y S 18]6 1421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12 22 2=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影 区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a y d x S 04?=0 2 )c o s (s i n 4πt a td b
图1-1 图1-2 a =x x x x x x x i 1 定积分的应用 微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。 在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。 1 定积分的概念的提出 问题的提出 曲边梯形的面积 （如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（ 0)(≥x f ）所围成的图形。其中x 轴上区间 ],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。 不妨假定0)(≥x f ， 下面来求曲边梯形的面积。由于c x f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点 1x 、点2x 处高度差别不大。于是可用如下方法求 曲边梯形的面积。 （1） 分割 用直线1x x =， 2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121Λ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为： b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 这里取0x a =，n x b =。区间],[b a 被分割成n 个小
定积分的简单应用导学案 学科：高二数学课型：新授课课时：课时 【导案】 【学习目标】 1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。 2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。 3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。 【学习重难点】 重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。 难点：将实际问题化归为定积分的问题。 【学案】 1．计算平面图形面积的一般步骤 在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助________________直观确定出____________________以及积分的____________。 2．变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________. 3．变力作功 （1）恒力F的作功公式 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。 （2）变力F(x)的作功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。 4．例题分析 【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。 【例2】计算由直线y=x-4，曲线x轴所围图形的面积S. 【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。求汽车在这1min行驶的路程。 【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。 5．达标检测 教材P58 练习 P95 练习 P60 习题A组 B组
数学分析教案华东师大版 一、教学目标 通过本课程的学习，学生应该能够： 1.熟悉数学分析的基本概念和基本原理； 2.掌握数学分析中的常用方法和技巧； 3.培养数学分析的思维方式和解决问题的能力； 4.培养学生的数学思维和创造性思维。 二、教学内容 本教案主要包括以下内容： 1.函数、极限与连续性 –函数的定义和性质 –极限的定义和性质 –连续函数的定义和性质
–极限存在的判定方法 –无穷小量与无穷大量 2.一元函数的微分学 –导数的定义和性质 –导数的几何意义和物理意义 –某类函数的导数 –高阶导数与导数的运算法则 –隐函数与参数方程的求导公式3.一元函数的积分学 –积分的定义和性质 –函数的原函数与不定积分 –定积分的定义和性质 –定积分的计算方法 –积分中值定理
4.多元函数的微分学 –多元函数的定义和性质 –多元函数的极限和连续性 –偏导数和全微分 –隐函数与参数方程的求导公式 –多元函数的极值与最值问题5.多元函数的积分学 –重积分的定义和性质 –二重积分的计算方法 –三重积分的计算方法 –曲线与曲面的面积与弧长 –应用于物理和几何的多重积分
三、教学方法 1.讲授法：通过讲解基本概念和原理，逐步引导学生掌握数学分析的基本知识； 2.示例法：通过实际例子和问题，帮助学生理解和应用数学分析的方法和技巧； 3.探究法：引导学生通过自主思考和探索，培养解决问题的能力和创造性思维； 4.实践法：通过实际应用和实验，帮助学生将数学分析知识应用到实际问题中。 四、教学工具 在教学过程中，我们将使用以下工具： 1.教材：华东师大版《数学分析》教材； 2.黑板和白板：用于讲解和演示数学分析的概念和方法； 3.计算器：用于计算和验证数学分析中的计算步骤； 4.电脑和投影仪：用于展示教材、图片和视频资料；
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积 公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a 续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=?'β α(t)x )t (y dt. 例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积. 解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=?-2π 022)t cos 1(a dt=3πa 2. 公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： : A=?'β α(t)dt x )t (y 或A=?'β α(t)dt y )t (x . 例3：求椭圆22a x +22 b y =1所围的面积. 解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=?2π 02tdt abcos =πab. 公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也 称为扇形，此扇形的面积为：A=?βα2 d θ)θ(r 2 1. 第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 在上一章开头讨论过由连续曲线y =f （x )（≥0),以及直线x =a ，x =b （a 〈b ）和x 轴所围曲边梯形的面积为()b b a a A f x dx ydx ==⎰⎰，如果f （x ）在[a , b ]上不都是非负的，则所围图形的面积为|()|||b b a a A f x dx y dx ==⎰⎰，一般地,由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x ）以及两条直线x =a ， x = b （a 〈b )所围的平面图形,它的面积计算公式为21[()()]b a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积. 解 该平面图形如图所示。先求出抛物线与直线的交点坐标（1，-1）、(9，3)，用x =1把图形分成左 右两部分，应用公式得111004[()]23A x x dx xdx =--==⎰⎰，921328[]23 x A x dx -=-=⎰,所以A=A 1+A 2=32/3. 本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²，x =2y +3，y∈[1，3］，改取积分变量为y ，便得32132[23]3 A y y dy -=--=⎰。 设曲线C 由参数方程x=x(t)，y=y （t ），t ∈[，]给出,在［a ,b ］上y(t)连续,x=x(t ）连续可微且x ’(t ）≠0(对x(t ）连续，y=y(t ）连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论)，记a=x(）,b=x （)(a 〈b 或a>b)，则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为|()()|A y t x t dt β α'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint)，y=a （1-cost ）（a>0）的一拱与 x 轴所围平面图形的面积. 解 摆线的一拱可取t ∈［0，2π],所求面积为 2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰ ⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y （t ）,t ∈［,]是封闭的，既有x （）=x(），y()=y （),且在（ ，）上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰（或|()()|A x t y t dt βα '=⎰）,此公式可由前面推出,绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t)，y=y （t ），t ∈［a ，b ］的旋转方向所确定。 例3求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a ] 因为面积元素为ydx 所以⎰=a ydx S 04椭圆的参数方程为：x a cos t y b sin t 于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b ⎰-=0 22sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=2 2 当a=b=r 时,这就等于圆的面积πr ². 设曲线C 由极坐标方程r r ()及射线 ∈[]给出，其中r(θ)在［a ，b ］上连续，β—≤2π，由曲线r r （）及射线 围成的图形称为曲边扇形此曲边扇形的面积计算公式为 21[()]2A r d βα θθ=⎰ 这任然可用定积分的基本思想而得.对区间［a ,b ]作任意分割T ：=θ0<θ1<θ2<…。<θn =β，射线θ=θi (i=1,2，…，n —1）把扇形分成n 个小扇形，由于r=r(θ）是连续的，因此当||T|｜很小时，在每一个i 上r=r （θ）的值变化也很小，任取ξi ∈D i ,便有r(θ)≈r（ξi ）, θ∈D i ,i=1，2,…，n ，这时第i 个小扇形的面积DA i ≈0。5 r ²(ξi ） Dθi ，于是211()2n i i i A r ξθ=≈∆∑。由定积分定义和连续函数的可积性,当｜ 定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。 首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。 其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。 此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。 综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆 面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。 第六讲 定积分的应用 一、基础知识 几何应用 （一）平面图形的面积 1．直角坐标情形 由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所 围成的曲边梯形面积A 。 ()b a A f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。 由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的 图形面积A 。 ()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b b a a a A f x dx g x dx f x g x dx 2．极坐标情形 设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。 取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。 曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2 ])([21= ⎰=β αθθϕd A )(2 12 （二）旋转体的体积 计算由曲线 y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转 一周而生成的立体的体积。 取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。即：体积元素为 []dx x f dV 2 )(π= 所求的旋转体的体积为 []dx x f V b a ⎰= 2 )(π （三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形 设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。 取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为 []dx x f ds 2 )(1'+= 弧长为 []⎰'+=b a dx x f s 2 )(1 2.参数方程的情形 若曲线由参数方程)() () (βαφϕ≤≤⎩⎨ ⎧==t t y t x 给出，弧微分 [][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'= += 则 [][]⎰'+'= β α φϕdt t t s 2 2 )()( 3.极坐标情形 例谈利用定积分求解平面图形的面积 定积分是一种强大的数学工具，可以用于计算曲线、曲面和复杂图形的面积，但也可以用于计算平面图形的面积，这里以计算平面图形面积为例，探讨利用定积分来求解平面图形的面积。 先来阐述定积分的概念，定积分指的是求解某一函数的积分，它的计算方法要求曲线的一侧被划分为多个区域，而该函数的值则是这些小区域的函数值之和，并最终求解函数的定积分。定积分可以用于计算曲线及曲面的面积，也可以应用于计算复杂图形的面积，但它同样可以用于求解平面图形的面积。 回到本文的要点：如何使用定积分来求解平面图形的面积。首先需要将平面图形划分为若干小区域，并计算每个小区域的定积分，然后求这些小区域的定积分之和，从而得到图形的总面积。 以三角形为例，令其由点${mathbf{P_1}}（x_1，y_1）$, ${mathbf{P_2}}（x_2，y_2）$，${ mathbf{P_3}}（x_3，y_3）$确定。 根据三角不等式： $S=frac{1}{2}|x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3+x_1y_2-x_2y_1| $可求出简单三角形的面积， 但是，如果三角形有更复杂的形状，则可以将它划分为多个小三角形，然后使用定积分技术，将每个小三角形的面积乘以其定积分值，最终求出该图形的总面积。 同样，多边形也可以采用上述方法求解。首先，多边形要被划分为多边形，然后将每个小三角形的面积乘以其定积分值，最终求出该图形的总面积。 除了三角形和多边形，定积分还可以用于计算椭圆的面积。椭圆的面积计算公式为： $S=pi ab$ 其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。而定积分求椭圆的面积则采用分段法，即将椭圆划分成半径为r的多个小园，然后将每个小园的面积乘以它们的定积分，最终求出椭圆的总面积。 本文探讨了用定积分求解平面图形的面积的方法，定积分主要应用于将复杂的图形划分为若干小区域，然后求这些小区域的定积分之和来计算图形的总面积。三角形、多边形和椭圆的面积都可以采用这种方法来求解。 由于定积分的强大特性，可以把它应用到平面图形面积的求解中，让平面图形求解变得更加容易。此外，定积分也可以用于计算曲线和曲面的面积，以及复杂图形的面积计算，这使得定积分成为一种全面而有效的数学计算方法。 综上所述，定积分是一种强大的数学工具，可以用于计算平面图形的面积，这也证明了定积分作为一种常见的数学计算工具的有效性和实用性。 定积分的简单应用+平面图形的面积 课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用． 平面图形的面积表示 一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则________________________． 一、选择题 1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( ) A ．ʃπ0cos x d x B ．⎰20πcos x d x ＋|⎰ππ2 cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x 2．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( ) A.154 B.174 C.12 ln2 D ．2ln2 3．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( ) A ． ⎰ -22 x 3d x B ．| ⎰-22x 3d x | C ．⎰-22|x 3|d x D ．⎰20x 3d x ＋⎰-02x 3d x 4．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( ) A ．ʃ20(x 2－1)d x B ．|ʃ20(x 2－1)d x | C ．ʃ20|x 2－1|d x D ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x 5．由y ＝x 2，x ＝0和y ＝1所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的 体积可以表示为( ) A ．V ＝πʃ10(y )2d y ＝π2 B ．V ＝πʃ10[12－(x 2)2]d x ＝45 π C ．V ＝πʃ10(x 2)2d y ＝π5 D ．V ＝πʃ10(12－x 2)d x ＝45 π 二、解答题 6．求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积． 4.3定积分的简单应用 平面图形的面积教学设计 一、教学目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近” 求曲边梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。 二、教学重难点 曲边梯形面积的求法及应用 三、教学方法 探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、复习 （1）、求曲边梯形的思想方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？ （3）、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：201y x x x y x ⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=11200xdx x dx = -⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 321 30233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象； 2.求交点； 3.用定积分表示所求的面积； 4. 微积分基本定理求定积分。 2x y =y x A B C D O 巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x = 的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面 积． 解方程组2,4 y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 88 0442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰ 334828220442222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 233 23 20=-=⎰π π o x xdx S |cos sin ＝ 第 十 章 定 积 分 的 应 用 § 1 平 面 图 形 的 面 积 (一) 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式． (二) 教学内容：平面图形面积的计算公式． 基本要求： (1) 掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积 的计算公式． (2) 较高要求：提出微元法的要领． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握． (2) 领会微元法的要领． —————————————————————————— 直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 )0()(≥=x f y 与直 线 x a b b x a x ,)(,>== 轴所围成 的曲边梯形的面积为 ⎰=b a dx x f A )( 若 )(x f y = 在 ],[b a 则所围成的面积为 ⎰=b a dx x f A |)(| 一般的，有两条连续曲线 )(,)(2211x f y x f y == 及直线 )(,a b b x a x >==所围成的平面图形的面积为 ⎰-=b a dx x f x f A )]()([12 ⎰-=d c dy y g y g A )]()([12 1． 简单图形： -X 型和-Y 型平面图形 . 2． 简单图形的面积 : 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线 0),(=y x F 和 0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. ( 参阅[4]P232—240 E86—93 ) 例 1 求抛物线 x y =2 与直线 032=--y x 所围的平面图形的面积. 所给的区域不是一个规范的x-区域, 如图需将其切成两块, 即可化成x-形区域的面积问题 第一块的面积等于 int('2*sqrt(x)','x',0,1) ans = 4/3 定积分求平面图形面积 ==================== 定积分是一种数学方法，用于计算曲线下的面积或曲面上的体积。它可以用来求解平面图形的面积。本文将讨论定积分求平面图形面积的原理，并通过实例说明它的应用。 一、定积分求平面图形面积的原理 ---------------------------------------------------------- 定积分求平面图形面积的原理是：将平面图形分解为若干矩形，利用每个矩形的面积来求得平面图形的面积。具体来说，首先需要将平面图形的边界抽象为一个函数，然后将这个函数从横坐标的最小值到最大值分割成若干等份，每份称为一个矩形，每个矩形的面积可以用函数的值来计算，最后将所有矩形的面积加起来就可以得到平面图形的面积。 二、实例说明 ---------------------------------------------------------- 下面我们用一个实例来说明定积分求平面图形面积的方法。 假设我们要求解的平面图形是一个三角形，其边界可以用函数y=x-1来描述，且横坐标的最小值为0，最大值为2。 首先，我们将横坐标从0到2分割成4份，即0，0.5，1，1.5，2，每份称为一个矩形，然后计算每个矩形的面积。 由于横坐标的最小值为0，所以第一个矩形的面积为0； 第二个矩形的面积为0.5*(1-1)=0； 第三个矩形的面积为1*(2-1)=1； 第四个矩形的面积为1.5*(2-1)=1.5； 最后，将4个矩形的面积加起来，即可得到三角形的面积为2.5。 结论 ---------------------------------------------------------- 第十章 定积分的应用 一、填空题 1． 求曲线8,2 22 2=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A = 2． 曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθ ae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5． 曲线 ⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S = 6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨ ⎧-=-=t t y t t x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积 为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 9． 在抛物线2 4x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最 小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有)(83 cm π的水，后来又入 注)(643 cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h = 11．由曲线,2,1 =+ =x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223 ++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题 1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰b a xdx ln ln ln （B ）⎰b a e e x dx e （C ） ⎰ b a y dy e ln ln （D ）⎰b a e e xdx ln 2．曲线x y x y == ,1 ，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） §3 定积分的简单应用 3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积 学 习 目 标 核 心 素 养 1．会用定积分求平面图形的面积．(重点) 2．会用定积分求简单几何体的体积．(难点) 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(重点、难点) 1．借助定积分求平面图形的面积和几何体的体积,提升学生的直观想象和数学运算的核心素养. 2．通过建立实际问题的模型,培养了学生的数学建模的核心素养. 1．当x∈[a ,b]时,若f(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a b f(x)dx. 2．当x∈[a ,b]时,若f(x)<0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛a b f(x)dx. 3．当x∈[a ,b]时,若f(x)>g(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x),y ＝ g(x)围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛a b [f(x)－g(x)]dx.(如图) 4．旋转体可看作由连续曲线y ＝f(x),直线x ＝a,x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体,该几何体的体积为V ＝⎠ ⎛a b π[f(x)]2 dx. 1．由y ＝x 2 ,x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π 6 B.π4 C. π5 D. 4π5 C [V ＝π⎠⎛01y 2 dx ＝π⎠⎛01 (x 2)2 dx ＝π5x 5⎪⎪ ⎪ 1 ＝ π5 .] 2．直线y ＝x,x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A ．π B ．π 3 定积分应用 1、直角坐标系下平面图形面积的计算 ①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为 ^f(x)dx ②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积 元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx . ③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为 A= [ 0(y)〃y ④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为 A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©) 例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积. 解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2 x = y2 要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组: 得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变 量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求 的面积为 3 lo 3 —•般地，求解而积问题的步骤为： (1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限. (2)写出积分公式. (3)计算定积分. 例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积. 解(1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J. (3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4. ⑷计算积分 s =匸。+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8. 例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区 2 2 域（如图2）的面积o 解：已知在［$2］上，in淀°;在区间 ［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为: Ji |ln x^/x = 2 1 二-(x \n x - x) i + T 4ln2-1• 2 9 例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。 解：该平而图形如图所示.先求出抛物线与肓线的交点P仃，-1）与Q （9,3）.用x=l把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为： 木题也可把抛物线方程和肓线方程改写成: X二/ 二gi（y）, x=2y+3二g2（y）2（y），y©［T ,3］. 并改取积分变量为y,便得： A二［I g2（刃- g 1（刃\dy = £（2y + 3-）/）dy = ¥• 2 (x\nx-x) 1 32 所以“£+每飞 •2 ! In xdx +In xdx A2 = 第27课定积分的应用 匀量”等方法．微元法是一种实用性很强的数学方法和变量分析方法，在工程实践、经济管理和科学技术中有着广泛的应用． 【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面图形的面积的方法 设平面图形是由区间[]a b ，上的连续曲线()y f x =，()y g x =(() ())g x f x 及直线x a x b ==，围成 的，如图5-15所示．取x 为积分变量，在变化区间[]a b ，上任取一小区间[d ]x x x +，，其所对应的面积微元为d [()()]d S f x g x x =-．由微元法可知，该平面图形的面积为 [()()]d b a S f x g x x =-⎰． 若平面图形是由区间[]c d ，上的连续曲线()()(() ())x y x y y y ϕψψϕ==，及直线y c y d ==，围成 的，如图5-16所示，那么该平面图形的面积为 [()()]d d c S y y y ϕψ=-⎰． 图5-15 图5-16 计算由两条抛物线22y x y x ==，所围成图形的面积． 解 （1）先解方程组22 y x y x ⎧=⎨=⎩ ， ，确定图形所在的范围，得交点坐标为(00)，及(11)，，如图5-17所示．取x 为积分变量，从而图形在直线01x x ==，之间，即积分区间为[01]，． （2）在区间[01]，上任取一小区间[d ]x x x +，，对应的窄条面积近似于以2x x -为高，d x 为底的小矩形的面积，从而 例1 图5-17 得面积微元2d ()d S x x x =-． （3）所求面积为 1 3 1 2 3200211 ()d 3 33S x x x x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰． （例2、例3详见教材） 【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求空间立体的体积的方法 1）旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转 一周而成的立体，这条直线称为旋转体的轴．球体、圆柱体、圆台、圆锥、椭球体等都是旋转体． 类型1 若一旋转体是由连续曲线()y f x =、直线x a x b ==，及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，如图5-21所示，求它的体积． 取横坐标x 为积分变量，积分区间为[]a b ，，用过点x ([]x a b ∈，)且垂直于x 轴的平面截旋转体， 得到截面半径为|()|f x 的圆盘，其面积为2()π[()]S x f x =，于是体积微元为 2d π[()]d V f x x =． 从而所求体积为 2π()d b x a V f x x =⎰． 类型2 若旋转体是由连续曲线()x y ϕ=、直线y c y d ==，及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，如图5-22所示．同理可求得其体积，即 2π()d d y c V y y ϕ=⎰． 图5-21 图5-22 求由21010y x y x x =+===，，，所围平面 例4 第十章定积分的应用 教学要求： 1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分； 2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。 教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等 教学时数：10学时 § 1 平面图形的面积（ 2 时） 教学要求： 1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分； 2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。 教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积 一、组织教学： 二、讲授新课： （一）直角坐标系下平面图形的面积： 型平面图形 . 1.简单图形：型和 2.简单图形的面积 : 给出 型和型平面图形的面积公式. 对由曲线和 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步 骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. 求由曲线围成的平面图形的面积. 例1 例2 求由抛物线与直线所围平面图形的面 上的曲边 （二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间 梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程. , 亦即. 具体计算时常利用图形的几何特征 . 求由摆线的一拱与轴 例3 所围平面图形的面积. 例4 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面 积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为, 的扇形面积为 . ) 顶角为 例5求由双纽线所围平面图形的面积 . 解或. ( 可见图形夹在过极点, 的两条直线之间 ) . 以代方程不变, 倾角为 图形关于 因此. 三、小结： § 2 由平行截面面积求体积（ 2 时） 教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。 教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积 . （一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为 推导出该立体之体积.(完整版)10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面图形的面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
考研数学第六讲定积分的应用
例谈利用定积分求解平面图形的面积
定积分的简单应用+平面图形的面积
数学高二-选修2教案 4.3定积分的简单应用--平面图形的面积
[整理]10-1平面图形的面积
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
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高中数学同步学案 平面图形的面积 简单几何体的体积
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