八年级数学下册5.4分式方程方法茶座通分技巧大放送素材北师大版解析

1 八年级数学下册5.4分式方程思维T台感悟数学思想强化分式知识素材（新版）北师大版

数学思想在学习和运用数学知识解决问题的过程中起着非常重要的指导作用，掌握好数学思想可以提高同学们解决具体问题的能力．现就《分式》这一章中用到的主要思想方法列举如下，供同学们参考．

一、转化思想

转化思想就是将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将陌生转化为熟悉，将实际问题转化为数学问题的一种数学思想．在分式的运算中，把除法转化为乘法、异分母分式的加减转化为同分母分式的加减、分式方程转化为整式方程来解等，都体现了转化思想．

例1 化简xxxxxx362996222.

分析：先将被除式和除式中分子、分母的多项式因式分解，然后转化为分式的乘法运算．

解：原式=xxxxxxxxxxxxx2)3(2)3()3)(3()3()3()3(2)3)(3()322（．

跟踪训练1 解方程41422xxx＝1．

二、整体思想

在解决某些数学问题时，加强宏观意识和“大局”观念，把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识．本章中，在解答分式的求值问题时，常用到整体思想．

例2 若x＋x1＝3，求1242xxx的值．

分析：按常规思路，先由条件求得x的值，但目前我们无法做到．但我们可根据分式的基本性质，将所求式子进行适当变形，使之出现条件式子，再整体代入即可求解．

解：因为x＋x1＝3，所以8113112)1111112222242xxxxxxx（． 2 跟踪训练2 先化简，再求值：1112421222xxxxxx，其中x2－x＝0．

三、建模思想

建模思想就是通过建立简单的数学模型来解决实际问题的思想方法．本章中，主要是培养运用分式方程的模型解决实际问题的能力．

例3 王老师家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米．一天王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平时步行直接到学校迟了20分钟．已知骑车速度为步行速度的2．5倍，买奖品时间为10分钟，求步行的速度．

通分技巧大放送(一）

分式的运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分，但对于某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来,对于分式的通分，要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧。

一、逐步通分

例1 计算：2121111xxx

分析:本题若采用将各项一起通分后再相加的方法，计算量很大,注意到前后分母之间存在着平方差的关系，则可逐步通分来计算。[来*＃源：zz~s＆tep.c^om］

解：原式=4221412-12xxx.

说明：若一次通分计算量太大，利用分母间的递进关系逐步通分，避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式，可使问题简单化.

二、整体通分

例2 计算：112aa—a+1。

分析：本题中既有分式又有整式,不相统一,同学们可以寻求作为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些。

解：原式=112aa—121111)1)(122aaaaaaa（.

说明：本题是一个分式与多项式的和,若把整个多项式看作是分母为1的代数式，再通分相加，则可使问题的解法更简便。

三、分裂整数法

例3 计算：2312xxxx.

分析：如果两个分式的分母不同，通分时可使用分裂整数法。

解:原式=212111xxxx＝（1＋11x）-（1＋21x) ＝2111xx＝)2)(1(1)2)(1()1(2xxxxxx.

说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分。

四、活用乘法分式

例4 计算：(x+x1)（x2+21x)(x4+41x）(x8+81x)·（x16+161x）（x2-1）,（x≠0且x≠1）.

分析:乍一看本题,同学们可能会感觉要求的式子很长，不知如何下手，仔细观察各式的特点,巧妙运用平方差公式逐步通分，可使运算简便.

解：当x≠0且x≠1时，

北师大版八年级数学下册优秀教学案例5.4分式方程

一、案例背景

北师大版八年级数学下册第五章《方程与不等式》中的4节内容为“分式方程”。本节内容是在学生学习了初中阶段方程与不等式的相关知识基础上，进一步探讨分式方程的解法及其应用。分式方程是初中数学中的重要内容，也是学生感到较为抽象和难以理解的知识点。针对这一学情，我设计了本节课的教学案例，旨在通过生活情境的引入、合作学习的组织、数学思维的训练，让学生在理解分式方程概念的基础上，掌握解分式方程的方法，提高解决问题的能力。

二、教学目标

（一）知识与技能

1. 让学生理解分式方程的定义及其基本性质，掌握分式方程的解法，并能够灵活运用分式方程解决实际问题。

2. 培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。

（二）过程与方法

1. 通过生活情境的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究分式方程的解法。

2. 运用合作学习的方式，培养学生团队协作精神，提高学生沟通能力。

3. 利用数学活动，让学生在实践操作中掌握分式方程的解法，培养学生的动手操作能力。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生对数学学科的热爱，树立学生自信心，激发学生学习数学的内在动力。

2. 使学生认识到数学与生活密切相关，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。

3. 培养学生严谨治学、勇于探索的科学态度，养成良好的学习习惯。

三、教学重难点

1. 教学重点：分式方程的定义及其解法，分式方程在实际问题中的应用。

2. 教学难点：分式方程的解法，尤其是解分式方程过程中的运算技巧。

四、教学过程

1. 导入新课：通过生活情境，如购物问题、分配问题等，引导学生发现分式方程，激发学生学习兴趣。

2. 知识讲解：讲解分式方程的定义、性质及其解法，引导学生理解分式方程的解法原理。

3. 例题解析：分析典型例题，引导学生掌握解分式方程的方法，提高学生解决问题的能力。

4. 实践操作：布置练习题，让学生动手解分式方程，巩固所学知识。

1 【方法茶座】通分技巧大放送

通分是利用分式的基本性质把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程，其目的是为分式的加减做准备，那么如何才能快速准确地进行分式的通分呢？一般来说有下列几种常用技巧.

一、直接通分

例1 化简44212aa的结果是【 】

A．21a B．a＋2

C．21a D．a－2

解：公分母为（a＋2）（a－2），则原式＝21)2)(2(42)2)(2(4)2)(2(2aaaaaaaaa．

故选A．

非常点拨：像此类计算问题，直接找出公分母即可．

跟踪训练1 计算yxyxyyxyxx47443＝ .

二、先处理，后通分

例2 计算a+b－baa2.

解:原式=babbaababababaaba222))((1．

非常点拨：整式与分式相加减时，一般将整式看成一个整体，化成分母为“1”的式子，再通分．

跟踪训练2 计算x+2-132xxx.

三、先约分，再通分

例3 计算23444242222xxxxxxxxx. 2 解：原式＝23)2()2)(2()2()4(2xxxxxxxxx ＝232224xxxxxx＝2326xxx＝4123)2)(2()2(3)2)(2()2622xxxxxxxxx（．

非常点拨：对分式在通分前进行必要的约分，既可使计算过程简捷，又可以避免错误的出现．

跟踪训练3 计算24411222aaaaaa.

四、先分组，再通分

例4 计算21121221xxxx.

解：原式＝12122121xxxx＝)1)(1()1(2)1(2)2)(2()2()2(xxxxxxxx

＝)1)(1(4)2)(2(4xxxx＝4512)1)(1)(2)(2()2)(2(4)1)(1(424xxxxxxxxxx