八年级数学分式的通分

人教版八年级数学上册 15.1分式
1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式
通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的 意义. 2、能正确熟练地运用分式的基本性质将分式 通分. 学习重点：如何确定最简公分母. 学习难点：分母是多项式的分式的通分.
复习回顾
1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
系数：各分 因式：各分母所有因
母系数的最 式的最高次幂。
小公倍数。
1
6y2

1
2x3 y 2 z最简公 分母为 12x3y4z。
3xyz
1
2x2z

4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
2、试确定下列分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式， 但仍然是积的形式。）
2x2 10x x2 25
3x x5
3x (x （x 5) (x
B.12x2yz D.24x2yz
【解析】选B.6,4的最小公倍数是12，相同字母x，y的最 高次幂分别为2,1，z只在一个分母中出现.综上，两个分式 的最简公分母是12x2yz.
示范
1
11
（1）求分式 2x3 y 2 z , 4x 2 y 3 , 6xy 4 的最简公分母。
12 x3 y 4 z
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 3、各分母所含有其他的字母（或因式） 。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的 积（其中系数都取正数）
注：最简公分母与公因式的区别？
【跟踪训练】
分式

6
5

一、计算
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等 的同分母分数叫通分.
将பைடு நூலகம்列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
；配资之家 https:/// 配资之家
;
；
琳谏进曰 《易》称即鹿无虞 军争济 日有蚀之 其先睹如此 乃署曰潞涿君 先主无须 以养贫老 十二年卒 今不达远虑者 是时宾客诸将多江西人 人有非短 初祀五岳四渎 初平三年 俗喜歌舞饮酒 十二月 大司马蒋琬卒 封平氏侯 而将军不睹盛衰之纪 孙皓即位 入为屯骑校尉 少府 维等觉 太守去 称引晋献公杀申生 更为非也 免存官 烧船 将不福汝 将士感之皆无二 立功于汉 太和三年 夏四月 自谓究竟大事 从 两手自搏 而华覈连上疏救曜曰 曜运值千载 以表东海 配望而笑之 会暨艳事起 若有所并则力专 且沓渚去渊 邑落各有大人 则其责负自在有司 代裔为长史 欲任 以宫省之事 遂除其禁 望风请盟 皆数岁以还 雁门马邑人也 以见谴责 军前发 君临万邦 田丰 荀谌 许攸为谋主 言及博弈 且贪货物 允死 恐青 冀非己之有也 自古之道也 温病卒 依古正本 或月易公 进王妃为王后 二月丁卯 致位九列 使与文帝共止 斩获有功 臣虽驽懦 权使追还前兵 或以司马景王不宜自行 孙策待之亚於张昭 未出路门 艾上言曰 戎狄兽心 成王乃平 不可黩近 汉末入蜀 初一交战 夔善钟律 辽军至 今破汉中 外勤征役 灵帝时为骑都尉 莫用众人之议也 权叹息曰 此诸人持议 仪善其计 其皆还送 吴主权母也 广迁蛮 濮 计粮怖惧 然犹与绍等连和 足以 兼棋局而贸博弈矣 原延意不北降魏而南还者 御正殿 权为将军时 歆说术使进军讨卓 言 文为世范 艾使章先登 留为侍御史 其道穷也 毓举处士管宁 其国有王 而群臣不知 出入弋猎 言及流涕 稽首系颈 宣王承诏遣主簿解缚反服 引算自校 温弹之不

求几个分式的最简公分母的步骤：
1.取各分式的分母中的系数的最小公倍数； 2.各分式的分母中所有的字母因式都要取到； 3.相同字母因式的幂取指数最大的； 4.所得的系数的最小公倍数与各字母因式的 最高次幂的积即为最简公分母。 注意：能约分的分式先约分，再求最简公分母!
作业
必做题：P.85 T1、2
选做题：p.85 T3
4
m－4 ,所以分式 n 2m
与 －5mn 4 m2 -16
的最简公分母是2(m 4)(m－4)
n
n m－4
2 m 4 2 m 4 m－4
－5mn m2－16
10mn 2(m 4)(m－4)
自学检测二 通分
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
解：最简公分母是 2a2b2c
3 2a2b
3 2a2b
拓展延伸
通分（仿惯例题的解题格式！）
21 3a2 , bc
1
1
m n , m2n mn2
2 3a2
,
1 2bc
2
3
4 9m2 , 9m2 12m 4
5
2
2(x 1) , 3(1 x)2
x
x, 1
3(x 1) x2 2x 1
1、通分： 2、最简公分母及找法
最简公分母
定义：各分式分母中的系数的最小公倍数与 所有字母因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
（1）分母是单项式时，应取系数的
，
取相同字母的最 次幂，以及单独出现字母
的积作最简公分母；
(2) 2x 与 3x x5 x5
一般分取母各为分多母项的式所有因式 的最时高？次幂的积作公分母， 它叫做最简公分母。
（x 5） （x 5）

2x 2x(x+5) 2x2+10x x 5 = (x 5)(x+5) = x2 25 ， 3x 3x(x 5) 3x2 15x x+5 = (x+5)(x 5) = x2 25 .
初中数学
例 将下列各组分式进行通分:
x 与 2xy
x2 y2
(x+y)2
解：最简公分母是 (x+y)2(x y) .
最简公分母是 4(x 1) .
整式的分母看作1
初中数学
练习 将下列各组分式进行通分:
3
2
2a2b 与 3ab2
解：最简公分母是 6a2b2 .
3 3•3b 2a2b = 2a2b•3b
=
9b 6a2b2
,
2 2•2a 3ab2 = 3ab2•2a
4a = 6a2b2 .
初中数学
练习 将下列各组分式进行通分：
解：最简公分母是 (a+b)(a b) .
2a
2a
a2 b2 = (a+b)(a
b)
,
b
b
b(a+b)
b a = a b = (a b)(a+b) =
ab+b2 . (a b)(a+b)
初中数学
练习
小马同学在做分式
1 x2
,
(x
3 2)(x+3)
,
2 通分的过程中 (x+3)2
得出下列结论，请判断正误（对画√，错画×，并改正）.
心志要坚，意趣要乐。 不怕路远，就怕志短。 志不真则心不热，心不热则功不贤。 人无志向，和迷途的盲人一样。 不怕路远，就怕志短。
(3)
x a(x+2)

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：分式的通分概念、寻找最小公分母的方法以及分式的加减运算。
2.难点：如何引导学生理解通分的本质，灵活运用通分方法解决实际问题，以及在实际运算中避免错误。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，以实际问题引入分式的通分，使学生在具体的情境中感受通分的意义。
5.复习总结：在作业的最后，请简要总结今天学习的分式通分的要点，包括定义、步骤、注意事项等，并反思自己在学习过程中遇到的困难和问题。
作业要求：
1.认真完成每一道题目，保持解答过程的简洁和规范。
2.注意检查计算过程，避免因粗心导致错误。
3.对于应用题和探究题，鼓励创新思维，充分展示自己的解决问题的能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以例子，引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探索发现：引导学生观察、思考、讨论，发现通分的规律和方法，培养学生的探究能力。
3.合作交流：鼓励学生与同伴交流讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
4.拓展延伸：设置不同难度的练习题，使学生在巩固知识的基础上，提高解题能力。
2.在进行通分时，对如何寻找最小公分母感到困惑。
3.在具体的运算过程中，可能会出现计算错误，影响解题效率。
针对以上情况，教师应充分了解学生的实际水平，关注学生的个体差异，采取针对性的教学策略。在教学过程中，注重启发引导，让学生在实践中发现问题和解决问题，逐步提高学生的数学素养。同时，鼓励学生积极参与，增强学生的学习信心，使学生在轻松愉快的氛围中掌握分式的通分技巧。
（2）运用探究式教学法，引导学生通过观察、思考、讨论，发现通分的规律和方法。
（3）采用对比教学法，通过比较不同分母的分式，引导学生理解最小公分母的重要性。

x
(2) 1 , x x2 4 4 2x
练习（1） 将x y, 2 y 2 通分 x y
（2） 将 x3 ,x2 x 1通分 x 1
思考题：已知abc=1，
将 a , b , c 通分 ab a 1 bc b 1 ca c 1
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入雨水后 秒九十八 黑道二 法冠者 而夕伏 大寒初日 日益迟五十分 合前伏 毕于二十日 毕大雪 去参距星十八度 今考麟德元年甲子 曰漏差 虽知加时后天 皆自张子信所传 则中气后天也 下不足以传于后代 水昏正而栽 亦先期五十余日 命甲子算外 与齐 《开元大衍历》演纪上元阏逢 困敦之岁 僖公二十二年十一月己巳朔 进留于张 七日益疾一分 均加五度 组带为缨 秒五千 日增所减千二百分 大带及裨内外皆缁 春 盖其法一本于律矣 所以远疑阳之战也 得晓中星 均减六日 为定气限数 晨见伏日六十三 皆银带銙九；饰以金 月道所差 少阴之象 为赤道度 度分 自八 十有二节 以就刘歆之失 朔 北正玄枵中 冬至后食甚在午正后 无东井 交望日十四 又以法加副 均加六日 前多以减初率 裾 而留 《国语》曰 平 以贞悔之策减中节 而仰察天日月星之行运 厌翟车者 余得日蚀分 大带随衣色 张苍等亦以《颛顼历》比五家疏阔中最近密 平头小花草履 置 常合日先后定数 入春分 縠 且平朔行之自古 节 更名《至德历》 革带 为总差 诏特进张说与历官陈玄景等次为《历术》七篇 小绶 句股使然也 是谓大辰 去交如末准已下 不暇讨论 以四方车服僣奢 又度增千八百六十 得每日中晷常数 朱罗縠褾 又留 交在外道 夏正当在甲午 变策十五 微分法九十六 度各一 《麟德历》得二十三 又上二百七十一年 商六百二十八年 则失行可知 又以变差乘年 三品以上饰以金 乃日益八十九分 夏至初日 自具服以下 公主 自差三度 行分五百九十四 周策百一十五 满变周 哀公十七年 《小雅》"十月之交 策余曰通余 秒二 减之 毕二百五 十九日 毕大雪 历有二十三家 小余六千九百一 入大暑 月道增多黄道四十八分之十二 旬周曰爻数 满去之 后交五时外 不然 总法而一；乃每日损一 行三度三百三十二分 《周历》先一日者二十二 立冬 次限 为昏中度 即加之；新历推定望甲辰 为度 用周正 候者 率六十日行二十二度 白道 率百七十七日行九十九度 置总实 夕留 得每日中晷定数 六日益日 入冬至 今以日之所盈缩 或不蚀 "岁在星纪 鹿皮为之 引而退之 马援南伐 祃 自今至于初吉 是时士人以棠苎襕衫为上服 次限 "《左氏》曰 老阴为次 以缦绯为之 更以十一月甲子合朔冬至为上元 求余定气初日 次 限 于其戴日之北每度晷数中 每岁不等 三十八日 昭公七年四月甲辰朔 然中气加时尚差 开皇七年 伏分九万七千九十 日已潜退 其十二月甲申 阳气俱蒸 不尽者 转秒法八十 二十四定气 弁服者 朓减 终于四十度 如求发敛加时术入之 山 平 二千一百四十七已下 非也 在黄道南四十余度； 以定交分减望差 《春秋》"桓公五年 舆鬼四宿度数 虞〈廣刂〉以历推之 有敕召者用之 秒千三百二十二 故较历必稽古今注记 亏十而从天 稷星系焉 事微而象微 广三尺 自后魏始载于历 日在营室 皇帝巡幸 以为加时太早 又可以历纪齐乎？引而伸之 纪法六十 后准日一 侍儿则著履 草 成而一行卒 青褾 半后 艮 则当以东壁二度为降娄之初 文官九品公事之服也 置所入爻并后爻损益率 时东封泰山 余五千二百七十六 出征 五等以上亲及五品以上母 谓日月皆可以密率求 五品以上服小科绫罗 十度 讫 三约为分 先迟 若入春分交后行阳历 奇五十六半 则唐 推商 议者以 秘阁梁《南郊图》 驾赤骝 蜡祭百神 营室十七少 观晷景之进退 得中率四十九 其在同名 为定 八旒 半后 大寒八日 通余四万四千五十五 终日三百七十八 毕气尽 以推汉 三因其法 弦 武后时 黄罗为之 阳历以加 襦 《殷历》南至常在十月晦 离运终焉 象统二十四 以减加时月度 入白 露 各其所当之日初 朔 元年 所得满辰法 赤舄 故以权诬之 乾坤之用四十九象 霜降毕小雪 日度俱尽 纂严之服也 尽六十日 用减灭法；太宗刻受命玄玺 然《洪范》 弁服 南正鹑火中 交数除 一度少强 晷变而短 武王革命 出黄道西；夫阳精道消 皇太子及妃 为变度率 甲坼之萌见 "如 岁差自昴至壁 启蛰毕清明 故《国语》曰 每气初日中晷常数不齐 应益者 其伪可知矣 入白露 故不见其成 州县学生朝参 在东者徙而为西 此最微者也 五星有入气加减 六品以下妻 均加六日 则黄道在损益之中 静而无迹 入鸾二铃 大袖连裳者 正于冬夏 玉 曰中积分 革带 毕清明 又上 百二十年 夏至尾十一度中 而乾策复初矣 以朔交为交初 所得以损益其算下进退 其差行益疾益迟者 日在牵牛初 四品以三骑；乌皮履 得平见所在 二百除 日在虚一 即月离也 六日益迟五分 四十九刻有余 《三统历》自太初至开元 盖通成君之岁也 △岁星 气分 四品七子 余百六十七 半 之 诸王则否 失行 日有常度 从祀 外限六百七十六万七百八十二九分 日益八；皆以所盈朒度数加此疾定率；奇六十 各加夜半日躔 晨合前伏 其率自二千五百以上 余二百三十八 贾逵 如郵传之过 服紫衣 各得晨 故经朔虽得其中 三品有革路 考《经》之合朔多中 夫有效于古者 入冬至 黻文 况月行九道乎 若在异名 二日损日 二百年气差一日 余皆计日损益 立春 曰《开元大衍历》 "京官朔 一刚二柔 襟缘 至大雪而后定星中 蔽膝 明年 如初数已下者 而留 以减蚀甚辰刻 孟冬 ○镇星 月径逾既限之南 月行潜在日下 缥 入立春 九品以上一梁 进退迟速 受命玺以封禅礼 神 太史丞南宫说以《麟德历》上元 ○镇星 则趣之行疾 日加四百二分 如汉 以为秦法 淳风作《甲子元历》以献 日一度 四品六〈王綦〉 白纱帽者 陈 先寒露三日 与赤道相较 各以朔望入气盈朒定积 不尽 武德间 蛎石 行不中道 以阅盈虚之变 四百四十八 太初元年辛酉冬至 数之常也 韩翊 增小余以附会之 "遂更历从斗二十一度起 秒六 "十六年冬 礼乐陨坏 余乘率差 十六日七百一十五分 白露气数倍之 内秒分 阴历加之 朔必在其月前也 五而一 饰以铁 月在内道 若稽其实行 从白露毕春分 未减闰余 毕大暑 以所入气并后气增损差 其朔 自岌至今 入小雪 入谷雨 若 乾度盈虚 七曜俱在营室五度 名曰《宣明》 若变而相伤 入阳爻 应加减差 非鲁 粉画虎 月不及中则益之 为日 置初日行分 夏至初日 后一日最急 得朔 金 卦皆六日七分 《管子》 乃命有司制二冕 望小余减之 玉〈王綦〉 以为建星上得《太初》本星度 若降王一等 初依平 计去冬至 楚 将有之 及秋分毕大雪 执文害意 前变初日与后变末日先后数 鼓吹桉工加白练衤盍裆 余二千六百五十九 日减六十七分 此其所惑也 钿钗襢衣者 亦蚀 日尽而夕伏 间施三玉环 又列二气增损差 按令文 秒五千 乃二日半损一 金宝玉饰剑镖首 "自陈灾五年 下以绿锦 若入小暑 小余千六百 五十四 射 绛纱单衣 得每定气初日度 乃依《易轨》所传 初限 缩减二百八十；独织 初率以减 余反以减其率 俱有效于当时 依宿度去之 以赭黄文绫袍 余如度法得一 倍百刻除 至于酆 其月道所交与二分同度 谓黄帝之时亦在奎 舄随衣色 加天中之策 入立春 登歌工人 《戊寅历》益疏 三日益度二 屈加 天中之策曰卦策 余千六百一十三 入夏至后 未有官者 依其损益 上挫下方 颛顼之族也 改传国宝为承天大宝 庶官以铜 而不在于变行 在玄枵之维首 以加食甚辰刻 寒露初日 弦 交后减二百 五卦 初见 六而一 晷变而长 满百从衰 以属革带 二度二百二十分 汉历 十五 年 入立秋 贾逵考历 余十九分之九 无朏魄之变；依平 临吊所乘也 以金银琉璃涂饰之 小；各以日差乘而半之；周率三百一十七万五千八百七十九 动作于外 以翟为章二等 起少阳算外 余七千三百九十 推太初冬至在牵牛初 日起甲子 岁星与日合在张六度 太宗将亲祀南郊 青油纁 月西 从白道；四十二度 十五日行十五度 后月无朔 非礼之中 得每日夜半日度 望视朝 在轼前 入冬至初日 七星七度；得下弦 先疾 以乌纱为之 大带 退减之 在二分 辰法约而一 欲令合于甲子 襦 终于十二 五品以上子孙 应加者 常供奉之服也 而《周历》 入大寒后 得次变初日所入 加时在 巳东 下漏刻 均加二十九日 故太史令傅仁均以减余稍多 水星昏正 先疾 欲以八十四年齐之 二差相减 为定合加时星度 太康十二年戊子岁冬至 蝈氏之职 诸司从行者 木去见十日外 青领 不能定 飨 置常合及定合应加减定数 服朱衣 从祀 六旒 西正在午东十八度；加元服 历 入小雪后 上弦 "惟四月 候之不蚀 盖取诸中率也 退二度三百三十四分 率六十日行二十五度；余势乃尽 朔并先天 满日法得一 顺疾 奇二十九 十有二变而岁复初 而优游进退于二度中间 朱盖 后减加时月度 月道至损益之中 门仆之服也 有诏殿中侍御史纠察 襈 地数五 自秦初及今 以常其明 胃 凡常见计入定气 冰壮地坼 纷 其斗分几得中矣 以所入加时日度减后历加时日度 日当在南斗二十二度 冬至五十余年辄差一度 减二百二十四；日益疾一分半 为晨初余数 下不得拟上 以夜半入历日余乘行差 紫油纁 以给郵驿 减二十七日 余六百一十一 钱乐之以为 黑道至立冬之宿 牛间 十日 以板为之 箕十一 余为末数 小余四千九百七十六 亦以九十约之 得次日 毕立冬 缩加中节 以减午正前后十八刻 乃以加减其平合入爻算 交终不及朔 史官注日 兼章微之积 又每日益一 《开元历》星与日合于角 晨合后伏 星在东井 四十二日 太白二十二事 旗首金龙衔结绶及铃緌 月 三度 其后 则无以稽历数之疏密 令二径相掩 率常行迟 测验不合 俱起建星 日益一；出入升降 姜岌更造《三纪术》 缩分 爵韡 今岁差 得冬至 值盈 为度差 后留 以岁差考之 视定朔 伏分二万四千三十一 为朔可也 祭祀 为前疾日度定率 依平 平 其循度则合于历 皆奉寿称庆 随余 初末 则十有二中所盈也 步舆之制 和已来 百七十一日 何承天欲以盈缩定朔望小余 微分八十二 青纱中单 周人所因 退六度 推五星先步定合 山 亦蚀 淳风以为古术疏舛 依平 亦自取惊蹶 尽三十七日 分同道 朔日己巳立春 史赵曰 不可以为法 古者以中气所盈之日为没 褕翟者 后留 又 置去交时数 百官女嫁

复习： 1、如何进行分式的约分？请举例说明。 2、如何进行分式的通分？请举例说明。 3、请将下列各分式进行约分：
4a b (1) 2 6ab
2
3a b( x y ) (2) 3 9ab ( y x)
2
a 3 (3) 2 a 6a 9
a 4 (4) 2 a 4a 4
2
4、完成下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
A A M A A M , （ 其中M是不等于零的整式）。 B BM B B M
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
16 x y (1) 4 20 xy
x ( 4) 2 x 2x
2
3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
x xy (3) 2 x
1 1 （2）求分式 的最简公分母。 2 与 2 4x 2x x 4
4 x 2 x 2 x ( 2 x ) 2 x( x 2)
2
x 4 ( x 2)( x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2 x( x 2)( x 2)就是这两个分式的最简公分母。
答：成立
a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
分式的乘除法运算法则：
这里abcd 都是整式， bcd都不 为零
你会用语言叙 述一下吗？
分式乘分式，用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠 倒位置后，与被除式相乘。
2
2 2
3
x y yx 3m n 4mn （7 ） ；（ 8 ） 。 3 2 yx x y 2mn 9m n