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(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
一个新的共轭梯度类型方法
莫利柳;洪玲
【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(024)004
【摘要】给出了一种新的求解非线性无约束优化问题的共轭梯度法,证明了该方法对相应的算法具有全局收敛性,同时还证明了该方法在强Wolfe线搜索下具有充分下降性.并且该算法给出了比较好的数值结果.
【总页数】6页(P28-33)
【作者】莫利柳;洪玲
【作者单位】广西大学,数学与信息科学学院,广西,南宁,530004;广西大学,数学与信息科学学院,广西,南宁,530004
【正文语种】中文
【中图分类】O224
【相关文献】
1.一个新的 PRP 三项共轭梯度法及其收敛性 [J], 杨迪
2.一个新的共轭梯度类型方法 [J], 朱志伟
3.一个新的修正HS共轭梯度法及全局收敛性 [J], 陈凤华;李双安;程慧燕
4.一个新的解非线性对称方程组的非单调共轭梯度方法 [J], 袁功林;李向荣
5.一个新的CD共轭梯度法的全局收敛性及其数值实验 [J], 王松华
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非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。
由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。
本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。
一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。
梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。
特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。
然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。
当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。
因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。
二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。
牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。
因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。
但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。
此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。
三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。
共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。
基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。
共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。
四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。
共轭梯度法求解优化问题共轭梯度法是一种用于求解优化问题的迭代算法，常用于解决线性方程组或者二次型目标函数的无约束优化问题。
它的特点是具有快速收敛速度和较好的数值稳定性，在优化问题中得到了广泛的应用。
共轭梯度法是一种迭代法，它通过在每次迭代中选择一个特定的搜索方向来逐步逼近最优解。
在优化问题中，我们通常会定义一个目标函数和一组约束条件。
目标函数通常表示我们希望最小化或最大化的目标，而约束条件则表示问题的限制条件。
在共轭梯度法中，我们首先需要计算初始梯度，然后根据一定的规则选择一个搜索方向。
在每次迭代中，我们将根据预定义的条件更新参数，并计算新的搜索方向。
这个更新步骤将一直进行下去，直到满足特定的终止条件。
共轭梯度法的核心思想是利用已有的搜索方向和之前的搜索方向进行共轭，以提高搜索效率。
这就意味着，如果选择了一个搜索方向后，我们将需要在下一次迭代中选择一个与之前搜索方向共轭的方向，以确保在这个方向上搜索不会重复之前的工作。
共轭梯度法的步骤如下：1.初始化参数：选择一个初始点和一个初始搜索方向。
2.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度。
3.更新步长：根据预定义条件更新步长，并计算新的搜索方向。
4.更新参数：根据步长和搜索方向更新参数。
5.判断终止条件：判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
共轭梯度法的收敛性证明较为复杂，但一般情况下，它具有较好的收敛性和数值稳定性。
最坏情况下，共轭梯度法的收敛速度为指数级收敛，因此在实际应用中往往能够获得较好的优化结果。
共轭梯度法的应用广泛，特别适用于解决大规模线性方程组、二次型目标函数等优化问题。
在实际应用中，我们可以通过调整初始点的选择、搜索方向的选取以及步长的更新规则等来进一步提高算法的收敛速度和稳定性。
总结起来，共轭梯度法是一种求解优化问题的有效算法，具有快速收敛速度和较好的数值稳定性。
它通过选择共轭的搜索方向来逼近最优解，广泛应用于线性方程组和二次型目标函数的优化问题中。
