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共轭梯度法详细解读
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠共轭梯度法。
你想想啊，咱平常解决问题就像走迷宫似的，有时候会在里面转来转去找不到出路，而共轭梯度法呀，就像是在迷宫里给咱指了一条明路！比如说你想找一条最快从山这头到那头的路，共轭梯度法就能帮上大忙啦！
它可不是随随便便就出现的哦，那可是数学家们绞尽脑汁研究出来的宝贝呢！就好比一个超级英雄，专门来打救我们这些在复杂问题里苦苦挣扎的人。
在实际应用里，它可厉害着呢！比如说在工程计算中，要设计一个最完美的结构，共轭梯度法就能迅速算出最优解。
哇塞，这不就相当于有个超厉害的军师在帮咱出谋划策嘛！
你再想想，我们日常生活中很多事情都可以类比成用共轭梯度法来解决问题呀。
比如说你要规划一次旅行，怎么安排路线最合理，不就是在找那个最优的旅行路径嘛，这时候共轭梯度法的思路就能派上用场啦！它就像一个隐藏在幕后的高手，默默地为我们排忧解难。
而且哦，一旦你掌握了它，那种感觉就像是你突然掌握了一种绝世武功，能在各种难题面前游刃有余。
这可太酷了吧！
哎呀呀，共轭梯度法真的是太神奇、太有用啦！大家可一定要好好去了
解它、运用它呀，你绝对会被它的魅力折服的！相信我，没错的！。
4.3共轭梯度法4.3.1共轭方向法定义4.3.1设A 是n ×n 对称正定矩阵，d 1，d 2，是n 维非零矢量，如果d 1T Ad 2=0则称d 1和d 2是A-共轭的，简称共轭的设d 1，d 2，...,d m 是R n 中一组非零向量，如果d i T Ad j =0,i ≠j ，j,i=1,2,...,k则d 1,d 2,...,d m 是A-共轭的，简称共轭的，也称它们是一组A 共个方向定理4.3.3设x 0∈Rn 是任意初始点，对于极小化二次函数min f(x)=1/2 x T Ax-b T x 共轭方向法至多经n 步精确线性搜索终止；且每一x i+1都是f(x)在x 0和方向d 1，d 2,....,di, 所张成的线性流形｛|x x=x 0+,0j i j j da ∑=j a ∀｝中的极小点。
4.3.4共轭梯度法共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，他的每一个搜索方向是相互共轭的，而这些搜索方向d k 仅仅是负梯度方向-g k 与上一次迭代的搜索方向d k-1组合。
因此，存储量小，计算方便。
定理4.3.6对于正定二次函数，采用精确线性搜索的共轭梯度法在m ≦n 步后终止，且对1≦i≦n成立下列关系式：d i T Ad j=0,j=0,1,...,i-1,g i T Ag j=0,j=0,1-1,d i T Ag i= - g i T g I[g0,g1,...,g i]=[g0,Ag0,,...,A i g0][d0,d1,...,d i]=[g0,Ag0,,...,A i g0]其中[g0,g1,...,g i]和[d0,d1,...,d i]分别表示g0,g1,...,g i及d0,d1,...,d i张成的子空间，[g0,Ag0,,...,A i g0]表示g0的i阶Krylov子空间。
定理4.3.9（FR共轭梯度法的总体收敛性定理）假定f R n R在有界水平集L={x R n|f（x）≦f（x0）｝上连续可微，且有下界，那么采用精确线性搜索的F-R共轭梯度法产生的序列｛x k｝至少有一个聚点是驻点，即1当｛x k｝是有穷数列时，其最后一个点是f（x）的驻点；2当｛x k｝是无穷数列时，它必有聚点，且任一聚点都是f（x）的驻点。
