雪花曲线中的科克数学问题

科赫雪花生成过程
科赫雪花是一种以科赫曲线为基础生成的几何图形，它具有对称美丽的形态，是数学中的经典之一。

生成科赫雪花的过程非常简单，只需要将一个等边三角形的每条边都分成三等份，用中间一段替换掉原来的边，然后在每个新的小三角形中重复这个过程，直到无限细分，就能得到一个完整的科赫雪花。

科赫雪花的分形特性使得它在计算机图形学和自然界中都有广
泛的应用。

在计算机图形学中，科赫雪花可以通过递归来生成各种美丽的图形，而在自然界中，科赫雪花的形态也被发现在冰雪结构、花朵和石灰华中。

生成科赫雪花可以帮助我们更好地理解分形几何学的概念和思想，并探究自然界中的规律和美丽。

- 1 -。

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

数学实验报告试验二迭代与分形练习一实验目的与要求对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

实验过程具体的代码如下：function plotkoch(r,k) %显示等边三角形迭代k次后的曲线图 r代表边长默认（0 0）为起点p=[(r/2) r*sin(pi/3);r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边1n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;b(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[b;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边2n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;z(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[z;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;(r/2) r*sin(pi/3)]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边3n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;a(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[a;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例运行得到图像如下：k=1 k=5k=0时23 k=1时 S=234r +2312r k=2时 S=234r +2312r + 2327r k=3时 S=234r +2312r + 2327r + 243243r k=n 时 S=234r +2312r + …2(1)12133*4*()3n n r ---+2(1)233*4*()43n n r r - 每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的13，数量为上一次的4倍. S=234+234*（3*21()3+12*221()3+……+3*(1)4n -*21()3n ）2323*(1)211[3*4*()]3n i i i -=∑曲线总面积无穷大。

数学在生活中的应用结题报告研究组成员：指导教师：生活中有数学吗?数学在生活中有何用武之地?我们花费了大把的经力和时间学的数学难道只是虚形的理论?于是我们整个小组的成员怀着这样的疑问开始了生活中的数学的探究之旅.世界之大，无处不有数学的重要贡献。

培养学生的数学意识以及运用数学知识解决实际问题的能力，既是数学教学目标之一，又是提高学生数学素质的需要。

在教学中，要使学生接触实际，了解生活，明白生活中充满了数学，数学就在你自己的身边。

从收集资料开始到实地的研究,我们曾做过许多次的活动,爆发了多次的讨论,以及遇到了多种问题和困惑,但是在老师的帮助下我们克服解决了困难深刻地了解到了"数学在生活中无处不在".我们研究的主线是:1.收集理论资料2.实地观察3.总结填表我们曾经研究以下几个数学的有关方面:讨论结果：①买卖之间的问题。

②建筑方面：如：设计图从平面到空间，圈地等③估算方面：如：概率统计。

④根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系等⑤银行利息、贷款（指数函数的应用）在研究过程中,我们时常为找到有价值的资料而欢欣鼓舞,我们也曾为下一步的工作而热烈讨论.当然,我们也曾在这些前期工作中遇到了困难如:1.有些资料难以查找2.由于生活体悟不够,对生活中的例子举得过少3.讨论总结的不全面.解决的办法主要有:1.集中大家的力量多方面查找2.向有生活经验长辈讨教.经过我们全组同学的共同努力，最后主要有以下几个方面的成果：1.银行存储方面：分期付款与储蓄问题、保险问题2.指数函数的应用：人口方面的研究3.建筑方面：设计图从平面到空间，圈地等间的问题。

4.估算方面：概率与统计调查。

5.合情推理方面：“世界末日”何时到来、直线划分平面、雪花曲线。

6.排列组合知识的应用：网球比赛、围棋比赛、足球甲A联赛。

研究结果1.雪花曲线问题。

，(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。

AGC040FTwoPieces解题报告解题报告：题意数轴上有两个棋⼦，初始都在 0 位置，进⾏n次操作，每次将⼀个棋⼦移动⼀步或者是把靠后的棋⼦移到靠前的棋⼦的位置，两个棋⼦⽆法区分，求最后两个棋⼦分别到A,B的⽅案数。

1⩽n⩽107。

分析orz p_b_p_b。

不妨令 1 为坐标较⼤的棋⼦，2 为另⼀个，令A⩾B。

把 2 的坐标和 1 的坐标作为数对，看作⼆维平⾯上的⼀个点。

我们画出直线y=x，那么让 1 ⾛⼀步就是向右（记为操作 1），让 2 ⾛⼀步就是向上（记为操作 2），让 2 跳到 2 就是跳到直线上（记为操作 3），且操作 2 不能碰触直线，最后要到达 (A,B)。

操作 3 次数为 0 的时候很容易处理，可以类似卡特兰数使⽤折线法。

（注意是不能碰触直线，所以要将坐标系整体左移⼀格）我们发现跳到直线上很难处理，我们将操作 3 转化成将直线移到当前位置上。

记最后⼀次操作的坐标为 (x0,y0)，那么我们的终点就应该是(A−1,B−(x0−y0))。

（A−1 的原因上⾯说了）但是还是很难考虑，我们考虑在确定了 (x0−y0) 以及⾏⾛出来的格路之后，将操作 3 插⼊操作序列。

观察可以得到，对于让直线变为y=x−k的操作 3，它的插⼊位置⼀定只能是这个直线与格路的最后⼀个交点（容易发现满⾜条件的操作 3 即 0,1,⋯,k），于是枚举x0−y0，然后插板法计算即可。

复杂度O(n)。

代码#include<stdio.h>const int maxn=10000005,mod=998244353;int n,a,b,ans;int fac[maxn],nfac[maxn],inv[maxn];inline int C(int a,int b){return b==0? 1:((a<b||b<0)? 0:1ll*fac[a]*nfac[b]%mod*nfac[a-b]%mod);}int main(){fac[0]=nfac[0]=1;for(int i=1;i<maxn;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=i==1? 1:(mod-1ll*(mod/i)*inv[mod%i]%mod),nfac[i]=1ll*nfac[i-1]*inv[i]%mod;scanf("%d%d%d",&n,&b,&a);if(a==0&&b==0){puts("1");return 0;}for(int i=0;i<=b&&i<a&&i<n-a;i++)//(a-1,i)ans=(ans+1ll*(C(i+a-1,i)-C(i+a-1,i-1)+mod)*C((n-a-i-1)+(b-i+1)-1,(b-i+1)-1))%mod;if(a+b==n)ans=(ans+0ll+C(a+b-1,b)-C(a+b-1,b-1)+mod)%mod;printf("%d\n",ans);return 0;}Processing math: 100%。

冬天的冰雪数学与逻辑冬天来临，大自然变得一片银装，满目皆白，冰雪飘飘。

冰雪不仅为我们带来欢乐，还蕴藏着丰富的数学和逻辑问题。

本文将探讨冬天中与冰雪有关的数学和逻辑问题，带你一起领略冰雪背后的奥秘。

一、雪花与几何在冬天的天空中，我们经常能见到飘落的雪花。

雪花的形状多种多样，美丽而独特。

数学家们对雪花形态进行了研究，发现雪花是由六个等边三角形构成的六角形结构。

数学家们进一步研究发现，每个雪花的六个等边三角形都有固定的角度，即60度。

这一发现引起了数学界的极大兴趣，因为60度是一个非常特殊的角度。

它是一个完美的三角形内角度，正好可以被整除。

由于雪花的特殊形态与数学规律相关，我们可以在冬天中通过观察雪花来学习几何知识。

我们可以发现雪花的对称性，理解几何图形的构成方式，甚至可以通过绘制雪花图案来进行几何实践。

二、雪球与体积在冬天的玩耍中，我们常常会堆雪球。

当我们用手捧着雪球时，我们会发现雪球的体积越来越大。

这涉及到一个重要的数学概念——体积。

数学中，体积是描述物体占据空间的大小。

而雪球的体积则取决于它所占据的空间和所占据空间中的雪的密度。

我们可以通过数学和物理知识来计算雪球的体积。

首先，我们可以测量雪球的直径和高度。

然后，我们可以根据雪球的形状（通常是近似的球体）来计算其体积。

最后，我们可以根据雪的密度来估算雪球的质量。

通过将数学和物理知识应用于雪球的计算，我们可以锻炼数学推理和逻辑思维能力，同时深入理解物体的体积和密度的关系。

三、雪中的轨迹在冬天，我们在雪地上行走时，常常会留下一串串脚印或车辆痕迹。

这些轨迹也是一种数学和逻辑问题。

我们可以通过观察轨迹的形态和方向，推断出造成轨迹的物体的移动方式。

数学家们通过研究轨迹，发现了众多有趣的规律。

例如，当两个物体以相同的速度和方向行走时，在雪地上留下的轨迹将是平行的。

如果两个物体以不同的速度和方向行走，轨迹将会有所交叉或错位。

此外，通过观察轨迹，我们还可以了解到物体的速度、方向和运动路径等信息。

科赫曲线的相似比全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：科赫曲线是数学领域中的一个经典问题，也被称为科赫雪花曲线，是由瑞典数学家科赫（Helge von Koch）于1904年引进的。

科赫曲线是一条无限长的闭合曲线，由无限次重复的相似变换构成。

科赫曲线的构造方法非常简单，但却展现出了奇妙的几何美学。

科赫曲线的构造方法是这样的：我们从一个等边三角形开始，然后在每一条边的中点处剪去长度的1/3，然后在这段长度的1/3处再剪去1/3，依此类推，不断重复这样的操作。

最终，我们将得到一条无限长的曲线，形状呈现出一个六边形的特殊图形，即科赫雪花曲线。

科赫曲线的相似比是一个重要的概念，它描述了在科赫曲线的每一级迭代过程中，新生成的曲线与原有曲线的尺寸比例。

要计算相似比，我们首先需要理解科赫曲线的构造过程，然后考虑每个迭代步骤中的尺寸变化，最终得出相似比的数学公式。

在科赫曲线每一级的迭代过程中，我们都可以计算新生成的曲线与原有曲线的尺寸比例。

具体而言，我们可以定义相似比为每一级迭代过程中新生成的曲线长度与原有曲线长度的比值。

通过计算不同级别的相似比，我们可以观察到科赫曲线的尺寸变化规律，探究无限迭代下科赫曲线的尺寸趋势。

科赫曲线的相似比是一个十分有趣的数学问题，它展示了科赫曲线的迭代特性和尺寸变化规律。

通过研究科赫曲线的相似比，我们可以更深入地了解科赫曲线的数学性质，研究科赫曲线在几何学和分形几何学中的应用，以及探讨科赫曲线背后的数学原理和美学魅力。

希望通过对科赫曲线的相似比的研究，我们可以更好地理解科赫曲线的奇妙性质和美学特性，探究科赫曲线的数学原理和几何规律，促进科赫曲线相关领域的发展和应用，为科赫曲线的研究和实践提供新的思路和方法。

相信科赫曲线的相似比研究将为数学领域的进步和发展带来新的机遇和挑战，为科学研究和应用创造更多的可能性和发展空间。

【本段字数共计200字】第二篇示例：科赫曲线是数学上一种有趣的几何曲线，在19世纪由法国数学家波利耶发现。

Koch 分形雪花面积计算的数学实验报告2012年4月6日绘制Koch 分形雪花，分析其边数及面积规律实验内容取周长为10的正三角形为初始元。

第一步（N=1）：将边长三等分，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元。

原三角形每条边都用生成元替换,得到具有6个凸顶点的12边形。

第二步（N=2）：对第1步得到的图形，同样将其边长三等分，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元。

原12边形的每条边都用生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。

如此方法，一直做下去，当∞→N 时便得到了Koch 分形雪花。

实验目的1.算法描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图Kn 的边数为143-⨯=n n L3.求Koch 分形雪花图Kn 的面积)(lim n N K area ∞→实验原理1. Koch 分形雪花的绘制过程与Koch 曲线的构造过程类似。

事实上，Koch 分形雪花是由三条三次Koch 曲线组成的。

Koch 曲线的构造：由一条线段产生四条线段，由n 条线段迭代一次后将产生4n 条线段，算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。

第一个点位于线段的三分之一处，第三个点位于线段的三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转ο60而得，正向旋转由正交矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-3cos 3sin 3sin3cos ππππ完成。

三条三条三次Koch 曲线由初始向量P 构造。

流程图如下：⑴)/3P －2(P + P ←Q )/3;P －(P + P ← Q 121 31211 ⑵;A ×)Q －(Q + Q ← Q T1312 ⑶．Q ← P ;Q ← P ;Q ← P ;P ← P 342312252.由于Koch分形雪花是封闭的凸多边形，所以边数=顶点数=P矩阵的行数-1。

雪花曲线边数公式
1概述
雪花曲线（Snowflake Curve）是一种多边形，采用不同的6块六角形组合起来，由此而形成的一个多边形称为雪花曲线。

它是17世纪的用斯坦图西的研究成果之一。

对于这种新的自治多边形，用斯坦图西提出了一个确定它边数的公式：边数=3×2^n，式中n称为“维数”或“调节变量”，它是用斯坦图西雪花曲线的重要参数。

之后，由于用斯坦图西雪花曲线的几何形状充满了艺术美感，因此引起人们对其形状、构造、定义以及其边数的研究，进而有了关于雪花曲线边数的一些数学公式。

2公式
1.杨氏公式
杨氏公式的表达形式：边数=3×3^n。

杨氏研究的是只由三种等边三角形构成的曲线，它的边数为：3×3^n。

2.用斯坦图西公式
用斯坦图西公式的表达形式：边数=3×2^n，n称为“维数”。

用斯坦图西研究的是只由6种相等六边形构成的曲线，其形状近似于一个雪花，它的边数为：3×2^n。

3总结
以上介绍了十七世纪伟大数学家用斯坦图西提出的雪花曲线边数公式，由于它的几何形状充满了艺术美感，因此引起了许多数学家的关注，有了关于雪花曲线边数的一些数学公式，比如杨氏公式和用斯坦图西雪花曲线公式，它们的表达形式分别为：边数=3×3^n和边数=3×2^n。

不论是科学家还是艺术家，都能从雪花曲线中获得它精美绝伦的美学启示，有着无注释的重要历史价值及现代价值，一直被人们所倾倒和探求。

从科赫雪花谈起1906年，数学家科赫（H.Von Koch ）在研究构造连续而不可微函数时，提出了构造能够描述雪花形状曲线的方法：将一条线段三等分，先以中间的一段为底边作一个正三角形，然后再去掉这个正三角形的底边，于是我们可以得到一条由4条长度为原线段长度三分之一的线段构成的折线。

如果我们对构成这条折线的每一条线段不断重复上述的步骤，得到的曲线就是所谓的“科赫曲线”（如右图所示）。

现在，我们作一个边长为a 的正三角形，然后在这个正三角形的每条边上不断重复上述的变换，便可以得到科赫雪花图案。

下图给出的就是从一个正三角形开始依次进行了五次变换后所得到的结果：若记、分别表示第n 步变换后的科赫雪花的周长和面积，则周长依次为n C n S "",334(,,3)34(,334,32210a C a C a C a C n n ⋅=⋅=⋅== 面积依次为20432321a a a S =××= 0020019443)4391(3)323321(3S S a S a a S S ×+=×⋅+=⋅××⋅+= 02001294(439443)923921(43S S S a a S S ×+×+=⋅××⋅×+=……… 0020094(43)94(439443S S S S S n n ×++×+×+=" ………于是，我们有+∞=⋅=∞→∞→]3)34[(lim lim a C n n n n 2200000200002005324358585443941])94(1[94lim 43])94()94(94[lim 43])94(43)94(439443[lim lim a a S S S S S S S S S S S S n n n n n n n n =⋅==×+=−−+=++++=×++×+×+=∞→∞→∞→∞→"" 上述结果表明，科赫雪花图案的面积是有限的，但该图形的周长却趋于无穷大！此类问题是《分形几何》研究的内容之一，有兴趣的读者可以参阅有关的书籍。