第24题 雪花曲线

广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}A x x x ==，{}20B x x x =+≥，则A B = （）A ．[]1,0-B ．[)0,∞+C ．[)1,+∞D ．(],1-∞-2．已知复数3i1iz +=-，则z =（）ABC D3．“a b >”是“22log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()y f x =在定义域()1,3-上是减函数，且()()212f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(),1-∞C ．()0,2D ．()1,+∞5．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（）A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂C ．//,,m l m l αβ⊥⊥D ．,//,//l m l m αβ⊥6．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（）A ．2AB AD =B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒C ．1AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒7．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．B ．C ．6D ．8．已知双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴为12A A ，虚轴为12B B ，直线11A B 与直线22B F 相交于点D .若223DF DB =，则C 的离心率等于（）A ．5B ．3CD 二、多选题9．已知双曲线方程C ：22197x y -=，则在该双曲线中下列结论中正确的是（）A ．实轴长为6B ．渐近线方程为3y x =±C ．焦距是4D10．已知数列{}n a 的前n 项和为210n S n n =-，则下列结论正确的有（）A ．{}n a 是递减数列B ．60a >C ．110S >D ．当n S 最小时，5n =11．已知点00(,)P x y 是直线:4l x y +=上的一点，过点P 作圆22:2O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，连接,OA OB ，则（）A ．当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)B ．||PA的取值范围为)+∞C ．当PAB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭12．已知正四面体ABCD 的棱长为O ．点E 满足(01)AE AB λλ=<< ，(01)CF CD μμ=<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（）A ．四边形EMGH 的周长为是变化的B ．四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481C ．当14λ=时，平面α截球O 所得截面的周长为π2D ．当12λμ==时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后与原四面体的公共部分体积为43三、填空题13．抛物线22y x =的准线方程是______.14．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则异面直线1AB 与1BC 所成的角余弦值是______．15．若数列1,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，则123499100a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=________.16．过双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F 的动直线l 与Γ的左支交于A 、B两点，设Γ的右焦点为2F .若存在直线l ，使得22AF BF ⊥，则Γ的离心率的取值范围是______.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =，1b c -=．(1)若4a =，求ABC 的周长；(2)若1cos 7B =，求ABC 的面积．18．等比数列{}n a 中，12a =，且2134,,a a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2121log log n n nb a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项的和n T .19．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD AB ⊥，//AD BC ，π2BAE ∠=，22AB AD AE BC ====，F 是AE 的中点．(1)证明：//BF 平面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．20．已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是C 上在第一象限内的一点，PF 与x 轴垂直，OP =(1)求C 的方程；(2)经过点F 的直线l 与C 交于异于点P 的A ，B 两点，若PAB 的面积为，求l的方程．21．如图1，在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，30A D ∠=︒，在AC 上，且DA DC ==作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接,PB PC ，如图2.(1)若平面PDE ⊥平面BCDE ，求证:BE PD ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --，求PB 的长.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P ．(1)求椭圆C 的标准方程：(2)设点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为1k ，2k ，若1212k k =，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．参考答案：1．B【分析】解不等式求出[)0,A =+∞，[)(]0,,1B =+∞-∞- ，求出交集.【详解】{}[)0,A x x x ∞===+，{}[)(]200,,1B x x x ∞∞=+≥=+⋃--，故A B = [)0,∞+.故选：B 2．D【分析】利用复数除法运算求出复数z ，再求出复数的模作答.【详解】依题意，(3i)(1i)24i12i (1i)(1i)2z +++===+-+，所以z ==.故选：D 3．B【分析】求出22log log a b >的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】22log log 0a b a b >⇔>>，因为“a b >”⇒“0a b >>”且“a b >”⇐“0a b >>”，因此，“a b >”是“22log log a b >”的必要不充分条件.故选：B.4．A【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.【详解】因为函数()y f x =在定义域()1,3-上是减函数，且()()212f a f a -<-，则有1213123212a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是()1,2.故选：A ．5．D【解析】A ，有可能出现α，β平行这种情况.B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.C ，根据面面平行的性质定理判断.D ，根据面面垂直的判定定理判断.【详解】对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误；对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误；对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确.故选：D【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.6．D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D== ，即b c =，12B D c ==a ．对于A ，AB a =，AD b =，AB =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为tan 2c BAE a ∠==，所以30BAE ∠≠ ，B 错误；对于C，AC =，1CB ==，1AC CB ≠，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，11sin 2CD a DB C B D c ∠===1090DB C <∠< ，所以145DB C ∠= ．D 正确．故选：D ．7．C【分析】在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得,OM ON的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，2OM =，(2cos ,2sin )33OM ππ== ，43MP = ，即4(,0)3MP = ，13PN = ，由分形知//PN OM ，所以1()66PN = ，所以5(,)26ON OM MP PN =++= ，所以5162OM ON ⋅=⨯+= ．故选：C ．8．A【分析】连接22A B ，通过构造平行线，由对应线段成比例，解得5c a =，可得双曲线的离心率.【详解】如图所示，223DF DB = ，则223DF DB =，连接22A B ，由双曲线的对称性，可得2211//A B A B ，21221232DF A F a c DB A A a +===，得5c a =，故双曲线的离心率5ce a==．故选：A ．9．ABD【分析】由双曲线方程得到,,a b c 的值，进而得到实轴长，渐近线方程和焦距，利用点到直线距离求出焦点到渐近线的距离.【详解】22197x y -=中3,a b ==，故2229716c a b =+=+=，故4c =，则实轴长为26a =，渐近线方程为b y x a =±=±，B 正确；焦距为28c =，C 错误；由对称性，不妨取焦点()4,0到渐近线30y =距离为d ==D 正确.故选：ABD 10．BCD【分析】由数列前n 项和为210n S n n =-，可求数列通项，然后逐个验证选项.【详解】210n S n n =-，当1n =时，111109a S ==-=-；当2n ≥时，221(10)(1)10(1)211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦注意到1n =时也满足12111a =⨯-，所以数列{}n a 的通项公式为211n a n =-，*N n ∈，12n n a a +-=，{}n a 是递增数列，A 选项错误；6261110a =⨯-=>，B 选项正确；()111116111102a a S a +==>，C 选项正确；()2210525n S n n n =-=--，*N n ∈，当n S 最小时，5n =，D 选项正确.故选：BCD.11．BD【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行判断即可.【详解】解：对于A 选项：当四边形OAPB 为正方形时，则OA OB AP BP ===则圆22:2O x y r +=⇒=2PO ∴=又点00(,)P x y 是直线:4l x y +=上的一点设00(,4)P x x -2PO ∴==，即200460x x -+=该方程Δ0<，0x 无解故不存在点P 使得OAPB 为正方形，A 错误；对于B 选项：由A 知，PA =()222200000428162(2)88PO x x x x x ∴=+-=-+=-+≥226PO ∴-≥，则PA ≥PA 的取值范围是)+∞故B 正确；对于选项C ：若三角形PAB 为等边三角形为等边三角形，易知60APB ︒∠=又OP 平分APB ∠30APO BPO ︒∴∠=∠=在Rt PAO 中，由于OA =sin 30OA OP OP︒∴=⇒=又P 点坐标为：00(,4)x x -()220048x x ∴+-=，即220002880(2)0x x x -+=⇒-=002,2x y ∴==，故C 错误；对于选项D ：00(,4)P x x - ()222000042816PO x x x x ∴=+-=-+记OP 中点为004,22x x D -⎛⎫⎝⎭则以D 为圆心，2PO为半径的圆与圆O 的公共弦为AB∴圆D 方程为222000041(2816)224x x x y x x -⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得2200(4)0x y x x x y +---=联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，化简得00(4)2x x x y +-=即得直线方程为00(4)20x x x y +--=将12x y ==代入方程恒成立；故直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确.故选：BD 12．BD【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A ：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B ：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C ：根据球的性质分析运算；对D ：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.【详解】对于边长为2的正方体1111AB CD A BC D -，则ABCD 为棱长为球心O 即为正方体的中心，连接11B D ，设11AC B D NI =∵1BB 1DD ，11BB DD =，则11BB D D 为平行四边形∴BD 11B D ，又∵BD 平面α，11B D ⊄平面α，∴11B D 平面α，又∵AC 平面α，11AC B D N I =，11,AC B D Ì平面11AB CD ，∴平面α 平面11AB CD ，对A ：如图1，∵平面α 平面11AB CD ，平面α 平面ABC EM =，平面11AB CD 平面ABC AC =，∴EM AC ，则1EM BEAC ABλ==-，即())11EM AC λλ=-=-，同理可得：HE GM 11B D ，HE GM ==，EM GH AC ，)1EM GH λ==-，∴四边形EMGH 的周长L EM MG GH EH =+++=，A 错误；对B ：如图1，由A 可知：HE GM 11B D ，HE GM ==，EM GH AC ，)1EM GH λ==-，∵11AB CD 为正方形，则11AC B D ⊥，∴EMGH 为矩形，根据平行可得：点A 到平面α的距离12d AA λλ==，故四棱锥A EMGH -的体积)()231162133V λλλλ=⨯⨯⨯-=-，则()16233V λλ'=-，∵01λ<<，则当203λ<<时，则0V '>，V 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当213λ<<时，则0V '<，V 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当23λ=时，V 取到最大值6481，故四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481，B 正确；对C ：正四面体ABCD 的外接球即为正方体1111AB CD A BC D -的外接球，其半径R =设平面α截球O 所得截面的圆心为1O ，半径为r ，当14λ=时，则112OO =，∵2221OO r R +=，则22r =，∴平面α截球O 所得截面的周长为2πr =，C 错误；对D ：如图2，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后得到正四面体1111D C B A ，设11111111,,,A D AD P A C BD K B C BC Q B D AC N ====I I I I ，∵12λμ==，则,,,,,E F P Q K N 分别为各面的中心，∴两个正四面体的公共部分为EFPQKN ，为两个全等的正四棱锥组合而成，根据正方体可得：EP K PEQF -的高为1112AA =，故公共部分的体积1422133K PEQF V V -==⨯⨯=，D 正确；故选：BD.【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题.13．18y =-【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出p 的值，即可求解.【详解】由22y x =得抛物线方程为212x y =，所以14p =，所以抛物线22y x =的准线方程是128p y =-=-，故答案为：18y =-.14．14【分析】分别取AB ,BB 1,B 1C 1,的中点L ,M ,N ,则1AB ∥LM ，1BC ∥MN ，进而∠LMN （或其补角）是直线1AB 与1BC 所成角，然后解出LMN 的三边，进而用余弦定理即可解得.【详解】设三棱柱棱长为2，取AB ,BB 1,B 1C 1,BC 的中点分别为L ,M ,N ,P ，连接,,LM MN LN ，∴1AB ∥LM ，1BC ∥MN ，设直线1AB ，1BC 所成角为α，∴cos |cos |LMN α=∠.连接,LP PN ，容易判断NP ⊥LP ，易知：1,2LP NP ==,∴LN ==,易知：LB =BM =1，∠LBM =90°，∴LM ==LM =在LMN 中，由余弦定理：1cos4LMN ∠=-，∴1cos |cos |4LMN α=∠=.故答案为：14.15．5000【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可.【详解】123499100139924100)(()a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，由已知可得199139950()50(098)245022a a a a a ++++⋅⋅⋅+===，21002410050()50(2100)255022a a a a a ++++⋅⋅⋅+===，所以原式245025505000=+=.故答案为5000.【点睛】本题主要考查数列求和问题，涉及分组求和与公式法求和，属中等难度题.16．【分析】由题可设l 为x my c =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立l 与双曲线的方程可得12y y 、12y y +；根据22AF BF ⊥得220F A F B =⋅，将12y y 、12y y +代入可得关于m 的表达式，根据m范围和120y y <可求离心率范围﹒【详解】依题意知直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x my c =-，联立22221x my c x y ab =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22222420b m a y b cmy b --+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由0∆>知，2122222b cm y y b m a +=-，412222b y y b m a =-，由22AF BF ⊥得220F A F B =⋅，故()()12120x c x c y y --+=，即()()2211220my c my c y y --+=，整理得()()2212121240m y y cm y y c +-++=，将12y y 、12y y +代入整理得，()()2422222221440m b m c b c b m a +-+-=，则()242214m b a c +=，∴2224411a c m b+=≥，故()222224a c c a ≥-，∴442260c a a c +-≤，两边除以4a ，得42610e e -+≤，解得233e -≤≤+又∵1e >，∴(2211e <≤+，故11e <≤，又A 、B 在左支且l 过1F ，∴120y y <，即42220b b m a <-，故222a m b<，∴222242411a c a m b b+=<+，∴()22224222224a c a b b b a b b c <+=+=，即22224a b c a <=-，则225a c <，故25e >，即e >1e <≤e ∈+．故答案为：.【点睛】本题的关键在于根据直线l 方程x my c =-里面m 的范围，得到关于a 、b 、c 的不等式，从而求得离心率的范围．17．(1)18(2)【分析】（1）由正弦定理边化角可求出C ，结合余弦定理2222cos c a b ab C =+-，由1b c -=代换b ，求得,c b ，进而得解；（2）由正弦定理sin sin b c B C =，1b c =+代换得1sin sin c cB C+=，求出sin B ，可解得,b c ，由正弦面积公式()11sin sin 22ABC S bc A bc B C ==+△即可求解.【详解】（1cos sin C c A =cos sin sin A C C A =．又sin 0A ≠，所以sin C C =，即tan C =0πC <<，所以π3C =．()()2222216141213c a b ab c c c c =+-=++-+=-+，解得132c =，则152b =．故ABC 的周长18ABC C a b c =++=△；（2）因为1cos 7B =，所以sin 7B =．由sin sin b cB C=，1b c =+72=7c =，8b =．故ABC 的面积()1111sin sin 28227272ABC S bc A bc B C ⎛==+=⨯+⨯= ⎝⎭△18．(1)2n n a =(2)111n T n =-+【分析】（1）设出公比，得到()24132a a a a +=+，求出公比，得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到()11111n b n n n n ==-++，裂项相消法求和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q .因为12a =，且2134,,a a a a +已成等差数列，所以()24132a a a a +=+，因为()221311110a a a a q a q +=+=+≠，所以24132a a a a +=+，即2q =，所以数列{}n a 的通项公式为1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为2n n a =，所以数列()2121111log log 11n n n b a a n n n n +===-⋅++所以数列{}n b 前n 项的和1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)证明见解析(2)23【分析】（1）取DE 中点G ，结合三角形中位线性质可证得四边形BCGF 为平行四边形，从而得到//BF CG ，由线面平行的判定可证得结论；（2）根据面面垂直性质可得AD ⊥平面ABE ，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点到面距离的向量求法可求得结果.【详解】（1）取DE 中点G ，连接,FG CG，,F G 分别为,AE DE 中点，//FG AD ∴，12FG AD =，又//AD BC ，12BC AD =，//BC FG ∴，BC FG =，∴四边形BCGF 为平行四边形，//BF CG ∴，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，//BF ∴平面CDE .（2） 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，又π2BAE ∠=，则以A 为坐标原点，,,AB AE AD正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0F ，()2,0,1C ，()0,0,2D ，()0,2,0E ，()2,0,1CD ∴=- ，()0,2,2DE =- ，()0,1,0FE =，设平面CDE 的法向量(),,n x y z = ，则20220CD n x z DE n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，解得：2y =，2z =，()1,2,2n ∴= ，∴点F 到平面CDE 的距离23FE n d n⋅== .20．(1)212y x=(2)y =-y =+【分析】（1）根据抛物线方程以及P的位置关系，由OP =（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设出直线方程并与抛物线联立方程组，利用弦长公式并根据PAB的面积为即可求得直线的斜率，得到直线方程.【详解】（1）由题可知，点P 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．因为OP =22452p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得p ＝6或p ＝－6（舍去），故C 的方程为212y x =．（2）由题可知，()3,6P ，所以直线l 的斜率一定存在，可设l 的方程为(3)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立方程组2(3)12y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()222261290k x k x k -++=，则2122612k x x k ++=，129x x =．所以PAB 的面积1212S PF x x =-===，解得22k =或223k =-（舍去），故l 的方程为y =-y =+21．(1)证明见解析【分析】(1)由题意知BE DE ⊥，由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PDE ，进而可得BE PD ⊥；(2)作PH BE ⊥所在的直线于点H ,由题意可得知,DE BE DE PE ⊥⊥，所以ED ⊥平面PEB ，即可得平面PBE ⊥平面BCDE ，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，进而可得PGH ∠为二面角P BC E --的平面角，设PGH θ∠=，则tan PH GH θ==304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，，解得12x =，再由PB 计算即可得答案.【详解】（1）证明：由题意知BE DE ⊥，又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE 平面,BCDE DE BE =⊂平面BCDE ，所以BE ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，所以BE PD ⊥；（2）解：由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面,PEB 因而ED ⊥平面PEB ，又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .如图，作PH BE ⊥所在的直线于点H ，又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE .作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，则PGH ∠为二面角P BC E --的平面角，设PGH θ∠=，则tan θ=在ABC 中，90,30,CA D A D C ︒︒∠=∠===，所以34,2,2AB BC AE ===，设304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，因而)PH x ==-，在直角三角形PHG 中，tan PH HG θ==解得12x =或1611x =（舍去），此时3PHH B ==，从而PB==.22．(1)22182x y +=(2)直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意可得28a =，22411a b+=，求出2b ，从而可得椭圆方程，（2）讨论直线AB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线PA 与PB 的斜率，再由1212k k =-列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点．【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，即24118b+=，得22b =所以椭圆方程为22182x y +=，（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由2248y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得()222418480k x ktx t +++-=，()()2222226444148820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228414841kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()121222241ty y k x x t k +=++=+，()()()2222121212122841t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以()()121212121212111122242y y y y y y x x x x x x -++--⋅==----++，即()()1212121222224y y y y x x x x -++=-++-，则2222222824882222441414141t k t t kt k k k k ---⋅-⋅=-+-++++，所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---，化简得22438210k t kt t ++--=，即()()212310k t k t +-++=，所以12t k =-或123kt +=-，当12t k =-时，直线AB 的方程为()1221y kx k k x =+-=-+，则直线过定点()2,1（舍去），答案第17页，共17页当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为()2x m m =≠，由2248x m x y =⎧⎨+=⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以y =所以()212221112414422m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===--+-，解得2m =（舍去），或23m =，所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中与曲线相交的直线过定点问题，一般采取“设而不求”的思想方法，即设直线方程为y kx m =+，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，直线方程代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得12x x +，12x x 或12y y +，12y y ，然后交点坐标计算其它量(如斜率、弦长等)并利用其满足的性质和题目条件求得参数值或参数k 和m 关系后由直线方程可得定点坐标.。

第24题雪花曲线设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形，第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作K n(n=1，2，3，…)。

它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。

我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。

现在问：四多边形K n的周长是多少？凹多边形的面积是多少？分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。

欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。

解：设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。

初始三角形的周或通项公式：对于面积的计算，我们先列表24—1。

由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，面积可以从如下两个角度求得：(1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式：(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。

(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。

首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。

曲线序列中的向于无限长。

然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。

如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。

如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A结果怎样？如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道：注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。

雪花曲线
雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生假定也跟雪花类似．
由图1 那样的等边三角形开始．然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边．接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三分后的中段，像图3那样向外画新的尖形．不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．
雪花曲线令人惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！
雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张
倍．。

雪花曲线的有趣故事在自然界中，有一种美妙而神奇的现象叫做“雪花曲线”。

这个现象是指雪花的形状会随着温度的变化而改变，从而形成不同的曲线形状。

这个有趣的现象背后隐藏着一段引人入胜的故事。

故事发生在一个寒冷的冬天。

一个年轻的科学家叫做阿尔弗雷德，对雪花的形状变化产生了浓厚的兴趣。

他花了很多时间观察和研究不同温度下雪花的形态。

他发现，当温度越低，雪花的形状就越接近于曲线。

阿尔弗雷德意识到，这种雪花曲线可能是由于水分子在结冰时的特殊排列所致。

他开始进行实验，使用显微镜观察结冰过程中水分子的排列情况。

他发现，水分子在接近冰点的温度下会形成六边形的晶体结构，而在低于冰点的极端寒冷温度下，水分子会形成一种特殊的螺旋排列。

阿尔弗雷德非常激动，他开始将这些发现应用于他的研究当中。

他设计了一个实验装置，通过控制温度的变化来观察雪花的形态。

他发现，当温度处于特定的范围时，雪花的形状会呈现出美丽的曲线，就像被一个无形的艺术家塑造一样。

阿尔弗雷德的研究引起了科学界的广泛关注。

他的成果被认为是对自然界中奇妙现象的重要突破。

人们开始将他的研究应用于气象学和物理学中，以更好地理解和预测天气变化和自然界的规律。

除了科学意义之外，雪花曲线也给人们带来了美学上的享受。

人们开始欣赏雪花的形状和曲线，并将其应用于艺术创作中。

许多艺术家受到雪花曲线的启发，创作出了许多美丽的艺术作品。

雪花曲线的故事告诉我们，自然界中充满了无限的奇迹和美妙。

人类的探索精神和好奇心使得我们能够发现这些奇迹，并将其应用于实践中。

我们应该保持对自然界的敬畏之心，继续探索和研究其中的奥秘，为人类的发展和进步做出贡献。

总之，雪花曲线是一个令人着迷的现象，它不仅让我们对自然界的多样性有了更深的理解，也带给我们美学和艺术上的享受。

这个有趣的故事告诉我们，科学和艺术可以相互交融，创造出更加美好的世界。

2008年春季国光初级中学初二年期末考试数 学 试 题一、选择题（每小题4分，共24分）每题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分。

1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k 为（ ） A 、16 B 、-16 C 、±16 D 、±13 2、若11m n -=3，2322m mn nm mn n+---的值是（ ） A 、1.5 B 、35 C 、-2 D 、-753、判断下列真命题有（ ）①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD ，AB=BC=CD ，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形A 、②③B 、①②④C 、①⑤D 、②③④4、如果一组数据X 1,X 2……X 5的方差是3，那么另一组数据2X 1-1,2X 2-1……2X 5-1的方差是（ ） A 、3 B 、6 C 、11 D 、125、如图，矩形ABCD 中,已知AB=5,AD=12,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC ，E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF=（ ）A 、5B 、13C 、245D 、55126、在直角坐标系中，已知两点A （-8，3）、B （-4，5）以及动点C （0，n ）、D(m,0)，则当四边形ABCD 的(满分：150分；考试时间：120分钟)11235...11231511211321④③②①周长最小时，比值为 mn （ ）A 、-23B 、-32C 、-34D 、34二、填空题（每小题3分，共36分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答。

7、当x= 时，||3x x -与3xx-互为倒数。

8、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v ，下山的速度为v ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为 9、已知x 2-3x+1=0，求（x-1x）2 =10、将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A '，则点A '的坐标是11、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD 的周长为 12、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是△ABC 的中线，△CDB 内以CD 为边的等腰直角三角形周长是13. 如图，边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AE=AB ，F 是AC•上一动点，EF+BF 的最小值为 14、如图，边长为3的正方形ABCD 顺时针旋转30°，得上图，交DE 于D ’,阴影部分面积是 15、化简：︱x-2︱x-2 -︱2-x ︱2-x= （注意x 的取值范围）16、如图，已知四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ， 且∠AOD ＝90°，若BC ＝2AD ，AB ＝12，CD ＝9，四边形ABCD 的周长是17、有这样一组数：1，1，2，3，5…，现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形；再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④.第⑩个矩形周长是18、如图，在直线y=-33x+1与x A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，第二象限内有一点P （a,12）,且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则a=三、解答题（共90分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答。

求出雪花曲线的面积这个美丽的几何分形是由赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。

为了生成科克雪花曲线，先从一个等边三角形开始。

把每一边分成三等分。

取走中间的三分之一，在被取走线段处向外作出两边为此线段三分之一长度的尖角。

重复这一过程得到各个尖角，以至无穷。

看来似乎矛盾的两个迷人的特性是——·雪花曲线的面积是原来那个生成它的三角形的面积的8/5；·雪花曲线的周长是无穷大。

雪花曲线的面积是生成它的三角形的面积的8/5的非正式证明如下。

Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。

因此k=9a。

现在集中考虑确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。

我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。

在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。

事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

Ⅲ．把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下：Ⅳ．现在，把六个尖角中每一个所造成的面积相加，再加上原来的生成三角形内部的六边形，我们得到Ⅴ．上式变成方括弧内第二项开始的级数是几何级数，它的公比是4/9，首项是2/9，所以我们能计算它的极限：（2/9）／（1-（4/9））=2/5。

Ⅳ．代入级数的极限值2/5，我们得到（1+2/5）6a+6a=72a/5。

现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。

因为k=9a，我们得a=k/9。

把这a值代入72a/5，我们得（72/5）（k/9）=（8/5）k。

绘制雪花曲线流程一、前言雪花曲线是一种美丽的图形，它具有非常高的艺术价值和装饰效果。

在绘画、设计等领域中，经常使用雪花曲线来装饰作品。

本文将介绍如何绘制雪花曲线，包括几何构造方法和手绘方法。

二、几何构造法1. 绘制正六边形首先，我们需要绘制一个正六边形。

可以使用圆规和三角板来绘制。

如果没有这些工具，也可以使用铅笔和直尺。

2. 分割正六边形将正六边形分成6个等分的三角形。

可以使用三角板或者直尺来进行分割。

3. 画出内部三角形在每个三角形中画出一个小等腰三角形，其顶点在原始正六边形的中心处。

这些小三角形将成为雪花曲线的基础。

4. 绘制第一层小三角形从任意一个小三角形开始，向外延伸出一个新的小等腰三角形，并使其两个底边分别与原始小三角形的两条底边平行。

这是第一层小三角形。

5. 继续绘制从新绘制的小三角形的两个底边开始，再次向外延伸出两个新的小三角形，并使其与原始小三角形的底边平行。

这是第二层小三角形。

6. 继续绘制重复步骤5，一直向外延伸出新的小三角形，直到达到所需大小为止。

7. 完成最终结果是一个美丽的雪花曲线。

三、手绘法1. 准备工具准备一支铅笔、一张白纸和一支黑色墨水笔。

2. 绘制基础图案使用铅笔在白纸上画出一个正六边形。

然后分割成6个等分的三角形，并在每个三角形中画出一个小等腰三角形。

3. 绘制第一层线条使用墨水笔从任意一个小三角形开始，向外延伸出一个新的小等腰三角形。

使其两个底边分别与原始小三角形的两条底边平行。

这是第一层线条。

4. 继续绘制从新绘制的小三角形的两个底边开始，再次向外延伸出两个新的小等腰三角形，并使其与原始小三角形的底边平行。

这是第二层线条。

5. 继续绘制重复步骤4，一直向外延伸出新的线条，直到达到所需大小为止。

6. 擦除基础图案使用橡皮擦擦除基础图案，只保留墨水笔绘制的线条。

7. 完成最终结果是一个美丽的手绘雪花曲线。

四、总结以上是两种绘制雪花曲线的方法：几何构造法和手绘法。

江苏省前黄高级中学曹锁明一、教学背景分析：本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。

本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。

同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。

二、教学目标：1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题；②了解雪花曲线，了解分形几何。

2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力；②利用几何画板自我掌握新知识的能力；③同学之间相互协作的能力。

3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；②培养学生对数学美的认识，对美的追求。

三、教法、学法：通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。

雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。

本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。

四、教学重、难点：重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。

难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。

五、教学程序：（一）创设情景，激起兴趣通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。

（二）激烈讨论，引出话题当同学们通过讨论，构造雪花曲线的方法，花曲线是无限生长的，永无止境，对曲线放大，观察局部， （三）逐步生长，探究周长 引导学生使用数列来研究，相互讨论，所围的面积是否无限？从而激起学生进一步的争论，引出下一个问题。

（四）继续深入，探求面积 通过雪花曲线的逐步生长，引导学生寻求面积的计算方法。

可让学生使用几何画板来生长曲线，寻找规律。