最新雪花曲线中的科克数学问题

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

雪花中的数学问题雪花中的数学问题主要是与雪花曲线（也称为科赫曲线）有关。

雪花曲线是由一组连续的三角形构成，每个三角形都以一个点为中心，向外延伸出三个分支，每个分支又继续向外延伸出三个分支，如此不断重复。

这种曲线的形状类似于雪花，因此得名。

在雪花曲线中，有一个重要的数学概念叫做“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。

迭代函数系统是由一组函数构成，每个函数都会将输入的图像变换成另一幅图像。

在雪花曲线的生成过程中，每个三角形都可以看作是一个迭代函数，通过不断应用这些函数，最终生成了雪花曲线的形状。

此外，雪花曲线还与分形几何有关。

分形几何是一种研究形状和结构的数学分支，它的特点是可以通过不断迭代来生成复杂的形状。

雪花曲线是一种典型的分形几何图形，其形状和结构可以通过迭代函数系统和分形几何的理论来描述和分析。

除了在自然界中发现的美丽分形结构，雪花曲线还与计算机图形学和数据压缩等领域有着紧密的联系。

在计算机图形学中，雪花曲线可以作为一种生成复杂形状和图案的有效方法。

而在数据压缩领域，雪花曲线因其独特的形状和结构也被用作一种高效的数据压缩算法。

此外，雪花曲线还被应用于图像处理和模式识别等领域。

通过利用雪花曲线的特性和算法，可以实现对图像的高效处理和识别。

例如，在图像处理中，可以使用雪花曲线来分割图像中的不同区域，从而实现图像的分割和识别。

总之，雪花曲线作为一种独特的数学概念和分形几何图形，不仅在自然界中有着广泛的应用，还在计算机科学、数据压缩、图像处理和模式识别等领域发挥着重要的作用。

通过深入研究和探索雪花曲线背后的数学原理和算法，我们可以不断发现新的应用场景并推动相关领域的发展。

第24题雪花曲线设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形，第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作K n(n=1，2，3，…)。

它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。

我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。

现在问：四多边形K n的周长是多少？凹多边形的面积是多少？分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。

欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。

解：设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。

初始三角形的周或通项公式：对于面积的计算，我们先列表24—1。

由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，面积可以从如下两个角度求得：(1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式：(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。

(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。

首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。

曲线序列中的向于无限长。

然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。

如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。

如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A结果怎样？如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道：注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。

科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。

定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。

画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。

3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4、曲线上任意两点距离无穷大。

5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

这让保守派数学大师们都很难相信。

科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。

有关冰雪的数学知识科赫曲线是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

python绘制雪花1.创立者科赫是一位瑞典数学家，出生于一个显赫的贵族家庭。

他写过多篇关于数论的文章，但是，科赫留给大家最广为人知的成果却是以他名字命名的科赫曲线。

2.构造方法科赫从一条线段入手，利用递归法构造了一条具有几何直观且处处不可微的连续曲线。

无限操作下去得到koch曲线3.雪花曲线与初中数学拓展课、竞赛计算科赫雪花曲线的边数、周长和面积。

反复进行作图过程得到koch雪花（1）边数每生长一次，边数增加4倍。

（2）周长每生长一次，得到的新图形的周长是原来图形周长的。

（3）面积即，中括号里是一个公比小于1的等比级数。

第一次生长后，所形成的图形的面积是在原来正三角形面积的基础上增加了3个小正三角形的面积，而这3个小正三角形的的每一个的面积是原来正三角形面积的；第二次生长后，所形成的图形的面积是在第一次生长后的图形面积的基础上增加3×4个小正三角形的面积，而这3 ×4个小正三角形的每一个面积是原来正三角形面积的；以此类推。

显然，随着科赫雪花不断“生长”，其周长趋于无穷大，而面积却趋于定值。

4.影响科赫曲线是分形发展初期的重要例子之一，它作为典型的分形集在分形几何的创立过程中具有举足轻重的地位。

这条曲线呈现了分形几何最重要的性质———自相似性（整体与部分的相似性）。

5.应用分形几何创始人芒德勃罗用科赫曲线成功模拟了英国的海岸线形状，从而推动了分形几何的创立和发展。

6.参考文献【1】郑宏超.奇妙的科赫雪花曲线——例谈初中数学拓展课的设计[J].中学教学参考,2017【2】马光喜.雪花与数学竞赛题[J].初中生数学学习,2001:43-45.【3】江南,曲安京,李斐.科赫曲线的产生及其影响[J].科学技术哲学研究,2019:104-109.。

科学家称一片雪花的周长超过地球，到底是咋算出来的？英国数学家今天咱们来聊点硬核科普。

雪花咱们都司空见惯了，但是科赫雪花你见过吗？这其实是一名数学家提出的数学理论，就是在这种理论之中的科赫雪花，它的周长甚至能够超过地球，这是为什么呢?科赫雪花并不是雪花，而是一种数学理论，它还有另外一个名字叫做科赫曲线，说白了就是一种几何曲线，因为长的和雪花一样，所以称为雪花曲线。

那么它是哪儿来的呢？出现于一名瑞典数学家的论文当中，这名数学家叫做海里格·冯·科赫，在他论文当中出现了这片雪花，其周长是无限的，甚至能够超越地球的直径。

在这里朋友们可能要问了，这怎么可能呢？那么这个科赫雪花是怎么做出来的呢？从视频中我们可以看到科赫雪花形成的过程。

我们先画出一个等边三角形，在等边三角形的每个边做三等份，然后取出中间的一份往外延伸，又出现一个等边三角形。

然后再把等边三角形的每条边分三份，又延伸出另外的三个三角形，以此类推无限循环，每次循环就叫一次迭代。

那么什么是迭代呢？很好理解，就是不断的重复反馈过程，目的是为了得到我们想要的结果。

这在计算机的程序当中也很常见，就是不断的重复循环，一直到满足条件。

所以到这里大家对于科赫雪花到底是什么，怎么形成的，应该都彻底明白了吧？按照理论。

在面积一定的情况之下，雪花的长度可以无限。

这就很难让人相信，因为如果咱们在科赫雪花外面画一个圆，就足以将它覆盖。

但是圆的周长却远远的小于科赫雪花，甚至于连它的零头都达不到。

是不是很神奇呢？其实对于这种现象，英国人应该是深有体会的，因为他们发现自己每次测量的海岸线长度都不一样，这是为什么？还要从上世纪说起，那是1967年，一名数学家写了一篇论文，名字叫做《英国的海岸线有多长》。

在这里朋友们可能要问了，英国的国土面积是一样的，那海岸线的长度自然也是不变的，就这还要写一篇论文?话是这么说，但是如果我们用在现实生活中，就会发现每次测量的英国海岸线长度都不一样，因为我们每次测量使用的工具都不一样。

求出雪花曲线的面积这个美丽的几何分形是由赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。

为了生成科克雪花曲线，先从一个等边三角形开始。

把每一边分成三等分。

取走中间的三分之一，在被取走线段处向外作出两边为此线段三分之一长度的尖角。

重复这一过程得到各个尖角，以至无穷。

看来似乎矛盾的两个迷人的特性是——·雪花曲线的面积是原来那个生成它的三角形的面积的8/5；·雪花曲线的周长是无穷大。

雪花曲线的面积是生成它的三角形的面积的8/5的非正式证明如下。

Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。

因此k=9a。

现在集中考虑确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。

我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。

在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。

事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

Ⅲ．把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下：Ⅳ．现在，把六个尖角中每一个所造成的面积相加，再加上原来的生成三角形内部的六边形，我们得到Ⅴ．上式变成方括弧内第二项开始的级数是几何级数，它的公比是4/9，首项是2/9，所以我们能计算它的极限：（2/9）／（1-（4/9））=2/5。

Ⅳ．代入级数的极限值2/5，我们得到（1+2/5）6a+6a=72a/5。

现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。

因为k=9a，我们得a=k/9。

把这a值代入72a/5，我们得（72/5）（k/9）=（8/5）k。

《科克雪花》洋浦第一小学：杨春霞教学内容：四年级下册《数学文化读本》26页——29页内容。

教学目标1、知识与技能：了解等分线段和科克曲线的画法，尝试科克创新的思想方法。

2、过程与方法：经历科克曲线的制作过程，体会有规律的变化，提高学生的操作创新能力。

3、情感态度与价值观：通过尝试创造科克曲线和欣赏有类似变化规律的图形，激发学生数学学习兴趣，培养学生的数学文化素养。

教学重点：了解科克曲线变化的规律。

教学难点：运用科克曲线的变化规律尝试画科克曲线。

教法、学法：启发法、发现法、自主探索式学习。

教具学具：多媒体课件、探究学习单、量角器、学生用尺。

教学过程：一、创设情境，激发兴趣1、出示风景图：南国——北国，感受大自然的美。

2、引出景物——雪花，介绍雪花的形状。

3、人物介绍：瑞典数学家科克，导入并板书课题：科克雪花。

【设计意图：引领孩子用数学的眼光关注生活中的事物，通过多媒体让孩子初步认识远离他们生活中的事物——雪花，激发学生的学习兴趣，为学好本课内容做铺垫。

】二、出示图形，发现规律1、逐步出示科克雪花。

2、观察科克雪花，发现科克雪花的形成规律。

3、自学教材第28页内容，熟悉科克雪花的画法。

4、全班交流画雪花需要注意的要点，根据学生的发言课件演示将线段三等分和以中间一段为底边画正三角形。

【设计意图：培养学生的观察能力，发现事物形成的规律。

引导学生自学，培养学生的自学能力。

通过多媒体演示，让学生进一步掌握画图的方法，突破本课的重难点。

】三、动手操作，尝试应用1、学生画科克雪花，尝试科克创新的思想。

2、学生抖动手中所画好的雪花，感受雪花飘落动态美。

3、几何画板画科克雪花，让学生知道用计算机画科克雪花，会更快更准。

4、说明：用以上方法画出的图形叫分形图。

雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样。

这个被称作数学怪物科克曲线，恰是分形图形自相似的例子。

5、从图（1）到图（3），它们的边数有什么变化？观察上图边数的变化：图（1）有（）条边，图（2）有（）条边，图（3）有（）条边。