雪花曲线中的科克数学问题

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。

定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。

画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。

3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4、曲线上任意两点距离无穷大。

5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

这让保守派数学大师们都很难相信。

科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。

数学实验报告试验二迭代与分形练习一实验目的与要求对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

实验过程具体的代码如下：function plotkoch(r,k) %显示等边三角形迭代k次后的曲线图 r代表边长默认（0 0）为起点p=[(r/2) r*sin(pi/3);r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边1n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;b(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;b(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[b;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;r 0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边2n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;z(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入rj=j+1;z(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[z;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例p=[0 0;(r/2) r*sin(pi/3)]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标代表边3n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标j=0; %%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中for i=1:n %每条边计算一次q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标d=(q2-q1)/3; %j=j+1;a(j,:)=q1; %原起点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d; %新1点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入rj=j+1;a(j,:)=q1+2*d; %新3点存入rend %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入rn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=[a;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点endplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图hold on; %保存图像axis equal %各坐标轴同比例运行得到图像如下：k=1 k=5k=0时23 k=1时 S=234r +2312r k=2时 S=234r +2312r + 2327r k=3时 S=234r +2312r + 2327r + 243243r k=n 时 S=234r +2312r + …2(1)12133*4*()3n n r ---+2(1)233*4*()43n n r r - 每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的13，数量为上一次的4倍. S=234+234*（3*21()3+12*221()3+……+3*(1)4n -*21()3n ）2323*(1)211[3*4*()]3n i i i -=∑曲线总面积无穷大。

求出雪花曲线的面积这个美丽的几何分形是由赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。

为了生成科克雪花曲线，先从一个等边三角形开始。

把每一边分成三等分。

取走中间的三分之一，在被取走线段处向外作出两边为此线段三分之一长度的尖角。

重复这一过程得到各个尖角，以至无穷。

看来似乎矛盾的两个迷人的特性是——·雪花曲线的面积是原来那个生成它的三角形的面积的8/5；·雪花曲线的周长是无穷大。

雪花曲线的面积是生成它的三角形的面积的8/5的非正式证明如下。

Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。

因此k=9a。

现在集中考虑确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。

我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。

在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。

事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

Ⅲ．把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下：Ⅳ．现在，把六个尖角中每一个所造成的面积相加，再加上原来的生成三角形内部的六边形，我们得到Ⅴ．上式变成方括弧内第二项开始的级数是几何级数，它的公比是4/9，首项是2/9，所以我们能计算它的极限：（2/9）／（1-（4/9））=2/5。

Ⅳ．代入级数的极限值2/5，我们得到（1+2/5）6a+6a=72a/5。

现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。

因为k=9a，我们得a=k/9。

把这a值代入72a/5，我们得（72/5）（k/9）=（8/5）k。

数学在生活中的应用结题报告研究组成员：指导教师：生活中有数学吗?数学在生活中有何用武之地?我们花费了大把的经力和时间学的数学难道只是虚形的理论?于是我们整个小组的成员怀着这样的疑问开始了生活中的数学的探究之旅.世界之大，无处不有数学的重要贡献。

培养学生的数学意识以及运用数学知识解决实际问题的能力，既是数学教学目标之一，又是提高学生数学素质的需要。

在教学中，要使学生接触实际，了解生活，明白生活中充满了数学，数学就在你自己的身边。

从收集资料开始到实地的研究,我们曾做过许多次的活动,爆发了多次的讨论,以及遇到了多种问题和困惑,但是在老师的帮助下我们克服解决了困难深刻地了解到了"数学在生活中无处不在".我们研究的主线是:1.收集理论资料2.实地观察3.总结填表我们曾经研究以下几个数学的有关方面:讨论结果：①买卖之间的问题。

②建筑方面：如：设计图从平面到空间，圈地等③估算方面：如：概率统计。

④根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系等⑤银行利息、贷款（指数函数的应用）在研究过程中,我们时常为找到有价值的资料而欢欣鼓舞,我们也曾为下一步的工作而热烈讨论.当然,我们也曾在这些前期工作中遇到了困难如:1.有些资料难以查找2.由于生活体悟不够,对生活中的例子举得过少3.讨论总结的不全面.解决的办法主要有:1.集中大家的力量多方面查找2.向有生活经验长辈讨教.经过我们全组同学的共同努力，最后主要有以下几个方面的成果：1.银行存储方面：分期付款与储蓄问题、保险问题2.指数函数的应用：人口方面的研究3.建筑方面：设计图从平面到空间，圈地等间的问题。

4.估算方面：概率与统计调查。

5.合情推理方面：“世界末日”何时到来、直线划分平面、雪花曲线。

6.排列组合知识的应用：网球比赛、围棋比赛、足球甲A联赛。

研究结果1.雪花曲线问题。

，(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。

首届数学文化节知识竞赛试题 班级 得分一、数学之史1、纪念欧拉：（1）欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800多篇（本）论文、著作，他28岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思路是将原问题转化为一笔画问题，图1中的两图， (a) 能用一笔画出来（每条边不重复、不遗漏，本题仅有一个正确答案）。

（2）著名的欧拉函数，欧拉把小于或等于正整数n 的正整数中与n 互质的数的数目记作()n ϕ。

以n=6为例，(6)ϕ是指小于或等于6的正整数中与6互质的数的数目。

由于1,2,3,4,5,6中有1,5两个数和6互质，所以(6)ϕ=2。

求n=8和n=12时的欧拉函数值(8)ϕ= 4 ，(12)ϕ= 4 。

2、古代数学请用小学技巧性算术方法．．．．．．．．．求解以下经典名题（不能用方程，数列等代数方法），过程要详细、清楚、通俗、易懂。

著名的“鸡兔同笼问题”出自《孙子算经》。

鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 兔12只，鸡23只A B C D D A B C （a ） （b ）图1二、数学之美1、雪花曲线在正三角形每条边的中央分别向外作正三角形，边长是原来三角形边长的三分之一，就得到了一个正六角星。

依照此法无限制地进行下去，这就是瑞典数学家科郝将雪花理想化得到的科郝雪花曲线。

我们不妨把每一次作图过程叫做“生长”，如下图所示。

如果原三角形边长为1，则雪花曲线的周长是4 3n⎛⎫⎪⎝⎭，它所围成的面积是无限（有限/无限）的。

2、对称之美如右图所示，4x4方格中至少要再将 1 个空白的正方形方格涂黑，才能使得着色的图形为轴对称图形，并请画出涂黑的方格。

三、数学之思1、数学谜语（分别打一数学名词）（1）医生提笔开方（2）考试不作弊真分数（3）婚姻法结合律（4）不转弯的路直径2、直指焦点中央一台的《焦点访谈》是时事、政治性较强的一档电视节目，在晚间约7点38分，时针与分针重合时播出。

震惊：无穷带来的各种悖论“无穷”是一个非常神奇的东西。

一旦考虑到了无穷，就会出现各种不可思议的事情。

本文列举几个最有趣的无穷悖论，大家来体验一次前所未有的“头脑风暴”吧。

芝诺悖论（Zeno'sparadoxes）芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。

其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。

最有名的是以下两个。

阿基里斯与乌龟的悖论（AchillesandthetortoiseParadox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。

因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。

如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。

二分法悖论（DichotomyParadox）：运动是不可能的。

你要到达终点，必须首先到达全程的1/2处；而要到达1/2处，必须要先到1/4处每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。

其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。

罗素（BertrandRussell）曾经说过，这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。

阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德（AlfredNorthWhitehead）这样形容芝诺：“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的”，可见争议之大。

无数热爱思考的人也被这些悖论吸引，试图给这些出人意料的结论以合理的解释。

当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。

亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。

他说，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。

科赫曲线的相似比全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：科赫曲线是数学领域中的一个经典问题，也被称为科赫雪花曲线，是由瑞典数学家科赫（Helge von Koch）于1904年引进的。

科赫曲线是一条无限长的闭合曲线，由无限次重复的相似变换构成。

科赫曲线的构造方法非常简单，但却展现出了奇妙的几何美学。

科赫曲线的构造方法是这样的：我们从一个等边三角形开始，然后在每一条边的中点处剪去长度的1/3，然后在这段长度的1/3处再剪去1/3，依此类推，不断重复这样的操作。

最终，我们将得到一条无限长的曲线，形状呈现出一个六边形的特殊图形，即科赫雪花曲线。

科赫曲线的相似比是一个重要的概念，它描述了在科赫曲线的每一级迭代过程中，新生成的曲线与原有曲线的尺寸比例。

要计算相似比，我们首先需要理解科赫曲线的构造过程，然后考虑每个迭代步骤中的尺寸变化，最终得出相似比的数学公式。

在科赫曲线每一级的迭代过程中，我们都可以计算新生成的曲线与原有曲线的尺寸比例。

具体而言，我们可以定义相似比为每一级迭代过程中新生成的曲线长度与原有曲线长度的比值。

通过计算不同级别的相似比，我们可以观察到科赫曲线的尺寸变化规律，探究无限迭代下科赫曲线的尺寸趋势。

科赫曲线的相似比是一个十分有趣的数学问题，它展示了科赫曲线的迭代特性和尺寸变化规律。

通过研究科赫曲线的相似比，我们可以更深入地了解科赫曲线的数学性质，研究科赫曲线在几何学和分形几何学中的应用，以及探讨科赫曲线背后的数学原理和美学魅力。

希望通过对科赫曲线的相似比的研究，我们可以更好地理解科赫曲线的奇妙性质和美学特性，探究科赫曲线的数学原理和几何规律，促进科赫曲线相关领域的发展和应用，为科赫曲线的研究和实践提供新的思路和方法。

相信科赫曲线的相似比研究将为数学领域的进步和发展带来新的机遇和挑战，为科学研究和应用创造更多的可能性和发展空间。

【本段字数共计200字】第二篇示例：科赫曲线是数学上一种有趣的几何曲线，在19世纪由法国数学家波利耶发现。

冬天的冰雪数学与逻辑冬天来临，大自然变得一片银装，满目皆白，冰雪飘飘。

冰雪不仅为我们带来欢乐，还蕴藏着丰富的数学和逻辑问题。

本文将探讨冬天中与冰雪有关的数学和逻辑问题，带你一起领略冰雪背后的奥秘。

一、雪花与几何在冬天的天空中，我们经常能见到飘落的雪花。

雪花的形状多种多样，美丽而独特。

数学家们对雪花形态进行了研究，发现雪花是由六个等边三角形构成的六角形结构。

数学家们进一步研究发现，每个雪花的六个等边三角形都有固定的角度，即60度。

这一发现引起了数学界的极大兴趣，因为60度是一个非常特殊的角度。

它是一个完美的三角形内角度，正好可以被整除。

由于雪花的特殊形态与数学规律相关，我们可以在冬天中通过观察雪花来学习几何知识。

我们可以发现雪花的对称性，理解几何图形的构成方式，甚至可以通过绘制雪花图案来进行几何实践。

二、雪球与体积在冬天的玩耍中，我们常常会堆雪球。

当我们用手捧着雪球时，我们会发现雪球的体积越来越大。

这涉及到一个重要的数学概念——体积。

数学中，体积是描述物体占据空间的大小。

而雪球的体积则取决于它所占据的空间和所占据空间中的雪的密度。

我们可以通过数学和物理知识来计算雪球的体积。

首先，我们可以测量雪球的直径和高度。

然后，我们可以根据雪球的形状（通常是近似的球体）来计算其体积。

最后，我们可以根据雪的密度来估算雪球的质量。

通过将数学和物理知识应用于雪球的计算，我们可以锻炼数学推理和逻辑思维能力，同时深入理解物体的体积和密度的关系。

三、雪中的轨迹在冬天，我们在雪地上行走时，常常会留下一串串脚印或车辆痕迹。

这些轨迹也是一种数学和逻辑问题。

我们可以通过观察轨迹的形态和方向，推断出造成轨迹的物体的移动方式。

数学家们通过研究轨迹，发现了众多有趣的规律。

例如，当两个物体以相同的速度和方向行走时，在雪地上留下的轨迹将是平行的。

如果两个物体以不同的速度和方向行走，轨迹将会有所交叉或错位。

此外，通过观察轨迹，我们还可以了解到物体的速度、方向和运动路径等信息。