趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”

雪花中的数学问题雪花中的数学问题主要是与雪花曲线（也称为科赫曲线）有关。

雪花曲线是由一组连续的三角形构成，每个三角形都以一个点为中心，向外延伸出三个分支，每个分支又继续向外延伸出三个分支，如此不断重复。

这种曲线的形状类似于雪花，因此得名。

在雪花曲线中，有一个重要的数学概念叫做“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。

迭代函数系统是由一组函数构成，每个函数都会将输入的图像变换成另一幅图像。

在雪花曲线的生成过程中，每个三角形都可以看作是一个迭代函数，通过不断应用这些函数，最终生成了雪花曲线的形状。

此外，雪花曲线还与分形几何有关。

分形几何是一种研究形状和结构的数学分支，它的特点是可以通过不断迭代来生成复杂的形状。

雪花曲线是一种典型的分形几何图形，其形状和结构可以通过迭代函数系统和分形几何的理论来描述和分析。

除了在自然界中发现的美丽分形结构，雪花曲线还与计算机图形学和数据压缩等领域有着紧密的联系。

在计算机图形学中，雪花曲线可以作为一种生成复杂形状和图案的有效方法。

而在数据压缩领域，雪花曲线因其独特的形状和结构也被用作一种高效的数据压缩算法。

此外，雪花曲线还被应用于图像处理和模式识别等领域。

通过利用雪花曲线的特性和算法，可以实现对图像的高效处理和识别。

例如，在图像处理中，可以使用雪花曲线来分割图像中的不同区域，从而实现图像的分割和识别。

总之，雪花曲线作为一种独特的数学概念和分形几何图形，不仅在自然界中有着广泛的应用，还在计算机科学、数据压缩、图像处理和模式识别等领域发挥着重要的作用。

通过深入研究和探索雪花曲线背后的数学原理和算法，我们可以不断发现新的应用场景并推动相关领域的发展。

科赫曲线-雪花曲线
科赫曲线
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

和皮亚诺类似：
1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的
2、总长度趋向无穷大
3、曲线上任意两点距离无穷大
4、面积是有限的
5、产生一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界，包围着有限的面积。

（保守派数学大师们晕倒撞墙去吧）
Kohn曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

第24题雪花曲线设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形，第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作K n(n=1，2，3，…)。

它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。

我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。

现在问：四多边形K n的周长是多少？凹多边形的面积是多少？分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。

欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。

解：设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。

初始三角形的周或通项公式：对于面积的计算，我们先列表24—1。

由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，面积可以从如下两个角度求得：(1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式：(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。

(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。

首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。

曲线序列中的向于无限长。

然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。

如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。

如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A结果怎样？如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道：注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。

雪花曲线的有趣故事在自然界中，有一种美妙而神奇的现象叫做“雪花曲线”。

这个现象是指雪花的形状会随着温度的变化而改变，从而形成不同的曲线形状。

这个有趣的现象背后隐藏着一段引人入胜的故事。

故事发生在一个寒冷的冬天。

一个年轻的科学家叫做阿尔弗雷德，对雪花的形状变化产生了浓厚的兴趣。

他花了很多时间观察和研究不同温度下雪花的形态。

他发现，当温度越低，雪花的形状就越接近于曲线。

阿尔弗雷德意识到，这种雪花曲线可能是由于水分子在结冰时的特殊排列所致。

他开始进行实验，使用显微镜观察结冰过程中水分子的排列情况。

他发现，水分子在接近冰点的温度下会形成六边形的晶体结构，而在低于冰点的极端寒冷温度下，水分子会形成一种特殊的螺旋排列。

阿尔弗雷德非常激动，他开始将这些发现应用于他的研究当中。

他设计了一个实验装置，通过控制温度的变化来观察雪花的形态。

他发现，当温度处于特定的范围时，雪花的形状会呈现出美丽的曲线，就像被一个无形的艺术家塑造一样。

阿尔弗雷德的研究引起了科学界的广泛关注。

他的成果被认为是对自然界中奇妙现象的重要突破。

人们开始将他的研究应用于气象学和物理学中，以更好地理解和预测天气变化和自然界的规律。

除了科学意义之外，雪花曲线也给人们带来了美学上的享受。

人们开始欣赏雪花的形状和曲线，并将其应用于艺术创作中。

许多艺术家受到雪花曲线的启发，创作出了许多美丽的艺术作品。

雪花曲线的故事告诉我们，自然界中充满了无限的奇迹和美妙。

人类的探索精神和好奇心使得我们能够发现这些奇迹，并将其应用于实践中。

我们应该保持对自然界的敬畏之心，继续探索和研究其中的奥秘，为人类的发展和进步做出贡献。

总之，雪花曲线是一个令人着迷的现象，它不仅让我们对自然界的多样性有了更深的理解，也带给我们美学和艺术上的享受。

这个有趣的故事告诉我们，科学和艺术可以相互交融，创造出更加美好的世界。

科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。

定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。

画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。

3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4、曲线上任意两点距离无穷大。

5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

这让保守派数学大师们都很难相信。

科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。

奇妙的雪花曲线教学目标:(知识目标)1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程;2 使学生了解分形几何的有关内容。

(能力目标)1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法;2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。

(情感目标)1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。

教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积;教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求;教学方法:引导探究式教学媒体:计算机教学过程设计:1一、问题背景:播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。

二、研究问题:如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。

接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线,由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。

依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。

雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题)2问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化,导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。

问题2:逐步生长，探究周长的变化规律引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。

让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律:3得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有什么变化,当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:n=33时，周长为39819.84cm，约为398米;10 n=82时，周长约为5.27×10cm。

“雪花曲线”教学课例嘉定教师进修学院张桂明2003年12月25日一、教材背景分析“雪花曲线”是高中数学（试验本）第七章中的拓展内容．教材中介绍了“雪花曲线”的作法（生成过程），提出并解决了四个问题．由于学生对雪花有一定的感性认识，因而对用数列知识研究解决“雪花曲线”的问题很感兴趣．新教材把“雪花曲线”编入拓展内容，旨在培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．通过对雪花曲线的探索与研究，还可以了解一些分形几何的初步知识．在一期课改的教材中没有“雪花曲线”这一内容，但我感到，学生在学完数列与极限的知识后，已经具备了探究“雪花曲线”的能力．结合嘉定教师进修学院“研、训、教”一体化的“大师训”教研模式，我选择了“雪花曲线”这一教学内容，在嘉定一中高三（5）班上了一堂“下海课”，一方面是探索在数学课堂上进一步渗透研究性学习，另一方面是请各基层学校教师一起进行新教材的教学研讨．二、教学目标1．进一步巩固数列与极限的有关知识．2．培养应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过对“雪花曲线”的探索与研究，培养学生辩证唯物主义的科学态度及合作交流的学习能力．三、设计思路数学课堂应该是发现问题、解决问题的场景，学生要成为学习的主人，成为知识的“发现者”和“创造者”，教学过程应该是学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程．为此，我作了如下的教学设计：1．创设情境：学生熟悉的雪花．从而引发学生的学习兴趣，对雪花我们可以研究什么问题啊？2．启发学生提出问题．通过观察“雪花曲线”的形状，发现它是一个和我们平时研究的多边形不同的平面多边形，引导他们从边数、边长、周长、面积等方面提出问题．3．要求学生通过自主探索与合作交流，用学过的数列知识来解决自己所提出的问题，并反思总结解决问题过程中所用到的知识和方法．4．引导学生对“雪花曲线”进行进一步的探究，从而培养学生对问题进行深入研究的良好思维习惯．四、教学实施过程 （一）问题引入问：前一段时间我们在复习什么内容？那么今天我们研究什么问题呢？请同学们观察大屏幕，看一看屏幕上的图形象什么？（大屏幕显示“雪花曲线”的图形）从而引出课题：“雪花曲线”．雪花曲线其实是一个平面图形，由瑞典数学家科赫首先指出其作法，所以我们又称它为科赫雪花曲线．雪花曲线有着非常奇异的特性，通过我们的研究，等一会儿我们就可以发现它的奇异特性．我们先来看一看，雪花曲线的作图方法：（1）将一个正三角形（图1）的每边三等分，并以中间的那条线段为一底边向形外作正三角形，然后去掉底边，得到图2；图4（2）将图2的每条边三等分，重复上述作图方法，得到图3； （3）再按上述方法继续作下去，就得到图4所示的图形． 重复以上步骤，我们可以无限地作下去（屏幕显示迭代过程）． （二）问题研究1．观察“雪花曲线”，它有什么特点？（由学生通过观察，归纳“雪花曲线”的形状特点）2．对“雪花曲线”，你认为可以从哪些方面进行研究，具体研究什么问题？ （通过学生的独立思考与讨论交流，总结出“雪花曲线”的四个基本问题） 为了交流研究结果的方便，我们统一数据．设原三角形（图1）的边长为1，把图1，图2，图3，…，图4中的图形依次记为M 1，M 2，M 3，…，M n ，求：（1）M n 中的边数N n ； （2）M n 中每条边的长度T n ； （3）M n 的周长L n ； （4）M n 所围成的面积A n ． 3．问题的解决（以下过程由学生独立探究并开展讨论，师生合作共同解决问题） （1）因为每个图形中的一条线段在后一个图形中变成四条线段，所以，111433)2(4--⋅=⇒⎩⎨⎧=≥=n n n n N N n N N ． （2）因为每个图形中的每条线段的长度在后一个图形中变为原来的31，所以，111)31(1)2(31--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=≥=n n n n T T n T T （3）因为n n n T N L ⋅=，所以1)34(3-⋅=n n L（4）431=A2M 是在1M 的每条边上生成一个边长为312=T 的小正三角形， 于是，2212433T A A ⋅+= 一般地，n M 是在1-n M 的每条边上生成一个边长为1)31(-=n n T 的小正三角形，所以，21143n n n n T N A A ⋅⋅+=-- 即 1211A T N A A n n n n ⋅⋅+=--所以 1121)91(43A A A n n n n ⋅⋅⋅+=---即 111)94()43(A A A n n n ⋅⋅+=--用累加法 1221)94()43(A A A n n n ⋅⋅+=---1332)94()43(A A A n n n ⋅⋅+=---…………112)94()43(A A A ⋅⋅+=得 112194949443A A A n n ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=- 11194153A A n ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-111942033532945358--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n A 4．反思：刚才我们在解决“雪花曲线”的四个基本问题的过程中，用到了数列中的哪些知识和方法？（通过学生讨论，总结出解题过程中用到的数列知识与方法）（三）“雪花曲线”的进一步研究刚才我们运用数列的基础知识和数列求和的方法解决了雪花曲线的四个基本问题．但是我们好象并没有发现它有什么奇异的特性．请同学们思考，对雪花曲线，我们还有没有可以进一步研究的问题？通过学生的独立思考与合作讨论发现，如果从极限的角度考察四个结果，我们还可以得出如下结论：n n N ∞→lim 与n n L ∞→lim 不存在，而0lim =∞→n n T ，532lim =∞→n n A ． 问：这些结论说明了什么问题？ 通过讨论，得出：当“雪花曲线”的迭代次数趋向于无穷大时，其边数、周长都趋向于无穷大，而它的边长趋向于零，它的面积趋向于一个常数．于是我们得出这样一个结论：“雪花曲线”的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的．教师介绍“分形图”的初步概念，并通过网络欣赏一些精美的分形图．（四）练习反馈——谢氏三角的初步研究 波兰数学家谢宾斯基给出了如下的一系列三角形：每一步，取一个大的正三角形（记为P 1），连结各边的中点，得到4个完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个；第二步，将剩下的三个小三角形（记为P 2）按上述方法各自取中点，各自分出4个小正三角形，各去掉中间的一个小正三角形，得到P 3；依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形，如此可无限进行下去……观察如下谢氏三角，求图形P n 中： （1）阴影三角形的个数n T ； （2）阴影三角形的总边数n b ；（3）阴影三角形的周长之和L；n（4）阴影三角形的面积之和S．n学生独立思考，合作讨论后完成下表的填写．（五）小结请同学们思考并总结一下，今天这一堂课，我们学到了些什么，对我们有什么启发？（师生讨论完成本堂课的小结）（六）布置作业（课后探索问题）1．如图，图形C1是一条长度为1的线段，将C1三等分，并去掉中间一段，得到两条线段组成的图形C2，再将C2中的两条线段各自三等分并去掉中间的线段组成图形C 3，……记图形C n 中的线段的长度为n c ，求：（1）}{n c 的通项公式；（2）n c c c +++ 21．2．下面三幅图中，设三种大小不同的正方形的边长依次为1，31，91，根据这三幅图的规律，试写出第n 幅图中着色正方形的个数及面积的表达式．3．从极限的角度对上面两个问题进行进一步的研究，并对你的结论加以说明．五、教学反思数学知识的学习与应用应十分重视学生的学习过程．本节课从学生熟悉的雪花入手，从发现问题、解决问题的需要出发，启发引导学生对“雪花曲线”进行观察分析，提出问题．并通过自主探索、合作讨论来解决问题．学生经历了提出问题、分析问题、解决问题的学习过程，使学生真正成了课堂学习的主C 1 C 2C 3人，亲身感受到发现问题与解决问题，从而获取知识的乐趣，也体会到了数学来自于现实世界，又能广泛地应用于生产和生活实践．本节课所要解决的几个问题有很好的层次性，在有关“雪花曲线”的四个问题中，前面三个问题的难度都不大，学生通过独立思考，完全能够自己解决．而第四个问题，涉及到数列求和的方法，有一定的能力要求．嘉定一中是市重点中学，在日常的教学中，教师已经渗透了研究性学习的学习方法，学生在探索新知识方面有一定的探究能力，从实际的教学过程来看，学生通过自己的思考及讨论交流，对这一问题也能很好地解决，教师只是在学生思考与讨论过程中对部分学生进行了个别的点拨与启发．因为学生已经复习过数列极限的知识，因而，当教师提出对“雪花曲线”能否进行进一步的研究时，学生马上提出可以从求极限的角度进行研究．可以说，本节课基本达到了所定的教学目标．本节课上，将多媒体及网络技术应用于课堂教学，从“雪花曲线”生成的动态过程的演示，到网络上精美的分形图，提高了学生的学习兴趣．对教学任务的完成起到了很好的辅助作用．由于教学时间的限制，课堂上的反馈练习未能让学生展开充分的讨论，学生的思维方法与过程无法得到充分的展示．。

江苏省前黄高级中学曹锁明一、教学背景分析：本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。

本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。

同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。

二、教学目标：1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题；②了解雪花曲线，了解分形几何。

2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力；②利用几何画板自我掌握新知识的能力；③同学之间相互协作的能力。

3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；②培养学生对数学美的认识，对美的追求。

三、教法、学法：通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。

雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。

本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。

四、教学重、难点：重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。

难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。

五、教学程序：（一）创设情景，激起兴趣通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。

（二）激烈讨论，引出话题当同学们通过讨论，构造雪花曲线的方法，花曲线是无限生长的，永无止境，对曲线放大，观察局部， （三）逐步生长，探究周长 引导学生使用数列来研究，相互讨论，所围的面积是否无限？从而激起学生进一步的争论，引出下一个问题。

（四）继续深入，探求面积 通过雪花曲线的逐步生长，引导学生寻求面积的计算方法。

可让学生使用几何画板来生长曲线，寻找规律。