2021高考物理一轮复习 运动图象 追及、相遇问题

高考物理一轮复习运动图象追及、相遇问题考点一运动图象1．x－t图象(1)两种特殊的x－t图象①x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态．②x－t图象是一条倾斜直线，说明物体处于匀速直线运动状态．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小．②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向．2．v－t图象(1)两种特殊的v－t图象①v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动．②v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀加速直线运动．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小．②图线上某点切线的斜率正负表示物体加速度的方向．(3)图线与时间轴围成的面积的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．②此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向．命题视角1对“识图”能力的考查(2015·高考福建卷)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v－t图象如图所示．求：(1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a；(2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小v.[审题点睛]v－t图象的斜率表示物体的加速度，图线与t轴所围面积表示物体的位移x，利用得出的位移x求物体的平均速度．[解析](1)加速度a＝v t－v0t由v－t图象并代入数据得a＝1.5 m/s2.(2)设第20 s末的速度为v m，0～20 s的位移x1＝0＋v m2t120～45 s的位移x2＝v m t245～75 s的位移x3＝v m＋02t30～75 s这段时间的总位移x＝x1＋x2＋x30～75 s这段时间的平均速度v＝xt1＋t2＋t3代入数据得v＝20 m/s.[答案](1)1.5 m/s2(2)20 m/s(2015·高考广东卷)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图象如图所示．下列表述正确的是()A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等[思路点拨]x－t图象中，倾斜直线表示物体做匀速直线运动，与时间轴平行的直线表示物体处于静止状态．[解析]在位移－时间图象中，图线的斜率表示物体的速度，由题图知在0.2～0.5小时内，甲、乙两人的x－t图线皆为直线，且甲的图线斜率大，可知两人都做匀速运动，且甲的速度大，A错误、B正确；x－t 图线上某点的纵坐标表示对应时刻物体的位移，两纵坐标的差值表示对应时间段内位移的大小，故0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的位移大，C错误；物体单向直线运动中路程等于位移的大小，有反向运动时路程等于每个阶段中位移大小之和，故知0.8小时内两人位移相等，但甲骑行的路程大于乙骑行的路程，D错误．[答案] B命题视角2对“用图”能力的考查(2014·高考江苏卷)一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止．下列速度v和位移x的关系图象中，能描述该过程的是()[解析] 一汽车从静止开始做匀加速直线运动，对应的速度位移公式为v 2－0＝2a 加x 加，对应图象为抛物线，之后刹车做匀减速直线运动直到停止，有v 2－v 2m ＝－2a 减x 减，得到v 2＝v 2m －2a 减x 减，其中v m为最大速度，比对图象知A 项正确．[答案] A(2014·高考安徽卷)如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN 是通过椭圆中心O 点的水平线．已知一小球从M 点出发，初速率为v 0，沿管道MPN 运动，到N 点的速率为v 1，所需时间为t 1；若该小球仍由M 点以初速率v 0出发，而沿管道MQN 运动，到N 点的速率为v 2，所需时间为t 2，则( )A ．v 1＝v 2，t 1＞t 2B ．v 1＜v 2，t 1＞t 2C ．v 1＝v 2，t 1＜t 2D ．v 1＜v 2，t 1＜t 2 [审题点睛] (1)小球沿不同路径运动的起点和终点相同说明位移相等．(2)沿MPN 路径是先减速后加速，沿MQN 路径是先加速后减速，两个阶段平均速度是否相等．(3)用现有代数办法不能解决的情况自然想到数形结合．[解析] 由机械能守恒定律得，小球两次到达N 点速率相同，即v 1＝v 2＝v 0，画出小球由M →P →N 及由M →Q →N 的速率—时间图象如下图中Ⅰ、Ⅱ所示．则图线与坐标轴所围成的面积表示小球的路程，两次的路程相等，故t1＞t2，选项A正确．[答案] A1.[视角1](2014·高考广东卷)如图是物体做直线运动的v－t图象．由图可知，该物体()A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反B．第3 s内和第4 s内的加速度相同C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等D．0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等解析：选B.第1 s内和第3 s内的速度均为正值，方向相同，选项A错误；v－t图象的斜率代表加速度，第3 s内和第4 s内斜率相同，所以加速度相同，选项B正确；图象与时间轴所围面积在数值上等于位移的大小，第1 s内的位移x1＝12×1×1 m＝0.5 m ，第4 s 内的位移x4＝－12×1×1 m＝－0.5 m，两段时间内位移大小相等，选项C错误；0～2 s内的平均速度：v＝xt＝1.52m/s＝0.75m/s，0～4 s内的平均速度v－′＝x′t′＝1.54m/s＝0.375 m/s，选项D错误．2.[视角1](2014·高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内()A．汽车甲的平均速度比乙的大B．汽车乙的平均速度等于v1＋v22C．甲、乙两汽车的位移相同D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析：选A.根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝xt得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于v1＋v22，选项B错误；由于v－t图象的斜率大小反映了加速度的大小，所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．3.[视角2](2016·济南外国语学校月考)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是()解析：选D.由题图可知，在0～T2时间内a ＝a 0＞0，若v 0≥0，物体做匀加速运动；若v 0＜0，物体做匀减速运动，故B 、C 皆错误．由于在T ～2T 时间内a ＝－a 0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0～T2时间内相同，故A 错误D 正确．4．[视角2]甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v 0经过某一路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个路标时的速度仍为v 0，则( )A ．甲车先经过下一个路标B ．乙车先经过下一个路标C ．丙车先经过下一个路标D ．无法判断谁先经过下一个路标 解析：选B.由题意画出v －t 图象如图所示，由于甲、乙、丙在此过程中位移相同，故由图可得乙车所用时间最短．1．应用运动图象解题“六看” (1)看“轴”：了解物理量间的函数关系．(2)看“线”：了解研究对象的运动性质．(3)看“斜率”：挖掘运动物体的变化率．(4)看“面积”：计算物理量的积累效果．(5)看“截距”：寻求端点条件． (6)看“交点”或“拐点”：关注特殊位置的临界条件．2．运用图象解决问题时构图选择的原则(1)物理量涵盖原则：所选择的坐标系要使图象尽可能全面地涵盖所研究问题的物理量，以全面反映物理过程的本质特点．一般来说，v－t图象提供的信息最多，涵盖速度、速度的变化量、时间、位移、加速度等．(2)线性函数优先的原则：线性函数能直观地反映物理现象的性质，有利于动态分析和判断．(3)化曲为直的原则：曲线的可读性相对较差，当所作图线为曲线时，应尝试将两个坐标中的一个进行适当变形，化曲线为直线，提高图线的可读性．考点二追及、相遇问题1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．2．能否追上的判断方法(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若v A＝v B时，x A＋x0<x B，则能追上；若v A＝v B时，x A＋x0＝x B，则恰好不相撞；若v A＝v B时，x A＋x0>x B，则不能追上．(2)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．3．注意三类追及相遇情况(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．命题视角1追及问题中的临界和极值问题分析一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车再次相遇时汽车的速度是多大？[审题点睛]追及时出现最大距离的条件一般是速度相等．[解析](1)当汽车的速度为v1＝v0＝6 m/s时，二者相距最远，所用时间为：t1＝v1a ＝2 s最远距离为Δx＝v0t1－12at21＝6 m.(2)两车再次相遇时有v0t2＝12at22，解得t2＝4 s汽车的速度为v＝at2＝12 m/s.[答案](1)2 s 6 m(2)12 m/s命题视角2空中相遇问题将小球A 以初速度v A ＝40 m/s 竖直向上抛出，经过一段时间Δt 后，又以初速度v B ＝30 m/s 将小球B 从同一点竖直向上抛出，为了使两个小球能在空中相遇，试分析Δt 应满足的条件．[思路点拨] 解答问题时一定要把握相遇的条件是位移相等，且要考虑相遇阶段的多样性，即是上升阶段还是下降阶段相遇．[解析] 法一：基本公式法经过较长时间，可以让小球B 抛出后处于上升阶段时与A 球相遇，故Δt 的最大值为小球A 刚要落回抛出点的瞬间将小球B 抛出．而小球A 在空中运动的时间为t A ＝2v A g ＝2×4010s ＝8 s ，即Δt 的最大值为Δt max ＝8 s.当小球B 紧跟着A 抛出，小球B 可能在下降阶段时与A 球相遇，经过的时间间隔较小，故Δt 的最小值为A 、B 两小球同时落地，先后抛出的时间间隔．而小球B 在空中运动的时间为t B ＝2v B g ＝2×3010s ＝6 s ，则Δt 的最小值为Δt min ＝t A －t B ＝2 s.故要使A 、B 两小球在空中相遇，Δt 应满足的条件为2 s ＜Δt ＜8 s.法二：巧选参考系设小球B 在小球A 抛出后经Δt 再抛出，以小球A 为参考系，小球B 做匀速直线运动，其相对速度v ＝v B －(v A －g Δt )＝g Δt －10 m/s. 而此时小球A 的位移为x ＝40Δt －12g Δt 2，则小球B 与小球A 相遇的时间为t ＝xv ＝40Δt －12g Δt 2g Δt －10＝(8－Δt )Δt2Δt －2.同样，考虑到A 、B 小球在空中相遇，则0＜t ＜6 s ，求出Δt应满足的条件为2 s ＜Δt ＜8 s.法三：图象法(利用位移图象) 由位移公式可得A 、B 两小球的位移随时间的关系为x A ＝40t －5t 2， x B ＝30t －5t 2.它们的图象均为抛物线，在位移—时间图象中分别作出它们的图象，如图所示的图线A 和B.要使A 、B 两小球在空中相遇，必须使A 、B 两图线存在交点，交点的横坐标为相遇时的时刻，纵坐标为相遇时的位移．Δt 应满足的条件为2 s ＜Δt ＜8 s.[答案] 2 s ＜Δt ＜8 s5．[视角1]甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v 1＝8 m/s ，乙车在后，速度为v 2＝16 m/s ，当两车相距x 0＝8 m 时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a 1＝2 m/s 2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？解析：法一：临界法两车速度相同均为v 时，设所用时间为t ，乙车的加速度为a 2，则：v 1－a 1t ＝v 2－a 2t ＝vv 1＋v 2t ＝v 2＋v2t －x 0， 解得：t ＝2 s ，a 2＝6 m/s 2即t ＝2 s 时刻，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s 2.法二：函数法甲运动的位移：x 甲＝v 1t －12a 1t 2x 乙＝v 2t －12a 2t 2避免相撞的条件为：x 乙－x 甲＜x 0 即12(a 2－a 1)t 2＋(v 1－v 2)t ＋x 0＞0， 代入数据有：(a 2－2)t 2－16t ＋16＞0 不等式成立的条件是：Δ＝162－4×16(a 2－2)＜0，且a 2－2＞0解得：a 2＞6 m/s 2 法三：图象法 如图所示，当速度相同时，阴影面积Δx 表示两者位移之差，若Δx ≤x 0，则不会相撞，由几何关系得：Δx ＝(v 2－v 1)t2＝x 0解得：t ＝2 s由v 1－a 1t ＝v 2－a 2t 得：a 2＝6 m/s 2 故乙车的加速度大于6 m/s 2才能避免两车相撞．答案：6 m/s 26．[视角2](2016·江西宜春月考)如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，质量为2 kg ，管长为24 m ，M 、N 为空管的上、下两端，空管受到F ＝16 N 竖直向上的拉力作用，由静止开始竖直向下做加速运动，同时在M 处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度v 0竖直上抛，不计一切阻力，g 取10 m/s 2.求：(1)若小球上抛的初速度为10 m/s ，经过多长时间从管的N 端穿出？(2)若此空管的N 端距离地面64 m 高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度v 0大小的范围．解析：(1)以竖直向下为正方向．对空管，由牛顿第二定律可得mg －F ＝ma ，得a ＝2 m/s 2①设经过时间t ，小球从N 端穿出，小球下落的高度h 1＝－v 0t ＋12gt 2②空管下落的高度h 2＝12at 2③则h 1－h 2＝L ④联立①②③④得－v 0t ＋12gt 2－12at 2＝L代入数据解得t ＝4 s.(2)设空管经时间t ′到达地面，则H ＝12at ′2得t ′＝2Ha＝8 s 小球在t ′时间下落高度为h ＝－v 0t ′＋12gt ′2小球落入管内的条件是64 m ≤h ≤88m ，解得初速度大小的范围为29 m/s ≤v 0≤32 m/s.答案：(1)4 s (2)29 m/s ≤v 0≤32 m/s挖掘临界状态是解决追及、相遇问题的关键两物体要相撞但还没相撞的状态是追及、相遇问题的临界状态．速度相等是两物体间距离最大或最小、相撞或不相撞的临界条件．相遇的物体必然存在两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系，二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系．要使物体相遇就必须同时满足相应的位移关系和运动时间关系．一、选择题(1～7小题为单选题，8～10小题为多选题)1.(2016·天门调研)一质点沿直线运动的速度v随时间t变化的图线如图所示，则该质点的位移x(从t＝0开始)随时间t变化的图线为下图中的()[导学号76070025]解析：选B.由题意可知质点先沿正方向做匀减速直线运动，直到速度减为零，然后返回沿负方向做匀加速直线运动，故选B.2．(2014·高考天津卷)质点做直线运动的速度－时间图象如图所示，该质点()A．在第1秒末速度方向发生了改变B．在第2秒末加速度方向发生了改变C．在前2秒内发生的位移为零D．第3秒末和第5秒末的位置相同[导学号76070026]解析：选D.本题应从图象入手，分析质点的运动．在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误．在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误．在前2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误．从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻位置相同，D正确．3.一物体在P、Q两点的中点位置由静止开始运动(运动过程中不会超出PQ范围)，其加速度随时间变化如图所示，设向P点的加速度方向为正方向，若从出发点开始计时，则物体的运动情况是() A．一直向P运动，100 s末在靠近P的某位置且速度为0B．一直向P运动，100 s末在靠近P的某位置且速度不为0C．先向P、后向Q、再向P、又向Q，50 s末在原位置且速度为0D．先向P、后向Q，50 s末在靠近P 的某位置且速度为0[导学号76070027]解析：选A.根据题意作出物体的v－t图线，如图所示，物体一直向P运动，且50 s、100 s末速度为0.4．(2016·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( )A ．v ＝xtB ．v＝2x tC ．v ＞2xtD ．xt ＜v ＜2x t[导学号76070028] 解析：选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v －t 图象大致如图所示：根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x ，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为：v 2t .应有：v 2t ＞x ，所以v ＞2xt，所以选项C 正确．5.(2016·南昌月考)如图，A 、B 分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v －t 图象，根据图象可以判断( )A ．甲、乙两球做初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相等、方向相反B ．两球在t ＝8 s 时相距最远C ．两球运动过程中不会相遇D ．两球在t ＝2 s 时速率相等[导学号76070029] 解析：选D.由题图可知，甲、乙都是先减速再反向加速，选项A 错误；两球在速度相同的时刻相距最远，选项B 错误；在t ＝8 s 时，两球均回到出发点，两球相遇，选项C 错误；两球在t ＝2 s 时，速率均为20 m/s ，选项D 正确．6.如图所示，甲、乙两物体分别从A 、C 两地由静止出发做加速运动，B 为AC 中点．两物体在AB 段的加速度大小均为a 1，在BC 段的加速度大小均为a 2，且a 1＜a 2.若甲由A 到C 所用时间为t 甲，乙由C 到A 所用时间为t 乙，则t 甲与t 乙的大小关系为( )A ．t 甲＝t 乙B ．t 甲＞t 乙C ．t 甲＜t 乙D ．无法确定[导学号76070030] [解析] 选B.设甲在中点B 的速度为v ，点C 的速度为v t ，AB＝BC ＝x ，则v 2－0＝2a 1x ，v 2t －v 2＝2a 2x ，解得v 2t ＝2a 1x ＋2a 2x .同理可知，对乙亦有v 2t ＝2a 1x ＋2a 2x ，故甲、乙末速度大小应相等．作出两个物体的v －t 图象，由于两物体在AB 段、BC 段加速度大小相等，两段图线分别平行，两段位移又分别相等，由图看出，t 甲＞t 乙，选项B 正确．7.(2016·北京东城区联考)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s 内汽车的加速度随时间变化的图象如图所示，则该汽车在0～60 s 内的速度—时间图象(即v －t 图象)为( )[导学号76070031] 解析：选B.在加速度a 与时间t 图象中，前10 s 加速度为2 m/s 2，表示物体在做匀加速直线运动；中间30 s 加速度为零，说明物体在做匀速直线运动；最后20 s加速度为－1 m/s 2，说明物体在做匀减速直线运动．A 、D 图象中，中间时间段速度为零，不符合题意，所以是错误的；C 图象中，最后时间段速度为负值且加速，不符合实际，所以也是错误的．故选B.8．如图所示的图象中能反映做直线运动物体回到初始位置的是()[导学号76070032]解析：选ACD.物体做直线运动又回到初始位置，则此过程中物体的位移一定为零，满足此条件的有选项A、C、D，而选项B中，物体一直沿正方向运动，2 s内前进的位移为2 m，故选项B错误．9.(2013·高考全国卷Ⅰ)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x－t)图线．由图可知() A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大[导学号76070033]解析：选BC.由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误．x －t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b 两图线的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减小后反向增大，C正确．如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误．10.一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的xt－t 的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5 m/s和－1 s，由此可知()A．物体做匀加速直线运动B．物体做变加速直线运动C．物体的初速度大小为0.5 m/sD．物体的初速度大小为1 m/s[导学号76070034]解析：选AC.图线的斜率为0.5 m/s2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x＝v0t＋12at2两边除以对应运动时间t 为xt＝v0＋12at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半⎝⎛⎭⎫12a.所以物体做初速度为v0＝0.5 m/s，加速度大小为a＝1 m/s2的匀加速直线运动．二、非选择题(要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)11．(2016·临川模拟)甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为v1＝16 m/s，乙车的速度为v2＝12 m/s，乙车在甲车的前面．当两车相距L＝6 m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a1＝2 m/s2的加速度刹车，6 s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a2＝1 m/s2.求：(1)从两车刹车开始计时，甲车第一次追上乙车的时间；(2)两车相遇的次数；(3)两车速度相等的时间．[导学号76070035]解析：(1)在甲减速时，设经时间t相遇，甲和乙的加速度分别为a1、a2，位移分别为x1、x2，则有：x1＝v1t－12a1t2，x2＝v 2t －12a 2t 2，x 1＝x 2＋L联立解得：t 1＝2 s ，t 2＝6 s即在甲车减速时，相遇两次，第一次相遇的时间为t 1＝2 s.(2)当t 2＝6 s 时，甲车的速度为v ′1＝v 1－a 1t 2＝4 m/s ，乙车的速度为v ′2＝v 2－a 2t 2＝6 m/s ，甲车的速度小于乙车的速度，但乙车做减速运动，设再经Δt 甲追上乙，有：v ′1Δt ＝v ′2Δt －12a 2Δt 2解得：Δt ＝4 s此时乙仍在做减速运动，此解成立． 综合以上分析可知，甲、乙两车共相遇3次．(3)第一次速度相等的时间为t 3， v 1－a 1t 3＝v 2－a 2t 3， 解得：t 3＝4 s甲车匀速运动的速度为4 m/s ，第二次速度相等的时间为t 4，有：v ′1＝v 2－a 2t 4，解得：t 4＝8 s. 答案：见解析12．(2016·湖北八校联考)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x 0＝9 m 区间的速度不超过v 0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v 甲＝20 m/s 和v 乙＝34 m/s 的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a 甲＝2 m/s 2的加速度匀减速刹车．(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章；(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m 处的速度恰好为6 m/s ，乙车司机在发现甲车刹车时经t 0＝0.5 s 的反应时间后开始以大小为a 乙＝4 m/s 2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m 区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？[导学号76070036] 解析：(1)对甲车，速度由20 m/s 减至6 m/s 过程中的位移x 1＝v 2甲－v 22a 甲＝91 m x 2＝x 0＋x 1＝100 m即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m 处开始刹车．(2)设甲刹车后经时间t ，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v 乙－a 乙(t －t 0)＝v 甲－a 甲t ，解得t ＝8 s相同速度v ＝v 甲－a 甲t ＝4 m/s ＜6 m/s ，即v ＝6 m/s 的共同速度为不相撞的临界条件乙车从34 m/s 减速至6 m/s 的过程中的位移为x 3＝v 乙t 0＋v 2乙－v 22a 乙＝157 m所以要满足条件甲、乙的距离至少为x ＝x 3－x 1＝66 m.答案：(1)100 m (2)66 m。