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高中物理讲义:运动图像追及和相遇问题一、运动图像[注1]1．xt图像(1)物理意义:反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。
(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小,斜率正负表示物体速度的方向。
[注2]2．vt图像(1)物理意义:反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。
(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小,斜率正负表示物体加速度的方向。
(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。
②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方,表示位移方向为负方向。
二、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况[注3](1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。
2．相遇问题[注4]相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
【注解释疑】[注1] 无论vt图像还是xt图像,描述的一定是直线运动。
[注2] 斜率是数学语言,表示直线的倾斜程度；斜率具有物理意义,可表示物体运动的速度或加速度。
[注3] 速度相等是判断追上或追不上的切入点。
[注4] 同向追及时,当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时即相遇。
[深化理解]1．识图中常见的三类错误(1)错误地认为图像就是质点的运动轨迹。
(2)错将图线的交点都当成相遇,而vt图线的交点表示该时刻速度相同。
(3)错误理解图线斜率的意义,比如认为vt图像斜率为正,则质点一定做加速运动,斜率为负,则质点一定做减速运动。
2．追及和相遇问题分两类,一类为一定能追上,直接列位移方程,找位移关系；另一类为可能追上,需根据速度关系判断能否追上。
[基础自测]一、判断题(1)xt图像和vt图像都表示物体运动的轨迹。
课时跟踪检测（三） 运动图像 追及与相遇问题1．如图所示为一个质点运动的位移x 随时间t 变化的图像，由此可知质点( )A ．0～2 s 内向x 轴正方向运动B ．0～4 s 内做曲线运动C ．0～4 s 内速率先增大后减小D ．0～4 s 内位移为零2．(多选)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x 随时间t 变化的图像，已知甲对应的是图像中的直线，乙对应的是图像中的曲线，则下列说法正确的是( )A ．甲做匀减速直线运动B ．乙做变速直线运动C ．0～t 1时间内两物体平均速度大小相等D ．两物体的运动方向相反3．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。
取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。
下列速度v 和位置x 的关系图像中，能描述该过程的是( )4．一个物体以初速度v 0沿光滑斜面向上运动，其速度v 随时间t 变化的规律如图所示，在连续两段时间m 和n 内对应面积均为S ，则经过b 时刻的速度大小为( )A.(m －n )S mnB.mn (m 2＋n 2)S m ＋nC.(m 2＋n 2)S (m ＋n )mnD.(m 2＋n 2)S mn5.如图所示曲线为一质点沿y 轴运动的位置—时间(y -t )图像，设竖直向上为y 轴正方向，已知图线为一条抛物线，则由图像可知( )A ．t ＝0时刻质点速度为0B ．0～t 1时间内质点向y 轴负方向运动C ．0～t 2时间内质点的速度一直减小D．t1～t3时间内质点相对坐标原点O的位移先为正后为负6.如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图像，下列说法中正确的是()A．ab段与bc段的速度方向相反B．bc段与cd段的加速度方向相反C．ab段质点的加速度大小为2 m/s2D．bc段质点通过的位移为2 m7.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其中v-t图像如图所示。
已知两车在t＝3 s时并排行驶，则()A．在t＝1 s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m8.甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m/s，乙的速度为10 m/s，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2。
以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知()A．乙车做加速度先增大后减小的变加速运动B．在前4 s的时间内，甲车运动位移为29.6 mC．在t＝4 s时，甲车追上乙车D．在t＝10 s时，乙车又回到起始位置9.(多选)甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动，以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图像，即x -t图像如图所示，甲图像过O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，则下列说法中正确的是()A．在两车相遇前，t1时刻两车相距最远B．t3时刻甲车在乙车的前方C．0～t2时间内甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度D．甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度10．货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75 m。
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。
(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免相撞。
(这段公路很窄，无法靠边让道)11.某质点做直线运动，运动速率的倒数1v 与位移x 的关系如图所示，关于质点的运动，下列说法正确的是( )A ．质点做匀加速直线运动B.1v -x 图线斜率等于质点运动加速度C ．四边形AA ′B ′B 的面积可表示质点从O 到C ′所用的运动时间D ．四边形BB ′C ′C 的面积可表示质点从C 到C ′所用的运动时间12.甲、乙两物体从同一地点同时开始沿同一方向运动，甲物体运动的v -t 图像为两段直线，乙物体运动的v -t 图像为两段半径相同的14圆弧曲线，如图所示，图中t 4＝2t 2，则在0～t 4时间内，以下说法正确的是( )A ．甲物体的加速度不变B ．乙物体做曲线运动C ．两物体t 1时刻相距最远，t 4时刻相遇D ．甲物体的平均速度等于乙物体的平均速度13.斜面长度为4 m ，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v 0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x 与初速度二次方v 02的关系图像(即x -v 02图像)如图所示。
(1)求滑块下滑的加速度大小；(2)若滑块下滑的初速度为5.0 m/s ，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？课时跟踪检测（三）运动图像追及与相遇问题对点训练：三类运动图像问题1．(2017·连云港高三期末)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点()A．0～2 s内向x轴正方向运动B．0～4 s内做曲线运动C．0～4 s内速率先增大后减小D．0～4 s内位移为零解析：选C位移—时间图像切线的斜率表示该时刻的速度，0～4 s内斜率一直为负，质点一直向x轴负方向做直线运动，故A、B错误；在0～4 s内，斜率绝对值先增大后减小，说明物体速率先增大后减小，故C正确；Δx＝x2－x1＝(－10－10) m＝－20 m，故D错误。
2．(多选)(2017·广州调研)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图像，已知甲对应的是图像中的直线，乙对应的是图像中的曲线，则下列说法正确的是()A．甲做匀减速直线运动B．乙做变速直线运动C．0～t1时间内两物体平均速度大小相等D．两物体的运动方向相反解析：选BD结合题意分析题图易知，题图中图像的斜率等于速度，知甲沿负方向做匀速直线运动，故A错误。
乙图像切线的斜率不断增大，说明乙的速度不断增大，做变速直线运动，故B正确。
根据坐标的变化量等于位移知，0～t1时间内两物体位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C错误。
根据图像的斜率等于速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，即两物体的运动方向相反，故D正确。
3．(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。
取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。
下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是()解析：选A 由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E ，小球离地面高度为x 时速度为v ，则有mgx ＋12m v 2＝E ，可变形为x ＝－v 22g＋E mg ，由此方程可知图像为开口向左、顶点在⎝⎛⎭⎫E mg ，0的抛物线，故选项A 正确。
4．(2017·安徽六校质检)一个物体以初速度v 0沿光滑斜面向上运动，其速度v 随时间t 变化的规律如图所示，在连续两段时间m 和n 内对应面积均为S ，则经过b 时刻的速度大小为( )A.(m －n )S mnB.mn (m 2＋n 2)S m ＋nC.(m 2＋n 2)S (m ＋n )mnD.(m 2＋n 2)S mn解析：选C 设物体的加速度大小为a ，m 时间内的初速度大小为v 1，末速度(即b 时刻的速度)大小为v 2，根据x ＝v 0t ＋12at 2得： S ＝v 1m －12am 2① S ＝v 2n －12an 2② v 2＝v 1－am ③①②③联立得：v 2＝(m 2＋n 2)S(m ＋n )mn，故选C 。
5.(2017·焦作第二次联考)如图所示曲线为一质点沿y 轴运动的位置—时间(y -t )图像，设竖直向上为y 轴正方向，已知图线为一条抛物线，则由图像可知( )A ．t ＝0时刻质点速度为0B ．0～t 1时间内质点向y 轴负方向运动C ．0～t 2时间内质点的速度一直减小D ．t 1～t 3时间内质点相对坐标原点O 的位移先为正后为负解析：选C 在t ＝0时刻y -t 图像斜率不为0，说明t ＝0时刻质点速度不为0,0～t 1时间内质点向y 轴正方向运动，故A 、B 错误。
根据图像斜率表示速度可知，0～t 2时间内质点的速度一直减小，故C 正确。
t 1～t 3时间内质点相对坐标原点O 的位移一直为正，故D 错误。
6.(2017·南宁三中一模)如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图像，下列说法中正确的是( )A ．ab 段与bc 段的速度方向相反B ．bc 段与cd 段的加速度方向相反C ．ab 段质点的加速度大小为 2 m/s 2D ．bc 段质点通过的位移为2 m解析：选C ab 段与bc 段图像都在t 轴上方，速度为正，方向相同，故A 错误；v -t 图像中，斜率表示加速度，bc 段与cd 段的加速度方向相同，故B 错误；ab 段质点的加速度大小为a ＝Δv Δt ＝4－21 m /s 2＝2 m/s 2，故C 正确；bc 段质点通过的位移x ＝12×0.5×4 m ＝1 m ，故D 错误。
对点训练：追及相遇问题7.(多选)(2016·全国乙卷)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其中v -t 图像如图所示。
已知两车在t ＝3 s 时并排行驶，则( )A ．在t ＝1 s 时，甲车在乙车后B ．在t ＝0时，甲车在乙车前7.5 mC ．两车另一次并排行驶的时刻是t ＝2 sD ．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m解析：选BD 由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a 甲＝10 m /s 2。
乙车做初速度v 0＝10 m/s 、加速度a 乙＝5 m/s 2的匀加速直线运动。
3 s 内甲、乙车的位移分别为：x 甲＝12a 甲t 32＝45 m x 乙＝v 0t 3＋12a 乙t 32＝52.5 m由于t ＝3 s 时两车并排行驶，说明t ＝0时甲车在乙车前，Δx ＝x 乙－x 甲＝7.5 m ，选项B 正确；t ＝1 s 时，甲车的位移为5 m ，乙车的位移为12.5 m ，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m ，则t ＝1 s 时两车并排行驶，选项A 、C 错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m －12.5 m ＝40 m ，选项D 正确。
8.(2017·郑州质检)甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为5 m /s ，乙的速度为10 m/s ，甲车的加速度大小恒为1.2 m/s 2。
