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2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题30 天体运动中追及相遇问题、能量问题和图像问题特训目标特训内容目标1 天体运动中的追及相遇问题（1T—5T）目标2 天体运动中的能量问题（6T—10T）目标3 天体运动中的图像问题（11T—15T）一、天体运动中的追及相遇问题1．屈原在长诗《天问》中发出了“日月安属?列星安陈?”的旷世之问，这也是中国首次火星探测工程“天问一号”名字的来源。
“天问一号”探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球与火星会合之前的几个月、火星相对于太阳的位置领先于地球特定角度的时候出发。
火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。
如图所示，不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表，则根据提供的数据可知（）质量半径绕太阳做圆周运动的周期地球M R1年火星约0.1M约0.5R约1.9年B ．地球与火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年C ．火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.9倍D ．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为3：5 【答案】B【详解】A ．设地球最小的发射速度为v 地，则22mv GMm R R=地解得=7.9km/s GMv R =地则火星的发射速度与地球的发射速度之比为0.150.5Mv R v M R=火地57.9km/s v =<火故A 错误； B ．根据(222)t T T πππ-=地火代入数据解得地球和火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年，故B 正确；C ．根据开普勒第三定律得3322r r T T =火地地火代入数据解得火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.5倍，故C 错误；D ．不考虑自转时，物体的重力等于万有引力2GMmmg R=火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为220.120.5=5Mg R M g R=火（）故D 错误。
第10讲运动学图像、追及相遇问题和竖直上抛运动1.掌握x－t图像和v－t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义和分析图像。
2.掌握追及相遇问题的分析思路和方法。
3.会运用竖直上抛运动的基本规律处理物理问题。
一、运动学图像1.x－t图像与v－t图像的比较比较项目x－t图像v－t图像运动描述点交点表示两物体相遇的位置和时刻表示两物体在该时刻速度相同拐点表示该时刻速度方向发生改变表示该时刻加速度方向发生改变线若为平行于时间轴的直线，表示物体静止：若为倾斜直线，表示物体做匀速直线运动；若为曲线，表示物体做变速运动若为平行于时间轴的直线，表示物体做匀速直线运动；若为倾斜直线，表示物体做匀变速直线运动；若为曲线，表示物体加速度发生变化斜率斜率大小表示速度大小，斜率正负表示速度方向斜率大小表示加速度大小，斜率正负表示加速度方向截距纵截距表示t＝0时刻物体的位置表示t＝0时刻物体的速度横截距表示物体位移为零的时刻表示物体速度为零的时刻图线与时间轴所围面积无实际意义表示对应时间内的位移。
图线在时间轴上方表示位移为正，图线在时间轴下方表示位移为负。
若图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和(1)首先看清纵横轴代表的物理量，弄清图像反映什么量间的函数关系。
(2)点：表示物体所处状态，注意甄别交点、拐点代表的物理意义。
(3)线：描述纵轴物理量随横轴物理量变化而变化的规律，可以判断物体运动的性质。
(4)斜率和截距：利用相关公式分析斜率和截距所描述的物理量。
(5)面积：利用相关公式分析面积的含义。
二、追及相遇问题 1.追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。
2.分析追及相遇问题的思路和方法(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。
1.竖直上抛运动的定义将物体以某一初速度v 0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
专题强化二：追及、相遇问题一：知识精讲归纳1．临界条件与相遇条件(1)要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件；两个关系是时间关系和位移关系．通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动．2．追及相遇问题常见情况1．速度小者追速度大者类型图像说明匀加速追匀速 a.t ＝t 0以前，后面物体与前面物体间距离增大；b.t ＝t 0时，两物体相距最远为x 0＋Δx ；c.t ＝t 0以后，后面物体与前面物体间距离减小；d.能追上且只能相遇一次.注：x 0为开始时两物体间的距离匀速追匀减速匀加速追匀减速2.速度大者追速度小者类型图像说明匀减速追匀速开始追时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t ＝t 0时刻：a.若Δx ＝x 0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；b.若Δx <x 0，则不能追上，此时两物体间最小距离为x 0－Δx ；c.若Δx >x 0，则相遇两次，设t 1时刻Δx 1＝x 0两物体第一次相遇，则t 2时刻两物体第二次相遇.注：x 0为开始时两物体间的距离匀速追匀加速匀减速追匀加速二：考点题型归纳题型一：匀变速追匀速物体1．（2023秋·山东德州·高一统考期末）挥杆套马是我国蒙古族传统体育项目，烈马从骑手身边奔驰而过时，骑手持6m 长的套马杆，由静止开始催马追赶，最终套住烈马。
整个过程二者的v -t 图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．骑手追赶烈马过程中二者之间的最大距离为40mB ．t =9s 时骑手刚好追上烈马C ．骑手在t =8s 时挥杆，能套到烈马D ．8-9s 内烈马的加速度小于0-6s 内骑手的加速度【答案】C【详解】A ．当骑手和烈马速度相同时二者间距最大，由v -t 图像图线与坐标轴所围的面积表示位移，可得max 10(404)m=20m 2x =-⨯A 错误；B ．由图形所围的面积可以算出0~9s 内，烈马的位移为110151081m=92.5m 2x +=⨯+⨯骑手0~9s 内位移215(6153)m=90m 2x =⨯+⨯因x 1>x 2因此t =9s 时骑手未追上烈马，B 错误；C ．由图形所围的面积可以算出0~8s 内，烈马的位移为3108m=80mx =⨯骑手的位移为4156152m=75m 2x =⨯+⨯套马杆长l=6m x 4+l >x 3所以骑手在8s 时刻挥杆，能套到烈马，故C 正确；D ．由加速度定义式0=v v v a t t -∆=∆知8~9s 内烈马加速度2211510m /s =5m /s 98a -=-0~6s 内骑手的加速度22215105m /s =m /s 642a -=-故D 错误。
追及和相遇问题的多种解法之二（解析版）追及和相遇问题，是运动学的重点，是高考的难点，也是物理教学研究的热点。
本文用多钟方法进行研究，可叫做“一题多解”。
【例题】公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为30m/s ，两车相距s 0=100m ，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如下图所示（图甲为甲车，图乙为乙车），取运动方向为正方向，问：两车在0-9s 内会不会相遇？【解法1】公式法从题图知道，2/10-s m a =甲（前3s ），2/5s m a =甲（后6s ）；0=乙a （前3s ），2/5-s m a =乙（后6s ），首先建立坐标系（一维坐标），如图所示则甲的速度为t v 1030-=甲（前3s ），0=甲v （t=3s 时刻），t v 5=甲(后6s)，s m v /30=甲（t=9s 时刻）乙的速度为s m v /30=乙（前3s ），s m v /30=乙（t=3s 时刻），t v 530-=乙(后6s)，0=乙v （t=9s时刻）则甲的位置坐标为2530100t t x -+=甲（前3a ），m x 145=甲（t=3s 时刻），25.2145t x +=甲（后6s ），m x 235=甲（t=9s 时刻）乙的位置坐标为t x 30=乙（前3s ），m 90=乙x （t=3s 时刻），25.23090t t x -+=乙（后6s ），mx 180=乙（t=9s 时刻）我们要一段一段地判断，前3s ，m 90=乙x （t=3s 时刻），还没有到达甲的出发点，所以，肯定不能相遇。
后6s ，m x 235=甲，m x 180=乙（t=9s 时刻），乙甲x x >，所以也不能相遇。
这样够不够呢？不够假设在后6s 内，甲、乙相遇，则令乙甲x x =，即25.2145t +=25.23090t t -+，得关于t的一元二次方程0553052=+-t t ，判别式020********<-=⨯⨯-=∆，所以方程无解，即甲、乙不能相遇。
易错点02 运动图像 追击相遇问题易错总结1.物体的速度大小不变时,加速度不一定为零(运动方向可能改变)。
2.t v 图上两曲线相交的点,不一定是两物体相遇点,只是两物体在这一时刻速率相等。
若两物体同时刻同地点出发,图像与x 轴围成的面积相等则两者位移相等,即相遇。
3.匀变速运动的各公式都是矢量式,列方程解题时要注意各物理量的方向。
正方向用“+"表示,反方向用“-"表示。
4.位移图像不是物体的运动轨迹,路程图像也不是物体运动轨迹。
(位移图像只能表示直线运动,不能表示曲线运动)5通常取初速度0v 的方向为正方向,但这并不是一定的,也可取与0v 相反的方向为正方向;具体的正方向选取应方便于解题。
6.解图像题前先明确两坐标轴各代表什么物理量,不要把位移图像与速度图像混淆。
7.在汽车刹车问题时,应先判断汽车何时停止运动,不要盲目套用匀减速直线运动公式直接使用已知量求解。
8.追及相遇问题：（更多免费资源关注公众号拾穗者的杂货铺） (1)速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：(2)速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：(3)相遇问题的常见情况：○1同向运动的两物体追及即相遇； ○2相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇。
解题方法 1..两种常考题型题型一：识图——通过题目所给图像获取信息此题型往往通过所给图像,求解或判断物体的位移、平均速度、加速度等,还可以比较两个物体的运动,难度大的还要根据图像斜率来判断运动情况。
题型二：选图——根据题目情景选择物理图像此题型是根据题目情景或结合函数解析式选择物理图像。
2.运动图像要点分析类别 t x -图像t v -图像t a -图像纵轴 位移 速度 加速度 横轴 时间时间时间线运动物体的位移与时间的关系运动物体的速度与时间的关系 运动物体的加速度与时间的关系 某点斜率 表示该点的瞬时速度表示该点的加速度表示该点的加速度的变化率两线交点 表示两物体相遇 表示两物体该时刻速表示两物体该时刻加度相同速度相同 面积无意义线和横轴所围面积表示物体运动的位移线和横轴所围面积表示物体的速度变化量 纵轴截距表示0=t 时的位移表示0=t 时的速度表示0=t 时的加速度【易错跟踪训练】易错类型1：逻辑推理不严密1．在人工智能机器人跑步比赛中，0t =时两机器人位于同一起跑线上，机器人甲、乙运动的速度-时间图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．机器人乙起跑时，机器人甲正好跑了2mB ．机器人乙从起跑开始，经3s 后刚好追上机器人甲C ．机器人甲、乙相遇之前的最大距离为4mD ．机器人乙超过机器人甲后，甲、乙可能再次相遇 【答案】B 【详解】A ．根据v —t 图像与t 轴所围面积表示位移，可知机器人乙在2s t =时起跑，此时，机器人甲跑过的距离121m 2x m ⨯== 选项A 错误；B ．机器人乙起跑3s 后，甲通过的位移531m 4m 2x +=⨯= 乙通过的位移132m 4m 2x +=⨯= 可知x x =乙甲说明机器人乙追上甲，选项B 正确；C ．两机器人在速度相等（即3s t =）时相距最远，两者间的最大距离等于03s ～内的位移之差，则max 1211m m 1.5m 22x ⨯⨯=+= 选项C 错误；D ．机器人乙超过机器人甲后，乙的速度总比甲的大，则甲、乙不可能再次相遇，选项D 错误。
第3节运动图像__追及与相遇问题,(1)xt图像和vt图像都表示物体运动的轨迹。
(×)(2)xt图像和vt图像都只能描述直线运动。
(√)(3)xt图像上两图线的交点表示两物体相遇。
(√)(4)vt图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。
(×)(5)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者，后者速度必须大于前者。
(√)(6)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。
(√)(7)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。
(√)要点一三类运动图像的比较1．位移—时间(xt)图像(1)位移—时间图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图像并非物体运动的轨迹。
(2)位移—时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图像只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图像。
(3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
对应学生用书P8对应学生用书P8[示例1] (2013·全国卷Ⅰ改编)如图131，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置－时间(xt)图线。
由图可知( )图131A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的位移比a车的大D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大[解析] 本题考查运动图像，意在考查考生对运动图像的理解及图像与运动转换的能力。
从xt图像可以看出，在t1时刻，b汽车追上a汽车，选项A错误；在t2时刻，b汽车运动图像的斜率为负值，表示b汽车速度反向，而a汽车速度大小和方向始终不变，故选项B正确；由图像可知，在t1到t2这段时间内，两车位移相同，C错误；从t1时刻到t2时刻，图像b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b汽车的速率先减小至零后增加，选项D错误。
秘籍01 运动图像问题和追及相遇问题一、运动图像问题对运动图象的认识和理解，应注意以下三点：(1)无论是x-t图象还是v-t图象都只能描述直线运动．(2)x-t图象和v-t图象不表示物体运动的轨迹，x、v与t一一对应．(3)一般试题中，关键点是根据斜率判断物体的运动状况，x-t图象的斜率表示物体运动的速度，根据x-t图象的斜率判断速度变化情况；v-t图象的斜率表示物体运动的加速度，根据v-t 图象的斜率判断加速度的变化情况．1、x-t图像2、v-t图像3、x-t图像，v-t图像，a-t图像的对比图像识图 五要素t 上为正，t 下为负 斜 斜率表示物体加速度变化率，即加速度变化的快慢 截 纵截距表示物体初加速度面阴影部分的面积表示物体某段时间内速度变化量；t 上为正，t 下为负4、其他图像（v 2-x 图像、x-v 图像、x t-t 图像、a-x 图像）v²-x图像识图步骤 1.根据v²-v o ²=2ax 写出对应图线函数表达式； 2.找初速度和加速度两个主要物理量；识图 五要素点两图线交点，说明两物体经过某段相同位移或在某一位置的速度平方值相同线 ①①①①表示物体做匀加速直线运动；3表示物体做匀减速直线运动 斜 v²-x 图线料率K=2a ；上倾为正，下斜为负；陡缓示大小截 在v²-x 图线中纵截距表示物体初速度平方；在x -v 2图线中横载距表示物体的初速度平方面图线与横轴所围图形面积无意义x-v 图像v-x 图像识图步骤 1.根据v²-vo²=2ax 写出对应图线函数表达式；2.找初速度和加速度两个主要物理量；识图 五要素点 两图线交点，说明两物体经过某段相同位移或在某一位置的速度相同 线 ①①①表示物体做匀加速直线运动；①①表示物体做匀减速直线运动斜截 在v -x 图线中纵截距表示物体初速度；在x -v 图线中横截距表示物体的初速度面图线与横轴所围图形面积无意义图像识图步骤 1.根据图像写函数表达式；2.根据表达式找初速度和加速度两个主要物理量；识图五要素点两图线交点，说明两物体此时刻相遇线①①①表示物体做匀变速直线运动；①表示物体做匀速直线运动斜①①①斜率;上倾为正，下斜为负；陡缓示大小。
运动学图像追及、相遇问题一运动图象的理解1．运动学图象主要有x－t、v－t、a－t图象，应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：2.图象问题常见的是x－t和v－t图象，在处理特殊图象的相关问题时，可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图象中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程：3.x －t 图象、v －t 图象、a －t 图象是如何描述物体的运动性质的x －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体静止，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀速直线运动，图线的斜率表示速度；v －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体做匀速直线运动，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度；a －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体做匀变速直线运动，若图线与横轴重合，则表示物体做匀速直线运动．4.关于运动图象的三点提醒(1)x t 图象、v t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x 、v 与t 一一对应． (2)x t 图象、v t 图象的形状由x 与t 、v 与t 的函数关系决定． (3)无论是x t 图象还是v t 图象，所描述的运动都是直线运动． （一）图像的理解 位移图象的基本性质(1)横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态；(2)位移图象描述的是物体位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹，斜率等于物体运动的速度，斜率的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x 的变化量Δx .【例1】(多选)(2019·南京师大附中模拟)如图所示为一个质点运动的位移x 随时间t 变化的图象，由此可知 质点在0～4 s 内 ( )A ．先沿x 轴正方向运动，后沿x 轴负方向运动B ．一直做匀变速运动C ．t ＝2 s 时速度一定最大D ．速率为5 m/s 的时刻有两个t x【答案】CD【解析】从图中可知正向位移减小，故质点一直朝着负方向运动，A 错误；图象的斜率表示速度大小，故斜率先增大后减小，说明质点速率先增大后减小，即质点先做加速运动后做减速运动，做变速运动，但不是做匀变速直线运动，t ＝2 s 时，斜率最大，速度最大，B 错误，C 正确；因为斜率先增大后减小，并且平均速度为5 m/s ，故增大过程中有一时刻速度为5 m/s ，减小过程中有一时刻速度为5 m/s ，共有两个时刻速度大小为5 m/s ，D 正确．【变式1】a 、b 、c 三个物体在同一条直线上运动，它们的位移—时间图象如图所示，其中a 是一条顶点坐标为(0，10)的抛物线，下列说法正确的是 （ ）A ．b 、c 两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同B ．在0～5 s 内，a 、b 两个物体间的距离逐渐变大C ．物体c 的速度越来越大D ．物体a 的加速度为0.4 m/s 2 【答案】D【解析】 x t 图象的斜率表示速度，b 和c 为直线，斜率恒定，故b 、c 做匀速直线运动，但斜率正负不同，即速度正负不同，即方向不同，A 、C 错误；a 的斜率为正，即速度为正，b 的斜率为负，即速度为负，所以两者反向运动，故两物体间的距离越来越大，B 正确；因为a 是一条抛物线，即满足x ＝x 0＋kt 2，类比从静止开始运动的匀加速直线运动位移时间公式x ＝12at 2可知物体a 做匀加速直线运动，因为抛物线经过(0，10)点和(5，20)点，故x ＝10＋0.4t 2，所以12a ＝0.4，解得a ＝0.8 m/s 2，D 错误．【变式2】(2019·河北石家庄模拟)甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动，其运动的x t 图象如图所示，已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动．下列说法正确的是( )A ．甲物体先做匀减速直线运动．后做匀速直线运动B ．在0～120 s 内，乙物体的平均速度大小大于0.5 m/sC ．在0～120 s 内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小D ．乙物体在M 点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5 m/s 【答案】CD【解析】根据位移图象斜率表示速度可知，甲物体先做匀速直线运动，后静止，选项A 错误；在0～120 s 内，乙物体的位移大小为s ＝60 m ，平均速度大小为v ＝st ＝0.5 m/s ，选项B 错误；在0～120 s 内，甲物体运动的位移大小为x 甲＝100 m －20 m ＝80 m ，乙物体运动的位移大小为x 乙＝60 m －0 m ＝60 m ，所以在0～120 s 内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小，选项C 正确；根据匀变速直线运动的推论知，乙在t ＝60 s 时的瞬时速度等于在0～120 s 内的平均速度0.5 m/s ，而乙物体做匀加速直线运动，所以乙物体在M 点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5 m/s ，选项D 正确． （二）图像的理解【例2】(2019·广州惠州调研)跳伞运动员从高空悬停的直升机跳下，运动员沿竖直方向运动，其v t 图象如 图所示，下列说法正确的是A ．运动员在0～10 s 内的平均速度大小等于10 m/sB ．从15 s 末开始运动员处于静止状态C ．10 s 末运动员的速度方向改变D ．10～15 s 内运动员做加速度逐渐减小的减速运动 【答案】 D【解析】 0～10 s 内，若运动员做匀加速运动，平均速度为v ＝v 0＋v 2＝0＋202 m/s ＝10 m/s.根据图象的“面积”等于位移可知，运动员的位移大于匀加速运动的位移，所以由公式v ＝xt 得知：0～10 s 内的平均速度大于匀加速运动的平均速度10 m/s ，故A 错误．由图知，15 s 末开始运动员做匀速直线运动，故B 错误．由图看出，运动员的速度一直沿正向，速度方向没有改变，故C 错误.10～15 s 图象的斜率减小，则其加速度减小，故10～15 s 运动员做加速度减小的减速运动，故D 正确．【变式1】2017年8月28日，第十三届全运会跳水比赛在天津奥体中心游泳跳水馆进行，重庆选手施廷懋以总成绩409.20分获得跳水女子三米板冠军．某次比赛从施廷懋离开跳板开始计时，在t 2时刻施廷懋以速度v 2入水，取竖直向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是()t vA ．在0～t 2时间内，施廷懋运动的加速度大小先减小后增大B ．在t 1～t 3时间内，施廷懋先沿正方向运动再沿负方向运动C ．在0～t 2时间内，施廷懋的平均速度大小为v 1＋v 22D ．在t 2～t 3时间内，施廷懋的平均速度大小为v 22【答案】C【解析】选C.v －t 图象的斜率等于加速度，在0～t 2时间内，施廷懋运动的加速度保持不变，A 错误；运动方向由速度的正负决定，横轴下方速度为负值，施廷懋沿负方向运动，横轴上方速度为正值，施廷懋沿正方向运动，在t 1～t 3时间内，施廷懋一直沿正方向运动，B 错误；0～t 2时间内，根据匀变速直线运动的平均速度公式可知，施廷懋运动的平均速度大小为v 1＋v 22，C 正确；匀变速直线运动的平均速度大小等于初速度和末速度的平均值，而加速度变化时，平均速度大小应用平均速度的定义式求解．若在t 2～t 3时间内，施廷懋做匀减速运动，则她的平均速度大小为v 22，根据v －t 图线与坐标轴所围面积表示位移可知，在t 2～t 3时间内施廷懋的实际位移小于她在这段时间内做匀减速运动的位移，故在t 2～t 3时间内，施廷懋的平均速度小于v 22，D 错误． 【变式2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它们的v －t 图象如图所示．在这段时间内( )A ．汽车甲的平均速度比乙的大B ．汽车乙的平均速度等于v 1＋v 22C ．甲、乙两汽车的位移相同D ．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 【答案】A【解析】选A.根据v －t 图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x 甲大于汽车乙的位移x 乙，选项C 错误；根据v ＝xt 得，汽车甲的平均速度v 甲大于汽车乙的平均速度v 乙，选项A 正确；汽车乙的位移x 乙小于初速度为v 2、末速度为v 1的匀减速直线运动的位移x ，即汽车乙的平均速度小于v 1＋v 22，选项B 错误；根据v －t 图象的斜率大小反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D 错误． 【变式3】如图所示，直线a 与四分之一圆弧b 分别表示两质点A 、B 从同一地点出发，沿同一方向做直线 运动的v t 图，当B 的速度变为0时，A 恰好追上B ，则A 的加速度为（ ）A.π4 m/s 2 B ．2 m/s 2 C.π2 m/s 2 D ．π m/s 2 【答案】C【解析】设A 的加速度为a ，两质点A 、B 从同一地点出发，A 追上B 时两者的位移相等，即x a ＝x b ，根据v t 图象的“面积”表示位移，得12at 2＝14×π×22，由题知t ＝2 s ，解得a ＝π2 m/s 2，故A 、B 、D 错误，C 正确．（三）图像的理解 a －t 图象面积代表速度变化量【例3】一辆摩托车在t ＝0时刻由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的a －t 图象如图所示，根据已知信息，可知( )A ．摩托车的最大动能B ．摩托车在30 s 末的速度大小C ．在0～30 s 的时间内牵引力对摩托车做的功D ．10 s 末摩托车开始反向运动 【答案】B【解析】选B.由图可知，摩托车在0～10 s 内做匀加速运动，在10～30 s 内做减速运动，故10 s 末速度最大，动能最大，由v ＝at 可求出最大速度，但摩托车的质量未知，故不能求出最大动能，A 错误；根据a －t 图线与t 轴所围的面积表示速度变化量，可求出30 s 内速度的变化量，由于初速度为0，则可求出摩托车在30 s 末的速度大小，B 正确；在10～30 s 内牵引力是变力，由于不能求出牵引力，故不能求出牵引力对摩托车做的功，C 错误；由图线与时间轴围成的面积表示速度变化量可知，30 s 内速度变化量为零，所以摩托车一直沿同一方向运动，D 错误．t a【变式】一质点由静止开始按如图所示的规律运动，下列说法正确的是 ( )A ．质点在2t 0的时间内始终沿正方向运动，且在2t 0时距离出发点最远B ．质点做往复运动，且在2t 0时回到出发点C ．质点在t 02时的速度最大，且最大的速度为a 0t 04 D ．质点在2t 0时的速度最大，且最大的速度为a 0t 0【答案】A【解析】质点在0～t 02时间内做加速度均匀增大的加速运动，在t 02～t 0时间内做加速度均匀减小的加速运动，在t 0～3t 02时间内做加速度均匀增大的减速运动，在3t 02～2t 0时间内做加速度均匀减小的减速运动，根据对称性，在2t 0时刻速度刚好减到零，所以在2t 0时质点离出发点最远，在t 0时刻速度最大，故A 正确，B 、C 错误；根据图象与时间轴所围面积表示速度，可知最大速度为12a 0t 0，故D 错误．（四）图像的理解 【例4.】一质点沿x 轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其xtt 图象如图所示，则( )A ．质点做匀速直线运动，初速度为0.5 m/sB ．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s 2C ．质点在1 s 末速度为2 m/sD ．质点在第1 s 内的位移大小为2 m 【答案】C【解析】由图得x t ＝1＋12t ，即x ＝t ＋12t 2，根据x ＝v 0t ＋12at 2，对比可得v 0＝1 m/s ，12a ＝12 m/s 2，解得a ＝1 m/s 2，质点的加速度不变，说明质点做匀加速直线运动，初速度为1 m/s ，加速度为1 m/s 2，A 、B 错误；质点做匀加速直线运动，在1 s 末速度为v ＝v 0＋at ＝(1＋1×1) m/s ＝2 m/s ，C 正确．质点在第1 s 内的位移大小x ＝(1＋12) m ＝32m ，D 错误．t tx【变式】一个物体沿直线运动，从t ＝0时刻开始，物体的xt －t 的图象如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5 m/s 和－1 s ，由此可知( )A ．物体做匀加速直线运动B ．物体做变加速直线运动C ．物体的初速度大小为0.5 m/sD ．物体的初速度大小为1 m/s 【答案】AC【解析】选AC.图线的斜率为0.5 m/s 2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2两边除以对应运动时间t为x t ＝v 0＋12at ，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半.所以物体做初速度为v 0＝0.5 m/s ，加速度大小为a ＝1 m/s 2的匀加速直线运动． （五）图像的理解【例5】(2019·青岛质检)一物体由静止开始运动，其加速度a 与位移x 关系图线如图所示．下列说法正确的 是( )A ．物体最终静止B ．物体的最大速度为2ax 0C ．物体的最大速度为3ax 0D ．物体的最大速度为32ax 0 【答案】C【解析】物体运动过程中任取一小段，对这一小段v 2－v 20＝2a Δx ，一物体由静止开始运动，将表达式对位移累加，可得v 2等于速度a 与位移x 关系图线与坐标轴围成的面积的2倍，则v 2＝2(a 0x 0＋12a 0x 0)，解得物体的最大速度v ＝3a 0x 0，故C 项正确． （六）图像的理解【例6】(2019·天水一中模拟)如图甲，一维坐标系中有一质量为m ＝2 kg 的物块静置于x 轴上的某位置(图 中未画出)，从t＝0时刻开始，物块在外力作用下沿x 轴做匀变速直线运动，如图乙为其位置坐标和速率平 a21x a -2v x -方关系图象，下列说法正确的是 ( )A ．t ＝4 s 时物块的速率为2 m/sB ．加速度大小为1 m/s 2C ．t ＝4 s 时物块位于x ＝4 m 处D ．在0.4 s 时间内物块运动的位移6 m 【答案】A【解析】由x －x 0＝v 22a ，结合图象可知物块做匀加速直线运动，加速度a ＝0.5 m/s 2，初位置x 0＝－2 m ，t ＝4s 时物块的速率为v ＝at ＝0.5×4 m/s ＝2 m/s ，A 正确，B 错误；由x －x 0＝12at 2，得t ＝4 s 时物块位于x ＝2 m处，C 错误；由x ＝12at 2，在0.4 s 时间内物块运动的位移x ＝12×0.5×0.42 m ＝0.04 m ，D 错误．【变式】(2019·山东德州模拟)为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图象，下列说法正确的是( )A ．动力车的初速度为20 m/sB ．刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s 2C ．刹车过程持续的时间为10 sD ．从开始刹车时计时，经过6 s ，动力车的位移为30 m 【答案】AB【解析】选AB.根据v 2－v 20＝2ax 得x ＝12a v 2－12a v 20，结合图象有12a ＝－110 s 2/m ，－12a v 20＝40 m ，解得a ＝－5 m/s 2，v 0＝20 m/s ，选项A 、B 正确；刹车过程持续的时间t ＝v 0－a ＝4 s ，选项C 错误；从开始刹车时计时，经过6 s ，动力车的位移等于其在前4 s 内的位移，x 4＝v 0＋02t ＝40 m ，选项D 错误．二 运动图象的应用 （一）图像的选择 分析步骤：(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定横、纵坐标所表示的物理量． (2)根据题意，结合具体的物理过程，应用相应的物理规律，将题目中的速度、加速度、位移、时间等物理量的关系通过图象准确直观地反映出来．(3)题目中一般会直接或间接给出速度、加速度、位移、时间四个量中的三个量的关系，作图时要通过这三个量准确确定图象，然后利用图象对第四个量作出判断．【例7】(2019·高密模拟)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x.现有四个不同物体的运动图象如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是()【解析】由位移—时间图象可知，位移随时间先增大后减小，1 s后反向运动，故A错误；由速度—时间图象可知，物体2 s内沿正方向运动，2～4 s沿负方向运动，方向改变，故B错误；由图象C可知物体在第1 s内做匀加速运动，第2 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故C正确；由图象D可知物体在第1 s内做匀加速运动，第2 s内做匀减速运动，2 s末速度减为0，第3 s 内沿负方向做匀加速运动，不是单向直线运动，故D错误．【答案】C【变式1】小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是()【答案】A【解析】选A.小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为h，则速度大小与位移的关系满足v2＝2g(h －x)，A项正确．【变式2】.A物体从离地面高10 m处做自由落体运动，1 s后B物体从离地面高15 m处做自由落体运动，下面物理图象中对A、B的运动状态描述合理的是()【答案】A【解析】两者都做自由落体运动，速度在增大，C错误；根据公式可得位移是关于时间t的二次函数，D错误；因为A先下落，所以当B开始运动时，A已有了一定的速度，故A正确．（二）图像的转换图象转换时要注意的三点(1)合理划分运动阶段，分阶段进行图象转换；(2)注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接；(3)注意图象转换前后核心物理量间的定量关系，这是图象转换的依据．【例8】某物体做直线运动的v t图象如图所示，据此判断四个选项中(F表示物体所受合力，x表示物体的位移)正确的是()【答案】B【解析】根据v t图象的斜率可知：0～2 s内与6～8 s内物体的加速度大小相等、方向相同，故所受合力相同，A错误.2～6 s内物体的加速度恒定，合力恒定，且大小与0～2 s内的相同，方向与0～2 s内相反，B 正确．根据v t图象可知，0～4 s内物体先沿正方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，4～8 s内先沿负方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，再结合v t图线包围面积的意义可知，0～4 s内物体的位移不断增大，4 s末达到最大值，8 s末返回到出发点，C、D错误．【变式1】(2019·武汉模拟)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v t 图象正确的是 ( )【答案】 C【解析】 在0～1 s 内，a 1＝1 m/s 2，物体从静止开始做正向匀加速运动，速度图象是一条直线，1 s 末速度v 1＝a 1t ＝1 m/s ，在1～2 s 内，a 2＝－1 m/s 2，物体将仍沿正方向运动，但要减速，2 s 末时速度v 2＝v 1＋a 2t ＝0，2～3 s 内重复0～1 s 内运动情况，3～4 s 内重复1～2 s 内运动情况，则C 正确．【变式2】(2019·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( )A ．v ＝x tB ．v ＝2x tC ．v ＞2x tD ．x t ＜v ＜2x t【答案】 C【解析】选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v －t 图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x ，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为v 2t .应有v 2t ＞x ，所以v ＞2x t ，所以选项C 正确．三 追及、相遇问题1．追及、相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过题干或画运动示意图得到．2．追及、相遇问题常见的情况假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：(1)A追上B时，必有x A－x B＝x0，且v A≥v B.(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有x A－x B＝x0，v A＝v B.(3)若使两物体保证不相撞，则要求当v A＝v B时，x A－x B＜x0，且之后v A≤v B.3．解题思路和方法分析两物体的运动过程⇒画运动示意图⇒找两物体位移关系⇒列位移方程与运动图象相结合的追及相遇问题【例9】(多选)(2018·高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是()A．两车在t1时刻也并排行驶B．在t1时刻甲车在后，乙车在前C．甲车的加速度大小先增大后减小D．乙车的加速度大小先减小后增大【答案】BD【解析】根据速度—时间图象与时间轴所围面积大小对应物体的位移大小，可知在t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，又因为t2时刻两车相遇，因此t1时刻甲车在后，乙车在前，选项A错误，B正确；根据图象的斜率对应物体运动的加速度，可知甲、乙的加速度均先减小后增大，选项C错误，D正确．【例10】(多选)(2018·高考全国卷Ⅱ) 甲、乙两车在同一平直公路上同向运动甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是()A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C ．从t 1到t 2时间内，两车走过的路程相等D ．在t 1到t 2时间内的某时刻，两车速度相等【答案】CD【解析】由位移—时间图象的意义可知t 1时刻两车在x 1位置，图线的斜率不同，速度不等，A 错；由于甲车起始位置不在原点，从0到t 1时间内，两车走过的路程不等，B 错；从t 1到t 2时间内，两车都从x 1位置运动到x 2位置，因此走过的路程相等，C 对；从t 1到t 2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车，因此在t 1到t 2时间内的某时刻，两车速度相等，D 对． 与实际相结合的追及相遇问题【例11】(2019·河南中原名校第三次联考)如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A 线位 置，某时刻白色车以速度v 1＝40 m/s 通过A 线后，立即以大小为a 1＝4 m/s 2的加速度开始制动减速，黑色车 4 s 后以a 2＝4 m/s 2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B 线位置．两车可看 成质点．从白色车通过A 线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B 线位置及此时黑色车的速度大小．【答案】 14 s 40 m/s【解析】 设白色车停下来所需的时间为t 1，减速过程通过的距离为x 1，则v 1＝a 1t 1v 21＝2a 1x 1解得x 1＝200 m ，t 1＝10 s在t 1＝10 s 时，设黑色车通过的距离为x 2，则x 2＝12a 2(t 1－t 0)2 解得x 2＝72 m<x 1＝200 m所以白色车停止运动时黑色车没有追上它，则白色车停车位置就是B 线位置．设经过时间t 两车都到达B 线位置，此时黑色车的速度为v 2，则x 1＝12a 2(t －t 0)2 v 2＝a 2(t －t 0)解得t ＝14 s ，v 2＝40 m/s.【变式1】(2019·济宁模拟)A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度v A ＝10 m/s ，B 车在后，其速度v B ＝30 m/s ，因大雾能见度低，B 车在距A 车x 0＝85 m 时才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但B 车要经过180 m 才能停止，问：B 车刹车时A 车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？【答案】不会相撞 5 m【解析】设B 车刹车过程的加速度大小为a B ，由v 2－v 20＝2ax可得02－302＝2(－a B )×180解得a B ＝2.5 m/s 2设经过时间t 两车相撞，则有v B t －12a B t 2＝x 0＋v A t ， 即30t －12×2.5t 2＝85＋10t 整理得t 2－16t ＋68＝0由Δ＝162－4×68＜0可知t 无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时v A ＝v B －a B t 1，t 1＝8 s此过程中x B ＝v B t 1－12a B t 21＝160 m x A ＝v A t 1＝80 m ，两车的最近距离Δx ＝x 0＋x A －x B ＝5 m.【题型演练】1．(2019·安徽省四校联考)下列所给的运动图象中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( )【答案】A【解析】速度—时间图象中与坐标轴围成的面积表示位移，在坐标上方表示正位移，在坐标轴下方表示负位移，所以A 中面积不为零，所以位移不为零，不能回到初始位置；B 、C 中面积为零，位移为零，回到初始位置；D 中，位移—时间图象表示物体的位移随时间变化的图象，在t 0 s 物体的位移为零，即又回到了初始位置．2.(2019·河北衡水中学调研)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v t 图象如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )A ．在第10 s 末，乙车改变运动方向B ．在第10 s 末，甲、乙两车相距150 mC ．在第20 s 末，甲、乙两车相遇D ．若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次【答案】D【解析】由图可知，在20 s 内，乙车一直沿正方向运动，速度方向没有改变，故选项A 错误；由于不知道初始位置甲、乙相距多远，所以无法判断在10 s 末两车相距多远，及在20 s 末能否相遇，故选项B 、C 错误；若刚开始乙车在前，且距离为150 m ，则在10 s 末两车相遇，之后甲在乙的前面，乙的速度增大，在某个时刻与甲再次相遇，故选项D 正确．4.(2019·河南中原名校联考)如图所示为甲、乙两质点做直线运动的v t 图象，若两质点从同一地点出发，到t 1时刻相遇，则下列说法正确的是( )A ．v 1＝8 m/sB ．v 2＝12 m/sC ．t 1＝(3＋3)sD ．0～t 1时间内，甲、乙相距的最大距离为6 m【答案】CD【解析】由图可知，甲的加速度a 1＝2 m/s 2，乙的加速度a 2＝6 m/s 2，则12×2t 12＝12×6(t 1－2 s)2，求得t 1＝(3＋3)s ，C 项正确；v 1＝a 1t 1＝(6＋23)m/s ，A 项错误；v 2＝a 2(t 1－2 s)＝(6＋63)m/s ，B 项错误；0～t 1内，甲、乙相距的最大距离为Δx ＝12×2×6 m ＝6 m ，D 项正确． 5.(2019·河北石家庄模拟)甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动，其运动的x t 图象如图所示，已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动．下列说法正确的是( )A ．甲物体先做匀减速直线运动．后做匀速直线运动B ．在0～120 s 内，乙物体的平均速度大小大于0.5 m/sC ．在0～120 s 内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小D ．乙物体在M 点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5 m/s【答案】CD【解析】根据位移图象斜率表示速度可知，甲物体先做匀速直线运动，后静止，选项A 错误；在0～120 s内，乙物体的位移大小为s ＝60 m ，平均速度大小为v ＝s t＝0.5 m/s ，选项B 错误；在0～120 s 内，甲物体运动的位移大小为x 甲＝100 m －20 m ＝80 m ，乙物体运动的位移大小为x 乙＝60 m －0 m ＝60 m ，所以在0～120 s 内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小，选项C 正确；根据匀变速直线运动的推论知，乙在t ＝60 s 时的瞬时速度等于在0～120 s 内的平均速度0.5 m/s ，而乙物体做匀加速直线运动，所以乙物体在M 点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5 m/s ，选项D 正确．6.(2019·山东济南模拟)一质点从坐标原点沿x 轴方向做匀变速直线运动，在0～8 s 内的x －t 图象如图所示．若t ＝1 s 时，图线所对应的切线的斜率为3 m/s ，则( )A ．t ＝1 s 时，质点的加速度为3 m/s 2B ．t ＝2 s 和t ＝6 s 时，质点的速度大小相等C ．t ＝2 s 和t ＝6 s 时，质点加速度的方向相反D ．t ＝4 s 时，质点的位移为8 m【答案】BD【解析】选BD.已知质点做匀变速直线运动，设其位移随时间变化的关系式为x ＝v 0t ＋12at 2，根据0～8 s 内的x －t 图象的对称轴可知－v 0a＝4 s ；t ＝1 s 时，图线所对应的切线的斜率(即此时的速度)为3 m/s ，可知v 0＋a ×1 s ＝3 m/s ，解得a ＝－1 m/s 2，v 0＝4 m/s ，因为质点做匀变速直线运动，所以质点的加速度不会发生变化，选项A 、C 均错误；利用速度公式v ＝v 0＋at ，可得t ＝2 s 时，质点的速度为2 m/s ，t ＝6 s 时，质点的速度为－2 m/s ，这两个时刻质点的速度大小都为2 m/s ，选项B 正确；将t ＝4 s 代入x ＝v 0t ＋12at 2，解得x ＝8 m ，即t ＝4 s 时质点的位移为8 m ，选项D 正确．7.(2019·四川双流中学模拟)在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s 的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方 30 m 处有一辆大卡车以10 m/s 的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图所示，a 、b 分别为小汽车和大卡车的v t 图线，以下说 ( )。
