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2运动学图像、追及、相遇问题(解析版)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－运动学图像追及、相遇问题一运动图象的理解1．运动学图象主要有x－t、v－t、a－t图象，应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：2.图象问题常见的是x－t和v－t图象，在处理特殊图象的相关问题时，可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图象中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程：3.x －t 图象、v －t 图象、a －t 图象是如何描述物体的运动性质的x －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体静止，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀速直线运动，图线的斜率表示速度；v －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体做匀速直线运动，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度；a －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体做匀变速直线运动，若图线与横轴重合，则表示物体做匀速直线运动．4.关于运动图象的三点提醒(1)x -t 图象、v -t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x 、v 与t 一一对应．(2)x -t 图象、v -t 图象的形状由x 与t 、v 与t 的函数关系决定．(3)无论是x -t 图象还是v -t 图象，所描述的运动都是直线运动．（一）图像的理解位移图象的基本性质(1)横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态；(2)位移图象描述的是物体位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹，斜率等于物体运动的速度，斜率的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x 的变化量Δx .【例1】(多选)(2019·南京师大附中模拟)如图所示为一个质点运动的位移x 随时间t 变化的图象，由此可知质点在0～4 s 内( )A ．先沿x 轴正方向运动，后沿x 轴负方向运动B ．一直做匀变速运动C ．t ＝2 s 时速度一定最大D ．速率为5 m/s的时刻有两个t x感谢阅读，欢迎大家下载使用！。
t /s x/m αO o 1t 0v αtv 第三节 运动图像 追及和相遇问题一、位移时间（x －t ）图象1．x －t 图象的意义(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率的大小表示物体 ．②图线上某点切线的斜率的正负表示物体 ． 2．两种特殊的x －t 图象 (1)匀速直线运动的x －t 图象是一条过原点的直线．(2)若x －t 图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于 状态．二、v －t 图象1．v －t 图象的意义(1)物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律． (2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率的大小表示物体运动的 ．②图线上某点切线的斜率的正负表示加速度的方向． (3)图象与坐标轴围成的“面积”的意义①图象与坐标轴围成的面积的数值表示相应时间内的 ．②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为 ；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为2．常见的两种图象形式(1)匀速直线运动的v －t 图象是与横轴平行的直线．(2)匀变速直线运动的v －t 图象是一条倾斜的直线。
【总结】1.x －t 图象和v －t 图象2、运动图象的分析与x －t 图象 v －t 图象 ①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)； ②表示物体静止； ③表示物体向反方向做匀速直线运动； ④交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移； ⑤t1时刻物体位移为s1(图中阴影部分的面积没有意义) ①表示物体做匀加速直线运动(斜率k ＝tanα表示 加速度a)； ②表示物体做匀速直线运动； ③表示物体做匀减速直线运动； ④交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度； ⑤t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点①在0～t1时间内的位移)运用运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况．3．三看“斜率”：斜率表示纵、横坐标轴上两个物理量的比值，常用一个重要的物理量与之对应，用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢．x－t图象中斜率表示运动物体的速度的大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度的大小和方向．4．四看“面积”：即图象和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．如v和t的乘积vt＝x，有意义，所以v－t图与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围面积无意义．5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，如t＝0时的位移或速度．6．六看“特殊点”：如交点、拐点(转折点)等．如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．【典例分类练习】一、位移时间（x－t）图象1、如图是A、B两个质点做直线运动的位移－时间图线：(1)当t＝t1时，A、B两质点的加速度都大于零；(2)当t＝t1时，两质点相遇；(3)当t＝t1时，两质点的速度相等；(4)在运动过程中，A质点总比B质点快．以上描述中正确的是A．(1)(4)B．(2)(3)C．(2)(4) D．(4)2、如图所示的位移(x)－时间(t)图象和速度(v)－时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等3、(2011年淮南模拟)甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的x－t图象如图所示，则下列说法正确的是()A．t1时刻乙车从后面追上甲车B．t1时刻两车相距最远C．t1时刻两车的速度刚好相等D．0到t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度4、(2009年高考山东卷)某物体做直线运动的v－t图象如图所示，据此判断四个选项中正确的是(F：受力；x：位移)()5、（2013年新课标1）如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上形式的汽车a和b的位置一时间（x-t）图线，由图可知，a车追上b车A.在时刻tB.在时刻t2，a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直不a车大二、速度-时间（v－t）图象1、(2009年高考广东卷)如图是甲、乙两物体做直线运动的v－t图象，下列表述正确的是()A．乙做匀加速直线运动B．0～1 s内甲和乙的位移相等C．甲和乙的加速度方向相同D．甲的加速度比乙的小2.(2010年高考上海卷改编)如图为质量相等的两个质点A、B在同一直线上运动的v－t图象．由图可知下列说法不正确的是()A．在t时刻两个质点在同一位置B．在t时刻两个质点速度相等C．在0～t时间内质点B比质点A位移大D．在0～t时间内合外力对两个质点做功相等3．(2010年高考天津卷)质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为()A．0.25 m/s向右B．0.25 m/s向左C．1 m/s向右D．1 m/s向左4、t＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是A．在第1小时末，乙车改变运动方向B．在第2小时末，甲、乙两车相距10 kmC．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D．在第4小时末，甲、乙两车相遇5、（2013年新课标1）2012年11曰，“歼15”舰载机在“辽宁号”航空母舰上着舰成功。
第三节 运动图像 追及和相遇问题【考点知识梳理】一、匀速直线运动的s t -图象s t -图象表示运动的位移随时间的变化规律。
匀速直 线运动的s t -图象，是一条倾斜的直线。
速度的大小在数值上等于图象的斜率，即α=∆∆=tan tsv ，如右图 所示。
二、直线运动的v t -图象v t -图象表示运动的速度随时间的变化规律。
v t -图象表示的规律是：给出v 、t 的对应关系，即若给定时间t ，则可从图上找出相应的速度v ，反之亦然。
1. 匀速直线运动的v t -图象（1）匀速直线运动的v t -图象是与横轴平行的直线。
（2）从图象不仅可以看出速度的大小，而且可以求出位移（图象与两坐标轴所围图形的面积） 2. 匀变速直线运动的v t -图象（1）匀变速直线运动的v t -图象是一条倾斜直线（如下图示）（2）直线斜率的大小等于加速度的大小，即tva ∆∆=，斜率越大，加速度也越大，反之 则越小（3）若直线的斜率大于零，则加速度大于零，表示匀加速运动；若直线的斜率小于零，则加速度也小于零，表示匀减速运动。
)s /m (v /t s0 o1t 0vαtvt /s S /mαO三、s －t 图象和v －t 图象s －t 图象v －t 图象①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)；②表示物体静止；③表示物体向反方向做匀速直线运动；④交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移；⑤t1时刻物体位移为s1(图中阴影部分的面积没有意义)①表示物体做匀加速直线运动(斜率k ＝tan α表示加速度a)；②表示物体做匀速直线运动；③表示物体做匀减速直线运动；④交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度；⑤t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点①在0～t1时间内的位移)四、追及和相遇问题两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。
第04讲运动图像问题追及相遇问题目录复习目标网络构建考点一运动图像问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 v-t图像知识点2 与位移和时间有关的图像知识点3 与v2-v02=2ax有关的图像知识点4 a-t图像【提升·必考题型归纳】考向1 v-t图像考向2 与位移和时间有关的图像考向3 与v2-v02=2ax有关的图像考向4 a-t图像考点二追及相遇问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点追击相遇问题的解题思路和技巧【提升·必考题型归纳】考向1 利用图像解决追及相遇问题考向2 一维追及相遇问题考向3 二维相遇问题真题感悟1、明确各种图像的中斜率、面积、截距、拐点等内容的物理含义，并会利用图像处理物理问题。
2、掌握处理追及相遇的方法和技巧，能够利用相应的方法处理实际问题。
考点一运动图像问题知识点1v-t图像知识点2 与位移和时间有关的图像知识点3 与ax v v 222=-有关的图像知识点4a-t图像考向1 v -t 图像1．国之重器歼-20完成某次任务后，关闭发动机降落至跑道并打开减速伞，直至速度减为零。
若该机落地时（设为0=t 时刻）具有水平速度0v ，此后始终沿直线运动，经时间0t 停止，其v -t 图像如图所示。
则（ ）A ．P t 时刻，该机的加速度大小一定等于p pv tB ．0~0t 时间内，该机发生的位移小于0012v t C ．0~0t 时间内，该机受到的阻力逐渐增大D ．0~0t 时间内，该机克服阻力做功的功率逐渐减小 【答案】BD【详解】A ．根据加速度的定义式va t∆=∆故P t 时刻，该机的加速度大小数值上等于过曲线P 点的切线斜率P k 的绝对值，根据题目所给数据不能确定P k 的绝对值等于p pv t ，A 错误；BC ．由v t -图像可知，0~0t 时间内，曲线的斜率随时间逐渐减小，故加速度逐渐减小，根据牛顿第二定律=f ma 可知阻力逐渐减小，由图线与坐标轴所围“ 面积” 表示位移，可知该机发生的位移小于0012v t ，B 正确，C 错误；D ．0~0t 时间内，该机的速度v 、所受阻力f 均在减小，由P fv =可知该机克服阻力做功的功率逐渐减小，D 正确。
第3课运动的图像追及和相遇问题一、追及问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。
若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。
若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。
2、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速。
度，即v v乙甲⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。
判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。
①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。
②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。
③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。
⑶匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。
3、分析追及问题的注意点：⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。
两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。
⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
二、相遇⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。
⑵相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
【例】甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边时开始以0.5m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；(2)乙车追上甲车所用的时间．[解析]解法一：解析法(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设该减速过程时间为t，则v乙＝v甲－at，解得t＝12s，此时甲、乙间距离为Δx＝v甲t－12at2－v乙t＝10×12m－12×0.5×122m－4×12m＝36m.解法二：图象法作出两车运动的v－t图象如图1－3－7所示．图1－3－7例题：如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.V例题：为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车的加速度为a=4m／s2．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？(取重力加速度g=10m／s2．)例题A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动，经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20m/s的速度做匀速运动．经过12s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？例．在十字路口，汽车以20.5m s的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？例．火车以速度1v 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S 处有另一列火车沿同方向以速度2v （对地、且12v v >）做匀速运动，司机立即以加速度a 紧急刹车，要使两车不相撞，a 应满足什么条件？a>()2122v v s－例题：客车以20m/s 的速度行驶，突然发现同轨前方120m 处有一列货车正以6m/s 的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车引起的加速度大小为0.8m/s 2，问两车是否相撞？例题：一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。
专题课2运动学图像和追及相遇问题题型一运动学图像的理解和应用x－t图像与v－t图像的比较x－t图像v－t图像①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)②表示物体静止②表示物体做匀速直线运动③表示物体向反方向做匀速直线运动，初始位置为x0③表示物体做匀减速直线运动，初速度为v0④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度⑤t1时间内物体的位移为x1⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)如图所示的是一个运动质点的x－t图像，则下列图中与之对应的v－t图像为()[解析]根据位移—时间图像可知，第1 s内质点做匀速运动，第2 s内质点静止，后3 s反向匀速运动。
[答案] B如图所示，在位移—时间图像和速度—时间图像中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是()A．图线1表示物体做曲线运动B．x－t图像中t1时刻v1>v2C．v－t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D．两图像中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动[解析]图线1是位移—时间图像，表示物体做变速直线运动，A错误；x －t图线上某点斜率的绝对值的大小表示速度的大小，B正确；v－t图像中0至t3时间内3和4位移不同，所以平均速度大小不相等，C错误；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4加速度方向变化但运动方向不变，D错误。
[答案] B题型二追及相遇问题1．解题关键(1)一个条件：速度相等。
这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。
通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
2．常用方法(1)物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
高考复习复习——运动学图象追及相遇问题1．x－t图象与v－t图象的比较倾斜直线表示匀速直线运动；曲倾斜直线表示匀变速直线运动；曲2.三点说明(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．例1(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示．下列说法正确的是()图1A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D ．在t 1到t 2时间内的某时刻，两车速度相等 答案 CD解析 x －t 图象的斜率表示速度，则可知t 1时刻乙车速度大于甲车速度，A 错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t 1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t 1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B 项错误；t 1和t 2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t 1到t 2时间内，两车走过的路程相等，在t 1到t 2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C 、D 项正确．变式1 (2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A 、B 两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图2所示，其中A 是顶点过原点的抛物线的一部分，B 是过点(0,3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3,9)的P 点，则下列说法不正．．确．的是( )图2A ．质点A 做初速度为零、加速度为2 m/s 2的匀加速直线运动B ．质点B 以2 m/s 的速度做匀速直线运动C ．在前3 s 内，质点A 比B 向前多前进了9 mD ．在3 s 前某时刻质点A 、B 速度相等 答案 C解析 质点A 的运动方程为x ＝12at 2，则初速度为零，加速度a ＝2 m/s 2，故A 正确；B 直线的斜率表示速度，故质点B 做匀速直线运动，质点B 的速度为v ＝Δx Δt ＝9－33 m/s ＝2 m/s ，故B 正确；在前3 s 内，质点B 的位移为6 m ，质点A 的位移为9 m ，质点A 比B 向前多前进了3 m ，故C 错误；t ＝1 s 时刻，质点A 的速度为2 m/s ，质点B 以v ＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，故D 正确．例2 (多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t 2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )。
运动图象追及和相遇问题一、位移――时间图像（s－t图像）：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。
理解：①斜率大小：表示物体速度的大小；斜率的正负：表示物体速度的方向。
②若s－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。
(如甲所示)③若s－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。
(如图乙所示)④甲乙交叉点表示：某一时刻两物体在同一位移处相遇。
二、直线运动的v－t图象：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
理解：①斜率的大小：表示物体加速度的大小；斜率的正负：表示物体加速度的方向。
②匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行。
③匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线。
④甲乙交叉点表示：某一时刻两物体速度大小方向一样。
⑤图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负。
例题1：物体A、B的s－t图象如图所示，由图可知( A )A．从第3 s起，两物体运动方向相同，且v A＞v BB．两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动C．在5 s内物体的位移相同，5 s末A、B相遇D. 5 s内A、B的平均速度相等例题2：甲、乙两物体从同一点开始做直线运动，其v－t图象如图所示，下列判断正确的是( B )A．在t0时刻两物体速度大小相等，方向相反B．在t0时刻两物体加速度大小相等，方向相同C．在t0时刻之前，乙物体在甲物体前，并且两物体间距离越来越大D．在t0时刻之后，甲物体在乙物体前，并且两物体间距离越来越大三、追及、相遇问题理解：①抓住“一个条件，两个关系”：“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。
“两个关系”是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
②分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
专题强化一运动学图象追及相遇问题专题解读1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题.2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力.3.用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.一、运动学图象1.直线运动的x－t图象(1)图象的物理意义反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向.(3)交点两图线交点，表示两物体相遇.2.直线运动的v－t图象(1)图象的物理意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小.②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向.(3)两种特殊的v－t图象①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线.②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线.(4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图1)图1①图象与时间轴围成的面积表示位移.②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负.(5)交点两图线交点表示此时两物体速度相同.自测1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图2所示，由图象可以看出在0～4s内()图2A.甲、乙两物体始终同向运动B.第4s末时，甲、乙两物体间的距离最大C.甲的平均速度等于乙的平均速度D.乙物体一直做匀加速直线运动答案 C解析由题图可知在0～2s内，甲、乙同向运动，在2～4s内两者反向运动，选项A错误；第4s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4s内，甲、乙的位移都是2m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误.自测2如图3所示，为某物体做直线运动的v－t图象，由此可知()图3A.前1s物体的位移大小为1mB.前2s末物体的瞬时速度大小为2m/sC.前3s内物体的加速度大小为3m/sD.前3s物体做匀变速直线运动答案 A解析在v－t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1s内物体的位移大小x ＝12×1×2m ＝1m ，选项A 正确；在1～3s 内由题图得，物体的加速度a ＝Δv Δt ＝0－2m/s3s －1s＝－1 m/s ，第2 s 末物体的瞬时速度v ＝v 0＋at ＝2 m/s －1 m/s 2×1 s ＝1 m/s ，选项B 、C 错误；第1s 内物体做匀加速直线运动，1～3s 内物体做匀减速直线运动，选项D 错误. 二、追及与相遇问题 1.概述当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2.两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近. 3.相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离. (2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.自测3 平直公路上的甲车以10m /s 的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s 2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则( )A.乙车追上甲车所用的时间为10sB.乙车追上甲车所用的时间为20sC.乙追上甲时，乙的速度是15m/sD.乙追上甲时，乙的速度是10m/s 答案 B解析 设乙车追上甲车所用的时间为t ，则有v 甲t ＝12at 2，解得t ＝20s ，选项A 错误，B 正确；由v ＝at 得，乙车追上甲车时，乙车速度v 乙＝20m/s ，选项C 、D 错误.命题点一 运动学图象的理解和应用1.x －t 图象与v －t 图象的比较x －t 图象 v －t 图象图象举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动特别处两条图线的交点表示相遇图线与时间轴所围面积表示位移运动情况甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动位移0～t1时间内甲、乙位移相等0～t2时间内丁的位移大于丙的位移平均速度0～t1时间内甲、乙平均速度相等0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度2.三点说明(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.例1(多选)如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线，由图可知()图4A.在时刻t1，a车追上b车B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大答案BC解析由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；x－t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.例2 (2014·新课标全国Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它们的v —t 图象如图5所示.在这段时间内( )图5A.汽车甲的平均速度比乙的大B.汽车乙的平均速度等于v 1＋v 22C.甲、乙两汽车的位移相同D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 答案 A解析 根据v —t 图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x 甲大于汽车乙的位移x 乙，选项C 错误；根据v ＝xt 得，汽车甲的平均速度v 甲大于汽车乙的平均速度v 乙，选项A 正确；汽车乙的位移x 乙小于初速度为v 2、末速度为v 1的匀减速直线运动的位移x ，即汽车乙的平均速度小于v 1＋v 22，选项B 错误；根据v —t 图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D 错误.变式1 甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x 随时间t 变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t 轴相切于10s 处.则下列说法正确的是( )图6A.甲车的初速度为零B.乙车的初位置在x 0＝60m 处C.乙车的加速度大小为1.6m/s 2D.5s 时两车相遇，此时甲车速度较大 答案 C解析 由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v 甲＝Δx Δt ＝205m/s ＝4 m/s.故A 错；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x ＝12at 2.由题图可知，当其反向运动5s 时，位移为20m.则有20＝12a ·52，得加速度大小a ＝1.6m/s 2.因其共运动了10s ，可得x 0＝12×1.6×102m ＝80m.C 对，B 错；t ＝5s 时，两车相遇，但甲车速度v 甲＝4 m/s 小于乙车速度v 乙＝8 m/s ，D 错.变式2 (2018·广东佛山质检)如图7所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是( )图7A.在0～t 3时间内甲、乙两质点的平均速度相等B.甲质点在0～t 1时间内的加速度与乙质点在t 2～t 3时间内的加速度相同C.甲质点在0～t 1时间内的平均速度小于乙质点在0～t 2时间内的平均速度D.在t 3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点 答案 A解析 因在0～t 3时间内甲、乙两质点的速度图线与t 轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A 项正确；在0～t 1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t 2～t 3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故B 项错误；甲质点在0～t 1时间内的平均速度等于0＋v 02＝v 02，乙质点在0～t 2时间内的平均速度等于0＋v 02＝v 02，故C 项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D 项错误. 拓展点1 非常规图象 1.三类图象(1)a －t 图象：由v ＝v 0＋at 可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv ，如图8甲所示； (2)x t －t 图象：由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，图象的斜率为12a ，如图乙所示.图8(3)v 2－x 图象：由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，图象斜率为2a . 2.解题技巧图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义.例3 一质点沿直线运动，如图9所示是从t ＝0时刻开始的质点的xt －t 图象(x 为位移)，可以推知( )图9A.质点做匀减速运动B.加速度的大小是1m/s 2C.t ＝2s 时的速度是1m/sD.t ＝2s 时位移是3m答案 B解析 由题意可得图线的函数表达式为x t ＝1＋12t ，即x ＝t ＋12t 2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x ＝v 0t ＋12at 2，根据对应关系得v 0＝1 m/s ，a ＝1 m/s 2＞0，因此质点做匀加速运动，故A 项错误，B 项正确.当t ＝2s 时，根据公式v ＝v 0＋at ，求出速度是3m/s ，故C 项错误；当t ＝2s 时，代入表达式x ＝t ＋12t 2，可得位移是4m ，故D 项错误.变式3 (2017·江西南昌3月模拟)一辆汽车做直线运动，其v 2－x 图象如图10所示.关于汽车的运动，下列说法错误的是( )图10A.汽车的初速度为4m/sB.汽车的加速度大小为0.5m/s 2C.汽车第4s 末的速度为2m/sD.汽车前10s 内的位移为15m 答案 D解析 由题图可知初始时速度的平方为16m 2/s 2，则汽车的初速度v 0＝4 m/s ，A 项正确.由题图可知v 2与x 的关系式为v 2－42＝－x ，再与公式v 2－v 02＝2ax 对比可知汽车做匀减速直线运动，加速度a ＝－0.5m/s 2，B 项正确．由v ＝v 0＋at ，可得汽车第4 s 末的速度为v 4＝4 m/s －0.5×4 m/s ＝2 m/s ，C 项正确.因0－v 0a ＝8s ，则知第8s 末车停止，汽车前10s 内位移x ＝0－v 202a ＝16m ，D 项错误.拓展点2 图象间的相互转化例4 一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v －t 图象正确的是( )图11答案 C命题点二 追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到v A＝v B时，若x A＋x0＜x B，则能追上；若x A＋x0＝x B，则恰好不相撞；若x A＋x0＞x B，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 4.三种方法(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇.(3)图象法.①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.例5甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v 1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？答案6m/s2解析方法一：临界法设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，v1＋v2t＝v2＋v2t－x0，解得t＝2s，a2＝6m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.方法二：函数法甲、乙运动的位移：x甲＝v1t－12a1t2，x乙＝v2t－12a2t2避免相撞的条件为x乙－x甲<x0即12(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0>0代入数据有(a2－2)t2－16t＋16>0不等式成立的条件是：Δ＝162－4×16(a2－2)<0，且a2－2>0解得a2>6m/s2.变式4(多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图12所示.已知两车在t＝3s时并排行驶，则()图12A.在t＝1s时，甲车在乙车后B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5mC.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m答案BD解析由题中v－t图象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，两车在t＝3s时并排行驶，此时x甲＝12a甲t2＝12×10×32m＝45m，x乙＝v0t＋12a乙t2＝10×3m＋12×5×32m＝52.5m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5m，B项正确.t＝1s时，x甲′＝12a甲t′2＝5m，x乙′＝v0t′＋12a乙t′2＝12.5m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40m，故D项正确.变式5(2018·河北保定调研)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图13所示，则()图13A.甲、乙两车同时从静止开始出发B.在t＝2s时乙车追上甲车C.在t＝4s时乙车追上甲车D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次答案 C1.(多选)(2017·河北唐山一中模拟)在足球比赛中，跑位技术相当重要.图1所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度－时间图象，则在这段时间内，该球员()图1A.运动方向不变B.运动的加速度方向不变C.先做加速运动后做减速运动D.运动的加速度先减小后增大答案AC解析因v－t图象中图线的斜率表示加速度.则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，则A、C正确，B、D错误.2.(多选)(2017·山西五校四联)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，其速度－时间图象如图2所示.下列说法正确的是()图2A.乙车做曲线运动B.0～10s内，乙车的位移大于甲车的位移C.t＝10s时，两车可能相遇D.0～10s内，必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同答案BCD解析因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，则甲、乙两车均做直线运动，因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，甲车做匀加速直线运动，且t＝0时a乙＞a甲，t＝10 s时a乙＜a甲，则0～10 s内必有某一时刻a乙＝a，A项错误，D项正确.因v－t图象中图线与t轴所围面积表示位移，则由题图可知0～10s 甲内乙车位移大于甲车位移，因题中没明确甲、乙出发位置，则t＝10s时两车可能相遇，B、C项正确.3.(2017·河北唐山一模)a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的v－t 图象如图3所示，下列说法正确的是()图3A.a、b两物体运动方向相反B.a物体的加速度小于b物体的加速度C.t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距D.t＝3s时，a、b两物体相遇答案 C解析由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误.因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误.v－t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1s到t＝3s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距，C 项正确.由题图可知t＝3s时，x b＞x a，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3s时，b在a前方，D项错误.4.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的x －t 图象如图4所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点.则从图象可以看出( )图4A.t 2到t 3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度B.乙比甲先出发C.甲开始运动时，乙在甲前面x 0处D.甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙 答案 AC解析 在t 2～t 3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由v ＝xt ，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A 项正确.由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x 0处，故B 项错误，C 项正确.在t 3时刻，甲追上了乙，D 项错误.5.(多选)一质点做直线运动的v －t 图象如图5所示，下列选项正确的是( )图5A.在2～4s 内，质点所受合外力为零B.质点在0～2s 内的加速度比4～6s 内的加速度大C.在第4s 末，质点离出发点最远D.在0～6s 内，质点的平均速度为5m/s 答案 AD解析 由题图可知，在2～4s 内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A 对.由题图可知，质点在0～2 s 内加速度大小为5 m/s 2，4～6 s 内加速度大小为10 m/s 2，B 错.由题图可知，在第5 s 末，质点离出发点最远，C 错.在0～6 s 内，质点的平均速度v ＝xt ＝5 m/s ，D 对.6.质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系图象如图6所示，该图线的斜率为k ，图中阴影部分面积为S ，下列说法正确的是( )图6A.斜率k 表示速度变化的快慢B.斜率k 表示速度变化的大小C.面积S 表示t 1～t 2的过程中质点速度的变化量D.面积S 表示t 1～t 2的过程中质点的位移 答案 C7.图7是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图象(x －t 图象)，P (t 1，x 1)为图象上一点.PQ 为过P 点的切线，与x 轴交于点Q (0，x 2).下列说法正确的是( )图7A.t 1时刻，质点的速率为x 1t 1B.t 1时刻，质点的速率为x 1－x 2t 1C.质点的加速度大小为x 1－x 2t 21D.0～t 1时间内，质点的平均速度大小为2(x 1－x 2)t 1答案 B8.图象法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图8所示的两质点运动的位移—时间图象和速度—时间图象，下列分析结果正确的是( )图8A.由图甲可知，质点做曲线运动，且速度逐渐增大B.由图甲可知，质点在前10s内的平均速度大小为4m/sC.由图乙可知，质点在第4s内的加速度方向与物体运动的方向相反D.由图乙可知，质点在运动过程中，加速度大小的最大值为15m/s2答案 D9.(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图9所示，初始时，小张在小王前方x0处.下列说法正确的是()图9A.若x0＝18m，两车相遇1次B.若x0＜18m，两车相遇2次C.若x0＝36m，两车相遇1次D.若x0＝54m，两车相遇1次答案AB10.(2018·安徽马鞍山模拟)一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图10所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度大小为()图10A.(m －n )S mnB.mn (m 2＋n 2)S m ＋nC.(m 2＋n 2)S (m ＋n )mnD.(m 2＋n 2)S mn答案 C解析 设物体的加速度大小为a ，m 时间内的初速度大小为v 1，末速度(即b 时刻的速度)大小为v 2，根据x ＝v 0t ＋12at 2，得：S ＝v 1m －12am 2① S ＝v 2n －12an 2② v 2＝v 1－am③①②③联立得：v 2＝(m 2＋n 2)S(m ＋n )mn，故选C.11.(2018·山东烟台质检)如图11甲所示，A 车原来临时停在一水平路面上，B 车在后面匀速向A 车靠近，A 车司机发现后启动A 车，以A 车司机发现B 车为计时起点(t ＝0)，A 、B 两车的v －t 图象如图乙所示.已知B 车在第1s 内与A 车的距离缩短了x 1＝12m.图11(1)求B 车运动的速度v B 和A 车的加速度a 的大小.(2)若A 、B 两车不会相撞，则A 车司机发现B 车时(t ＝0)两车的距离x 0应满足什么条件？ 答案 (1)12 m/s 3 m/s 2 (2)x 0>36m解析 (1)在t 1＝1s 时A 车刚启动，两车间缩短的距离x 1＝v B t 1 代入数据解得B 车的速度v B ＝12m/s A 车的加速度a ＝v B t 2－t 1将t 2＝5s 和其余数据代入解得A 车的加速度大小a ＝3m/s 2(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v －t 图象的t 2＝5s 时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x ＝12v B (t 1＋t 2)代入数据解得x ＝36m因此，若A 、B 两车不会相撞，则两车的距离x 0应满足条件：x 0>36m.12.斜面长度为4m ，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v 0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x 与初速度二次方v 02的关系图象(即x －v 02图象)如图12所示.图12(1)求滑块下滑的加速度大小.(2)若滑块下滑的初速度为5.0m/s ，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？ 答案 (1)2m/s 2 (2)1s解析 (1)由v 02＝2ax 推知，图线斜率为12a ，根据题图可知，12a ＝1m4m 2·s －2，所以滑块下滑的加速度大小a ＝2m/s 2.(2)由题图可知，当滑块的初速度为4m/s 时，滑块刚好滑到斜面最低点，故滑块下滑的初速度为5.0 m/s 时能滑到斜面最低点.设滑块在斜面上的滑动时间为t ，则x ＝v 0t －12at 2，x ＝4m ，v 0＝5m/s ，解得t ＝1s ，t ＝4s(舍去).。
