判断向量组线性相关的方法

判断向量组线性相关性的若干方法李德琼, 谢小良, 王仲梅(湖南工商大学 数学与统计学院, 湖南 长沙 410205)摘 要: 向量组的线性相关性是线性代数理论中一个基本且重要的内容, 它与矩阵、向量空间等概念具有紧密的联系. 向量组线性相关性的判断方法是灵活多变的. 给出判断向量组线性相关性的若干方法, 并从不同的角度, 采用不同的方法判断向量组的线性相关性, 从而提高学生理解和应用知识的能力.关键词: 向量组; 线性相关; 线性无关; 判定方法中图分类号: O151.2 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2021)01-0014-03Several Methods for Linear Correlation Judgment ofVector GroupsLI Deqiong, XIE Xiaoliang, WANG Zhongmei(School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Technology and Business, Changsha 410205, China)Abstract : Linear interrelationship of a vector group is a basic and important context in linear algebra theory, and it is closely linked with matrix and vector space theory. As the methods of linear correlation judgment of a vector group are flexible and variable, several methods to solve linear correlation judgment problems are given. Moreover, based on the comparative analysis of various methods, students are able to promote and enhance comprehensive ability to solve problems.Key words : vector group; linear dependence; linear independence; judgment methods向量组的线性相关性[1~3]是线性代数学习的重点和难点, 向量组相关性的判断方法很多, 针对不同的问题可以采用不同的方法判断其线性相关性[4~6]. 本文针对向量组线性相关性的判定方法进行分析, 为广大学生学习线性代数理论提供参考.1 向量组线性相关性的定义及判断方法1.1 定义设n 维向量组为12,,,s ααα , 若存在一组不全为零的数12,,,s k k k 使得1122s 0s k k k ααα+++= , 则称向量组12,,,s ααα 是线性相关的; 若1122s 0s k k k ααα+++= 当且仅当120s k k k ==== , 则称向量组12,,,s ααα 是线性无关的.1.2 判断方法判断向量组线性相关性的常见方法有:(1) 利用定义判断(2) 利用齐次线性方程组的解判断若向量组12,,,s ααα 的分量都已知, 则可以12,,,s ααα 为系数建立齐次线性方程组11220s s x x x ααα+++= , 如果该方程组存在非零解, 则此向量组12,,,s ααα 线性相关; 反之, 若齐次线性方程组只有零解, 则此向量组线性无关.(3) 利用行列式判断当向量组中向量的个数和维数相等时, 此向量组可以构成一个方阵. 如果该方阵的行列式不等于零, 则此向量组线性无关; 反之, 线性相关.收稿日期: 2020-07-12基金项目: 湖南省教育厅优秀青年项目(19B313); 湖南省学位与研究生教育改革研究重点项目(2019JGZD077); 湖南省普通高校教学改革研究项目(HNJN-2020-0632)作者简介: 李德琼, 女，博士, 讲师. 主要研究方向: 图论及其应用第34卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.34 No.1 2021年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2021第1期 李德琼, 等: 判断向量组线性相关性的若干方法 15(4) 利用矩阵的秩判断向量组12,,,s ααα 构成一个矩阵, 对该矩阵进行初等变换, 如果矩阵的秩等于向量组中向量的个数, 则向量组线性无关; 否则, 线性相关.(5) 一些特殊的简单判断方法① 包含零向量的向量组一定线性相关.② 向量组中向量的个数大于维数时, 向量组线性相关.③ 若向量组中有一个部分组线性相关, 则该向量组线性相关; 反之, 若向量组线性无关, 则其任意的部分组都线性无关.2 向量组线性相关性判断典型例题下面举例进行详细说明.例1 判断向量组1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=, 3(0,0,1)α=, 4(1,0,1)α=的线性相关性. 解 方法一. 易知123400αααα--+=, 利用定义可知1234,,,αααα线性相关.方法二. 设未知量123,,x x x 和4x , 建立齐次线性组112233440x x x x αααα+++=, 则有124121340,0,0.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩显然, 1231,1,1,x x x ==-=-40x =是方程组的一组非零解, 故1234,,,αααα线性相关.方法三. 向量组1234,,,αααα构成矩阵12341101(,,,)11001011T T T TA αααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 对A 做初等变换将其化为阶梯形矩阵:110111011100011010110001A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以矩阵A 的秩()3R A =, 矩阵A 的秩小于向量组中向量的个数, 故向量组1234,,,αααα线性相关. 方法四. 向量组中有4个向量, 而向量的维数是3, 向量的个数大于维数, 故向量组1234,,,αααα线性相关.例2 若4维向量组1234,,,αααα线性无关, 判断向量组112223,βααβαα=+=+, 334,βαα=+441βαα=+的线性相关性.解 方法一. 设存在常数1234,,,k k k k , 使得112233440k k k k ββββ+++=, 则有141122()()k k k k αα++++ 233344()()0.k k k k αα+++= 由1234,,,αααα线性无关, 得141223340,0,0,0.k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 显然, 12341,1,1,1k k k k ==-==-是方程组的一组非零解. 因此, 向量组1234,,,ββββ线性相关.方法二. 由于1234123410011100()()01100011B AP ββββαααα⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎝⎭,16 湖南理工学院学报(自然科学版) 第34卷向量组1234,,,αααα线性无关, 故矩阵A 可逆. 而||0P =, 即矩阵P 不可逆. 于是有矩阵B 不可逆, 即矩阵B 的秩小于4, 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.从以上两道典型例题的多种解法中可以看出, 在解题过程中, 应注重知识的前后联系, 从不同角度分析比较, 选取最优解题方法.参考文献:[1] 王萼芳, 石生明. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003 [2] 张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007[3] 同济大学数学系. 工程数学线性代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007 [4] 陈雪梅. 学生怎样理解向量的线性相关性[J]. 数学教育学报, 2007, 2(16), 64~67 [5] 李晓颖. 浅谈如何判断一组向量线性相关[J]. 中国校外教育, 2012 (6): 79+131 [6] 张沛华. 判定向量组线性相关性的若干方法[J]. 教育教学论坛, 2013 (19): 167~168(上接第6页)证明 注意到关于s 的函数2(())(())a b x s b a b x s s αααααα+---+-在[,]x a b x +-上单调递减,2(())(())s a b x a b x s a s αααααα-+-+--在[,]a b x x +-上单调递增, 由推论2即可得证．参考文献:[1] Ostrowski A. 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向量组的线性相关性教案一、教学目标1. 理解向量组的线性相关的概念；2. 学会判断向量组线性相关的方法；3. 掌握向量组线性相关的性质和应用。

二、教学内容1. 向量组的线性相关的概念；2. 判断向量组线性相关的方法；3. 向量组线性相关的性质；4. 向量组线性相关的应用。

三、教学重点与难点1. 向量组的线性相关的概念及判断方法；2. 向量组线性相关的性质及其证明；3. 向量组线性相关在实际问题中的应用。

四、教学准备1. 教材或教学资源；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教学软件。

五、教学过程1. 引入：通过实例引导学生思考向量组线性相关的概念，例如在社会经济数据分析中，如何判断一组数据是否存在线性关系。

2. 讲解：向量组的线性相关的概念，解释线性相关、线性无关的定义及判断方法。

3. 演示：通过投影仪或黑板，展示向量组线性相关的性质及其证明。

4. 练习：布置一些判断向量组线性相关的题目，让学生独立完成，并解答疑问。

5. 应用：结合实际问题，讲解向量组线性相关在解决问题中的重要性，如在优化问题、线性方程组求解等方面的应用。

7. 作业：布置一些有关向量组线性相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思在课后对自己的教学过程进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了向量组线性相关的概念和方法。

如有需要，可以对教学方法进行调整，以提高教学效果。

七、教学评价通过课堂讲解、练习题和实际应用，评价学生对向量组线性相关性的理解程度和应用能力。

鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的思维能力和解决问题的能力。

八、教学拓展向量组的线性相关性在数学和其他领域有很多应用，可以引导学生进一步研究相关知识，如最小二乘法、线性规划等。

九、教学资源1. 教材或教学参考书；2. 相关学术论文或资料；3. 互联网资源。

十、教学时间根据课程安排，合理分配教学时间，确保学生充分理解向量组的线性相关性。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的案例，使学生更好地理解向量组的线性相关性。

线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。

而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。

本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。

一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。

具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。

二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。

1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。

具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。

线性相关判断方法总结定义2.1.1 线性相关、线性无关\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 是m个向量。

对于方程\lambda_1\boldsymbol\alpha_1+\lambda_2\boldsymbol\alph a_2+\cdots+\lambda_m\boldsymbol\alpha_m=\boldsymbol0 ，若其有非零解(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)\not=\boldsymbol 0 ，则称 \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m 线性相关；若其只有唯一解(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)=\boldsymbol0 ，则称\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性无关。

特别地， \boldsymbol0 向量和任意向量线性相关。

二、线性相关、无关的性质定理2.1.1\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性相关 \iff 显然，其中必有某个向量是其它向量的线性组合。

定理2.1.2\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性相关 \iff 其中必有某个向量是它前面的向量的线性组合。

推论2.1.1\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性无关 \iff 其中任何一个向量都不是它前面的向量的线性组合。

浅议向量组线性相关性的判别方法作者：王星星贾会芳来源：《速读·下旬》2017年第12期摘要：向量组的线性相关性是《线性代数》的重要内容，也是考研必不可少的一部分。

行列式的值、矩阵的初等变换、齐次线性方程组的解等理论都可用于判别向量组的线性相关性，本文总结了判别向量组线性相关性的几种方法，并给出一些典型例子。

关键词：向量组；线性相关性；判别方法向量组的线性相关性是线性代数的重要内容，它与行列式、矩阵、线性方程组的解等都有着紧密的联系。

由于其概念比较抽象，以致向量组的线性相关性判定成了一大难题。

1相关结论法下面的结论简单易懂，是判别向量组线性相关性的最直接方法。

结论1：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关。

结论2：[α1，α2]，线性相关的充要条件是[α1，α2]的分量对应成比例。

结论3：含零向量的向量组必线性相关。

结论4：若向量组[α1…，αr]线性相关，则向量组[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）线性相关；若向量组线性无关，则其任意的部分组线性无关。

结论5：当m>n时，则n维向量组[α1，α2…，αm]必线性相关；特别n+1个n维向量组必线性相关。

结论6：向量组[α1，α2…，αm]（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。

结论7：若向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置任意添加多个分量后所得向量组仍线性无关（无关组添加分量仍无关）。

例1：判别向量组[α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的线性相关性。

解：由结论5知，5个四维向量一定是线性相关的。

2定义法利用定义来判别时，只要令[k1α1+k2α2+…+kmαm=0]，如果存在不全为零的数[k1，k2…，km]使得等式成立，则向量组[α1，α2...，αm]是线性相关的，否则称它是线性无关的。

交流Experience ExchangeDI G I T C W 经验262DIGITCW2019.05定义：给定一个向量组I ，若存在m 个不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。

否则，称向量组线性无关。

等价定义：若向量组I 中至少有一个向量能由其余的向量线性表出，则该向量组线性相关。

给出任意一个向量组，判断其线性相关性，有以下几种判定方法：（1）包含零向量的向量组必线性相关。

若，则有，所以向量组线性相关。

（2）只含有一个向量的向量组线性相关该向量是零向量。

“”若，有，所以α线性相关。

“”若线性相关，则存在，使得，得到。

（3）含有两个向量的向量组线性相关它们的对应分量成比例。

“”若线性相关，存在不全为零的数，使得成立。

假设，则有，故对应分量成比例。

“”若对应分量成比例，一定存在数，使得或者，则有线性相关。

例1：对应分量不成比例，所以向量组线性无关。

（4）单位向量组必线性无关。

由于，有，所以单位向量组线性无关。

（5）向量组的向量个数>向量维数，必线性相关。

任意一个向量都可以由单位向量线性表出，即有下，又因为单位向量组是线性无关的，由等价定义可得，该向量组必线性相关。

判断一个向量组是否线性相关等价于判断一个齐次线性方程组是否有非零解，令向量组中向量的维数等于方程的个数，向量的个数等于方程中未知量的个数，即可构成一个齐次线性方程组。

例2：讨论的线性相关性。

解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组由于齐次线性方程组系数矩阵A 的秩，故该齐次线性方程组有非零解，即不全为零，所以向量组线性相关。

（6）向量组的向量个数 向量维数时，判断对应的齐次线性方程组是否有非零解，只需要根据其系数行列式和系数矩阵来判定即可，故有以下两种判定方法：方法一：以各向量为列向量组成行列式D ，方法二：以各向量为列向量组成矩阵A ，进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，例3：讨论向量组，，的线性相关性。

解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组所以向量组线性相关。

V ol .32N o.5M ay 2016赤峰学院学报(自然科学版)J our nalofChi f eng U ni ver s i t y (N at ur alSci ence Edi t i on )第32卷第5期(上)2016年5月向量组线性相关与线性无关的判定方法侯雯昕(华东师范大学经济与管理学系,上海200062)摘要:向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念,它与向量空间、子空间等概念有密切关系,同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法,包括利用线性相关性的定义、行列式的值、矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性,并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词:向量组;线性相关;线性无关;行列式;矩阵中图分类号:O 151.2文献标识码:A文章编号:1673-260X (2016)05-0004-02向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解和掌握,实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,只要掌握了线性相关的判定,线性无关的判定也就没有问题了.因此,本文主要论述了向量组的线性相关性的几种判定方法.1线性相关及相性无关的概念及性质1.1定义设有n 维向量组a 1,a 2,…,a n ,如果存在一组不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性相关;如果仅当k 1,k 2,…,k n全为0时,上式k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0才成立,则称向量组a 1,a 2,…,a n 线性无关.1.2性质由向量组的概念易知向量组的线性相关性具有以下简单性质:(1)含有零向量的向量组线性相关.(2)若单个向量a ≠0,则向量组是线性无关的;相反,则向量组线性相关.(3)含有n+1个向量的n 维向量组必定线性相关.(4)向量组中一部分向量线性相关,则该向量组线性相关;若向量组线性无关,则其任一部分向量组线性无关.因此,一个向量组不是线性相关就是线性无关,为了更好的理解线性相关和线性无关,下面列出它们之间的不同点.(1)定义不同:线性相关的向量组是,存在不全为零的一组数k 1,k 2,…,k n 使k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立而线性无关的向量组,只有当k 1=k 2=…=k n =0,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.(2)线性表示问题:线性相关向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示;而线性无关的向量中任何一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示.(3)与线性方程组的关系:若a 1,a 2…a n 线性相关,则存在不全为零的数x 1,x 2,…,x n ,使a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n=0,即[a 1,a 2,…,a n]x 1x 2x n⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0或A X =0有非零解;而线性无关,则是A x=0只有零解.由此也可以看出研究向量的线性相关与方程组有着直接的关系.2向量组线性相关性的判定2.1利用定义法判定这是判定向量组的线性相关的基本方法,即给定向量组A :a 1,a 2,…,a n 如果存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立,则称向量组A 是线性相关的.否则,如果不存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立.也就是说,只有当k 1,k 2,…,k n 全为零,才有k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0,则称向量组A 是线性无关的.例如,证明向量组β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1线性相关,则需要证明设存在4个数k 1,k 2,k 3,k 4,使得k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0.因此需将β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1代入上式有:k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α3+α4)+k 4(α4+α1)=0,即收稿日期:2016-03-234--. All Rights Reserved.(k 1+k 4)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3+(k 3+k 4)α4=0,取k 1=k 3=1,k 2=k 4=-1,则有k 1β1+k 2β2+k 3β3+k 4β4=0,由线性相关性的定义可知,向量组β1,β2,β3,β4线性相关.2.2利用齐次线性方程组的解判定对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a n ,若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0有非零解则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性相关的;若以A =[a 1,a 2,…,a n ]为系数矩阵的齐次线性方程组A X =0只有零解,则此向量组a 1,a 2,…,a n 是线性无关的.例如,判断x 1=(-1,1,1),x 2=(-2,1,2),x 3=(-1,2,-1)的线性相关性.需要令k 1x 1+k 2x 2+…+k n x n =0,即:将三组值代入后解方程组,可得k 1=0,k 2=0,k 3=0,故x 1,x 2,x 3是线性无关的.2.3利用矩阵的秩判定设向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m )的秩的大小来进行判定.(1)当R (A )=m 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的;(2)当R (A )<m 时,则向量组A :aa 1,a 2,…,a m 是线性相关的.2.4利用行列式的值来判定(1)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(a 1,a 2,…,a m ),即A 为m 阶方阵,则有:①当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当|A |=0时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.(2)若向量组A :a 1,a 2,…,a m 的个数m 与维数n 不同时,则有:①当m >n 时,则向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性相关的;②当m <n 时,转化为上述来进行判定,即选取m 个向量组成的m 维向量组,若此m 维向量组是线性相关的,则添加分量后,得到的向量组也是线性相关的.2.5利用反证法判定有些题目中,直接证明结论常常比较困难,而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义、定理、公理相悖的结果,从而说明原结论成立.例如,向量组A :a 1,a 2,…,a m 中任一向量a i 不是它前面i -1个向量的线性组合,且a i ≠0,证明向量组A :a 1,a 2,…,a m 是线性无关的.可用反证法证明,假设向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性相关,则存在不全为零的m 个数k 1,k 2,…,k m ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0.由此可知,k m =0,否则由上式可得a m =k 1k m a 1-k 2k m a 3-…-k m -1k ma m -1即a m 可由它前面m -1个向量线性表示,这与题设矛盾,因此k m =0.从而有k 1a 1+k 2a 2+…k m -1a m -1=0.同理可得k m -1=k m -2=…=k 3=k 2=0,最后得到k 1a 1=0因为a i ≠0,所以k 1=0,但这又与k 1,k 2…k m 不全为零矛盾.因此,向量组A :a 1,a 2,…,a m 线性无关.2.6利用向量组在线性空间中象的线性关系判定线性空间V 中向量组a 1,a 2,…,a r 线性相关的充要条件是它们的象σ(a 1),σ(a 2)…σ(a r )线性相关.因为由k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r =0可得k 1σ(a 1)+k 2σ(a 1)+…+k r σ(a r )=00.进而有σ(k 1a 1+k 2a 2+…+k r a r )=0.2.7利用方程组法判定方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组a 1,a 2,…,a s 线性相关的充要条件是以a 1,a 2,…,a s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组的有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线性无关.3小结本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析,并且给出了一些判定方法,由于向量组的线性相关性是线性代数中一个基础和重点的问题,仅限于这些讨论是远远不够的,还有待我们作进一步的研究.———————————————————————参考文献:〔1〕张禾瑞.郝鈵新.高等代数.高等教育出版社,2007.130-270.〔2〕杨燕新.王文斌.关于向量组线性相关的集中判定.山西农业大学学报,2005(8):292-294.〔3〕李先富.胡劲松.判断向量组线性相关性的另外一种方法.四川理工学报,2005(8):94-95.〔4〕肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法.伊犁师范学院,2008(12):58-59.5--. All Rights Reserved.。

函数线性相关与无关的判断方法
1、显式向量组：将向量按列向量构造矩阵A，对A实施初等行变换，将A化成梯矩阵，梯矩阵的非零行数即向量组的秩向量组线性相关 <=> 向量组的秩<向量组所含向量的个数。

2、隐式向量组：一般是设向量组的一个线性组合等于0，若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关，否则线性相关。

函数
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B 和对应法则f。

其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。

之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。

而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。

一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。

换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。

举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。

实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。

二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。

换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。

继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。

实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。

因此，这三个向量是线性相关的。

三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。

如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。

换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。

在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。

这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。

四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。