浅议向量组线性相关性的判别方法
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/2319382718.html, 浅议向量组线性相关性的判别方法 作者：王星星贾会芳 来源：《速读·下旬》2017年第12期 摘要：向量组的线性相关性是《线性代数》的重要内容，也是考研必不可少的一部分。 行列式的值、矩阵的初等变换、齐次线性方程组的解等理论都可用于判别向量组的线性相关性，本文总结了判别向量组线性相关性的几种方法，并给出一些典型例子。 关键词：向量组；线性相关性；判别方法 向量组的线性相关性是线性代数的重要内容，它与行列式、矩阵、线性方程组的解等都有着紧密的联系。由于其概念比较抽象，以致向量组的线性相关性判定成了一大难题。 1相关结论法 下面的结论简单易懂，是判别向量组线性相关性的最直接方法。 结论1：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关。 结论2：[α1，α2]，线性相关的充要条件是[α1，α2]的分量对应成比例。 结论3：含零向量的向量组必线性相关。 结论4：若向量组[α1…，αr]线性相关，则向量组[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）线性相关；若向量组线性无关，则其任意的部分组线性无关。 结论5：当m>n时，则n维向量组[α1，α2…，αm]必线性相关；特别n+1个n维向量组必线性相关。 结论6：向量组[α1，α2…，αm]（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 结论7：若向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置任意添加多个分量后所得向量组仍线性无关（无关组添加分量仍无关）。 例1：判别向量组 [α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的线性相关性。
浅谈向量组的线性相关性及判别方法
浅谈向量组的线性相关性及判别方法作者：杨付贵 来源：《科学导报·学术》2020年第27期
摘要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。 关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换 一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理 1. 向量组的线性相关性的定义 定义1：如果向量组中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。 定义2：如果存在一组不全为零的数，使得， 则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
注：定义1表明，所谓向量组线性相关，是指向量组中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。 2. 向量组的线性相关性的性质 （1）如果向量组中只有一个向量，则当时，线性相关，当时，线性无关。 （2）如果向量组中有两个向量，则线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 （3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。 （4）维基本单位向量组线性无关。 3.向量组的线性相关性的判别定理 （1）向量组线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）（其中）。 （2）。 （3）如果线性相关，而线性无关，则可以由线性表示，且表示式是唯一的。 （4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。 简称为部分相关，整体相关;而整体无关，则部分无关。 （5）设，则 线性无关，则线性无关。简称为低维無关，高维无关。而高维相关，低维相关。 （6）设向量组（I）和（II），如果（I）可以由（II）线性表示，且，则线性相关;如果线性无关，则。 （7）向量个数大于维数的向量组必线性相关。 二.判别“具体”的向量组的线性相关性常用的方法
向量的线性关系
向量的线性关系 基本概念 1 n 个数12,,,n a a a 构成的有序数组（12,,,n a a a ）称为一个n 维向量。可表示为 （12,,,n a a a ）或 12 n a a a ?? ? ? ? ? ??? 。 2 设, α12,,,s ααα 都是n 维向量，如果有数12,,,s λλλ ，使得 1122s s αλαλαλα=+++ 则称向量α可由向量12,,,s ααα 线性表示。也称α是12,,,s ααα 的线性组合。 3 设, α12,,,s ααα 都是n 维向量，如果有不全为零的数12,,,n k k k 使得 11220s s k k k ααα+++= 则称向量组12,,,s ααα 线性相关；否则称向量组12,,,s ααα 线性无关。 即当命题“若有11220s s k k k ααα+++= ，则12,,,n k k k 必全为零。”成立时称向量组12,,,s ααα 线性无关。 向量间的线性组合，线性相关，线性无关这三种关系统称为向量间的线性关系。 主要结论 1 一组向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 2 如果向量组12,,,s ααα 线性无关，而,α12,,,s ααα 线性相关，则α必可唯一地 表示为12,,,s ααα 的线性组合。 3 线性相关向量组的扩大组仍线性相关；线性无关向量组的部分组仍线性无关。 4 设一r 维向量组的每个向量都添加n r -个分量后成为n 维向量。那么有：若r 维向量组线性无关，则n 维向量组也线性无关；若n 维向量组线性相关，则r 维向量组也线性相关。 5 n 个n 维向量12,,,n ααα 线性相关的充要条件是120n ααα= ；n 个n 维 向量12,,,n ααα 线性无关的充要条件是120n ααα≠ 。 6 设向量组12,,,s ααα 线性无关，
向量组线性相关性判定
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法
（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个 数i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β ∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ + 则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示. 注1任一个n 维向量12 n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 都可由n 维单位向量组12,, ,n e e e 线性表示: 1122n n a a a a e e e =++ + . 注2向量b 可由向量组A :12,, ,n a a a 线性表示（充要条件）
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合; 备注1按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;这样的表 示是有好处的; 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示; 1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;因此,b 可由 12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅; 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示; 如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的; 向量组等价的性质： 1 自反性 任何一个向量组都与自身等价; 2 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价;
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法 向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念。判断向量组是否线性相关的方法有很多。下面将介绍几种常见的判断方法。 方法一：线性组合法 设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，若存在一组不全为0的系数c1,c2,…,cn，使得c1v1+c2v2+…+cnvn=0，则向量组V是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。这个方法主要是利用了线性组合的概念，通过求解线性方程组的方法来判断向量组的线性相关性。 方法二：行列式法 将n个向量作为列向量排列成一个n×n的矩阵A，即 A=[v1,v2,…,vn]，计算矩阵A的行列式det(A)。若det(A)=0，则向量组V是线性相关的；若det(A)≠0，则向量组V是线性无关的。这个方法主要是利用了行列式的性质，当行列式为0时，表示该矩阵的行（或列）向量线性相关。 方法三：秩的概念 定义矩阵A=[v1,v2,…,vn]，将矩阵A进行高斯消元或初等变换，得到阶梯形矩阵B。如果B的主对角线上所有元素都不为0，那么向量组V 是线性无关的；如果B的主对角线上有一个元素为0，那么向量组V是线性相关的。这个方法主要是利用了矩阵的秩的概念，即矩阵的秩等于阶梯形矩阵的主对角线上非零元素的个数。 方法四：向量的线性组合关系
设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果存在一个向量vi （i从2到n），可以由剩余的n-1个向量线性表出，即vi可以表示为其他向量的线性组合，那么向量组V是线性相关的；如果任意一个向量都不能由剩余的其他向量线性表出，那么向量组V是线性无关的。这个方法是一种直观的判断方法，通过观察向量之间的线性组合关系来判断向量组的线性相关性。 方法五：向量的长度关系 设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果向量v1的长度大于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性无关的；如果向量v1的长度小于等于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性相关的。这个方法利用了欧几里得空间中向量的长度关系。 综上所述，判断向量组线性相关的方法有线性组合法、行列式法、秩的概念、向量的线性组合关系以及向量的长度关系等。在实际应用中，可以综合运用这些方法来判断向量组的线性相关性。
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性 1.1向量组的线性相关性的概念与判定 1.1.1向量组的线性相关性概念 定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=???,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ???,使 11220m m k k k ααα++???+= 则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的. 定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价. 性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性. 定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由 11220s s k k k ααα+++= ， 则必021====s k k k 。即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解. 定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关. 定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数. 性质：1.向量组{ }r αα,,1 线性无关?{}r αα,,1 秩r =. 向量组{ }r αα,,1 线性相关?{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα???线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用 摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。 关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵 一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念 1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量 空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为 向量组12,, s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。特 别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义: 定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得 1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组 12,,s ααα线性无关 。即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++ = 0 ,就称为 线性无关。 定义2：对于向量组12,, s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得 1122s s k k k ααα++=β 则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合 二． 关于线性相关性的几种判定 1. 利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用 的一种方法。具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++ = 0 ,其中12,s k k k 为常数; ⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12 ,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全
向量组线性相关性判定
向量组线性相关性判定
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：
如果向量组A 中有某个向量(不妨设m a )能由其余1m -个向量线性表示, 即有 121,,,,m λλλ-使112211,m m m a a a a λλλ--=++ 于是112211(1)a 0.m m m a a a λλλ--+++-= 因为121,, ,,1m λλλ--不全为0, 所以向量组A 线性相关. 反过来，如果向量组A 线性相关，则有11220,m m k a k a k a +++= 其中12,k ,,k m k 不全为0, 不妨设10k ≠, 于是12211()(k ),m m a a k a k =-+ + 即1a 能由2, ,a m a 线性表示. 例2 判断向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)ααα=-=-=--是否线性相关. 解：可取123,,χχχ为未知数，建立下列方程式 1122330,χαχαχα++= 看它是否有123,,χχχ的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组 123123 1231232420,20,3540,40. χχχχχχχχχχχχ++=⎧⎪---=⎪⎨ ++=⎪⎪+-=⎩ 前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故123,,ααα线性相关.特别的一组解，可取为 123(,,)(3,1,1),χχχ=--即12330ααα--=或3123.ααα=- 定理2向量组12a ,a , ,a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵12(a ,a ,)m A a =的秩 小于向量个数m ; 向量组线性无关的充分必要条件是(A)m R = 这是因为, 向量组12:a ,a , ,a m A 线性相关11220m m x a x a x a ⇔++ += 即Ax =0有非零解 (A)m.R ⇔< 向量组12a ,a ,,a m 线性无关12(a ,a ,,a )m.m R ⇔= 例3 证明n 维单位坐标向量组12(1,0,,0),e (0,1, ,0), ,e (0,0, ,1)T T T n e ===线性无关. 证明 我们直接利用定义证明.如果存在一组数12,k , ,k ,n k 使得
线性相关定义
线性相关是一个数学学科里用的一个术语。 线性数学术语的描述：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。 例如：在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。 定义：在向量空间V的一组向量A: ，如果存在不全为零的数
k1, k2, ···,km , 使 则称向量组A是线性相关的，否则数k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。 由此定义看出是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而线性相关。 注意事项：
1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。 2、向量组织包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a ≠0, 则说A线性无关。 3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。 4、含有相同向量的向量组必线性相关。 5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】 6、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】
线性相关的证明的方法
线性相关的证明的方法 1.0αα=⇔线性相关 2.α与β的对应分量成比例⇔α与β线性相关 3.含零向量的向量组线性相关 4.向量组12,,,n ααα⋯(M ≥2)线性相关⇔该组中至少有一个向量可由其余的m-1向量线性表示 5.部分线性相关则整体线性相关 6.设向量组12,,,n ααα⋯可由向量组12,,,n βββ⋯线性表示 （1）如果r>s,则12,,n ααα⋯线性相关 （2）如果12,,n ααα⋯线性无关，则r
例3.1.1判断β能否由1234,,,αααα线性表示，若可以，给出线性表示式。其中1,2,1,1β=()，11,1,1,1α=()， 21,1,-1,-1α=()， 31,-1,1,-1α=()， 41,-1,-1,1α=()。 解：考虑1234,,,αααα为系数列向量，β为常数列向量的非其次线性方程组 1234123 12341234+++=1,+4=2,+=1,+=1. X X X X ⎧⎪X X X X ⎪⎨ X X X X ⎪⎪X X X X ⎩－－－－－－ 易求得1234-16,-20,D -4,4, 4.D D D D =====由克拉默法则，得到上述方程组的唯一解 为1X =1D D ＝542X ＝2D D ＝1 4 3X ＝3D D ＝—14 4X ＝4D D ＝—1 4 故β＝12345111 +4444 αααα－－ 例 3.1.3 设向量组 1,2s ααα，，，（s ≥2）线性相关，且 1122231=+,=+,,=+,s s βααβααβαα讨论向量组12,, s βββ的线性相 关性。 证明 设1122++ +=0,s s βββK K K 即 ()()()1122231++++++=0,s s ααααααK K K 亦即 ()()()11122-1++++++=0.s s s s αααK K K K K K 由题设12,, ,s ααα线性无关，可知必有
向量组线性相关与线性无关
向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21Λ都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,L m k k k ,使0332211=++++m m k k k k ααααΛ则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12,L m k k k ，使
因此()n i kb a i i Λ2,1==. 也就是说i a 与()n i b i Λ2,1=成比例. 反过来，若()n i kb a i i Λ2,1==，0=-βαk ，所以,αβ线性相关. 3.2 多个向量的线性相关与线性无关判别方法 命题3 若向量组m ααα,,,21Λ线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明 设m ααα,,,21Λ线性相关， s m m m ++ααααα,,,,,,121ΛΛ是包含m ααα,,,21Λ的一组向量，由于m ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组不全为零的数12,L m k k k 使得 0332211=++++m m k k k k ααααΛ此时有 0001332211=+++++++++s m m m m k k k k ααααααΛΛ, 因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121ΛΛ线性相关.证毕. 由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例 的两向量，那么这个向量组必定线性相关. 命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关. 3.2.1 运用定义判定 由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关. 例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,,Λ，证明，当m 为偶数时， 123,,,m ββββL 线性相关. 证明 令1122330ββββ+++=L m m k k k k ，即 ()()()0 1322211=++++++a a k a a k a a k m m Λ， 又即 ()()()0 121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k Λ， 取 1 ,142131-========-m m k k k k k k ΛΛ， 则有 0332211=++++m m k k k k ββββΛ. 由线性相关的定义知，m βββ,,,21Λ线性相关.
