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数学考研必备知识点线性代数的重点章节解析一、引言线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域的科学研究和工程实践中。
作为数学考研的一门必备知识，掌握线性代数的重点章节非常关键。
本文将对数学考研必备知识点线性代数的重点章节进行解析，帮助考生全面理解和掌握这些内容。
二、向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的加法、数乘和向量空间的性质等。
重点章节有：1. 线性相关性与线性无关性：讨论向量组的线性相关性与线性无关性，以及线性相关性的判定方法。
2. 向量空间的维数：介绍向量空间的维数概念及其性质，以及维数的计算方法。
3. 基与坐标：介绍向量空间的一组基及其坐标表示方法，以及基的变换与坐标的变换关系。
三、线性映射与线性变换线性映射与线性变换是线性代数的重要内容，涉及到线性变换的性质、线性变换的表示矩阵和线性映射的核与像等。
重点章节有：1. 线性变换与矩阵：介绍线性变换的定义和性质，并探究线性变换的代数表示——矩阵。
2. 线性变换的核与像：讨论线性变换的核与像的概念，以及它们的性质和计算方法。
3. 线性变换的合成与逆变换：研究线性变换的合成和逆变换的概念与性质，以及相应的计算方法。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，用于研究线性变换的本质特性。
重点章节有：1. 特征值与特征向量的定义：介绍特征值与特征向量的定义及其性质。
2. 特征值与特征向量的计算：探究特征值与特征向量的计算方法和求解步骤。
3. 对角化与相似矩阵：讨论矩阵的对角化概念及其条件，以及相似矩阵的性质和计算方法。
五、内积空间与正交变换内积空间与正交变换是线性代数的重要分支，包括内积空间的定义与性质、正交变换的概念与性质等。
重点章节有：1. 内积空间的定义与性质：介绍内积空间的定义和性质，包括内积的性质和内积空间的几何解释。
2. 正交向量与正交子空间：研究正交向量和正交子空间的概念、性质及其计算方法。
3. 正交变换与正交矩阵：探究正交变换的定义和性质，以及正交变换的矩阵表示——正交矩阵。
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。
2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。
3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。
4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。
5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。
6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。
8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。
9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。
二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。
否则称为线性无关。
2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。
b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。
c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。
3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。
4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。
5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。
6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。
知识点4 向量的线性相关性
1、 向量组的线性相关性 1）.向量组线性相关的概念 定义： 给定向量组12,,
,:m a a a A ,若存在不全为零的数12,,
,m k k k ,使
11220m m k k k ααα+++=
则称向量组A 是线性相关的.否则称它为线性无关.
注1 向量组1,
,m a a 线性无关 ⇔ 10n λλ===时,才有11220n n λαλαλα+++=.
注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.
注3 只含一个向量a 的向量组,若0a =,则它线性相关;若0a ≠,则它线性无关. 注4 任一含有零向量的向量组线性相关.
注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.
注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.
2）.向量组线性相关的条件 定理1 向量组12,,
,m ααα线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵
12(,,,)m =A ααα的秩小于向量的个数m （()R m <A ）；向量组12,,
,m ααα线性无关
的充分必要条件是它所构成的矩阵12(,,,)m =A ααα的秩等于向量的个数m
（()R m =A ）. 可以总结为： 向量组12,,
,:m a a a A 线性相关
⇔有不全为零的数12,,
,m k k k 使11220m m k k k ααα++
+=.
⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解.
⇔()R A m < ,其中12,,
,()m a a a A =.
向量组12,,
,:m a a a A 线性无关
⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=只有零解.
⇔()R A m = ,其中12,,
,()m a a a A =.
推论1 m 个m 维向量组12,,
,m a a a 线性相关⇔0A = ,其中12,,
,()m a a a A =.
例1 证明n 维单位坐标向量组12100010,,
,001n e e e ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性无关.
证法一 设11220n n k e k e k e +++=,则由121122000n n n k k k e k e k e k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
++
+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭知,10n k k ===,故n 维单位向量组12,,,n e e e 线性无关.
证法二
12100010(,,
,)001n A e e e ⎛⎫ ⎪
⎪== ⎪
⎪⎝⎭
()R A n ∴=
∴ n 维单位向量组12,,
,n e e e 线性无关.
例2 已知123102124157a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关
性.
解
123102102(,,)124~022157000A a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12123(,)(,,)2R a a R a a a ∴==
∴ 向量组向量组123,,a a a 线性相关,而向量组12,a a 的线性无关.
例3 设向量组123,,a a a 线性无关,112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+,讨论向量组
123,,b b b 的线性相关性.
解法一 设存在123,,x x x 使1122330x b x b x b ++=,即
112223331()()0,x x x αααααα+++++=（）
亦即 131122233)()()0. x x x x x x ααα+++++=（
123ααα，，线性无关
131223
000x x x x x x +=⎧⎪
∴+=⎨⎪+=⎩ (1)
10111020011
=≠ ∴ 方程组(1)只有零解1230x x x === ∴ 向量组123,,b b b 线性无关.
解法二 记123123101(,,),(,,),110011A a a a B b b b K ⎛⎫
⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭
123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
B AK ∴=
20K =≠ ()()R A R B ∴=
向量组123,,a a a 线性无关 ()3R A ∴= ()3R B ∴=
∴ 向量组123,,b b b 线性无关.
2. 向量组线性相关的性质 性质1 向量组12,,,:(1)m a a a A m >线性相关⇔A 中至少有一个向量可由其余向量线性表示.
证明 设向量组12,,
,:m a a a A 线性相关,则有不全为零的数12,,
,m k k k 使
11220m m k k k ααα+++=
不妨设10k ≠,则23123111m m k k k k k k αααα⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,即1a 可由2,,m a a 线性表
示;
反之,设向量组A 中有一个向量可由其余1m -个向量线性表示,不妨设为m a ,则存在实数
121,,,m λλλ-使 112211m m m a λαλαλα--=+++,故
()11221110m m m a λαλαλα--++
++-=.因为121,,
,,1m λλλ-- 这m 个数不全为零,所
以向量组A 线性相关. 性质2 若向量组12,,,:m a a a A 线性相关,则向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性相关;反之, 若向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性无关,则向量组12,,
,:m a a a A 也线性无关.
注1 性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关.
证明 记12,,
,()m a a a A =11,,(,)m m a a a B +=,则()()1R B R A ≤+.由于若向量组A 线
性相关,故()R A m <,于是()()11R B R A m ≤+<+,从而向量组B 线性相关.
性质3 若n 维向量组11121212221212,,:,m m m n n nm a a a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
线性无关,则n s +维向量组
111212122212121112112,
,:,m m m n n nm m s s sm a a a a a a B b a b a b a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
也线性无关. 注2 性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关.
证明 记12,,
,()m a a a A =,12,,
(,)m B b b b =,则()()R A R B m ≤≤.由于向量组A 线性
无关,故()R A m =,于是()R B m =,从而向量组B 线性无关. 性质4 当m n >时,m 个n 维向量线性相关.
注3 性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关. 证明 记m 个n 维向量12,,,m a a a 构成矩阵12,,
,()m m n a a a A ⨯=,则()R A n m ≤<,故向
量组 12,,
,m a a a 线性相关.
性质5 若向量组12,,,:m a a a A 线性无关,而向量组12,,,:,m a a a B b 线性相关,则向量b
可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.
证明 记12,,
,()m a a a A =1,,(,)m a a B b =.
由于向量组A 线性无关,故()R A m =,又()()R B R A m ≥=; 由向量组B 线性相关知()1R B m <+.于是()1m R B m ≤<+,
所以()()R A R B m ==,方程组Ax b =有唯一解.这表明向量b 可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.
例4 设向量组123,,a a a 线性相关,而向量组234,,a a a 线性无关,证明
(1) 1a 能由23,a a 线性表示; (2) 4a 不能由123,,a a a 线性表示. 证明 (1) 向量组234,,a a a 线性无关 ∴ 向量组23,a a 线性无关 又
向量组123,,a a a 线性相关
∴ 1a 能由23,a a 线性表示
(2) 假设4a 能由123,,a a a 线性表示,由于1a 能由23,a a 线性表示,故设4a 能由23,a a 线性表示,矛盾.。
