三个向量组线性相关的充要条件

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。

向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。

第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。

这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。

去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。

（3 ）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。

为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。

通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。

定义理解中的误区：（1 ）定义中的系数是独立的，（2 ）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（ 3 ）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。

列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。

重点是列向量组表示的矩阵形式（4 ）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。

用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。

（5 ）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。

矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。

掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。

向量的线性相关性及其应用摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。

向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。

文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。

同时给出了线性相关性的一些应用。

关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量空间中向量之间的关系。

在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。

所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。

特别地,零向量是任一向量组的线性组合。

于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组12,,s ααα线性无关 。

即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为线性无关。

定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得1122s s k k k ααα++=β则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合二． 关于线性相关性的几种判定1.利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用的一种方法。

具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数;⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。

证明向量组a1a2a3线性相关的充要条件向量组a1a2a3线性相关即指a1，a2，a3是张成直线的，其满足如下的充要条件：1. 线性组合。

a1，a2，a3可用常数α1, α2, α3表示，称α1a1+α2a2+α3a3为a1，a2，a3的线性组合。

2. 非零系数。

要使向量组a1，a2，a3张成直线，α1, α2, α3其中至少有一个不为0。

3. 等式成立。

α1a1+α2a2+α3a3=0。

4. a1, a2, a3均不能为零向量。

若现有向量a1，a2，a3，要判断它们是否线性相关，首先要检验以上4个条件中的前三条，满足则可以令α1a1+α2a2+α3a3=0：1. 首先，检测a1，a2，a3的线性组合。

当α1=1，α2=2，α3=3时，可以令α1a1+α2a2+α3a3=7a1+14a2+21a3=0。

所以，a1，a2，a3的线性组合是存在的。

2. 检验α1, α2, α3其中至少有一个不为0，α1，α2，α3均不为0，所以此条件也满足。

3. 检查等式成立。

α1a1+α2a2+α3a3=7a1+14a2+21a3=0，说明此条件也成立。

4. 最后，检测a1，a2，a3均不能为零向量，其中a1=(3,1),a2=(5,2),a3=(7,3)。

此三向量显然均不为零向量，所以最后一个条件也满足了。

综上所述，经过检测，现有的向量a1，a2，a3满足向量组a1a2a3线性相关的充要条件，他们张成了一条直线。

回顾一下我们判断a1，a2，a3线性相关的充要条件，有4个条件：线性组合，非零系数，等式成立，向量均不能为零向量，当考虑到这4个条件时，就可以验证向量组a1a2a3的线性相关性，并作出正确的判断。

综上所述，尽管向量a1，a2，a3线性相关的定义比较抽象，但只要我们能正确理解和掌握其中的4个充要条件，就可以很容易地验证向量组a1a2a3的线性相关性，从而为我们求解数学问题提供有效的依据。

两向量线性相关的充要条件
两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关；三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关；对于s个向量而言，其线性相关的充要条件是：存在s个常数，使得以此s 个常数为系数的该组向量的代数和等于零。

线性相关的定理
1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n 个向量中的一个为其余(n-1)个向量的
线性组合。

2.向量线性相关的充分条件是它是零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。

（个数大于维数必相关）
示例
向量组α1～αs中有一零向量是向量组线性相关的充分条件，不是必要条件。

向量组α1～αs线性相关的充要条件是存在5个不全为0的数k1,k2,k3,k4,k5,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4+k5α5=0。