3-2向量组的线性关系

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3-2_向量与向量组的线性组合

单位向量组 ε 1 = (1,0 , L ,0 ), ε 2 = ( 0 ,1, L ,0 ), L
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量判断
若(A)、(B)为列向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和向量组, 因因对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示若A组中的每一个向量都能由向量组线性表示组中的每一个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组A可由线性表示. 可由B线性表示则称向量组可由线性表示

3-2-1 向量组的线性相关性

第二节向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
全为零的数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关（向量）组，简称无关组
其中p为实数。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试证向量组1 , 2 , 3
线性无关。
证设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构

32向量组的线性相关与线性无关(二)详解

解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关

3-2向量组的线性相关与线性无关

的线性组合解设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得
β = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4
即
1 1 1 1 1 2 1 1 −1 =x +x −1 + x3 + x4 1 2 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
亦即（ x1 + x 3 )α 1 + ( x1 + x 2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0, 线性无关，因 α 1，α 2，α 3 线性无关，故有
x 1 + x 3 = 0, x 1 + x 2 = 0, x + x = 0. 2 3
1 0 1 由于 1 1 0 = 2 ≠ 0 0 1 1
全为零的数 k1 , k 2 ,L , k m 使 r r r r k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．是线性相关的，否则称它线性无关． 1. α 1 , α 2 , L , α n 线性无关 ⇔ 只有当 k1 = L = k n = 0时 ,
才有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线性无关就是线性相关 .
3.向量组只包含一个向量α 时, 若α = 0 则 α 线性相关, 若α ≠ 0, 则 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例 .

3-2向量的线性相关性

T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２设有两个向量组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组中的每个向量都能向量组线性表示，则由 A 称向量组能由向量组线性表示. 若向量组与向 B A A 量组B能相互线性表示，则这两个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn

3-2-2向量组的线性相关性的判定

a11k1 a12 k2 a1s k s 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2s s a k a k a k 0 ns s n1 1 n 2 2 b1k1 b2 k2 bs k s 0
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0

3.2向量3-3向量组的线性相关性

b11 b12 b1n
（c1,c2,,cn)（1,2,,s)b21
b22
b2n
bs1 ks2 ksn
线性代数课件 hty
19
同时C的，行向量B组的能行由向量组,线 A 性为这一表示的：系数矩阵
1T 2T mT
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
线性代数课件 hty
5
解析几何
三、向量空间
向量
(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象：可随意平行移动的有向线段
标
代数形象：向量的坐标表示式
系 aT(a 1,a2, ,an)
线性代数课件 hty
6
解析几何
线性代数课件 hty
22
五、线性相关性的概念
定义３给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零k1,的 k2, 数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2, ,n线性无 ,则关只有 1 n 0时 ,才有
类似，A 若经矩初阵等列B变，A 换则的变列向量 B的组列与向量 . 组等价
线性代数课件 hty
21
对方程组A的各个方程做线性运所算得到的一个方程就称为方程A组的一个线性组合；若方程组B的每个方程都是方程A组的线性组合，就称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就这称两个方程组等价，等价的方程组一定同.解
线性代数课件 hty
13
定义１给定向 A:量 1,2, 组 ,m ，对于任

3-2 向量组的秩和最大无关组

R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),

3-2 向量组的线性相关性

回
一、解的判定定理二、方程组的求解
顾
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结束
第二节向量组的线性相关性
• • • • 一、n 维向量的定义及线性运算二、向量组的线性相关性的定义三、向量组的线性相关性的判定四、向量组的线性相关性的系列性质
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即
x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0. 因为a1, a2, a3线性无关, 故有
x1+ x3 =0 x1+ x2 =0 . x2 + x3 =0
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1 2 4 1 2 4 r 1 0 2 r r 0 −5 −5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 , ~0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0 0 所以R(a1, a2, b1)=R(a1, α2), 从而方程组有解, 即b1可由a1, a2线性表示, 且存在x1=2, x2=1, 使2a1+a2=b1. 定理1 定理向量b能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am)与矩阵B=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am, b)的秩相等, 即R(A)=R(B). 1 2 4 2 −1 3 T T T (a1 , a2 , b ) = 1 −1 1 −1 3 1 11
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关, b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证向量组b1, b2, b3线性无关. 证法二把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

线性代数3-2

1 , 2 ,, m 线性表示，且表示式是唯一的.
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关；整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.

m

am1
am 2
a1 s

1

a2 s

2

ams

s

⑶传递性若A组与B组等价，B组与C组等价，则A组与C组等价.
证（不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1，使得 A=K1B，B=T1A，又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ，使得 B=K2C，C=T2B，于是有 A= K1K2C，C=T2T1A，即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,

s
)

b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n

bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A

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19
是否线性相关。因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，几何上说向量共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组取数必有则此向量组必定线性相关。中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关：线性相关。方程组有非零解，则称向量组方程组只有零解，则称向量组线性无关。下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关（无关）有非零解（只有零解））秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时，此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0，线性相关.
则
41
向量这说明
可由
线性表示，线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量组的一种属性，称为向量组的线性相关性。
42
定理6
线性相关，则证明: 因为
使由①，可由代入上式，可由线性无关相矛盾。
45
线性表示，与线性表示，
，
性质
A为
阵，经过有限次的初等行变换为B
则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。证明: 设则
存在P可逆，使 PA=B
作业 P123 2(1); 3 ;5(2)(3); 8
46
38
例11.已知
线性无关，证明线性相关。使得
证明: 设存在数
即已知线性无关，只有
不全为零，故向量组线性相关。
39
线性相关其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
定理5
证明: 必要性：不全为0的数不妨设
，则
线性相关，则存在一组使
即
是
的线性组合.
40
充分性：因
中至少有一个向量是其余是其余向量的线性向量的线性组合，不妨设使
已知
解: 设有数
使得
27
即
有
得同解方程组
28
得同解方程组
令由
（k 为任意实数）
得
此向量组线性相关。
R(A) 3 4(未知数个数n ),
方程组有非零解，此向量组线性相关。
29
小结用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。首先设有数使得
24
已知
若
线性无关，则即：原来无关，延长无关！原来相关，缩短相关！
线性无关。
则1 , 2 ,, m 线性相关。若 1 , 2 ,, m 线性相关，
25
证明：假设的数
线性相关，则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
26
三、向量组线性相关性的判别下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别例7. 判别下列向量组的线性相关性
成立，则称向量组线性相关。否则称线性无关。若线性无关，则对任意不全为0的数，都有即当且仅当时，式才成立。而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式成立。成立外还能找到不全为0的数使等式
17
例4. 已知
判别解: 即线性相关。特别当向量组只含一个向量时，当当为线性相关向量组; 为线性无关向量组.
第二节向量间的线性关系
一、线性组合与线性表示
第三章
二、线性相关与线性无关的概念三、向量组线性相关性设有n维向量组如果存在一组数
是向量组称
则称
的线性组合; 为组合系数.
若向量
可以由向量组
的线性
组合来表示，即存在一组数
使得
称
可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
9
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
例2.
已知
问是否可由就写出表达式. 解: 设有数使
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断是否为向量组
的线性组合？
解: 设对矩阵
14
引例设由三维向量
观察三个向量之间的关系，有组成的向量组，又可以写成
16
二、线性相关与线性无关的概念定义1 设为m 个n 维向量组，使如果存在一组不全为0的数，
定理4
32
例8. 判断的线性相关性. 解:
，
，
，
，
33
1 2 0 4 0 4 0 3
1 2 0 1 0 2 1 3 0 4 5 1 0 1 1 0
0 1 2 6 5 1 3 0
线性相关.
线性无关，
可由A线性表示且表法唯一。
线性相关，成立。线性无关，必定
则存在一组不全为零的数使由于故
，
43
又设两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关，必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组线性相关，线性无关。线性表示；证明 ① 可由线性表示。 ② 不可由证明: ① 线性无关，线性无关，故可由线性表示。线性表示，即存在 ②假设可由
观察三个向量之间的关系，有组成的向量组，
我们称
也称
是可由
和
的线性组合。
和
线性表示。
3
任一n 维向量
都可由n维单位向量组,
,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量，都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量，也不能由其他向量线性表示。它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
6
设
即
=
+
+
（ 1）
7
定理1 设
可由其中
是为 n维列向量组，线性表示有解
O 01 0 2 0 m (2)向量组 1 , 2 ,, m 中每个向量都可由向量组本身线性表示，i 1,2,, m i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
34
例9. 判断下列向量组的线性相关性
解:
线性无关.
35
解:
线性相关.
36
2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别
判别方法：利用相关性的定义和反证法判别。
37
例10. 设向量组也线性无关。证明: 设存在数即整理得因为向量组
线性无关，试证向量组
使得
线性无关，所以必有
方程组只有零解，从而线性无关。
22
定理2.
线性相关
线性相关. 即如果部分组线性相关，则整体组也线性相关。证明: 因为线性相关则存在一组不全为0的数使
成立，因此有其中不全为零。线性相关。
部分相关，整体相关！
23
定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。利用定理2，用反证法。整体无关，部分无关！定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间的关系。