向量组a1a2a3a4线性相关

第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。

线性代数全真模拟试卷第一题 选择题1、已知行列式22221111b a b a b a b a -+-+=4，则2211b a b a =（ ）A 、2B 、4C 、-4D 、-22、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+03,02,022132132132x x x x x x x x x λ有非零解，则λ=（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23、设A 是n 阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ） A 、A+A TB 、AA TC 、A-A TD 、21（A+A T） 4、设ABC 均为n 阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ） A 、ABC=E B 、BAC=E C 、BCA=E D 、CBA=E5、设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ） A 、a1必可由a2，a3线性表示 B 、a2必可由a3，a4线性表示 C 、a3必可由a2，a4线性表示 D 、a4必可由a2，a3线性表示6、向量组a 1,a 2…，a s 的秩为s 的充要条件为（ ）A 、此向量组中不含零向量B 、此向量组中没有两个向量的对应分量成比例C 、此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示D 、此向量组线性无关7、设A 为m*n 矩阵，且任何n 维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ） A 、A=0B 、r （A ）=mC 、r （A ）=nD 、0<r （A ）<n8、设三元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为1η=（2,0,3），2η=（1，-1，2）T,r （A ）=2，则此线性方程组的通解为（ ） A 、k1（2,0,3）T+k2（1，-1,2）TB 、（2,0,3）T+k （1,1,1）TC 、（2,0,3）T+k （1，-1,2）TD 、（2,0,3）T+k （3，-1,5）T9、下列命题正确的是（ ）A 、两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1B 、两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵C 、两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵D 、特征值为1的矩阵就是正交矩阵10、设A 为n 阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。

行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 正 号。

2．排列45312的逆序数为 8 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 -11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 -5 。

6．计算00000d c ba = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102---解：381141102---=（-4）⨯221+-（）2111= -42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i 和j 等于5或8。

（1）当i =5，j =8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。

（2）当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。

所以当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。

3．(7分)已知0010413≠xx x ，求x 的值．解：D =314010xx x=2x （x -2） 当x =0或x =2时，D=0，所以，当x 0≠或2x ≠时，0010413≠xx x4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解： D=1111111λλ=2(1)λ-如果方程组有非零解，则D =0，即1λ=。

5．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：计算行列式D =124512270311=-≠- 131242912811011D ==--2131452921083101D ==- 3124512135311D ==--所以：13D x D ==，24Dy D ==，35D z D== 矩阵部分填空题1．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453641126= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---126641453 2．已知矩阵A=（1，2，3），则=A A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 3．若4阶方阵A 的行列式|A|=2，则|A 3|= 8 。

真题考试：2021 线性代数（经管类）真题及答案(2)1、某公司为了解员工对培训计划的意见与建议，负责培训工作的王总在办公室单独和员工小王进行了沟通。

该沟通方式属于（单选题）A. 面谈沟通B. 会议沟通C. 书面报告D. 非正式沟通试题答案：A2、设齐次线性方程组有非零解，则数k=（单选题）A. -2B. -1C. 1D. 2试题答案：D3、（单选题）A. -2B. -1C. 1D. 2试题答案：B4、《香市》一文，用来加以对比的主要内容是（单选题）A. 农民与商人B. 南阳武术班与打拳卖膏药的C. 今与昔D. 衙门与戏台试题答案：C5、设3阶实对称矩阵A的秩为2.则A的特征值λ=0的重数为（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：B6、以完成某项或某些实际工作任务为基础，通过活动观察被试者实际管理能力的测评方式是 ( ) （单选题）A. 管理游戏B. 小组讨论C. 文件筐测验D. 能力倾向测验试题答案：A7、下列《五代史伶官传序》语句中，属于分论点的有（多选题）A. 盛衰之理，虽曰天命，岂非人事哉B. 《书》日：“满招损谦得益。

”C. 忧劳可以兴国，逸豫可以亡身D. 夫祸患常积予忽微，两智勇多匿子所溺E. 抑本其成败之迹，丽皆自于人欤试题答案：C,D8、《雨巷》中，“丁香姑娘”的象征内涵有（多选题）A. 梦中情人B. 革命C. 江南风景D. 理想E. 美试题答案：A,B,D,E9、《苦恼》中姚纳最想倾诉的苦恼是（单选题）A. 寒夜中难赚到钱B. 载客常挨打挨骂C. 儿子不幸去世D. 小母马体弱难行试题答案：C10、下列不属于西方法律传统的是（多选题）A. 德治传统B. 法治传统C. 权利文化D. 耗法文化E. 政法合一试题答案：A,D,E11、下列语句中，通过语言描写，“以外显内”，进行心理刻画的有（多选题）A. 黛玉一闻此言，方想起昨日的话来。

今日原自己说错了，又是急，又是愧B. 叹一口气，用手指慢慢摸着凉滑的枪身，又微微一笑，“不传!不传!”C. 她忽然觉得心头一紧，不知怎么的就哭了起来，那是欢乐的泪水，满足的泪水D. “其实我连买燕麦的钱还没挣到呢，”他想，“这就是为什么我会这么苦恼的缘故了。

线性代数第二章习题部分答案第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1?α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,?1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1?3α2+α3= (?5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2?β3= (?2,8,?2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0?3k2?k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,?1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,?1)T, α3=(5,?3,t)T，问t 取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13?1 +k3 5?3t =0即 k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2?4k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0(t?4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=?k1a1?k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=?k1k1+k2a1?k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,?,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,?,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,?,β2n线性相关。

n维向量组a1a2a3a4线性相关线性相关，指的是两个或多个变量之间存在着一定程度上的相关性。

只要任意两个变量间有任何线性关系，它们就被认为是线性相关的。

维向量组a1a2a3a4之间存在线性相关性，那么关于它们的内容有：1. 维向量组a1a2a3a4可以表示为m维空间里的n个线性方程，即a1、a2、a3、a4都可以表示为：$x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3 + x_4c_4 = 0$ 。

2. a1a2a3a4之间的线性关系可以表示为：一个变量值的变化会改变其他变量的值，或者说某一变量的变化会引起其他变量的变化。

3. 根据a1a2a3a4的线性相关性，在满足一定约束条件时，可以求出4个变量之间的相对关系。

4. a1a2a3a4之间的线性相关性包括两个方面：一是它们本身存在线性关系，二是它们之间存在线性关系。

5. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以通过线性回归分析等方法来进行评估和确定。

6. 定量分析维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性，可以通过Kendall系数法，Spearman等秩相关系数等方法来测定。

7. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以用多元线性回归模型进行预测和分析，来验证其定量分析结果。

8. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以分析多个指标之间的关系，从而实现建模和预测。

9. 如果维向量组a1a2a3a4之间的线性关系很强，那么可以用回归模型来表示，从而可以实现估算变量值，也可以给出变量的可信区间。

10. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性关系可以计算特征向量的投影，可以解决多维特征间相关性的研究问题，使特征维度减少，数据表达更加简洁。

若向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关
几乎每一种数学学科都有其独特的定义，这些定义代表了这个学科的核心概念，对于线性代数正是如此。

线性代数主要用于处理线性变换，这里所说的线性变换是指保留“面积”这一概念的变换，其定义如下：若两个向量组之每一对向量组成的“平行四边形”的面积相等，那么它们就满足向量组可以进行线性变换的条件。

以向量组a1、a2、a3、a4为例，对于a1、a2、a3三个向量组，由于它们组成
的“平行四边形”的面积不相等，所以我们认为a1a2a3三个向量组是线性无关的，而对于a1、a2、a4三个向量组，它们三者组成的“平行四边形”的面积是相等的，因此可以认为a1a2a4三个向量组是线性相关的。

概念非常重要，而向量组的线性无关性和线性相关性即是线性代数中的重要概念。

它定义了一种保持“面积”的变换，并使用其来描述不同向量组的相关关系。

它的概念和应用是数学基础教育中最基础的元素之一。

正因为线性无关性和线性相关性的存在，使得线性代数这一学科在本质上变得
更加丰富。

它提供了对不同向量组之间的关系的深层次理解，并为一系列数学概念，如伴随矩阵、求解线性系统等，提供了有效的分析方法。

因此，在各种数学书籍中，线性无关性和线性相关性这两个概念被誉为线性代数的基础，甚至一些偏远的领域中也能发挥作用，比如经济学、物理学甚至是生物学领域等等。

综上所述，线性无关性和线性相关性是数学中令人惊叹的观点，它们不但给线
性代数带来了巨大的发展，还可以将其应用于其他不同领域，为基础教育和研究提供了大量的支持。

若向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关线性相关是指数据之间存在着某种线性关系，当预测一个变量值时，另一个变量值会发生变化，二者之间存在着某种线性关系。

即：如果变量x的变化会使另一变量y也发生变化，那么这两个变量就是线性相关的。

线性无关是指数据之间不存在着某种线性关系，当预测一个变量值时，另一个变量值不会发生变化，二者之间没有线性关系。

即：如果变量x的变化不会使另一变量y也发生变化，那么这两个变量就是线性无关的。

向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关给定向量组a1a2a3a4，我们可以从线性相关、线性无关的角度探讨它们之间的关系。

首先，我们来看向量组a1a2a3，它们之间存在着线性无关的关系，因为当预测a1的变化时，a2和a3的变化并不会受到任何影响。

既然a1a2a3之间的关系是线性无关的，那么在预测其中任意一个变量值时，其他变量值都不会发生变化。

而对向量组a1a2a4而言，它们之间存在着线性相关的关系。

当预测a1的变化时，a2和a4会受到影响，因为它们之间存在着线性关系，使得它们的变量值会发生变化。

既然a1a2a4之间存在着线性相关关系，那么在预测其中任意一个变量值时，其他变量值也会发生变化。

从数学上来讲，如果我们将上述两组向量表示为矩阵形式，则可以得到下面的结果：向量组a1a2a3：[a1 a2 a3]线性无关：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]向量组a1a2a4：[a1 a2 a4]线性相关：[1 0 m][0 1 0][0 0 1]由此可见，当预测变量a1时，矩阵中第一列的数字都为1，第二列和第三列均为0，表明a1a2a3之间是线性无关的；当预测变量a1时，矩阵中第一列的数字为1，第二列为0，第三列的数字为m（m 为任意正数），表明a1a2a4之间是线性相关的。

从以上可以知道，向量组a1a2a3线性无关，a1a2a4线性相关。

在实际应用中，对线性相关与线性无关的判断很重要，它们可以用来预测未来变量值的变化。

公共课数学二模拟题2020年(101) (总分150, 做题时间180分钟)选择题1.若向量组a1,a2,a3,a4线性相关，且向量a4不可由向量组，a1，a2，a3线性表示，则下列结论正确的是（）。

SSS_SINGLE_SELAa 1,a2,a3线性无关Ba 1,a2,a3线性相关Ca 1,a2,a4线性无关Da 1,a2,a4线性相关该题您未回答:х该问题分值: 8.9答案:B若a1,a2,a3线性无关，因为a4不可由a1，a2，a3线性表示，所以a1，a2，a3，a4线性无关，与已知矛盾，故a1，a2，a3线性相关，选B.2.设矩阵A=(a1,a2,a3,a4)经过初等行变换变为矩阵B=（Β1,Β2,Β3,Β4)，且a 1,a2,a3线性无关，a1,a2,a3，a4线性相关，则（）。

SSS_SINGLE_SELAΒ4不能由Β1,Β2,Β3线性表示BΒ4能由Β1,Β2,Β3线性表示，但表示法不唯一CΒ4能由Β1,Β2,Β3线性表示，且表示法唯一DΒ4能由Β1,Β2,Β3线性表示不能确定该题您未回答:х该问题分值: 8.9答案:C因为a1，a2，a3线性无关，而a1，a2，a3，a4线性相关，所以a4可由a1，a2，a3唯一线性表示，又A=(a1，a2，a3,a4)经过有限次初等行变换为B=（Β1,Β2,Β3,Β4),所以方程组x1a1+x2a2+x3a3=a4与x1Β1+x2Β2+x3Β3=Β4是同解方程组，因为方程组x1a1+x2a2+x3a3=a4有唯一解，所以方程组x 1Β1+x2Β2+x3Β3=Β4有唯一解，即Β4能由Β1,Β2,Β3线性表示，且表示法唯一，选C.3.设A=(a1,a2,...,am)其中a1,a2,...,am是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,...,km,皆有k1a1+k2a2,...+kmam≠0,则（）。

SSS_SINGLE_SELAm﹥nBm=nC存在m阶可逆矩阵P，使得D若AB=O,则B=O该题您未回答:х该问题分值: 8.9答案:D因为对任意不全为零的常数k1,k2,...,km,有k1a1+k2a2+...+kmam≠0,所以向量组a 1，a2，...am线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O,则B=O,选D.4.下列命题正确的是（）。

关于向量组线性相关性的初步探讨黄娟霞【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的一个重点和难点,介绍了向量组线性相关性的概念与几何意义,提出用几何的理念加深对其概念的理解,通过例子证明线性相关性来从总体上对其判定进行梳理和把握。

%The linear correlation of vector group is key and difficult in linear algebra teaching. This paper proposes to use the con- cept of geometry to deepen the understanding, and to comb and grasp linear correlation in general.【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2012(022)001【总页数】4页(P67-69,77)【关键词】向量组;线性相关;线性无关;线性组合【作者】黄娟霞【作者单位】陇南师范高等专科学校数学系,甘肃成县742500【正文语种】中文【中图分类】O151.2在线性代数中,向量组线性相关性的概念隙抽象,判定定理繁多,难以理解和把握,尤其对于初学者来说,学习这部分内容往往抓不住要领。

因此,笔者通过自己的经验,对这一部分内容进行了梳理。

1 向量组线性相关性的概念及几何意义1.1 向量组线性相关性的概念定义1 设a1,a2,…,an是F上向量空间V的n个向量。

如果存在F中一组不全为零的数k1,k2,…,kn,使得那么就称向量a1,a2,…,an线性相关。

如果不存在不全为零的数k1,k2,…,kn使(1)式成立,或者说,当且仅当k1=k2=…=kn=0时,(1)式才成立,那么就称a1,a2,…,an线性无关。

理解这个定义的关键是“仅当”两个字的含义。

显然,对于任意一组n维向量a1,a2,…,an,当取k1=k2=…=kn=0时,都能使(1)成立。