向量组的线性关系

第三章 向量 线性关系 秩基本要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 一、向量及其运算 1. 向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量. n 维向量有两种表示形式：12n a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,na a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量常记作a 、或a、或α等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律 零向量、负向量(1)运算①相等 ②加法 ③数乘 ④转置若12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,,,T n a a a a = .⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量. (2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n 维列(行)向量的全体构成一个所谓的n 维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n 维向量空间中进行. 3. 应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1) 设12(1,2,,)i i i in a a a i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组(1)可表示为 1122n n x a x a x a b +++=. (2)作业：P63 1. 2. 二、向量组的线性关系 1. 基本概念定义1 若存在一组数s k k k ,,,21 使1122s s k k k βααα=+++ ， (3)则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示，也称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示. 例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合. 其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k 2121),,,(αααβ. (当12,,,s ααα 为列向量时)或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k αααβ 2121),,,(. (当12,,,s ααα 为行向量时)定义2 若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21使1122s s k k k αααο+++= . (4)则向量组12,,,s ααα 称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s ααα 线性相关仅当齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解s k k k ,,,21.定义2表明，向量组12,,,s ααα 不线性相关，若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21总有οβββ≠+++s s k k k 2211.换句话说，1122s s k k k αααο+++= 成立仅当021====s k k k .例如：3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即齐次线性方程组0723032001321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k 当且仅当1230k k k ===，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.2. 基本结论(1)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55 证向量组12,,,s ααα 线性无关⇔12,,,s ααα 中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54 证推论 n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式不为0. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54 证一个向量α线性无关αο⇔≠. 例如，(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上，即,αβ共线或平行). 证两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上，即,αβ不共线或不平行). 例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组. P54 证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) P55 证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55 (7)设向量组12,,,s ααα 线性无关，向量组12,,,,s αααβ 线性相关，则β可由向量组12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数称为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 证 设1122s s k k k αααο+++= ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111s ms m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 不妨去掉最后一个方程，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---,0,0,0121211122221211212111s s m m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 即12,,,s ααα 的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. P56(9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59 推论 任意()m m n >个n 维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲). 作业：P64 6. 7. 8. 9. 10.-11. 三、秩1. 向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s ααα ；(Ⅱ)12,,,t βββ .定义3 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出. P57线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性.定义4 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价. P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5 若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组. P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.定理1(P57 命题3.5) 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论1(P57 推论) 向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57 引理3.6) 若列向量组12,,,r ααα 线性无关，且()12,,,r A O ααα= ，则A O =. 定理3(P58 定理3.7) 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证 设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .从而(12,,,s ααα )=(12,,,s ααα )BA .于是由定理2有O BA E s =-，即BA E s =.同理有AB E t =.根据第38页上的例2.11知，必有t s =.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等. 推论2(P58 推论) 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作)(⋅r 或)(⋅rank . P58 规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s ααα ，总有{}12,,,s r s ααα≤ .(2)若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(3)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(P58 定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示，则 s t ≤.(P58 推论2) (5)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，且s t >，则12,,,s ααα 线性相关.(P58 推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58 推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ ， 总有{}{}{}{}{}{}121212121212max ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题A P64 12. 2. 矩阵的秩一个m n ⨯矩阵可以写成如下两种分块形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T Tmn m m n n a a a a a a a a a A ααα 21212222111211()TnT Tβββ 21=， 其中T m T T ααα,,,21 叫作A 的行向量组，TnT T βββ,,,21 叫作A 的列向量组. 定义7 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59 引理3.9) 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理2(P60 定理3.10) 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(A r A r T =.推论(P61 定理3.11) 初等变换不改变矩阵的秩.定义8 矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(⋅r 或)(⋅rank .定义9 在m n ⨯矩阵A 中任选k 行与k 列(},min{1n m k ≤≤)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.定理3(P61 定理3.12) r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则所有r 阶以上的子式皆为零.定理4 r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法. 例(P63 例3.9) 解 分析： 形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521. 的矩阵称为行阶梯形矩阵. P62形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021. 的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)； (2)； (3)； (4).定理5(P63 命题3.13) 行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63 命题3.14) 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例(P63 例3.9)定理7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)关于矩阵还有以下常识结论：(1)()()(),r AB r A r B ≤简证：()()()12 c c B AB AB A AB A O A -⎧⊂⎪⇒⎨→⎪⎩ ()()() r AB r AB A r A ≤=. (2)()()()r AB r A r B A ≥+-的列数(3)()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)()()()r A B r A r B ±≤+简证：()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法. 作业：习题A P64 13. 15. 16.习题B P65 5*.。

第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。

第十讲 向量组的线性关系一、考试内容与考试要求考试内容向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求（1）理解n 维向量的概念；（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲．二、知识要点引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m ααα），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m ααα中向量的个数．（2）齐次方程组Ax o =⎧⎨⎩唯一零解无穷解（有非零解），o 是向量．1．线性组合（线性表示）定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,,m βααα，如果存在数12,,,m k k k ，使关系式成立1122m m k k k βααα=+++则称β是向量组12,,,m ααα的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m ααα线性表示：注意1（1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k 没有要求，可以全为零；（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m ααα线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解．（4）表示式可以不惟一，但若12,,,m ααα线性无关时，表示式惟一；（5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e 线性表示；（6）向量组12,,,m ααα中每个向量都可由自身向量组线性表示：11100100j j j j m αααααα-+=⋅++⋅+⋅+⋅+⋅定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,,s ααα中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββ线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）（II ）．向量组的等价具有① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）（I ）；② 对称性：若（I ）（II ），则（II ）（I ）；③ 传递性：若（I ）（II ），（II ）（III ），则（I ）（III ）． 注意 2 记()12,,,s A ααα=，()12,,t B βββ=，则（1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示的推广．（2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r ααα，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， 21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关；（4）若向量组（I ）：12r ααα，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， 21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤；这是（3）的逆否命题．向量组（I ）：12r ααα，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， 21线性表示，则必有r s ≤；反之不成立２．线性相关与线性无关定义3 线性相关与线性无关 给定向量组（I ）：12,,,m ααα，如果存在不全为零的数12,,,m k k k ，使1122m m k k k o ααα+++=则称向量组（I ）是线性相关的，否则称它线性无关．例如：由于23⎛⎫⎪⎝⎭=210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭，即210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭=o ，向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的．而向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量组100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭均是线性无关的．注意3(1）单位坐标向量组12,,,n e e e 是线性无关的；(2）含有零向量的向量组线性相关； (3）单个非零向量线性无关；(4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例． 证明如下：(1）单位坐标向量组12,,,n e e e 是线性无关的．证 由1k 100⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+2k 010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++n k 001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭=o ，有12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=o故1k =2k ==n k =0，故向量组12,,,n e e e 是线性无关． (2）含有零向量的向量组12,,,m ααα，o 线性相关．证 120001m o o ααα⋅+⋅++⋅+⋅=(3）单个非零向量线性无关．证 设o α≠，若k o α=，必有k =0，故线性无关． (4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例． 证 设12(,,,)T n a a a α=，12(,,,)T n b b b β=必要性 由于向量,αβ线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，有12k k o αβ+=不妨设10k ≠，则21k k αβ=-，即21,1,2,i i ka b i n k =-=，对应坐标成比例．充分性 对应坐标成比例，,1,2,i i a kb i n ==，即k αβ=，k o αβ-+=，1,k -不全为零，,αβ线性相关．3．线性相关、线性无关的性质性质1 向量组部分相关，则整体相关；向量组整体无关，则部分无关． 性质2 记A =(12,,,m ααα)，则向量组12,,,m αααAx o Ax o ⇔=⎧⎨⇔=⎩线性无关有唯一零解线性相关有非零解性质3 若向量组中的向量的维数小于向量的个数，则向量组线性相关． 或：向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关． 推论：1n +个n 维向量一定线性相关． 性质4 向量组12,,,m ααα⇔⎧⎨⇔⎩线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示应注意向量组12,,,m ααα线性相关，则12,,,m ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不是每一个向量都可由其余向量线性表示．性质5 设向量组（I ）：12,,,m ααα线性无关，而向量组（II ）：12,,,,m αααβ线性相关，则向量β能由向量组（I ）线性表示，且表示式是惟一的．性质6 向量组12,,,m ααα⎧⎨⎩线性无关，则添维数仍线性无关线性相关，则减维数仍线性相关学习这些性质应该采取对上述每一点都可先用简单的例题予与理解，然后再证明．下面以性质1、性质4和性质6为例具体说明．例 判断向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性相关性？由于23⎛⎫ ⎪⎝⎭=210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭，即210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭=00⎛⎫ ⎪⎝⎭，故10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关，则由性质（1）知向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎛⎫⎪⎝⎭整体相关．这由210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭+043⎛⎫ ⎪⎝⎭=00⎛⎫ ⎪⎝⎭即可简单的证明．向量组10⎛⎫⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的也可由上述性质3看出，因为维数是2，向量个数是4，所以线性相关．对性质4的理解：由于010⎛⎫ ⎪⎝⎭+001⎛⎫ ⎪⎝⎭+100⎛⎫ ⎪⎝⎭=00⎛⎫ ⎪⎝⎭，故向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，00⎛⎫ ⎪⎝⎭线性相关，00⎛⎫ ⎪⎝⎭=010⎛⎫ ⎪⎝⎭+001⎛⎫ ⎪⎝⎭，10⎛⎫ ⎪⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭都不能由其它两个向量线性表示．对性质6的理解：向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭线性无关，添维数后101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍线性无关；111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，222⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性相关，减维数后11⎛⎫ ⎪⎝⎭，22⎛⎫ ⎪⎝⎭仍线性相关。

课 题：向量组的线性关系教学目的：向量组的线性关系：线性组合、线性相关 教学重点：线性组合的求法，线性相关的判定 教学时数：二学时 教学设计： I ．复习引入复习n 维向量空间 II ．新课设计3.3 向量组的线性关系一．向量的线性组合 1．方程组的线性表示设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212*********，用矩阵表示即为b Ax =，其中A 为系数矩阵，x 为未知数矩阵，b 为常数项矩阵。

如果用向量表示方程组，则有：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mn n n n m m b b b a a a x a a a x a a a x 2121222122121111...于是，方程组是否有解的问题转变成能否找到一组数n x x x , (21)βααα=+++n n x x x ...2211的问题。

若方程组有解，则存在这样的一组数),...,(21n x x x 使上述方程组成立，亦即β可以表示成n ααα,...,,21的一个组合，在这个组合中，向量n ααα,...,,21的次数都是一次，存在着线性的关系，则我们可以称β可以由n ααα,...,,21线性表示出来；反之，若方程组无解，则β就不能被这一组向量表示，今后，方程组有解无解的问题，就等价于向量β能否由向量组n ααα,...,,21线性表示出来的问题。

2．向量的线性表示设有n 维向量n αααβ,...,,,21，如果存在一组数n k k k ,...,,21使得n n k k k αααβ+++=...2211，则称β可以由n ααα,...,,21线性表示，或者称β是向量组n ααα,...,,21的线性组合。

向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示是有好处的。

2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。