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3-1 向量组的线性关系汇总

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3-1-2向量的线性表示、线性组合

3-1-2向量的线性表示、线性组合

可由向量组1, 2, …, m线性表示, 也称向量是向量组1,
2, …, m的线性组合.
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1),
3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
向量组1,2, …,n称为A的列向量组. 即A=(1, 2, …, n).
m×n 矩阵A=(aij)也对应m 个n 维行向量
α1 a11 a12 a1n
… … … …Biblioteka …α2 a21 a22 a2n
αm am1 am2 amn
α1 α2 ,即A αm
1 0 1 即 1 1 α = (β1 , β 2 , β3 ) 2 0 0 1 0 -1 -1 2 1 0 -1 2 = 0 0 1 1 1
一般地, 对列向量, =k11+k22+…+kss 可写成
§2 线 性 关 系
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向 量组. 如:m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
a11 a β1 21 am1
a1n a12 a2 n a22 , , β n , β2 am 2 amn
向量组1, 2,…,m, 称为矩阵A的行向量组. 反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵. 线性方程组Ax=b也可以用向量表示成: x11+x22+ …+xnn= 定义3.2 给定向量组: 1, 2, …, m, 若存在一组数 k1,k2 , …,km , 使: =k11+k22+ …+kmm , 则称向量

3-1-1向量及其基本运算

3-1-1向量及其基本运算

1 | |
是与同方向的单位向量.
由Schwarz不等式, 对任意非零向量和都有
[ , ]


1
定义3.4 对任意非零向量, , 称
[ , ] , arccos , 0 ,

为向量和的夹角. 可见, ,

2
[, ]=0, 于是有
n 维向量就是n 个有次序的数a1,a2, …,an组成的数组. ai称为向量的第i个分量. 分量全是实数的向量称为实向量. 定义中两种形式分别称为列向量和行向量. 注意: 按定义行向量 和列向量 表示同一个向量, 但在涉及到运算时,行向量 和列向量总看作两个 不同的向量, 而且都按矩阵的运算规则进行运算. 如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
(1) [ , ] [ , ];
(2) [ ， ] [ , ] [ , ]
(3) [k , ] k[ , ]
。
(4) [ , ] 0 , 而且, 仅当=0时, [, ]=0.
向量内积的概念, 反过来定义n维向量的长度和夹角.
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn
称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数.
内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有
在解析几何中, 曾引进向量的数量积 x y=|x||y|cos 且在直角坐标系中，有
( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3

向量组的线性关系

向量组的线性关系

四、基础解系的证法
例6. 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是 基础解系． 分析 要证明某一向量组是方程组 AX = O的基础解 系，需要证明三个结论: (1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关； (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
证明 设 1, η2,..., ηt是 ： η 方程 AX = O 的一 组 个基 解 础 系 a1, a2,..., at是与 1, η2,..., ηt等价 线性 ， η 的 无关 的向 量
例 设 α 1, α 2 ,L , α r 线 2. 性相 关， 证明 ：存 在不 全 为零 的数 t1,t 2,L ,t r， 使对 任何 向量 β 都 有 α 1 + t1β, α 2 + t 2β， , α r + t rβ (r ≥ 2) L 线 性相 关。 证 ：因 α 1, α 2,L , α r 线 明 为 性相 ,所以 关 存在 不 全 为零 数k1, k2,L , kr, 使 的数 的 k1 α 1 + k2 α 2 +L + k r α r = O 考 虑线 性方 程 k1x1 + k2x2 +L + kr xr = 0 因 r ≥ 2,它必 为 有非 零解设(t1, t 2,L ,t r)为 , 任一 非 β 零 , 解则对 任意 向量 ,都有
例 . 研究下列向量组的线性相关性 1 1 0 −1 α 1 = −2, α 2 = 2 , α 3 = 0 3 −5 2 解 令 k1α 1 + k2α 2 + k3α 3 = O ： 1 0 −1 0 即 k1 −2 + k2 2 + k3 0 = 0 ： 3 −5 2 0 k1 − k3 = 0 整 得 理 ： −2k1 + 2k2 = 0 (∗) 3k1 − 5k 2 + 2k3 = 0 1 0 −1 Q线 方 组 ∗)的 数 列 −2 2 0 = 0 性 程 ( 系 行 式 3 −5 2

32向量组的线性相关与线性无关(二)详解

32向量组的线性相关与线性无关(二)详解

解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关

线代3-1n维向量组及线性相关性

线代3-1n维向量组及线性相关性
称为向量组的一个线性组合， k1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性

向量组间的线性关系

向量组间的线性关系

也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5

3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性

3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性

0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解

§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12•••a 1n a 21a 22•••a 2n••••a m1a m2•••a mn),x=( x 1x 2••x n ) ,b=( b 1b 2••b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ， (3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。

有解时再化为行最简形求解。

(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。

(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。

2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。

3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2−x 3=23x 1−x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2−x 3+x 4 =14x 1+2x 2−2x 3+x 4=22x 1+x 2 −x 3−x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2−5x 3+ 7x 4 =02x 1−3x 2+3x 3− 2x 4 =04x 1+11x 2−13x 3+16x 4=07x 1−2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2−310)+C 2(−2401)为通解的齐次线性方程组。

例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ−1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。

线代3-3_1

线代3-3_1

V2 是
F 上全体对称矩阵组成的集合，
则V1、V2都是F性空间
8
9.设1， 2， ， m是R n中任意m个向量，则
V k1α 1 k 2α 2 k mα m|ki R,i 1,2 , ,m
是R n的一个子空间，称为由向量1 , 2 , , m生成的子空间
线性代数 第三章 线性空间
5
线性空间的一些性质： 1）零元素唯一； 2）每个元素α 的负元素唯一； 3）0•α ＝0，(-1)•α = -α ,k•0 = 0 4）若kα =0,则 k = 0 或 α = 0 数零
零向量
线性代数 第三章 线性空间
6
线性子空间：
定义3.12 设V 是数域 F 上的一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对于V 的加法和数乘也构成 F 上的 一个线性空间，则称W 是 V 的一个线性子空间，简称子空间。 定理3.5 设V 是数域 F 上的线性空间，W 是V 的非空子集， 如果W 对于V 的两种运算：加法与数乘是封闭的，则W 是V 的 一个子空间。
（4） (α, α) ≥0,当且仅当α=0时有(α, α)＝0 其中α ，β ，γ 是 V 中任意向量，k∈R ，则称实数 (α,β)为向量α与β的内积。 建立了内积的线性空间 V 称为内积空间，也称欧几里 德空间或欧氏空间。
线性代数 第三章 线性空间
15
不同的线性空间，有不同的内积定义，即使同一个线性空 间，也可以有不同的内积定义。
对于n维向量的加法及数与n维向量的乘法，是实数域上的 一个线性空间.
例2.元素属于数域 F 的全体 m×n矩阵的集合，按矩阵的加 法及数与矩阵的乘法构成数域F上的一个线性空间，用Fm×n表 示. 注：1）线性空间也称为向量空间，线性空间的元素也称为向量；

高中数学向量的线性运算知识点总结

高中数学向量的线性运算知识点总结

高中数学向量的线性运算知识点总结高中数学向量的线性运算知识点总结导语：线性运算是加法和数量乘法，对于不同向量空间线性运算一般有不同的形式，它们必须满足交换律，结合律，数量加法的分配律，向量加法的分配律。

下面是小编总结的高中数学向量的线性运算知识点，供参考。

1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的.起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ。

线性代数__2[1].2向量组的线性相关性

线性代数__2[1].2向量组的线性相关性

k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm

可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合

向量的线性关系

向量的线性关系

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共线、 3. 共线、共面与相关性二者关系 由前面几个命题及推论可知, 由前面几个命题及推论可知 线性相关; 两向量 a, b 共线 ⇔ a, b 线性相关 线性无关; 两向量 a, b 不共线 ⇔ a, b 线性无关 线性相关; 三向量 a, b, c 共面 ⇔ a, b, c 线性相关 线性无关. 三向量 a, b, c 不共面 ⇔ a, b, c 线性无关
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是向量, 定义2 定义 设a1, a2, …, an 是向量 若存在不全为零 的实数 k1, k2, …, kn, 使得 k1a1+ k2a2+ …+ knan = 0, 向量组a 线性相关, 则称 向量组 1, a2, …, an 线性相关 否则, 称向量组 1, a2, …, an 线性无关 线性无关. 否则 称向量组a
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上页下页Biblioteka 返回结束补充：向量的共线、 补充：向量的共线、共面与线性关系
1
.共线和共面条件 定义1 定义 个向量(向量组 向量组)经平移可移到同 若 k 个向量 向量组 经平移可移到同 一直线（平面) 个向量共线( 一直线（平面)上，则称此 k个向量共线(共 面) . 显然，共线的向量组一定共面， 显然，共线的向量组一定共面，两个向量 一定共面． 一定共面． 定理1 定理 设 a 为非零向量 , 则 (λ 为唯一实数 (∗) λ 为唯一实数)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论2 向量a, 不共面的充分必要条件是: 推论 向量 b, c 不共面的充分必要条件是 由k1a + k2b + k3c = 0 可以推出 k1 = k2 = k3= 0 . 由于上述命题, 由于上述命题 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线或共面问题以及线段的 定比分割问题. 定比分割问题 设向量a, 共面. 例1 设向量 b, c , 证明 a + b, b + c, c − a 共面 证: 因为 1⋅(a + b) + (−1)⋅(b + c) + 1⋅(c − a)=0, ⋅ − ⋅ ⋅ 且 1, −1, 1 不全为零, 不全为零 由命题3可知 共面. 由命题 可知, a + b, b + c, c − a 共面 可知

3[1].3_向量组的线性关系

3[1].3_向量组的线性关系
因为n个方程n+1个未知量的方程组必有非零解。 规定：单个非零向量线性无关
数学科学学院 徐 鑫
2008年10月9日星期四
三、线性相关性的判定
1、利用线性相关性定义 利用定义判定向量组 A : α1 ,α2 , , αm的线性相关性 的步骤： ①、设有数 k1 , k2 , , km 使 ∑ k k α k = 0;
数学科学学院
徐
鑫
2008年10月9日星期四
定理3 部分相关 全体相关，反之不然； 全体无关 部分相关，反之不然. 〖证〗设有向量组 A : α1 ,α2 , ,αk ,αk +1 , ,αm ,且其部分 向量组 A : α1,α2 , 1
k1α1 + k 2α 2 +
+ k mα m = 0,
则称向量组 A 是线性相关的;否则,称之是线性无关的。
知识点转换
向量组的线性表示问题与线性方程组解的问题是可 以相互转化的，即 向量组α1,α2 , ,αm 线性相关（无关） 线性齐次方程组 ∑ xk α k = 0 有非零解（只有零解）
k =1 m
即 本定理反映了线性相关性与线性表示之间的关系。
数学科学学院 徐 鑫
因为 α1,α2 ,
2008年10月9日星期四
基本定理 n元线性齐次方程组 Am × n X = 0 有非 零解 r ( A) < n. 前面证明了 下列各定理均可由基本定理证明.
方程个数小于未 方程个数小于未 知量个数，该方 知量个数，该方 程组必有非零解 程组必有非零解
从而,有
k1 + 2k2 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 3k2 + k3 = 0
由克莱姆法则知：因线性方程组的系数行列式 克莱姆法则

1-3向量组的相关性1资料

1-3向量组的相关性1资料
11 k22 kss 0
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
若 1,2 , ,s线性无关 ,则只有当
k1 k2 ks 0
时, 才有k11 k22 kss 0成立 .
例.(1)1 2，2 3，3 4，4 1是否线性相关？ (2)1 2，2 3，3 4，4 1是否线性相关？ (3)1 2，2 3，3 4，4 1是否线性相关？
若向量多，好 像很麻烦！！
如何定义向量组“线性相关”？
可以只解一次的
哦，请思考！！ 1 l2 m3, 若l, m 有解，则相关。
或 2 p1 q3, 若 p, q有解，则相关。
或 3 r1 s2, 若 r, s 有解，则相关。
即k11 k22 k33 0中，若有非零解，
amn xn 0 n
a11, a12, , a1n a21, a22, , a2n
am1, am2, , amn
如果有一方程是其余方程的线性组合，也是 “多余的”。这样的一组方程称为“线性相关”。 将方程组抽象出向量，即向量组“线性相关”。
将方程组抽象出向量，即向量组“线性相关”。
11 2 +12 3 +1 3 4 +1 4 1 0
线性相关.
(3)1 2，2 3，3 4，4 1是否线性相关？
11 2 -12 3 +1 3 4 +1 4 1 0
1 0 1 0

0
1
1
0

0 0 0 0
若k3 1，则k1 1，k2 1，是原方程组的一个解
所以1 2 3 =0，故1，2，3线性相关

向量间的线性关系

向量间的线性关系

1 2 0 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
∴ 1 , 2 为一个极大无关组.且 1 3 1 2 ， 4 1 2 2
证毕
注：此定理给出了线性相关与线性组合的关系
例 设向量组 1 (1 , 1, 1, 0) ， 2 (1 , 0, 3 ( 0, 1, 0, 0) ，验证向量组线性相关. 解
∵ 1 2 3
1, 0) ，
∴ 1 , 2 , 3 线性相关.
定理5 如果向量组 1 , 2 ,......, , s 线性无关，则向量 可以由 向量组 1 , 2 ,......, s 线性表示，且表示法 唯一. 证明 (1)先证 可由1 , 2 ,......, s 线性表示
矩阵的列秩： 称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A 的列秩.
定理9
A 为m n 矩阵，r ( A) r
A 的列秩与行秩相等，且为 r.
求向量组的极大无关组的方法：
1 给定向量组 1 , 2 ,......, n ，以 1 , 2 ,......, n 为列向量构成一个矩阵 1 2 ...... n ，然 后进行初等行变换，求得矩阵的秩，即是极大 无关向量组所含向量的个数. 2 而不为零的 r 阶子式所对应的向量组，即 是极大无关组.
.......... .......... .......... .......... ... n k1n 1 k2 n 2 ... krn r
（2）证明题：
由于证明题中向量组中向量的分量一般不给出， 固不能按上述方法来判定向量组相关性，而应 按照相关无关的定义来证明.

向量线性组合归纳(全)

向量线性组合归纳(全)

向量线性组合归纳(全)引言向量线性组合是线性代数中的重要概念，它在解决向量空间中的问题时起到了关键作用。

本文将全面介绍向量线性组合的定义、性质和应用。

定义向量线性组合是指将若干个向量乘以相应的系数后相加得到的新向量。

设给定向量集合$$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$$，以及实数集合$$\{k_1, k_2, \ldots, k_n\}$$，则向量线性组合定义为：\[w = k_1v_1 + k_2v_2 + \ldots + k_nv_n\]其中，$$w$$为新向量，$$k_1, k_2, \ldots, k_n$$为系数。

性质向量线性组合具有以下性质：1. 封闭性：向量线性组合仍然是向量空间中的一个向量。

2. 结合律：向量线性组合满足结合律，即$$(k_1v_1 + k_2v_2) + k_3v_3 = k_1v_1 + (k_2v_2 + k_3v_3)$$。

3. 分配律：向量线性组合满足分配律，即$$k_1(v_1 + v_2) = k_1v_1 + k_1v_2$$。

4. 存在唯一性：给定向量集合$$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$$，如果存在不同的系数集合$$\{k_1, k_2, \ldots, k_n\}$$和$$\{l_1, l_2, \ldots, l_n\}$$，使得$$k_1v_1 + k_2v_2 + \ldots + k_nv_n = l_1v_1 + l_2v_2 + \ldots + l_nv_n$$，那么对应位置上的系数必须相等，即$$k_i = l_i$$对于$$i = 1, 2, \ldots, n$$。

应用向量线性组合在许多领域中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 线性方程组求解：将线性方程组中的系数矩阵与未知向量进行线性组合，可以得到方程组的解。

2. 线性空间的生成：通过线性组合可以生成一个线性空间，即由给定向量集合生成的所有可能的线性组合所构成的空间。

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,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1),
称 e1, e2, , en 为 n 维单位坐标向量组. 任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为
a a1e1 a2e2 a n en
例2 设 x1, , xn-r 为方程组 Ax 0 的一个基础解系, 则对
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 只有零解. 定理1 设矩阵 A (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) m. • m 元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是 R(A) m.
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1, , am 线性表示, 则向量组 b, a1, , am 线性相关. • 当 a1, , am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1, , am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
ka ( ka1 , , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
b - a b ( -a )
• 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合, 称向量组. • 向量组的一部分称部分组. 例1 设 e1 (1,0,
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三、向量组的线性相关性
若线性方程组 Ax b 有无穷多解, 则向量 b 可用矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示. 设向量 b 有两个线性表示式 b h1a1 hm am 和 b l1a1
l m am
则
( h1 - l1 )a1
( hm - lm )am 0
例3 设矩阵 A (a1, , am ), 则方程组 Ax b 有一组解
xi ki (i 1, , m), 也即
b k1a1 k m am
• 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示. • 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.
1 2 4 2 -1 3 T T T T (a1 , a2 , b1 , b2 ) -1 1 -1 5 1 11 1 2 4 4 1 0 -5 -5 -5 r 0 r 0 3 3 4 0 0 9 9 9 0
b 的两个表示式不同, 也即存在一ห้องสมุดไป่ตู้不全为零的数 k1 h1 - l1 , , km hm - lm
k1a1 km am 0 使成立 此时, 称向量组 a1, , am 线性相关. • 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.
§3.1 向量组的线性关系
一、n 维向量及其线性运算 二、向量组的线性组合 三、向量组的线性相关性
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一、n 维向量及其线性运算
n 维向量空间 Rn
R n {(a1 , a2 ,
, an ) | a1 , a2 ,
, an R}
• Rn 中任一元素称为一个 n 维向量.
Ax 0 的任一解向量 x, 存在一组数 k1, , kn-r , 使
x k1x1
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kn- rx n- r >>>
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线性组合
给定向量组 a1, , am , 对任一数组 k1, , km, 称向量
b k1a1
k m am
为向量组 a1, , am 的一个线性组合, 称 k1, , km 为这个 线性组合的[表示]系数. 并称 b 可由 a1, , am 线性表示.
4 3 0 11 0 1 0 0 2 1 0 0 2 1 1 0
T T T 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 . (a1 , a2 ) x b1 T T T 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示. (a1 , a2 ) x b2
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向量的加法运算 设向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 定义
a b (a1 b1 , , an bn )
称 a b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 设向量 a (a1, , an), k 为实数, 定义
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例4 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
• 称 ai 为向量 a (a1, , an) 的第 i 个坐标[分量]. 以 ai (i 1, , n)为第 i 个坐标的向量可写成列形式
a1 a a n
• 坐标全为零的向量称为零向量, 记为 0. • 坐标完全一样的两向量 a, b 称为相等向量, 记为 a b.