向量组的线性相关性

向量组的线性相关性向量组线性相关与线性无关的概念向量组线性相关性的判别向量组线性相关性的有关结论向量组线性相关与线性无关的概念()1122*0ααα，m m k k k +++=定义：给定向量组，12:,,,αααm A 如果存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得则称向量组是线性相关的.A 则称向量组是线性无关的.A 仅当时式才成立，120m k k k ====()*例：向量组，1231111, 5, 1281ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123320,ααα--=线性相关.123,,αααn 维单位坐标向量121000100,0,,0001e e e ，n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122e e e n nk k k +++12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关.12,,,e e e n 10,n k k ⇔===例：考虑只有一个向量的向量组，α如果，0α=则对任意常数都有,0k ≠0α=k 所以当时是线性相关的；0α=如果，0α≠所以当时是线性无关的.0α≠则仅当常数时才有,0k =0α=k则.2121αα=-λλ存在不全为零的实数，12,λλ不防设，10≠λ维向量组线性相关，12,αα例：n 11220.αα+=λλ使得线性相关的分量对应成比例.12,αα12,αα⇔例：向量组12301240,5,4,509710ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.含零向量的向量组必线性相关.0，k ≠对任意1230000.0αααk ⋅+⋅+⋅+⋅=均有向量组线性相关性的判别如何判断它的线性相关性？1212(,,,)m m k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭0A .β=0A 给定向量组，12:,,,αααm A 考虑等式，1122m m k k k ααα+++=0β元线性方程组有非零解m=0Ax12(,,,)mααα=，A()T12,,,mx x x=x().R m<A定理：向量组线性相关12:,,,αααmA().R m=A向量组线性无关12:,,,αααmA元线性方程组只有零解m=0Ax解123102102(,,)124~022157000rααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例：已知，1231021,2,4157ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试讨论线性相关，12(,)2R αα=，向量组及向量组的线性相关性.123,,ααα12,αα向量组123,,ααα向量组线性无关.12,αα123(,,)2R ααα=，223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证一131122233x x x x x x ()()()0a a a +++++=112223331x x x ()()()a a a a a a ⇒++++例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，112233x x x 0，b b b ++=设131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩10111020011=≠线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证二例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作设,=Bx 0()=AK x ⇒0,=Kx ⇒0,20,K =≠=x ⇒0,223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证三例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作()R =3.A ⇒20K =≠又由知可逆，K 从而()()R R ==3.B A向量组线性相关性的有关结论111111.j j m j j j m j j j jk k k k k k k k ααααα-+-+=-----其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明1122m m k k k ααα+++=0.（必要性）设线性相关，()122m m ααα,,,≥则存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得0j k ≠不防设，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明（充分性）设()122m m ααα,,,≥线性相关.111111j j j j j m m k k k k ααααα--++=++++，111111j j j j j m m k k k k ααααα--++++-++=0，111,,,1,,,j j m k k k k -+-不全为零，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由12m 证明（必要性）设线性无关，()122m m ααα,,,≥若存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -()122m m ααα,,,≥则必线性相关，与已知矛盾.任何一个向量都不能由其余个向量线性表示.1m -其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由定理：向量组线性无关()12:2m A m ααα,,,≥证明（充分性）假设线性相关，()122m m ααα,,,≥必存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -与已知矛盾.所以线性无关.()122m m ααα,,,≥证明定理：向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,向量组线性无关，则向量组也线性无关.A B 反之，因为向量组线性相关,12:m A ααα,,,所以存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 1122m m k k k ααα+++=0.使得112210m m m k k k αααα+++++⋅=0.于是所以向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,结论：则该向量组线性相关. 一个向量组若有线性相关的部分组，一个向量组若线性无关，一般地，向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m s B ααααα,,,,,,则它的任何部分组也线性无关.定线性相关. 12(,,,)m ααα=，A 证明例如，向量组线性相关.123202110ααα,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理：个维向量组成的向量组，当m 时一n n m <特别地，个维向量必线性相关.n 1n +n m ⨯个维向量构成矩阵m n 12m ααα,,,设R n <m ().A ≤n m <当时，有个维向量线性相关.m n 12m ααα,,,证明定理：向量组线性无关,()12:2m A m ααα,,,≥而向量组线性相关，12:m B αααβ,,,,必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.A β则向量记()12=m ααα,,,，A ()12=m αααβ,,,,,B 由于R R ()()，A B ≤有惟一解，从而结论成立.因此方程组βAx =而1R m R m ()()，，A B =<+所以1m R m ()，B ≤<+即.R m ()B =问题转化为讨论方程组是否有惟一解.βAx =证明:证明(2)用反证法. 矛盾.例设向量组线性相关，线性无关，123,,a a a 234,,a a a (1)能由线性表示；1a 23,a a (2)不能由线性表示.123,,a a a 4a 因线性无关，知线性无关，(1)234,,a a a 23,a a 再由线性相关，知能由表示.123,,a a a 1a 23,a a 假设能由线性表示，4a 123,,a a a (1)知能由线性表示；1a 23,a a 又由于是能由线性4a 23,a a 表示，。

向量组线性相关性
向量组线性相关性是指向量组之间的关系，它可以用来度量两个
或多个随机向量之间的相似程度。

它是将某种矩阵投射到更高维空间
中进行分析所必需的一种工具。

对于定量分析，它是一种快速而有效
的方法，可以帮助研究人员快速识别观察值之间的特征，如：相关性、回归和分类等。

此外，线性相关性也与潜在因素有关。

线性相关性可用于发现隐
藏的潜在变量，同时，当没有显式的潜在变量可以使用时，它也可以
用作预测。

例如，如果一个研究者想要预测一组观察值的趋势或变化，他/她可以使用线性相关性来找出隐藏的关系，从而建立一个有效的模
型来描述观察值之间的关系。

由于它可以用于识别数据之间的关系，因此，线性相关性在机器
学习任务中也是一种有用的工具，它可以帮助研究人员构建有效的模型，并用于预测新的数据。

例如，在机器学习领域中，线性回归就是
一种线性相关性模型，可以用于分析和预测数据集中观察值之间的关系。

因此，线性相关性是一个非常有用的工具，可用于大量因素和研
究设计中，从而帮助研究人员发现观察值之间的关系，有助于他们建
立有效的模型，并可以用于预测分析和推断。

向量组的线性相关性1.1向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1向量组的线性相关性概念定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=⋅⋅⋅,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的.定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。

若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由11220s s k k k ααα+++= ，则必021====s k k k 。

即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组{}r αα,,1 线性无关⇔{}r αα,,1 秩r =. 向量组{}r αα,,1 线性相关⇔{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα⋅⋅⋅线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有11220m m λαλαλα++⋅⋅⋅+=成立.注意3: 向量组只包含一个向量α 时,若0α=则说α线性相关; 若0α≠, 则说α 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2线性相关性的判定向量组12,,m ααα⋅⋅⋅ (当m 2≥时)线性相关的充分必要条件是12,,m ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示.证明: 充分性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅中有一个向量(比如m α)能由其余向量线性表示,即有112211m m m αλαλαλα--=++⋅⋅⋅+也就是112211(1)0m m m λαλαλαα--++⋅⋅⋅++-=因121,,,m λλλ-⋅⋅⋅,(-1)这m 个数不全为0,故12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关.必要性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关. 则有不全为0的数12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=不妨设10k ≠, 则有32123111()()().m m k k k k k k αααα=-+-++- 即1α能由其余向量线性表示. 证毕1.2 向量组线性相关性的性质和应用1.2.1向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即{}s ααθ,,,1 线性相关.θααθ=⋅++⋅+⋅s 00112.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。

向量组的线性相关性线性相关性是线性运算下的一种性质，其理论对于方程组的解的存在性及解的结构有重要作用.1. 问题的提出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0403202z y x z y x z y x 用向量的形式表示出来⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000111132421z y x ， 不难看出，其中第3个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。

此方程组对应着三个向量T )4,2,1(1=α，,)1,3,2(2T-=αT )1,1,1(3--=α，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是12337ααα=--，即1α可由2α和3α线性运算得到，此时称1α是32,αα的线性组合.定义1. 设有n 维向量组m ααα,...,,21，如果存在不全为零的数,,...,,21m k k k 使 02211=+++m m k k k ααα则称此向量组m ααα,...,,21线性相关的，否则称为线性无关。

注意：若向量组中含有零向量，则向量组一定是线性相关的。

定理1向量组线性相关⇔其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

定理2 若r ααα,...,,21线性相关，则m r r ααααα,...,,,...,,121+也线性相关。

证：因r ααα,...,,21线性相关，所以存在不全为零的数r k k k ,...,,21使02211=+++r r k k k ααα ，从而存在不全为零的m 个数0,...,0,,...,,21r k k k 使 00012211=++++++m r r r k k k ααααα ，因此m r r ααααα,...,,,...,,121+线性相关。

由于一个零向量是线性相关的，所以任何含有零向量的向量组都线性相关。

推论 若r ααα,...,,21线性无关，则由其中的部分向量构成的向量组线性无关。

定理3 设),...,,(21ir i i i a a a =α，),,...,,(121+=ir ir i i i a a a a β),...,2,1(m i =若r 维向量组m ααα,...,,21线性无关，则1+r 维向量组m ββ,...,1线性无关。